Факторизация R-матрицы, Q-оператор и разделение переменных

Содержание
1 Введение 4
1.1 11-матрица и уравнение Янга-Бакстера..................................... 4
1.2 Алгебраический анзатц Бете и уравнение Бакстера.......................... 5
1.3 Локальный гамильтониан...................................................... Ю
1А (^-оператор................................................................ 11
1.4.1 Общая 11-матрица..................................................... 12
1.4.2 Уравнения Бакстера................................................... 13
1.4.3 Формула для действия на полиномы..................................... 14
2 Решение уравнения 51нга-Бакстера в случае группы симметрии БЬ(2,С). 19
2.1 Группа БЬр, С) ............................................................ 20
2.1.1 Представления комплексной группы БЬ(2, С) ............................20
2.1.2 Неприводимые представления группы 8Ь(2, С) ........................• 21
2.1.3 Сплетающие операторы................................................. 23
2.1.4 Генераторы алгебр Ли gl(2,C) и з1(2,С) 27
2.2 8Ц2, С)-инвариантная Б-матрица 29 •
2.2.1 Уравнение Янга-Бакстера ..............................................29
2.2.2 Группа перестановок и соотношения для операторов БДи) ...............’34
2.2.3 Операторы Б.1 и Яг................................................... 38
2.3 Модули Верма и Еюпечно-мерпые представления 8Ь(2,С).........................42
2.3.1 Модули Верма......................................................... 44
2.3.2 Конечно-мерные представления....................................... 50
3 Решение уравнения Янга-Бакстера в случае группы симметрии БЦщС) 55
3.1 Группа БЦп, С) ............................................................ 55
3.1.1 Неприводимые представления группы БЦп, С)............................ 57
3.1.2 Генераторы алгебры Ли gl(n> С) и генераторы правых сдвигов............59
3.1.3 Сплетающие операторы................................................. 02
3.2 БЦп, С)-инвариантпая Б-матрица............................................. 05
3.2.1 Операторы §* 06
3.2.2 Операгары Б*......................................................... 70
3.3 Модули Верма и конечно-мерные представления ЭЦтг, С)........................75
3.3.1 Модули Верма........................................................ 75
3.3.2 Действие оператора Б* на производящую функцию ....................... 78
4 Трансфер матрицы и О-операторы в случае группы 8Ь(2, С) 83
4.1 Локальные объекты: Ь-операторы и Б-операторы.............................. 83
4.1.1 Матрицы Ь(ц) и Ь(й).................................................. 83
4.1.2 8Ц2, С)-инвариантная Б-матрица....................................... 84
4.1.3 Операторы Б) и Б.2.................................................... 34
4.2 Глобальные объекты: трансфер-матрицы и (^-операторы......................... 86
4.2.1 Факторизация трансфер-матрицы......................................... 88
4.2.2 Уравнения Бакстера.................................................... 93
4.3 Разделение переменных....................................................... 94
4.3.1 Собственные функции оператора В(и).................................... 96
2
4.3.2 Действие операторов А(?г) и П(и) на собственные функции и(г,х) ... 97
4.4 Модули Верма.............................................................. 98
4.4.1 Локальные объекты: квантовый Ь-оператор и общий 11-оператор .... 98
4.4.2 Глобальные объекты: трансфер матрицы и (^-операторы.................191
4.4.3 Уравнение Бакстера и детерминантов представление......................ЮЗ
4.4.4 Примеры ограничений 11-оператора на конечномерные подпространства 195
