С одержание
Введение......................................................4
I. Задача Коши для дифференциально-операторных уравнений произвольного порядка 33
§1.1. Задача Коши для "однородного1' уравнения в обобщённых
производных Гельфоида-Леонтьева......................34
§1.2. Задача Коши для уравнения в частных производных с операторным коэффициентом......................................47
§1.3. Задача Коши для интегро-дифференциально-операторного
уравнения............................................53
§1.4. Абстрактная задача Коши с неклассическими начальными условиями.................................................58
II. Краевые задачи для дифференциально-операторных уравнений первого и второго порядка 65
§2.1. Краевые задачи для уравнения первого порядка........65
1. Краевая задача для уравнения первого порядка со смешанным оператором.......................................66
2. Третья краевая задача для уравнения первого порядка со
смешанным оператором в классе регулярных операторов................................................80
§2.2. Краевые задачи для уравнений второго порядка........85
1. Краевые задачи для неполного уравнения второго порядка...................................................85
2. Краевые задачи для полного "однородного" уравнения второго порядка........................................101
III. Задача Коши для систем дифференциально-операторных уравнений 112
§3.1. Задача Коши для системы уравнений первого порядка
со смешанными операторами.......................112
§3.2. Задача Коши для системы уравнений произвольного порядка с переменными коэффициентами...................123
Список литературы.......................................138
Актуальность темы. Работа посвящена одному из применений теории порядка и типа оператора в локально выпуклых пространствах — исследованию аналитических задач для дифференциально-операторных уравнений. Начала этой теории были заложены В.П. Громовым в работе [27] и получили дальнейшее обобщение в работах С.Н. Мишина [71]-[73]. Чуть позже порядки pi типы некоторых операторов, действующих в различных пространствах аналитических функций, были найдены С.В. Панюшкиным |78]-[80]. Основные результаты, относящиеся к общей теории порядка и типа оператора, приведены в монографии [35].
Ранее теория порядка п типа оператора была положена в основу решения ряда задач современного функционального анализа. К их числу, в частности, относятся: задача о представлении функций комплексных переменных рядами по собственным функциям линейного оператора [27]; задача о разложении векторов локально выпуклого пространства в обобщённый ряд Тейлора [28]; задача о полноте систем значений голоморфных вектор-функций [29], [89]; изучение характеристик роста целых векторнозначных функций [30], [31]; исследование подпространств локально выпуклого пространства, инвариантных относительно оператора конечных порядка и типа [90]; исследование решений операторных уравнений [31], [35] и др.
В настоящей диссертации разработаны методы исследования решений широкого круга аналитических задач для дифференциально-операторных уравнений и их систем, поставленных в произвольном локально выпуклом пространстве, опирающиеся на теорию порядка и типа оператора. Необходимость таких методов обусловлена следующими
соображениями.
Во-первых, ввиду специфики своей постановки, задачи для дифференциально-операторных уравнений традиционно исследуются методами функционального анализа. Так, на первом этапе своего становления (в банаховых пространствах) теория дифференциально-операторных уравнений оказалась неразрывно связанной с теорией полугрупп, первое применение которой к дифференциально-операторным уравнениям восходит к фундаментальным работам К. Иосиды [115] и Э. Хилле [111]. В настоящее время наряду с теорией полугрупп существуют также методы спектральной теории операторов и теория фундаментальных оператор-функций вырожденных интегро-дифференциальных операторов, в совокупности позволившие придать теории дифференциально-операторных уравнений в нормированных пространствах глубокое и всестороннее развитие.
Во-вторых, теория дифференциально-операторных уравнений в ненормированных (локально выпуклых) пространствах является значительно менее развитой. Отчасти этому способствует.’ отсутствие в таких пространствах единых (как, например, теория полугрупп) приёмов исследования уравнений или их систем достаточно сложной конструкции. Это, в свою очередь, объясняется проблематичностью, а порой и невозможностью прямого перенесения уже существующих методов с нормированных пространств на ненормированные. Известные сейчас результаты относятся, преимущественно, к уравнениям первого порядка в классе вектор-функций действительного аргумента и освещены в трудах В.М. Миллиошцикова [69], [70], К. Иосиды [116], А.Н. Годунова [24], Я.В. Радыно [85], [86], С.Г. Лобанова [62], С.А. Шкарина [108]; для
дифференциально-операторных уравнений соболевского типа — в работах В.Е. Фёдорова [98]-[101]. В комплексном же случае такие задачи стали рассматриваться лишь в последнее десятилетие.
