Содержание
Введение 4
1 Минимальная модель для односвязного 4-многообразия 9
1.1 Минимальная модель односвязного 4-многообразия и со свойства.................................................... 9
1.2 Минимальная модель .................................... 12
1.3 Разложение минимальной модели Xв прямую сумму
для коформальиых X.................................... 13
1.4 Спектральная последовательность Ер,я минимальной модели X..................................................... 14
1.5 Вьцюждение Ер>ч для односвизиых 4-мноі'ообразий....... 15
2 Спектральная последовательность минимальной модели расслоения 17
2.1 Пример не совпадающих спектральных последовательностей с одинаковыми членами Е2............................. 2.1
2.2 Некоторые общие замечания о спектральных последовательностях................................................. 21
2.3 Эквивалентность для случая гладких форм................23
2.4 Эквивалентность в минимальной модели...................35
2.5 Связь с последовательностью Лере-Сорра.................54
2.6 Лемма о продолжении................................... 60
3 Связь морфизма пересечения со спектральной последовательностью расслоения. 67
3.1 Связь морфизма пересечения со спектральной последовательностью расслоения.......................................67
2
3.2 Вычисление четвертого столбца спектральной последова-
тельности расслоения X5'1 —> X для односвязных 4-м»отобрази й.............................................. 72
4 Вычисление центра иЬх 74
4.1 Базис Гребнера- Ширшова идеала J...................... 76
4.2 Вычисление центра £(£/(£)).............................78
5 Вычисление ряда Гильберта И*(ХЬ'1) 87
5.1 Отображение /? в когомологиях..........................87
5.2 Вычисление ............................................90
5.3 Вычисление 99
6 Приложение. Вычисления Нп(Х5") ДЛЯ конкретных })2 и
п. 101
3
Введение
Рассмотрим замкнутое односвязное многообразие X. Через Xs1 обозначим пространство свободных петель над X, т. е. пространство непрерывных отображений стандартной окружности S] = {&• е С, |х| = 1} в X. Это пространство можст быть представлено также в виде расслоения . где QX — пространство петель с отмеченной точкой. Работа посвящена вычислению когомологий пространстваXs1 с рациональными коэффициентами в том случае, если X — произвольное односвязное 4 -многообразие.
Свойства пространства Xs1 в настоящий момент активно изучаются. В частности, интерес вызывает изучение некоторых алгебраических структур, таких как произведение петель (loop product), структуры когомологий Хохшильда, структуры алгебры Баталина-Вилковиского. Болес подробный обзор можно найти в работах |17), [18| и (19).
Одним из направлений в изучении свойств пространства Л"5' является задача вычисления когомологий H*(XS ;Q). Результаты вычислений H*(XS*) известны для X — 5Л, для X = СРп [24|. Мы также считаем известными когомологии IIя(Xs1) для тех односвязных четырехмерных многообразий, у которых второе число Бетти 62 меньше или равно двум, так как они могут быть получены из работ (20, 24).
В нашей работе мы вычисляем H*(XS\Q) для односвязных четырехмерных многообразий, у которых второе число Бетти 62 больше двух. Сложность данной задачи, как будет видно из дальнейшего, заключается в том, что для рассматриваемого случая размерности пространств Hn(Xs ,Q) растут экспоненциально вместе с п.
По видимому, наиболее мощным аппаратом для решения данной за-
4
дачи, является метод минимальных моделей, который был разработан Салливаном |21] и применен к пространству свободных петель для общего случая в работах [21. 22, 23).
Напомним, что минимальной моделью односвязного пространстваX называется свободная градуированная коммутативная алгебра XV над О с дифференциалом с/, обладающая рядом свойств. Точное определение мы дадим 15 главе 1, а пока отметим, что минимальная модель X единственна в естественном смысле, причем ее когомологии 77'*(Л1/,в)
совпадают с 1Г(Х,0>). Напомним, что здесь V = ф Ц— градуирован-
*>о
нос векторное пространство, а XV — свободная градуиронаниая коммутативная алгебра, порожденная К, т. е. тензорное произведение кольца многочленов от образующих четной размерностей и внешней алгебры от образующих нечетной размерности.