4.4.5 Явные формулы для действия на полиномы ..............................197
5 Трансфер матрицы и (^-операторы в случае группы 8Ь(п,С) Ш
5.1 Локальные объекты: Ь-операторы и II-операторы..................................Ш
5.2 Глобальные объекты: трансфер матрицы и (^-операторы..........................119
5.2.1 Элементарные трансфер матрицы.........................................119
5.2.2 Факторизация общей трансфер матрицы ..................................ИЗ
5.2.3 Уравнение Бакстера ..................................................123
5.3 Модули Берма.................................................................129
5.3.1 в1(п)-модули ........................................................139
5.3.2 Трансфер матрицы.....................................................132
5.3.3 Трансфер матрицы высших уровней......................................134
5.3.4 Резольвента Бернштейна-Гельфанда-Гельфанда...........................136
5.3.5 Уравнения Бакстера и анзатц Бете.....................................138
6 Заключение 142
7 Благодарности 147
3
1 Введение
Современным подходом к теории квантовых интегрируемых систем является квантовый метод обратной задачи [1-6], разработанный в лаборатории математических проблем физики ПОМИ под руководством Л.Д.Фаддеева. Метод был сформулирован в работе Л.Д.Фаддеева, Е.К.Склянина и Л.А.Тахтаджяна и получил дальнейшее развитие в работах Л.Д.Фаддеева, П.П.Кулиша, II Ю.Решетихина. Е.К.Склянина, М.А.Семенова-Тян-Шанского, Ф.А.Смирнова, Л.А.Тахтаджяна, В.О.Тарасова и других участников Санкт-Петербургской школы математической физики. Квантовый метод обратной задачи связывает с каждым решением уравнения Янга-Бакстера [7—11] интегрируемую модель и обеспечивает метод построения собственных состояний гамильтониана модели при помощи алгебраического анзатца Бете [1,2,6]. Спектр гамильтониана находится из решения системы уравнений Бете. Проиллюстрируем основные шаги на примере интегрируемой модели, которая называется XXX спиновой цепочкой.
1.1 11-матрица и уравнение Янга-Бакстера
Без особого преувеличения можно сказать, что основным объектом является оператор К(и), а основным уравнением - уравнение Янга-Бакстера [2,7-12]. Для оператора Е(и) исторически сложилось название II-матрица. &(и) - з1(2)-инвариаитное решение уравнения Янга-Бакстера:
М12(и) Е13(и-Ь у) Е23(у) = Е23(г»)К13(г/+ ц)К12(^). (1.1)
Оператор Ку(а) зависит от комплексного параметра и, называемого спектральным параметром, и является функцией двух наборов операторов 5, и5;- генераторов алгебры Ли 51(2), действующих в векторных пространствах V, и V,. 51(2)-инвариантность означает, что оператор Ну (и) коммутирует с суммой генераторов 5, +
(Д + Д) • к,» = а„(и) ■ (Д + Д) .
Выбирая различные представления в пространствах V, и V,, получаем следующие К-матрицы в порядке возрастания сложности.
• В самом простом случае двумерных представлений спина £ = ~ в пространствах V, и V, генераторы 5 выражаются через матрицы Паули:
В этом случае Б-матрица даётся выражением
ВЦ, (и) = и + і 4- ^а, 0 <7, = и + !Р,,
и с точностью до аддитивной добавки спектрального параметра совпадает с оператором перестановки Р,, : Р,, х <8> у — у 0 х , где х Є К и у € У0. Оператор перестановки можно "материализовать" в виде квадратной четырехмерной матрицы. Для
4
этого зафиксируем стандартным образом базис в тензорном произведении двумерных пространств VI ®У2:
Явное выражение для оператора Р а этом базисе имеет следующий вид
Р=Л(<г®е?+1) = і(
(1 0 0 0
/ 1 + <73 (Ті - 2(72 \ 0 0 1 0
у егі + га<2 Л - (т-з ) 0 1 0 0
0 0 1/
(1.2)
• Двумерное представление спина £ = \ в пространстве и произвольное, возможно бесконечномерное представление спина £ Е € в пространстве Уг:
К» (и) — и + - + 5» <8> В.
