Оглавление
i Большие уклонения максимума 14
1.1 Задача о больших уклонениях максимума............................ 14
1.1.1 Основные результаты ........................................ 14
1.1.2 Доказательство теоремы 1.1 о точной асимптотике вероятностей больших уклонения максимума......................... 16
1.1.3 Доказательство теоремы 1.2. об асимптотике вероятностей больших уклонений максимума на величину вп + 0(у/п) ... 24
1.2 Распределения некоторых функционалов от блуждания, чей
максимум совершает большое уклонение.............................. 28
1.2.1 Основные результаты ......................:................. 28
1.2.2 Доказательство теоремы 1.3 об условном предельном распределении величин, принадлежащих левому краю блуждания, чей максимум совершает большое уклонение ... 31
1.2.3 Доказательство теоремы 1.4 об условном предельном распределении величин из правого края блуждания, чей максимум совершает большое уклонение............................. 32
1.2.4 Доказательство теоремы 1.5 об условном предельном распределении величии из центра блуждания, чей максимум совершает большое уклонение...................................... 36
1.2.5 Доказательство теоремы 1.G о предельном распределении величины Mn — Sn для случайного блуждания, чей максимум совершает большое уклонение.......................................36
1.2.6 Доказательство теоремы 1.7 о совместном предельном распределении ряда функционалов на случайном блуждании, чей максимум совершает большое уклонение ... 37
1.2.7 Доказательство теоремы 1.8 о совместном предельном распределении ряда функционалов на случайном блуждании, чей максимум совершает большое уклонение на величину Оп + О(у/п) .............................................38
1
і.з Функциональные предельные теоремы для случайною блуждания
при условии совершения его максимумом большою уклонения ... 41
1.3.1 Основные результаты ........................................ 41
1.3.2 Доказательство условной функциональной предельной теоремы 1.9 о сходимости процесса к броуновскому мосту 43
1.3.3 Доказательство условной функциональной предельной теоремы 1.10 о сходимости процесса Xк броуновскому мосту............................................................ 48
1.3.4 Доказательство теоремы 1.11 о совместном распределении траектории блуждания до и после момента достижения максимума ....................................................... 53
2 Большие уклонения статистики Шеппа 55
2.1 Задача о больших уклонениях статистики Шеппа..................... 55
2.1.1 Основные результаты ........................................ 55
2.1.2 Доказательство теоремы 2.1 об условном распределении первого большого уклонения статистики Шеппа.......................57
2.].з Доказательство теоремы 2.2 об асимтотике вероятностей
больших уклонений для статистики Шеппа...................... 70
2.1.4 Доказательство теорем 2.3, 2.4 об условных и безусловных больших уклонениях статистики Шеппа на величину вп + 0(у/п)............................................................71
2.2 Предельные распределения статистики Шеппа. и связанных с ней
величин........................................................... 72
2.2.1 Основные результаты ........................................ 72
2.2.2 Доказательства предельных теорем 2.5, 2.6. для статистики Шеппа и статистики тТ1(9)........................................ 72
2.3 Функциональные предельные теоремы для участков блуждания
при условии большого уклонения статистики Шеппа ..................74
2.3.1 Основные результаты ........................................ 74
2.3.2 Доказательство условной предельной функциональной теоремы 2.7 о сходимости процесса Х$р к броуновскому мосту 74
2.3.3 Доказательство условной предельной функциональной теоремы 2.8 о сходимости процесса Х^ к броуновскому движению......................................................... 77
2
*
3 Статистика размаха и многомерная статистика Шеппа 81
3.1 Большие уклонения статистики размаха.............................81
3.1.1 Основные результаты ........................................81
3.1.2 Доказательство теоремы 3.1 о больших уклонениях
статистики взлета......................................... 84
3.1.3 Доказательство теоремы 3.2 о совместном условном
предельном распределении ряда функционалов от
случайного блуждания при условии совершения его статистикой взлета большого уклонения...................... 86
3.1.4 Доказательство условной предельной функциональной
теоремы 3.3 о сходимости процессов
у(»)
при условии
совершения статистикой взлета большого уклонения к броуновскому мосту......................................... 89
3.1.5 Доказательство теоремы 3.4 об асимптотике больших уклонений статистики размаха.................................... 95
3.2 Большие уклонения многомерной ста'гистики Шеппа................. 96
3.2.1 Основные результаты ....................................... 96
3.2.2 Доказательство теоремы 3.5 об асимптотике больших уклонений многомерной статистики Шеппа.......................... 97
4 Литература 101
з
Введение
Основные обозначения.
Рассмотрим Xi, г < п - невырожденные независимые одинаково распределенные случайные величины (н.о.р. сл.в.) с функцией распределения (ф.р) F(x), Sn = £ Xi. Будем использовать обозначение X для величины,
i—1
распределенной также как любая из величин Х{.
Положим
R(h) = Eehx,
h+ = sup{h : R(h) < ос}, h~ = —inf{h : R(h) < oo}.
Потребуем EX = 0. Введем
m(h) = d(lnR(h))/dh:
m+ = lim mih). rn~ = 0 lim m(h), о v ' Л-+Л-+0 v '
a2(/i) = dm(h)/dh > 0.