Наиболее близкими в этом смысле являются работы В.П. Громова [31]-[34], С.Н. Мишина [74|, [75], В.П. Громова, С.Н. Мишина, С.В. Панюшкина [35]. Ими разработаны методы исследования комплексной задачи Коши в локально выпуклых пространствах для одного дифференциально-операторного уравнения, опирающиеся на понятия порядка и типа линейного оператора, а также порядка и типа фиксированного вектора относительно линейного оператора.
Однако методы исследования аналитической задачи Коши для систем дифференциально-операторных уравнений, краевых задач для дифференциально-операторных уравнений с комплексными аргументации, а также аналитической задачи Коши для некоторых разновидностей дифференциально-операторных уравнений в локально выпуклых пространствах разработаны не были, что и обусловливает актуальность настоящей работы.
Цель работы. Целыо диссертационной работы является разработка основанных на применении теории порядка и типа оператора в локально выпуклых пространствах методов исследования полученных в явном виде решений различных аналитических задач для дифференциально-операторных уравнений и их систем, включающая:
1) описание посредством операторных характеристик вектора классов элементов локально выпуклого пространства, для которых поставленные задачи однозначно разрешимы в классе аналитических вектор-нозначных функций;
— 7 —
2) выявление взаимосвязи между определяющими указанные классы элементов пространства условиями и видом области аналитичности решения рассматриваемой задачи;
3) описание посредством внутренних характеристик оператора (порядка и типа) классов операторов, для которых имеет место непрерывная зависимость решений от элементов локально выпуклого пространства.
Методы исследования. Б работе широко используются методы современного функционального анализа — теория порядка и типа линейного оператора, теория локально выпуклых пространств, теория аналитических вскторнозначпых функций, а также методы комплексного анализа.
Научная новизна. Все результаты, представленные в диссертации, являются новыми, строго доказанными, имеют теоретически и характер. В работе впервые (в том числе на основе теории порядка и типа оператора) в локально выпуклых пространствах разработаны методы исследования решений аналитической задачи Коши для систем дифференциально-операторных уравнений и аналитических краевых задач для дифференциально-операторных уравнений; получили дальнейшее обобщение и развитие методы исследования решений аналитической задачи Коши для некоторых разновидностей дифференциально-операторных уравнений.
Теоретическая значимость. Предложенные в диссертации методы позволяют исследовать решения разнообразных аналитических задач для дифференциально-операторных уравнений и их систем, изучаемых в произвольном локально выпуклом пространстве. Используемый
в работе подход является универсальным, так как может быть применим к исследованию ряда других задач функционального анализа, решения которых представляются аналитическими векторнозначными функциями, порождёнными оператором конечного порядка.
Результаты работы дополняют теорию дифференциально-операторных уравнений в локально выпуклых пространствах, теорию аналитической задачи Коши (теорию Коши-Ковалевской) в различных пространствах достаточно общей природы, а также теорию аналитических векторнозначных функций, порождённых оператором конечного порядка.
Практическая значимость. Результаты выполненного исследования могут применяться в решении как в нормированных, так и в ненормированных пространствах различных аналитических задач, поставленных для уравнений в частных производных, интегро-дифференциальных уравнений, уравнений с отклоняющимся аргументом, уравнений смешанного типа, уравнений свёртки, уравнений бесконечного порядка и др.
