Максимальные подгруппы нечетного индекса в конечных почти простых группах

Содержание
Введение 3
Глава 1. Определения, обозначения и вспомогательные результаты 14
§ 1.1. Предварительные сведения 14
§ 1.2. Теоретико-числовые; определения, обозначения и вспомогательные результаты 20
§ 1.3. Теоретико-групповые вспомогательные результаты 20
Глава 2. Подгруппы нечетного индекса в конечных простых классических группах 29
§ 2.1. Подгруппы нечетного индекса в конечных простых линейных группах 29
§ 2.2.Подгруппы нечетного индекса в конечных простых унитарных группах 32
§ 2.3. Подгруппы нечетного индекса в конечных простых симплекти-ческих группах 36
§ 2.4.Подгруппы нечетного индекса в конечных простых ортогональных группах нечетной степени 38
§ 2.5.Подгруппы нечетного индекса в конечных простых ортогональных группах четной степени 41
Глава 3. Классификация максимальных подгрупп нечетного индекса в конечных почти простых группах 48
§ 3.1.Случай конечного простого линейного, унитарного или сим-плекти чес кого цоколя 48
§ 3.2. Случай конечного простого ортогонального цоколя 53
§ 3.3.Случай знакопеременного цоколя 57
2
Введение
В начале 1980-х годов была анонсирована классификация конечных простых групп (ККПГ), одно и:* самых впечатляющих достижений математики XX века. В соответствии с этой классификацией, конечные простые группы подразделяются на следующие серии: циклические группы простого порядка, знакопеременные группы, классически«! группы, исключительные группы лиева тина и 26 спорадических групп (см., например, [3|).
Пусть — конечная группа, р — простое число н \СР — наибольшая степень числа р, делящая |С). Фундамен тальная теорема Силона (1872 г.) утверждает, что группа С содержит подгруппу порядка, равного |(7|р, и псе такие подгруппы сопряжены в С. Такие подгруппы называются силонскими р-подгруппами группы С. В 1963 г. Фейт и Томпсон |17| доказали разрешимость конечных групп нечетного порядка, решив том самым знаменитую проблему Бернсайда. Как следствие получается, что конечная неразрешимая группа имеет четный порядок. В частности, любая конечная неабелева прости группа имеет четный порядок и, следовательно, нссдиничиую силовскую 2-подгруппу. Классификация конечных простых групп базируется на этом факте.
Подгруппа конечной группы С, порожденная всеми ее минимальными иеедн-ничными нормальными подгруппами, называется цоколем группы С и обозначается через вос(Ст). Конечная группа С называется почти простой, если со цоколь /!/ есть неаболева простая группа, т.е. /> < С < Аи1(Ь) при отождествлении /> с 1пп(Ь).
В иостклассификациопной теории конечных групп большое внимание уделяется изучению свойств (известных) конечных простых групп и групп их автоморфизмов, прежде всего подгрушювому строению н представлениям. Это связано с применениями классификации конечных простых групп, с необходимостью сс ревизии, с развитием ее связей с другими областями математики, а также с наличием многих вопросов о конечных простых группах, на которые классификация не даст ответа.
Максимальные подгруппы играют большую роль в'теории конечных групп. Одним из магистральных направлений этой теории является изучение максимальных подгрупп конечных почти простых групп (см. |5|).
К настоящему времени проблема классификации максимальных подгрупп в
конечных группах с простым спорадическим цоколем решена для всех спорадических групп, кроме Монстра, дня которого известны все локальные максимальные подгруппы и многие нелокальные максимальные подгруппы, но пока работа не завершена. Большой вклад в эту работу внес Р. Уилсон [35].
Пусть С одна из групп Лп или действующих естественно на множестве 1 = {1,...,п}, где п > 6. Доказанная с: использованием ККПГ теорема О’Нэна-Скотта |32| утверждает, что для любой подгруппы И из С, не содержащей либо Н содержится в некотором члене определенного семейства Л(С) подгрупп из С (интранзитивных, имиримитивных, аффинных, диагональных или сплетенных), либо II принадлежит множеству 5 всех почти простых подгрупп из С, действующих примитивно на /. Исправленные и модифицированные версии этой теоремы появились позже в статьях М. Апгбахора и Л. Скотга |13| и М. Лпбека, Ч. Прэ-гс]> и Я. Саксла [2б|. Последняя статья была использована се авторами [25] для следующей классификации максимальных подгрупп в £: если 11 Є -4(<7) и «5; то либо Я максимальна в Ап11> либо 11 < К < Л„Н, где (Ну К, п) принадлежит явному списку троек. Заметим, что за исключением нескольких случаев, элементы из А(С) максимальны в О.
Основной теоремой о подгруппах конечных классических групп остается теорема Ашбахсра |10|, которая является аналогом теоремы О’Нона-Скотта.