Эта 11-матрица с точностью до сдвига спектрального параметра совпадает с так называемым квантовым Ь-оператором
Ь„(и) = И, Г« - 0 = и + 5. ® 3 = ( “ +/■ а) > (!-3)
который используется для построения матрицы монодромии. В Ь-операторе внутри матрицы стоят понижающий 5“ и повышающий генераторы алгебры 51(2), которые связаны с генераторами Я стандартными формулами: Я± = ±г62 ; 5' = 5з-
• Произвольные эквивалентные представления спина £ 6 С з пространствах V, и В этом случае Я-матрица определяется следующей компактной формулой [3,0,7]:
в.» - Ру • > Л» ■ (Л» -1) - С!» <ы)
где - оператор перестановки, а Соператор Казимира: С ~ §§ — 5 (Я -1) + 5+ 5" в пространстве V, ® У;, то есть Я — Яг -г §3. Данная Я-матрица используется для построения локального гамильтониана модели.
1.2 Алгебраический анзатц Бете и уравнение Бакстера
Матрица монодромии Т(м) строи-гся при помощи квантовых Ь-операторов
Т(и) =и{и + с{]Ъ2{и + с2)...Ьп(п + Сп) = ^ ^ . (1.5)
Все Ь-операторы в этом выражении перемножаются как обычные двумерные матрицы и как матрицы действуют в общем вспомогательном двумерном пространстве. Матричные элементы оператора Ь*(и + с*) - генераторы алгебры Ли $1(2), действующие в пространстве У*,
5
на котором реализовано представление спина Пространство V* называется локальным квантовым пространством в к-ом узле, а тензорное произведение всех локальных квантовых пространств V = Vi0V2®- • »0Vn - глобальным квантовым пространством. Матричные элементы матрицы монодромии Т(и) - операторы Л (и), В(и), С(и), D(u) - действуют во всём глобальном квантовом пространстве V.
Рассмотрим уравнение Яига-Бакстера
i£l2(tt)Ri3(u + ^)Кгз(^) = R23(v)Ri3(u + u) Ri2(u) •
в случае следующего выбора пространств представлений: в пространствах Vi и V2 реализованы представления спина t — 5, то есть Vj ~ V2 С2, а пространство V3 совпадает с локальным пространством где действуют генераторы представления произвольного спина 4 € С. Подставляя явные выражения для всех участвующих в игре R-матриц, получаем локальное соотношение для Б-операторов • "
{и г V +’ Виг) (и-+ <7i 0 S^ji (г; + <т2 0 Sk) — (v -f а2 0 Sk) (н'+ <7\ 0 Sk) {и — v+. ЗР12) > /
из которого стандартным образом выводится глобальное соотношение для матриц монодромии Ti(li) И Г2(и) •. t ' : ' ; У . ’ " •
^i(u) = (u + ^i0 S\) ••• • (u + <7i 0 Sn) ; T2(?;) = (w -b cf2 0 §1 j • • • (-u + a2 0 Sn) ,
(^-v + lP12)T1(u)T2(ü) = T2(t;)T1(w) (u-t/H-Pw) • '• (l-6)
Оператор Ti(w) действует как нетривиальная.двумерная матрица в первом пространстве Vj ~ С2, то есть там, где действуют все д\. Матричные элементы этой матрицы - операторы Л(м), В(и),С(и), D(u) в глобальном квантовом пространстве. В пространстве V2 — С2 оператор Ti(u) действует как единичная матрица. Со вторым оператором Т2(н) всё аналогично: как нетривиальная матрица он действует во втором пространстве V2, то есть там, где действуют все G 2- Матричные элементы Л (и), В (v), C(v), D(v) - операторы в том же глобальном квантовом пространстве; •
Соотношение (1.6) удобно "материализовать" и виде обычного матричного соотношения для четырехмерных матриц, используя введенный стандартный базис в тензорном произведении двумерных пространств Vj 0 V2. Матрицы операторов Тi(и) и Т2(г’) в рассматриваемом базисе имеют следующий вид: ; •
/ A{u) Щи) 0 . o • ^ ^ Л(и) 0 BM 0 ' \
• cm D(u) 0 0 ; ВД = ' 0 Л( V) 0 b'm
0 0 A{u) B(u) , GM 0 • DM 0
0- 0 C{u) D{u) ) ' К 0 CM . .0 DM:
Подставив эти матрицы и-явное выражение (1.2) для оператора перестановки Р[2 в (1.6), . получим матричное соотношение, равносильное системе из шестнадцати квадратичных со-. отношений для операторов- А(и)}В(и);С(и), D(u) и Л(и), B(v),C(v), D(v)\ действующих в глобальном квантовом пространстве. .
