Введение
Работа посвящена автоморфизмам, эндоморфизмам и элементарной эквивалентности полугрупп неотрицательных матриц над кольцами с различными типами упорядочения.
Исторический обзор
Автоморфизмы и изоморфизмы матричных групп и полугрупп
Матричные группы — традиционный объект исследования математиков. Различные вопросы, связанные с их структурой, изучались К. Жорданом, Л. Диксоном, Б. ван дер Варденом, Г. Вейлем, Ж.Дьедонне, Ж. Титсом и их многочисленными последователями в огромном количестве работ. Ко второй половине XX века сложилось несколько крупных направлений исследования линейных групп, среди которых изучение нормальных подгрупп, описание линейных групп с помощью образующих и определяющих соотношений, описание подгрупп, порожденных некоторыми специальными элементами, а также описание автоморфизмов и изоморфизмов между линейными группами. Изучение автоморфизмов классических групп началось работой Шрайсра и Ван-дер-Вардена [1] 1928 г., в которой были описаны автоморфизмы группы Р8ЬП (п ^ 3) над произвольным полем. Затем Дьедонне [2] в 1951 г. и Рикарт [3] в 1950 г. ввели метод инволюций, с помощью которого были описаны автоморфизмы группы СЬП (п ^ 3) над телом. Автоморфизмы линейных групп над кольцами были описаны Хуа Логсном и Райнером [4] в 1951 г. (ОБ л (п ^ 3) над кольцом целых чисел), Лэндином и Райнером [5] в 1957 г., а также Вань Чжесянем [б] (некоммутативные области главных идеалов), О’Мирой [7] в 1976 г. (области целостности). Также результаты по автоморфизмам и изоморфизмам линейных групп над различными ти-
нами колец получали Помфрэ и Макдональд [8] (1972 г.), Г.А. Носков [9] и
В.Я. Блошицын [10] (1975 г.), B.C. Дроботенко и Э.Я. Погориляк [11] (1977 г.), Макдональд [12] (1978 г.), Уотерхауз [13) (1980 г.), В.М. Пстсчук [14], [15], [16] (1980-1982 гг.) Одними из самых больших результатов в теории автоморфизмов и изоморфизмов матричных групп были их описания для некоммутативных колец. Именно, в 1980-х годах в работе [17] И.3. Голубчиком и A.B. Михалевым было дано описание изоморфизмов групп GLn(Ä) и GLm(5) над ассоциативными кольцами R и S с ~ при п, т ^ 3, и несколько иным способом в работе Е.И. Зельманова [18]. Затем, в 1997 году И.З. Голубчиком [19] описание изоморфизмов между общими линейными группами было продолжено на случай произвольных ассоциативных колец и п.т ^ 4. Параллельно с описаниями автоморфизмов и изоморфизмов общих линейных групп и их стандартных подгрупп рассматривалась структура полугрупп неотрицательных обратимых матриц над различными типами упорядоченных колец. В 1970 г. A.B. Михалевым и М.А. Шаталовой [20] были описаны изоморфизмы и антиизоморфизмы полугрупп неотрицательных обратимых матриц над линейно упорядоченными телами. В 2003 г. эта теория была продолжена Е.И. Буниной и A.B. Михалевым [21], которые описали все изоморфизмы и автоморфизмы полугруппы неотрицательных матриц (размера п ^ 3) над произвольными линейно упорядоченными кольцами с обратимой двойкой. В данной диссертации описание автоморфизмов и изоморфизмов полугрупп неотрицательных обратимых матриц распространено на коммутативные частично упорядоченные кольца с некоторым обратимым натуральным числом, а также на кольцо целых чисел (результаты опубликованы в работах [22) и [23]). Более того, для коммутативных линейно упорядоченных колец с 1/2 описаны [60) не только автоморфизмы, но и все эндоморфизмы рассматриваемых полугрупп.
Для полугруппы G2(R) верны не все результаты, доказанные в данной диссертации для п > 2. Если кольцо R — частично упорядоченное коммутативное (или не содержит делителей нуля), в нем обратим какой-то натуральный элемент п и конус положительных элементов порождается обратимыми положительными элементами кольца, то верно, что все автоморизмы полугруппы G'2(R) стандартны (Е.И. Бунина, Л.В.Тупикина[62]).