Апробация работы. Основные результаты диссертационного исследования докладывались и обсуждались на Международной конференции ''Современные проблемы математики, механики и их приложений" (2009 г.), посвящённой 70-летию ректора МГУ, академика В.А. Са-довничего, г. Москва; на Воронежской весенней математической школе "Современные методы теории краевых задач" (2010 г.), г. Воронеж; на Международном Российско-Болгарском симпозиуме "Уравнения смешанного типа и родственные проблемы анализа и информатики" (2010 г.), г. Нальчик; на научном семинаре лаборатории теории функций и
функционального анализа в 2007-2010 гг., г. Орёл, ОГУ (руководители — к.ф.-м.н., доцент С.В. Панюшкин, к.ф.-м.н., доцент С.Н. Мишин); иа научном семинаре кафедры нелинейного анализа и оптимизации РУДИ в 2010 г., г. Москва (руководитель — д.ф.-м.и., профессор A.B. Арутюнов); на научном семинаре по теории операторов в МГУ им. М.В. Ломоносова в 2010 г., г. Москва (руководитель —* д.ф.-м.н., профессор A.A. Шкаликов); на научном семинаре МЭИ в 2010 г., г. Москва (руководители — д.ф.-м.н., профессор Ю.А. Дубинский, д.ф.-м.н., профессор A.A. Амосов).
Публикации. Основные результаты опубликованы в работах [1]-116], второму автору работ [14], [15] принадлежат только постановки задач. Работы [3)-[5], [12], [13], [15], [16] соответствуют перечню ведущих научных журналов и изданий ВАК РФ.
Основные результаты, выносимые на защиту.
1. В рамках теории порядка и типа оператора в локально выпуклых пространствах разработаны методы исследования решений поставленных для дпффереициалыю-операториых уравнений и их систем аналитических задач. Показано, что такие решения суть аналитические век-ториозначпые функции, порождённые оператором конечного порядка, и представимые функциональными векторнозначиыми рядами, содержащими степени этого оператора.
2. В терминах характеристик фиксированного вектора относительно действующего в локально выпуклом пространстве линейного оператора определены классы элементов пространства, для которых рассмотренные задачи однозначно разрешимы, а сами решения сильно сходятся к аналитическим векхориозначным функциям.
— 10 —
3. Установлена, взаимосвязь условий, описывающих указанные классы элементов пространства, с видом области аналитичности векторнозначной функции, определяющей решение задачи.
4. В терминах порядка и типа линейного оператора выделены классы тех операторов, действующих в локально выпуклом пространстве, для которых решения задач определены на всём пространстве и непрерывно зависят от его элементов.
Структура и объём работы. Диссертация состоит из введения, трёх глав, разбитых на параграфы, и библиографического списка, содержащего 116 наименований. Объём работы составляет 153 страницы. Всего в работе рассмотрено 10 модельных задач (4 в первой главе, 4 во второй главе и 2 в третьей главе), на примере которых продемонстрировано применение теории порядка и типа оператора в локально выпуклых пространствах к изучаемой в диссертации проблеме.
Содержание работы. Во введении обоснована актуальность работы, приведён краткий обзор наиболее важных публикаций, смежных с темой исследования, и анализ основных, результатов диссертации.
Придерживаясь обозначении и терминологии монографии [35], всюду далее под Рр(х) и ар(.т) будем соответственно понимать операторный р -порядок и операторный р -тип вектора х относительно оператора /1; под р(х) и а(х) — соответственно операторный порядок и операторный тип вектора х относительно оператора А; иод /3(Л) и а (А) — соответственно порядок и тип оператора А.
Глава I посвящена задаче Коши для дифференциально-операторных уравнений произвольного порядка.
Пусть Н — произвольное счётио-полиое локально выпук-
— 11 —
лое пространство, топология которого определяется мультинормой {!М|р},р € V, и пусть А — линейный оператор с областью определения D(A) С Н. Оператор А не обязан быть непрерывным, по замкнут.
Определение 1.1. Пусть D{AU) — область определения оператора АДэо(А) = f) D(AU) — множество векторов пространства
!/>0
Я, на которые оператор А действует бесконечно много раз. Вектор х £ Яоо(А) назовём векіпоролі класса ^f'Q[ß, оо), ß Є М, если ßp(x) < ß,Vp, либо ßp(x) = ß,Vp, но тогда а(х) < оо.