Пусть А — простая классическая группа, ассоциированная с векторным пространством V размерности п над полем порядка д, где г/ — степень простого числа р. Пусть X = РГЬ(У) — полная проективная полулинейная классическая группа, соответствующая А. Тогда Ь < X < Аи1(Ь)у причем X = АЫ(Ь)ь за исключением случаев, когда А = Я5А„(г/), Рврл(о) (<7 четно) или ТО*! ((/). В случае, когда А < С < X, М. Ашбахер |10| определил большое семейство С(С) естественных геометрически определенных подгрупп группы С\ которое было разбито им на восемь классов Д((7) (I < г < 8), называемых теперь классами Ашбахеря. Теорема Ашбахсра утверждает, что если А < С < X, то для любой подгруппы // из 6\ нс содержащей А, либо Н содержится в некотором члене семейства С (С), либо И € «5, где 5 — множество всех почти простых подгрупп К из С таких, что (проективное) представление подгруппы яос(К) на V абсолютно неприводимо и нс реализуется над собственным подполом ноля Рп. Аналог этой тооремм справедлив также и для случая, когда А < (7 < Ли1(Ь) и (7 X. Для групп £ = Р5Аге(д) или Р5р4(<7) ^ четно) этот аналог доказал сам М. Ашбахер |10|. П. Клсйдман [20| классифицировал все максимальные подгруппы в группах С с цоколем, изоморфным ТО^д). 11. Клсйдман и М. Либек |23|, используя ККГ!1\ для
■Л
каждой почти простой классической группы (7 определили: теоретико-групповое строение каждого члена семейства С(Є)\ сопряженность в С членов семейства С(С); при степени «ос((7), большей 12, максимальные элементы семейства С{С) и для немаксимальных элементов // € С{Сі) их максимальные надгруппы в С.
Изучением максимальных подгрупп в конечных простых классических группах малых степеней чан и мались многие авторы (см. обзор Л. С. Кондратьева по подгруппам конечных групп Шсвалле |5|).
Описание всех максимальных подгрупп конечных групп с простым классическим цоколем степени не выше 12 было анонсировано II. Клейдмапом (см. |23, геор. 1.2.2]), список максимальных подгрупп конечных простых классических групп степени ис выше 11 был приведен Клспдманом в его докторской диссертации (см. |19|), такой список сеть и для конечных простых классических групп степени 12, но он явно требует корікіктировки. Результаты Клейдмана так и не были полностью опубликованы и нуждаются в проверке. Сейчас группа британских ученых иод руководством Д. Холта заканчивает ревизию результатов Клейдмана. В скором времени они планируют выпустить посвященную этому вопросу книгу. Поэтому в настоящей работе мы, в основном, будем рассматривать классические группы степени не менее 13.
Для некоторых исключительных групп лиева типа, таких как 2Д>(<7), £М<у), 202(?), 3ОМ,2Ш', *4(2), Е6(2) известен полный список их максимальных подгрупп (см. |5,10, 21, 22, 24, 29, 30, 331). В общем случае исследование теоретико-групповой структуры исключительных групп лиева типа продолжается. Так, в работах А. В. Боровика [2], М. Либска и Г. Зсйца |28| доказан аналог теоремы Ашбахера для исключительных групп лиева типа.
Сотни работ посвящены результатам о конечных неразрешимых группах, связанным с их подгруппами нечетного индекса или, другими словами, подгруппами, содержащими силовскую 2-подгруппу (см., например, |4,6,8,9,15]). Такими подгруппами являются сами гиловские 2-иодгруииы, централизаторы инволюций из центра некоторой силовской 2-подгруппы и, более общо, нормализаторы нееди-иичных 2-подгрупп, но])мальных в некоторой силовской 2-подгруппе, И Т.Д. Приведенные примеры подгрупп играют основополагающую роль в классификация конечных простых групп.
М. Либском и Я. Сакслом в [27] и независимо В. Кантором в |18| был гголучен один из самых сильных результатов последних лет в теории конечных групп подстановок, а именно, было дано описание конечных примитивных групп подстановок нечетной степени. Это описание во многом сводится к изучению максимальных
5
подгрупп нечетного индекса б конечных почти простых группах. Максимальные подгруппы нечетного индекса к конечных группах с простым спорадическим цоколем известны (см. |12,10|). Для каждой конечной почти простой группы С\ цоколь которой есть знакопеременная группа или группа лиева типа, в [18,27| приведены типы тех подгрупп, которые могут являться максимальными подгруппами нечетного индекса в С. Однако в случае, когда цоколь группы С классический или знакопеременный, не каждая подгруппа указанного тина является максимальной подгруппой нечетного индекса в группе С. Так что классификация максимальных подгрупп нечетного индекса в конечных поч ти простых группах оставалась незавершенной.
Если цоколь /, конечной группы С является конечной простой классической группой, то подгруппы ЬГ\Н, соответствующие подгруппам Я, возникающим в теореме Либека-Саксла-Каптора (см. гл. 1, §1), как правило, содержатся в классах Ашбахсра Сь С>, С5 группы Ь. Подгруппы нечетного индекса в знакопеременных и симметрических группах, казн икающие в теореме Либека-Саксла-Каптора, за несколькими исключениями, ннтрапзитивны или импримитивиы.
В теореме Либека-Саксла-Каптора если характеристика поля четна п Н — максимальная подгруппа нечетного индекса в такой группе <?, то I- П Я — параболическая подгруппа в вос{С) (см. [18,27]). Параболические подгруппы конечных простых классических групп хорошо изучены в терминах групп лиева типа (см. |5|). Поэтому для классических групп мы можем рассматривать только случай нечетной характеристики ноля.
В теореме Либска-Саксла-Кантора в случае классического цоколя Ь также возможен случай, когда Ь П Я = />, но для описания всех таких подгрупп Я достаточно рассмотреть группу Ои1{Ь) , которая хорошо изучена (см., например, |14[), поэтому далее можно предполагать, что /ЛЯ < Ь.
В настоящей диссертации завершена классификация максимальных подгрупп нечетного индекса в конечных почти простых группах. Результаты работы могуч* быть использованы для дальнейших исследований теоретико-групповой структуры конечных почти простых групп. Классификация максимальных подгрупп нечетного индекса в конечных простых классических группах, полученная автором в (ЗС|, уже нашла применение при вычислении числа классов сопряженности холловых подгрупп в конечных почти простых группах |31|.
Основными методами исследования в настоящей диссертации являются методы теории групп (теория конечных групп и теория классических групп) II элементы теории чисел.
6