Элементарная эквивалентность
Дне модели U и U' одного языка первого порядка С (например, две группы или два кольца) называются элементарно эквивалентными, если любое предложение р языка С истинно в модели U тогда и только тогда, когда оно истинно в модели U'. Любые две конечные модели одного языка элементарно эквивалентны тогда и только тогда, когда они изоморфны. Любые две изоморфные модели элементарно эквивалентны, однако для бесконечных моделей обратное неверно. Например, поле С комплексных чисел и поле Q алгебраических чисел элементарно эквивалентны, но не изоморфны, так как имеют различную мощность (для более подробных примеров см. [25]). Классической книгой по теории моделей (в том числе и по элементарной эквивалентности) является книга [25]. Подробным обзором 1984 года результатов по элементарной эквивалентности и смежным вопросам является обзор [26] В. Н. Ре-месленникова и В. А. Романькова "Теоретико-модельные и алгоритмические вопросы теории групп”. Болес новые результаты включены в обзоры Е.И. Буниной и A.B. Михалева [27] и [28], а также в обзор В. Гоулда, A.B. Михалева, Е.А. Палютина, A.A. Степановой [29]. Справочным материалом по теории моделей могут служить книги [30], [33], |34], [35]. Испытательным полигоном для большинства результатов теории моделей служат алгебра, теория чисел и анализ. Ряд интересных задач в теории групп возник в связи с применением в ней теоретико-модельных методов. К их числу относится проблема классификации групп (или полугрупп) с точностью до элементарной эквивалентности, или в другой формулировке — проблема классификации полных теорий групп. Весьма прозрачная и полезная в приложениях классификация абелевых групп по элементарным свойствам получена в 1954 г. польским математиком Шмелевой |36]. В настоящее время известны несколько доказательств се результатов, полученных либо методом модельной полноты [37], [38] (исправление в [39], [40]), либо переходом к насыщенным группам [41], либо комбинацией этих методов [33]. Проблема классификации (полу)групп по элементарным свойствам, как правило, является трудной задачей. Удовлетворительные результаты по се решению получены для абелевых групп (как сказано выше), свободных групп ([42]—[45], [46]), для некоторых классов нилыютентных групп ([47], [48], [49], [50]) и для различных классов матричных групп и полугрупп (см. далее). Впервые вопросы связи элементарных свойств некоторых моделей с элементарными свойствами производных моде-
6
лей были рассмотрены в 1961 г. А.И. Мальцевым в работе [51). Он доказал, что группы Gn(K) и Gm(L) (С — GL, SL, PGL, PSL, п, т ^ 3, К, L — поля характеристики 0) элементарно эквивалентны тогда и только тогда, когда т = п и поля К и L элементарно эквивалентны. Продолжение эта теория получила в 1992 году, когда с помощью конструкции ультрапроизведения и теоремы об изоморфизме (25) К.И. Бейдар и A.B. Михалев в работе (52) нашли общий подход к проблемам элементарной эквивалентности различных алгебраических структур и обобщили теорему Мальцева для случая, когда К и L являются телами и ассоциативными кольцами. Продолжением исследований
ф в этой области явились работы Е.И. Буниной 1998-2010 гг. (см. [53], [54), [56],
[55], [57], [58]), в которых результаты А.И. Мальцева была распространены на унитарные линейные группы над телами и ассоциативными кольцами с инволюцией, а также на группы Шевалле над полями и локальными кольцами. В 2003 г. Е.И. Бунина и A.B. Михалев [59] описали элементарные свойства полугрупп неотрицательных матриц над линейно упорядоченными кольцами. Элементарные свойства полугрупп неотрицательных матриц над частично упорядоченными коммутативными кольцами были изучены в данной диссертации и опубликованы в работе [24].
Общая характеристика работы
ф Цель работы и основные задачи
Цель данной работы состоит в развитии старых и создании новых универсальных методов исследования автоморфизмов, эндоморфизмов и элементарной эквивалентности полугрупп неотрицательных матриц над различными типами упорядоченных колец, в точном описании автоморфизмов и эндоморфизмов данных полугрупп. Основными задачами диссертации являются: описание (доказательство стандартности) автоморфизмов полугрупп неотрицательных матриц над частично упорядоченными коммутативными кольцами; нахождение необходимых и достаточных условий того, что данные по-лугруппы были элементарно эквивалентны; описание автоморфизмов полугрупп неотрицательных обратимых матриц над целыми числами: описание эндоморфизмов полугрупп неотрицательных матриц над линейно упорядоченными коммутативными кольцами с обратимой двойкой.