Из соотношения (1.6) сразу следует, что следы матриц монодромии коммутируют
[Л(и) + D(u)} • [Л(ц) + D(v)] = [A(v) + D(v)] • \А{и) + D(u)] .
G
Кроме того, выпишем в явном виде соотношения (41), (21) и (42)
С(и) • C(v) = C(v) ■ С (и)
Ми) ■ C(v) = ^±1 C(v) • А(и) - ^ С(и) • A(v) (1.7)
D(u) ■ C(v) = u~v~l C(v) • D{u) + —C(u) - D(v)
u — v U — V
которые используются в схеме Алгебраического анзатда Бете.
Трансфер-матрица t(n) строится как след матрицы монодромии по двумерному вспомогательному пространству:
t(u) = IV Т(а) = А(и) + П(и) (1.8)
Как уже было отмечено, из уравнения Янга-Бакстера следует коммутативность трансфер-матриц. Таким образом, трансфер-матрица t(w) оказывается производящей функцией для семейства п - 1 коммутирующих операторов tfc: t(u) - полином степени п по спектральному параметру, в котором фиксированы коэффициенты при ип и при и"“1, а остальные коэффициенты - коммутирующие операторы t*:
t(u) • t(v) = t(v) • t(w) ; t(u) = 2 un +12un~2 + t3un"3 4-f- t„. (1.9)
Условие $1(2)-инвариантности для L-оператора в явном виде выглядит следующим образом
(§* + Д) L.(«) = L,(u) (^ + Д) •
Это локальное условие для строительного блока сразу приводит к аналогичному соотношению для матрицы монодромии
(I? + Д) Т(и) = T(u) + д) . (1.10)
где S = S\ + S2 + • • • + оп - генераторы глобальной алгебры st2. Если подробно расшифровать соотношение (1.10), получим систему коммутационных соотношений операторов А(и), В (и), C(u), D(u) с генераторами глобальной алгебры sC2
[5,Ж«)] = 0 ; [S,S(u)] = -B(u) ; [S, С(«)] = C(u) ; [S, £>(«)] = 0 (1.11)
(S-, Л(«)] = ; [S-,B(u)] = 0 ; [S“,C(«)] = D(u) - Л(и) ; [S',!?(«)] = -В{и)
(5+,Л(«)] = -С(и) ; [S+, B(tt)J = А(и) - D{u) ; [S+, С(и)] = 0 ; [5+, D(u)\ = С{и)
Из этих соотношений следует, что трансфер-матрица ^-инвариантна
[£<(«)) = 1Д л(«)] + [Д, £>(«)] = о.
В итоге у нас возникает набор из п коммутирующих операторов: п — 1 операторов ср., к которым можно добавить один из операторов S+, S~, S. В качестве этого дополнительного оператора выберем 5.
7
Алгебраический анзатц Бете позволяет свести проблему совместной диагонализации коммутирующих операторов и 5 к решению системы алгебраических уравнений [1,2]. Этот метод применим при условии, что в глобальном квантовом пространстве существует вектор [0), являющийся собственным вектором для операторов А(и) и О {и) и уничтожаемый оператором В (и):
В(гі)Ю) = 0 ; Л(и)|0) = Д+(и)|0> ; О(«)|0> = Д-(«і)|0) ,
где Д±(н) - полипом!,і степени п по спектральному параметру. Собственные векторы трансфер-матрицы строятся следующим образом:
к
= СЫ---СЫ10) = Пс(^)1°)-
3=1
Используя коммутационные соотношения (1.7) можно показать, что вектор |их, ...,и*) Действительно будет собственным вектором трансфер-матрицы ь(и) с собственным значением:
г(ц) - д+(ц) п -(V--А1-+А-(ц) П {иГУ’ ^ (1Л2)
У (и-«,) (и-",)
при условии, что параметры г\- удовлетворяют системе уравнений:
к к
П(«» - Щ + 1)А+(г^) 4- -V]- 1)А_(г»,) = 0 , (ЫЗ)
.7=1 ^=1
которые называются уравнениями Бете. Заметим, что вся информация кодируется легко запоминающимся способом при помощи функции (}(и)
Я(у) = П(и-«,). С1*14)
з=і
Собственное число трансфер-матрицы, записанное при помощи <2(и), выглядит следующим образом
, . \ \ Жи + 1) л / \ Жи — !)