Если X не равно 0 п.п., то функция m(h) монотонно возрастает от — тгГ до т+ на (—h~,h+): следовательно, у уравнения m(h) = в существует единственное решение при любом в Е (—т~,т+). Будем обозначать его hg. Для удобства, при положительных в положим !ц = h-e Положим
Л(0) = вкв - InR(he), А~(в) = -вкё - InR(he)
Положим Pi := P(Si < 0,.... Si < 0).
Для любого 9 € (—тГ,т+) введем сопряженную к F(x) = Р(Х < х)
функцию распределения (ф.р.)
F*(x) = R(he)-1 / e>,eydF(y).
~00
Обозначим через Xе сл.в. с ф.р. FB, Xf.Xf,... - последовательность н.о.р. сл.в. с ф.р. Рв, и положим = £ Xf. Для величин, связанных с блужданием
г=1
Sl будут использоваться такие же обозначения, что и для блуждания 5„, с добавлением верхнего индекса 0.
Будем обозначать
Мп = таx5fc, тп = min 5*,
к<п к<п
Тп = T,f := min{A: : 5* = Мп}, т™ — max{fc < n : Sk = mn},
- min 5jb, Д» = шах Sa- - mn, Tn = Mn - mn.
к<т™ k<r"»
Введем
и под величинами Мп>т, гап,т, тПіШ будем понимать величины Мп, тп, гп, примененные к блужданию к < п. Введем лестничные моменты и
высоты для блуждания £>„:
= т~ґі'їті\к > 0 : ,т.,у = Зьіу„,ті
Д'+1,7п,г; — : £&,т > 5 Д+1,т,і> — ^Ь,+і,т,»мГО>
где г? - положительный параметр, и положим Дп,т := Дп,т(г*) — Мп,т—Оп+и, 6ПуШ = Мп,т — 5п?т. В случае, когда параметры гп, у равны 0, мы будем употреблять обозначения Д. #*.
Также, для сокращения записи, мы будем употреблять запись Р(Х Є (іу), где у - вещественное число, подразумевая под этим Рх(<1у). Под равенством такого рода выражений мы будем понимать равенство соответствующих мер.
5
Основные результаты
Объектом изучения данной работы является случайное блуждание
5п = Е^,____________________________________
г=1
где Хг - н.о.р сл.в. с ф.р. F. чей максимум Мп = тах*<п S*. совершает большие уклонения Мп > On, О G (0,га'), где т+ - положительная константа.
Предположим, что величины Хг невырождены, имеют математическое ожидание равное 0 и удовлетворяют правостороннему условию Крамера:
R{h) := Eehx' = J chxdF{x) < oo,
R
для всех 0 < h < h+ < oo.
В первой главе нас будет интересовать поведение
P(maxSk > On),
/с<п
при 72 —у ос в области 0 < 0 < га+. Эта вероятность есть о(1) при п —> оо в силу принципа инвариантности Донскера-Прохорова. однако, нас будут интересовать более точные оценки.
Для этой вероятности в первой главе работы найдена точная асимптотика, для случайного блуждания, подчиненного условию Мп > On, исследовано асимптотическое распределение некоторых функционалов и получены функциональные предельные теоремы.
Стоит отметить, что условие нулевого математического ожидания может быть заменено на его неотрицательность, при этом все описанные результаты остаются в силе. В случае отрицательного среднего поведение вероятности Р{Мп > On) качественным образом меняется (см. (Korshunov, 2003)). Правостороннее условие Крамера, обеспечивающее экспоненциальную скорость убывания 1 — F(x) при х —ъ оо, является принципиальным для методов, используемых в работе.
6
Теория больших уклонений ведет отсчет от работ Бахадура и Ранга Pao (Bahadur, Rao, I960), Петрова (Петров, 1965), где были получены, соответственно, “грубая” и “точная” асимпотики
In P(Sn > вп)/п —> —Л(0), п —> оо
P(Sn > On) ~ С(0)п-1/2с~'тп, п оо,
причем функции Л(0), С(в) были найдены явно. В работе (Bahadur, Rao, 1960) описаны распределения функционалов, связанных с блужданием, при условии совершения Sn большого уклонения, в том числе распределение отдельных величин при этом условии. Удается изучить и всю траекторию в целом - в работах (Боровков, 2000), (Полещук, 1989) при разных условиях получены функциональные предельные теоремы о слабой сходимости процесса
X(n)(t) = (5[nt] + X[nM]{nt - [пф - 9nt)/{y/na(hg)), t 6 [0,1],
при условии Sn > On к процессу броуновского моста в пространстве непрерывных функций на отрезке [0,1].
Большие уклонения Мп описаны менее полно, хотя показано, что асимптотика вероятностей больших уклонений для нее получается такой же с точностью до мультипликативной константы. В работе (Боровков, Коршунов, 2000) получено явное выражение для этой константы в более общем случае, когда вместо случайного блуждания рассматривается асимптотически N-однородная марковская цепь.
Первая глава данной диссертации дополняет описанные выше работы.
В теореме 1.1 выводится асимптотика
Р(Мп > On) - D(0)e~mn/Vn, п —У оо.
Результат теоремы 1.1 близок к результатам, полученным в (Боровков, Коршунов, 2000), однако подход диссертации, заключающийся в прямом
7
- Київ+380960830922