Для рассматриваемого класса пространств X некоторые свойства минимальной модели установлены в работах [27) и [26|. В частности, вычислены размерности пространств Ц (мы приведем соответствующие результаты в главе 1), найдено описание пространства К в виде градуированной алгебры Ли, а также установлены важные свойства дифференциала минимальной модели.
Кроме того, в работах[21. 22, 23) приводится явный метод построения минимальной модели пространства расслоенияХБ' —> X но минимальной модели X.
Эти результаты позволяют построить минимальную модель пространства свободных петель над односвязным 4 -многообразием. Размерности пространств минимальной модели в каждой градуировке можно получить из результатов |27) и |28], а дифференциал задавать в каждой градуировке последовательно е помощью некоего рекуррентного правила,
5
выводимого из результатов работы [26].
Это означает, что при вычислении когомологий Н*(ХБ') как когомологий минимальной модели возникают дополнительные сложности. В частности, для односвязных 4-многообразий лишь при 62 = 0,1,2 минимальная модель Хь'1 имеет конечное число мультипликативных образующих и тогда соответствующие вычисления ГГ(ХБХ) несложно провести в явном виде. Однако уже при Ь2 > 2 число образующих минимальной модели в размерности п растет экспоненциально по п |2б|, поэтому непосредственное применение упомянутых результатов не позволяет эффективно вычислять Нп(ХБ*).
Результаты настоящей работы позволяют вычислить когомологии Н*(ХБ') для односвязных 4-многообразий в случае Ъ2 > 2 в явном виде, т.е. в виде явной формулы, зависящей от Ь2 и п.
Содержан ие диссертаци и:
В главе 1 приведены основные определения и предварительные сведения из теории минимальных моделей. С использованием известных результатов работ (27, 26, 21] описывается минимальная модель пространства свободных петель односвязного 4-многообразия.
Также в главе 1 приводится конструкция спектральной последовательности в минимальной модели пространстваХБ' по некоторой специальной фильтрации Хп. В дальнейшем мы будем называть ее спектральной последовательностью минимальной модели Исследованы свойства этой спектральной последовательности для односвязных 4 -многообразий. Получены следующие результаты:
• Приведено разложение минимальной модели расслоения видаЛ^1 X для неформальных пространств Л* в прямую сумму. (Следствие 1)
6
• Доказана теорема о том, что в спектральной последовательности минимальной модели выполнено тождество сіл = 0, в том случае если X — односвязное 4-многообразие, 62 > 2 (Теорема 7)
В главе 2 показывается, что рассматриваемая в главе 1 конструкция спектральной последовательности минимальной модели Xs1 допускает обобщение до спектральной последовательности минимальной модели произвольного расслоения Ссрра. Новым результатом является теорема 21, которая доказывает, что такая спектральная последовательность совпадает, начиная с члена £25 с классической последовательностью Лере-Серра.
В главе 3 мы исследуем связь спектральной последовательности минимальной модели Xs' с геометрией расслоения. В главе 3 показано, что для произвольного односвязного многообразия^, где dim X = гг, фильтрация F* классической спектральной последовательности Лере расслоения удовлетворяет условию Ann Fn = Ker /*, где /* — отображение пересечения со слоем. В этой же главе показано, что данный результат
р
верен для произвольных расслоений Серра 7г : Е —> X над. одпосвяз-ными многообразиями.
Этот результат позволяет при известном Im J* делать выводы о изучаемой спектральной последовательности. Результаты работы |23| позволяют вычислять Im U через центр алгебры когомологий H*(QX) относительно умножении Понтрягина. Для односвязного 4-многообразия X центр Z(H*(CIX)) можно вычислить. Вычисление Z(H*(CIX)) является самостоятельным нетривиальным результатом и вынесено в главу 4.
Два этих результата позволяют получить соотношение для четвертого столбца изучаемой спектральной последовательности = Q.
7
Глава 5 объединяет результаты глав 1-3 для вычисления Основным результатом главы 5 является формула, выражающая ряд Гильберта На(Х**") через размерности пространств минимальной модели АV многообразия X. Результаты вычислений для некоторых конкретных 62 и п приведены в приложении.
8
- Київ+380960830922