т(“)=А+(а)-Ьг+Д-(“) ОЙН-
Уравнения Бете имеют простой смысл: т(и) является полиномом, а каждое из слагаемых в правой части равенства имеет полюс при и = г>,-, поэтому вычеты во всех полюсах должны сокращаться, что и даёт
Д+(г/,)<3(И{ + 1) + Д_(ці)<2(^г - 1) =0 ; г = 1,2 * • - А;
Для векторов справедливы соотношения
= (50 4- к) ; 5“|«ь ...,ук) = 0 ,
где - 5о собственное значение оператора 6’ на векторе |0). Действительно, из уравнения Л(и)|0) = Д+(г*)|0) и явного представления для оператора А(и) = ип 4- ип~л Б 4 сразу
следует, что |0) - собственный вектор оператора 5 : 5|0) = 5о|0>. Собсггвепное число «90 определяется коэффициентом при и’1*"1 в полиноме Д+(и). Коммутационные соотношения (1.10) показывают, что каждый оператор С (уувеличивает собственное число оператора 5 на единицу, так что 5|г»і, = (50 + к) |г>ь и*).
Кроме того, из уравнении £(и)|0) = 0 и явного представления для оператора В{и) = ип~1 5” -і следует, что |0) - вектор младшего веса: *9~|0) = 0. При помощи коммутационных соотношений (1.10) и (1.7) можно показать, что при условии выполнения уравнений Бете вектор |гл,...,гд.) тоже оказывается вектором младшего веса: *9“|г»і, ...,ук) — 0.
Вследствие БІ(2)-штариантіюсти, подпространство собственных векторов оператора с(и) с собственным значением г (и) является б1(2) - модулем, порождённым вектором младшего веса |«і, т.е. векторным пространством, базис в котором порождён векторами
Й№і, Таким образом, вся необходимая информация заключена в векторах младшего
веса, рецепт построения которых и даётся Алгебраическим анзатцем Беле.
Обычно в каждом локальном квантовом пространстве Ук существует вектор младшего веса |0)д;, который уничтожается оператором »9^7 : За* |0)а = 0 и является собственным вектором для оператора $к : $ь|0)* = -4|0)а- В этой ситуации всё становится конкретнее: глобальный вектор |0) строится из локальных векторов |0)а:
|0> — |0>ж <8» |0>1 в». - -10>„ ; Й|0}* = 0 ; 5*|0>к = -4|0>а , так что 50 — — (^1 Н Н £п), а из соотношения
и(и+союь=(и+сгЄк м+с°+4)і°>*
получаем явные формулы для функций Д±(д) : Д±(и) = Па=і(^ + °к Т £к)>
Сделаем одно замечание. Б квантовой механике обычно используются конечно-мерные представления алгебры Ли э1(2) и принято стартовать с вектора старшего веса, который уничтожается оператором «9+. Поэтому стандартные формулы Бете-анзатца отличаются от только что рассмотренных заменой В (и) С (и).