Определение 1.2. Оператор А называется оператором класса ^пл),а(Л)[Д Д ^ о- > о, если он имеет, в пространстве Н порядок ß{Ä) < ß, либо ß(A) = ß, но тогда, его тип а(/1) < ct.
В §1.1 рассматривается задача Коши для "однородного" уравнения в обобщённых производных Гельфонда-Лсонтьева.
Пусть дано уравнение
т
Y^AWj-ju{z) = 0, т Є N, (0.1)
J—0
в котором Dj, к Є NU {0} — оператор обобщённого дифференцирования Гельфонда-Леонтьева [23], модифицированный В.ГІ. Громовым
оо
на случай векторнозначных функций [31]: Dju(z) = X) '^2~%n+kZni где
п=0 а"+А:
хп Є Н — коэффициенты голоморфной в круге \z\ < R,R< оо вектор-
оо
функции u{z) = xnzn, a ап — коэффициенты цел of і скалярной
п=0
оо
функции1 f(z) = anzn, ап Ф 0, Vrc. а0 = 1, имеющей нормальный
п=0
порядок роста p{f) — р и нормальный тип роста сг(/) = <т, причём lim пр у/\оп\ = (аер)р.
71—»ОО
1 Функция f(z) предполагается фиксиропанной. Её принято называть порождающей функцией оператора обобщённого дифференцирования.
Уравнение (0.1) будем называть "однородным". Однородность здесь заключается не в привычном отсутствии правой части (хотя это и имеет место), а понимаемся в том смысле, что левая часть уравнения (0.1) является однородной функцией операторов А и В/.
Отметим, что уравнения с оператором обобщённого дифференцирования рассматривались в различных направлениях. В работах А.О. Гельфонда, А.Ф. Леонтьева [23], А.Ф. Леонтьева [59], Ю.Ф. Коробейника [52], [53], Ю.Н. Фролова [104], [105], Т.И. Демченко [38], [39] изучались уравнения бесконечного порядка в различных пространствах аналитических скалярных функций; в пространствах аналитических век-торнозначяых функций исследование уравнений в обобщенных производит »хх (как конечного, так и бесконечного порядка) проводилось В.Г1. Громовым [31], [33]-[35].
Ставится
Задача Коши. Найти вектор-функцию и(г)} удовлетворяющую уравнению (0.1) и начальным условиям
•с>/м('г)1*=о = Хк' 6 Д»(-4). о < * < т - 1. (0.2)
Пусть оператор А1,1 < I < т— 1 имеет обратный оператор А~1, и пусть XI Е 1т А1,1 < I < т — 1.
Основным результатом §1.1 являются
Теорема 1.2. Уац Е К§”а[1/р, оо), 0 < к < т — 1 задача Коши (0.1)-(0.2) имеет единственное решение, являющееся голоморфной в окрестности нуля вектор-функцией и{г) со значениями в пространстве Н, представимое равенством
7П —1
и(г) = У «к«.®/).
1=0
— 13 —
где
п=0 0=0
Здесь \А\ = П (е2™/(т+1) — е2пд1^т+1)) — определитель числовой
ратной к матрице А.
При этом, если Рр{хк) < 1/л^р, 0 < к < т — 1, вектор-функция и(г) является целой.
Если же хотя бы для одного из векторов хк выполняются условия Рр(хк) = 1/р,Ур, а(.гч-) < ос, то вектор-функция. и(г) является голоморфной в круге \х\ < ((^уКм) ■
Теорема 1.3. Пусть обратные операторы А~1, 1 < I < тп — 1 определены па всём пространстве Н и пусть А — оператор класса КдгЛ),а^>[1/р, оо). Тогда решение задачи Коши (0.1)-(0.2) непрерывно зависит от 'начальных данных.
§1.2 посвящён задаче Коши для уравнения в частных производных с операторным коэффициентом.
Рассмотрим модификацию классической задачи Коши, перенося её постановку на случай вектор-функции двух независимых переменных. Следуя работе Ю.Ф. Коробейника [51], будем задавать начальные усло-
1<<7<л<пг
матрицы
Ь Ь2 №
А = Ь2 Ьл б6
1
Ьт
Ь2т
- Київ+380960830922