7
Основные методы исследования
В работе используются классические методы структурной теории колец, линейной алгебры, теории автоморфизмов линейных групп, теории моделей и математической логики. Также разработаны некоторые новые методы.
Научная новизна
Основные результаты работы являются новыми. Среди них:
• Разработка новых методов описания автоморфизмов полугрупп неотрицательных матриц над частично упорядоченными коммутативными кольцами кольцами с обратимой двойкой. Получение полного описания (доказательство стандартности) автоморфизмов данных полугрупп.
• Описание элементарных свойств и элементарной эквивалентности полугрупп неотрицательных матриц над частично упорядоченными комму-тативными кольцами.
• Описание автоморфизмов полугрупп неотрицательных матриц над целыми числами.
• Описание эндоморфизмов полугрупп неотрицательных матриц над линейно упорядоченными коммутативными кольцами с обратимой двойкой.
Краткое содержание работы
Введем основные определения.
Определение 1. пусть Я — упорядоченное кольцо, СГ,(Я) — подполугруппа группы ОЬп(Я), состоящая из матриц с неотрицательными элементами.
Определение 2. Пусть Е = Еп, ГП(Я) — группа, состоящая из всех обратимых матриц из Сп(Н), 8П — симметрическая группа порядка п, — матрица перестановки а £ 8П (т.е. матрица (5^)), где биту) — символ Кро-некера), сНаё [с^,... ,</„) — диагональная матрица с элементами ... ,<2Л на диагонали, <2],...,^ 6 Я+. Через Д»(Я) обозначим группу всех обратимых диагональных матриц из СП(Я).
Определение 3. Через В^(х) обозначим матрицу Е + хЕу. Пусть Р обозначает подполугруппу в Gn(R)t порожденную всеми матрицами S0 (а £ Sn), Bij(x) (х £ Л+, г ф j) и diag [ai,...,an] G Dn(R).
Определение 4. Две матрицы А, В £ Gn(R) называются Р-эквивалентными, если существуют матрицы Aj € Gn(R), j — 0,..., к, А = Ло, В = А*, и матрицы Pi. Pi, Qi, Qi £ P, i = 0,..., к - 1 такие, что PiAiPi = QiA^iQi.
Определение о. Через GE+(Я) обозначим подполугруппу в Gn(R), порожденную всеми матрицами, Р-эквивал ентн ыми матрицам из Р.
Глава 1 посвящена изучению автоморфизмов полугрупп неотрицательных матриц над частично упорядоченными, коммутативными кольцами с 1/2. В 1970 году в работе [20] A.B. Михалев и М.А. Шаталова описали все автоморфизмы (и антиизоморфизмы) полугруппы Gn{R) в случае, когда R является линейно упорядоченным телом и п ^ 2. В 1998 год}' в работе [21] Е.И. Бунина и A.B. Михалев описали все автоморфизмы полугруппы Gn(R), если R. — произвольное линейно упорядоченное ассоциативное кольцо с 1/2, п > 3. В главе 1 данной диссертации описываются автоморфизмы полугруппы Gn(R) в случае, когда R. является коммутативным частично упорядоченным кольцом, содержащим 1/2, п ^ 3. Основные сложности в работе возникают из-за того, что при частичном порядке не получается описать все обратимые элементы полугруппы, как в случае линейного порядка.
Основными объектами, рассматриваемыми в первой главе, являются полугруппа Gn(R) над коммутативным частично упорядоченном кольцом R.
(с обратимой двойкой), ее подгруппа Р, порожденная матрицами подстановок, диагональными матрицами и матрицами Bij = Е + и полугруппа GE+(R)> являющаяся естественным расширением полугруппы Р.
В первом параграфе приводятся основные определения и обозначения, определяются три типа автоморфизмов полугруппы Gn(R), называемые стандартными:
Центральные гомотетии. Если G — некоторая полугруппа, то гомоморфизм А(-) : G —> G называется центральным гомоморфизмом G, если A(G) С Z(G). Отображение П(-) : G —>• G такое, что VX € G
ПРО = Х(Х) • Xt
- Київ+380960830922