Специально оговорим, что мы не будем следовать этой традиции и стартуем с вектора младшего веса. Это связано с тем, что мы используем удобную реализацию генераторов алгебры Ли в1(2) как дифференциальных операторов первого порядка:
£ = гд - Є ; ЯГ = -д ; 5+ = х2д - 2Єх . (1.15)
В этой картине всё становится особенно наглядным: э1(2) - модулем Верма, порождённым вектором младшего веса |0) = 1 является пространство полиномов С(г]. Конечно-мерные представлення размерности 2£+1 с базисом 1,2, г2, • • • , гп возникают естественным образом при полу целых значениях спина £ = Локальное квантовое пространство в к-ом узле V* совпадает с пространством €\гк] полиномов от переменной гк. Глобальное квантовое пространство совпадает с пространством полиномов от п переменных С[гі} • • • ,2П], а коммутирующие операторы а - дифференциаьные операторы, действующие на этом пространстве полиномов. Собственный вектор оператора .9 с собственным числом 5о + к - однородный полином степени однородности к : Ф(Азгі, * - * ,Хгп) — Л* Ф^, • • • , 2П), а векторы младшего веса - трансляционно-инвариантные полиномы: + а, • • • , гп + а) = Ф(гі, • • • , гп).
9
1.3 Локальный гамильтониан
До сих пор рассматривалась самая общая модель - неоднородная XXX - спиновая цепочка. Теперь перейдём к рассмотрению однородной спиновой цепочки, т.е. выберем одинаковыми сдвиги спектральных параметров и одинаковые параметры спина в каждом узле: с* = 0 и 4 = I. Рассмотрим уравнение Янга-Бакстера (4.1) в случае следующего выбора пространств представлений: пространства V! и ¥2 совпадают с локальными пространствами V* ~ С[гк) и У*;+1 ~ С[2Л+1), где реализованы представления спина С е С, а в-пространстве ¥3 реализовано представление спина 1, то есть ¥3 С2. Подставляя явные выражения для всех
участвующих в игре Я-матриц, получаем локальное соотношение следующего вида
\{и -у) (и + сг® Зк') (у + а® + а 0 £*+1) (и 4- <т ® §^ Им+1(и - у) .
Возьмём производную по спектральному параметру и и потом положим у = и
®чыь+1(0) + &) (и 4- а® §к+1^ + Клл+ДО) (и 4- а ® £*+1) =
= (и + д® §к-п) ^+1(0)4- (и-\-а ® Зк+1^ (и + с㮧к) К**+1(0) или, в более компактном виде,
^*+1(ге) 4- &**+1(0) Ьл+Дгг) = 1д.+1(«) &и-+1(0) 4- Ь^.+1(д) Ь*(и) ^^+1(0) .
Из явного вида 11-матрицы (1.4) получаем
®^#сЛе+1 (0) = ^М+1 ^ = ^кк+1 ’ 'Ф(Лкк-ц) >
где функция тр(х) - логарифмическая производная гамма-функции Эйлера Г(ж). В итоге приходим к следующему коммутационному соотношению [5)
№(Л*+1), Ыи) Ь*+,(||)] = ьк(и) - Ьш(и) . (1.16)
Из соотношения (1.16) сразу следует, что оператор II = ^(«Аг) 4- з) 4- • • • 4- ^(Лн) » действующий в глобальном квантовом пространств, коммутирует с трансфер матрицей Ь(и). При этом подразумеваются периодические граничные условия к + п = к, т.е. Лт-н = «Ли* Удобно работать с гамильтонианом, отличающемся от только что выписанного сдвигом на константу:
п
н = £ Н**+, ; Н**+1 = ^(Л*+1) - ф(-2() . (1.17)
Л:=1
где сдвиг выбран таким образом, что-бы состоянию |0) отвечало нулевое собственное число парного гамильтониана Шкк+1 • Н**н-1|0) = 0. Рассматриваемый оператор обладает свойством локальности: каждое слагаемое в сумме относится только к двум ближайшим соседям, поэтому все определяется "взаимодействием" ближайших соседей.
В представлении (1.15) парный оператор Нвд+1 является интегральным оператором [74], действующим только на переменные гк и гк+\’
г л1 а~2£~1 _ 1
ШкшЪ(гк1) = “2 у —а— + аХк+«»%!) + фI агк+а^+1)-2Ф(гк, гк+1)j ,
10
где а = 1 — а. Можно показать [3], что собственные числа гамильтониана
Н|я1, ...,»*■) =
имеют следующий вид
О'Ы) <7(0
н<*........
«(-О ом
Из-за свойства цикличности следа в самой конструкции трансфер-матрицы заложен оператор, коммутирующий с Ь(и) - оператор циклического сдвига Р:
Р : VI ® У2 <8> У3 0 • •.V,* -> ¥п <8> ® \\ 0 0 • • • V«»! . (1.18)
собственные значения оператора Р: Р|иьЬк) — Р(«ь *••» Ц*)|я1, —, ^к) имеют вид
- ТТ ^
п/ \ ТТ 3 ^\у)
(?(-«)•
В качестве примера операторов, спектр которых интересен с течки зрения физики, мы рассмотрели оператор энергии и оператор циклического сдвига, сязанный с импульсом.
Таким образом, в рамках Алгебраического анзатца Бете строится полная система собственных векторов |г/і,Ук) для всех взаимно-коммутирующих операторов. Собственные векторы параметризуются числами щ, получаемыми из решения системы уравнений
Бете. Собственные числа трансфер-матрицы, локального гамильтониана и оператора циклического сдвига, связанного с оператором импульса, выражаются явным образом через параметры щ
1.4 р-оператор
Как было отмечено, вся информация о собственном векторе |г»ь содержится в полино-
ме як{и) = (и — VI) • • • (н — Ук) и собственные числа рассмотренных операторов выражаются в терминах функции Бакстер предложил интерпретировать полином С?л(и) как соб-
ственное число оператора, за которым прочно закрепилось название (^-оператора Бакстера или просто (^-оператора
<3(и) = С}к{и) |иь»->Щ) •
По определению, Q-oпepaтop должен обладать следующими свойствами (11,22)
• это новое семейство коммутирующих операторов, коммутирующее также с трансфер матрицей
[0,Ы,С1{у)] = 0 ; [<3(и),ф;)] = О
• С}(и) удовлетворяет операторному соотношению - уравнению Бакстера
%(и) • сі(и) = д+(и)<з(м +1) + д.мд(« -1) • (1 • 19)
и
Перечисленных свойств достаточно для воспроизведения основных формул с участием полинома Q(u), полученных в рамках алгебраического анзатца Бете (11). При условии, что удастся независимым образом сконструировать Q-оператор, получаем другой способ решения модели. Весь вопрос в том, как построить этот оператор и при каких условиях это возможно.
В качестве примера мы предъявим конструкцию Q-оператора в рассматриваемом случае. Способ построения Q-оператора будет самым прагматичным и приводящим к цели кратчайшим путем: взяв необходимые детали конструктора, мы просто соединим их нужным образом. Таким образом, наша ближайшая цель - показать, как все работает, а восстановлению необходимых деталей и различным обобщениям будут посвящены следующие главы.
1.4.1 Общая R-матрица
'В представлении (1.15) L-опсратор может быть представлен в виде произведения треугольных матриц
' 4*>-(“s+*s!)(’"5_1 ,"+<)(-» ?)■ <1!°)
Прямым’следствием уравнения Янга^Бакстера (4.1) является определяющее соотношение для общей R-матрицы
Rwfai, «2(1/1,02) Li(wi,u2) Ь2(г»1,г»2) = v2) L2(ui,w2) ^12(^1, ^2(^1, v2), (1-21)
в котором использована следующая параметризация
щ — и — — 1, и2 = и +1\\ Vi = v — £2 — 1, v2 = v + t2. (1.22)
Внутри матрицы L* - дифференциальные операторы по переменной zk: а сама R-матрица
действует в пространстве полиномов, зависящих от переменных Z\ и z2.
В дальнейшем будет показано, что R-матрица распадается в произведение двух операторов, которые и оказываются строительными блоками для Q-онераторов
R(wi,w2|vi,U2) = RViK^RVbUsI^), (1.23)
Сами строительные блоки определяются перестановочными соотношениями
R}2Li(«i* «2)1-2(01 »02) = Li (vi, h2)L2(щ , v2) Rj2 (1.24)
R2i2U(ui,U2)L2(vuv2) = \,i{uuv2)h2{vuu2)K\2 (1-25)
и в случае обшего положения:£\,£2 € С имеют следующий вид
т) 1 / | ч Г(^21^2 + Щ — V2 + 1)
12 , = + vi~—г)г~+ 1)
т>2 / in rfe2^i + Щ - ?;2 + 1) , v
RA'«aW°r(-^i+tli-tti + 1) (1-26)
За неимением лучшего, мы используем довольно неуклюжие обозначения: верхние индексы
1,2 различают наши операторы, а нижние, как обычно, показывают в каких пространствах они действуют.
12
1.4.2 Уравнения Бакстера
В левой части уравнения Бакстера (1.19) стоит произведение трансфер матрицы Ь(и) и (^-оператора. Трансфер матрица строится из Ь-операторов и мы собираемся построить <3 оператор, используя в качестве строительных блоков операторы II2. Общий принцип состоит в том, что соотношения между глобальными операторами - трансфер матрицами и (^-операторами. определяются локальными соотношениями между строительными блоками, из которых они строятся. Поэтому нам нужны локальные соотношения между операторами II2 и Ь-операторами. Определяющее уравнение для оператора II2 (4.66) как раз и является нужным соотношением. Используя формулу (4.61) для матриц Ьі (111,1*2) и Ь2(«і,и2) и кОМ" мутативность Я2— г2К2, перепишем определяющее соотношение (4.66), перегруппировав матрицы следующим образом
;)(** -*)*?,<«-*>
В этой формуле в обозначении для оператора И2 явным образом показано, что зависимость
7 ( 1 0
от параметра у2 сводится к простому сдвигу спектральної-о параметра и Ък = I ^ 1 I . Вычислив произведение матриц в правой части рассматриваемого соотношения, получаем
Я?1 В?2(и ~ у2) Іп(і*і,і*2) Т,2 ~
_ ( Я?2(и + 1" и2) + У2К2п{и - у2) — К^2*(гс - щ)д\ \
’ \ -у2 212 Щ2(и ” (и\ ~ ъ2)(и2 - у2)Щ2(и -1-у2) + у2К12(^ - у2) ) '
Важное свойство полученной матрицы состоит в том, что при у2 = О она становится верхне-треугольной. Положим у2 = 0 и выпишем ключевое соотношение, изменив интерпретацию пространств: первое пространство теперь будет локальным квантовым пространством в узле к, а второе - в узле (к + 1)
Ккк+МЫиъи2) ЪМ- ^ 0 ) •
Именно это локальное соотношсчше приводит к уравнению Бакстера - соотношению между глобальными объектами. Переходим к глобальным объектам: добавив один дополнительный узел 20, вычисляем произведение но всем узлам:
2Т1 • Л22(н)Л223(и) • • • К2т(и) • и(п)Ь2(и) • • • Ъ„(и) • Ъ0 =
. ( ВЇ2(іі + 1) -КШдх \"ґ К%0(и + 1) -К1о(«)Л ^
V 0 иі ІІ2 К\2(и - 1) ) \ 0 г*11*2 Щ/ОІЦ ~ 1) ) '
Все устроено таким образом, что матрицы Ък и 1 {к = 2,3,..., ЛГ) сокращаются в произведении ближайших соседей. Теперь вычисляем матричный след, используя перестановочность всех Л2 и Ьк с г0 для того, что бы перенести матрицу Zo в крайне левое положение, пользуясь цикличностью следа, и па самом последнем шаге устремляя г0 -> г\. Таким образом, путь от локального соотношения к глобальному оказывается довольно коротким и прямым. В итоге получается уравнение Бакстера
і(гі)СЬ(и) = С12(и +1) + (1*11*2)* • 0,2(и ~ 1) (I-27)
13