ВВЕДЕНИЕ
Актуальность темы. Рассмотрим обобщенный гипергеомет-рический ряд
где а(а:) = (ж+аі)... (ж+огг), Ь(х) = (х+Р\) •. • (х+рт)> а(а?)6(а?) ф О
при х — 1,2,3,----- Если г < т, то Р(г) — целая функция; при
г = тп степенной ряд (1) имеет конечный радиус сходимости. Функции, определяемые равенством (1), будем называть (обобщенными) гипергеометрическими функциями, а числа <*і,..., аг, Л,..., Ап — параметрами этих функций. В работах многих авторов изучаются вопросы линейной независимости значений функций вида (1) и их производных над различными полями алгебраических чисел (чаще всего над мнимым квадратичным полем), а также методы получения оценок снизу абсолютных величин однородных и неоднородных линейных форм от указанных значений. Рассмотрим постановку соответствующих задач в простейшей ситуации.
Пусть I — некоторое мнимое квадратичное поле или поле рациональных чисел; а(х) и Ь(х) — многочлены из кольца Я[т]; ш Ф 0 — число из поля II. Требуется доказать линейную независимость над П чисел
а также выяснить вопрос о возможной малости модуля линейной
с коэффициентами из кольца целых чисел Ъ* поля П в зависимости от величины Н = шах(|/г1|,..., |/^п|).
Первым шагом на пути к решению поставленных задач является построение линейной приближающей формы, имеющей высо-
(1)
(2)
формы
тп
1=1
2
з
кий порядок нуля при г = 0. В рассматриваемом случае это означает, что требуется подобрать многочлены Ро(г), Р\(г)>..., Рт{г) степеней не выше п так, чтобы функциональная форма
и была бы отлична от тождественного нуля. Дополнительно требуется, чтобы коэффициенты многочленов удовлетворяли некоторым ограничениям. Выбор величины е(п) определяется возможностями метода, применяемого при построении функциональной формы Я(г). При рациональных параметрах а\,..., аг, Д,..., /Зт такая форма может быть построена с помощью принципа Дирихле. Последующие рассуждения ведутся по схеме, предложенной К.Зигелем в [1]. В дальнейшем метод Зигеля был существенно усилен в работах А.Б.Шидловского; изложение этого метода можно найти в книгах [2, 3]. Обычно с помощью метода Зигеля доказывают алгебраическую независимость значений функций вида (1) и их производных и получают оценки мер алгебраической независимости соответствующих чисел. Приведем здесь следствие одной из теорем А.Б.Шидловского из работы [4]; см. также [3, с. 414, теорема 2].
Теорема I. Пусть функции
линейно независимы над полем 1(г), параметры
,/?ш рациональны, и пусть ш — ненулевое число из поля I. Тогда для любого нетривиального набора /?-о, /^, з = —
целых чисел из указанного поля — выполняется неравенство
т
(з)
имела при г = 0 порядок нуля не меньше, чем
■тп — є(п),
(4)
4
где
И = шах(3, \hj\fj = 1,... ,т), а положительная постоянная 7 зависит от о», Д-,сц.
Заметим, что аналогичные следствия можно получить из теорем работы [4] и в более общей ситуации. При доказательстве
теоремы I величина е{п) из (4) имеет порядок О • Уточнить
оценку (5) можно только за счет присутствующей в показателе степени величины у-'Однако, осуществить такое уточнение
в присущей методу Зигеля общности не удаётся. Не удаётся также применить метод Зигеля в его классической форме для исследования арифметической природы значений функций вида (1) в случае, когда параметры этих функций не являются рациональными; причины последнего обстоятельства вскрыты в работе А.И.Галочкина
и.
В некоторых случаях линейную приближающую форму (3) можно построить эффективно. Такое построение применялось в различных работах; см., например, [6] - [11]. Следующая теорема из работы [8] характерна для получаемых этим методом результатов.
Теорема II- Пусть И (г) — функция вида (1), ... ,0т — раци-
ональные числа, а(х) = 1;о> — отличное от нуля число из мнимого квадратичного поля I, и пусть До, = 1,...,га, — нетривиальный набор целых чисел из указанного поля. Тогда выполняется неравенство
т
н0 + '^Ічр(і~1)(ш)
І=1
> #_т~ЇЇТьГ/7, (б)
где
II = іпах(3,! hj І, у = 1,..., т), а положительная постоянная 7 зависит от /?і,..., /Зт} со.
При эффективном построении приближающей формы Я(г) её порядок нуля обычно оказывается максимально возможным, и є(п) в (4) на деле от п не зависит. Это приводит к уточнению
оценки линейной формы: остаточный член порядка 0(1/\/1п1п Я),
присутствующий в показателе степени в правой части неравенства (5), заменяется в неравенстве (6) на 0(1/1п1пЯ).
Приведём ещё одну теорему, являющуюся обобщением теоремы II.
Теорема III. Пусть Р(г) — функция вида (1), Д,..., /Зт — рациональные числа, а(х) = 1; ... , сд* — попарно различные нену-
левые числа из поля Я. Тогда для любого нетривиального набора
постоянная у зависит от /?і,..., 0т, со\,..., о;*.
Эта теорема так же, как и теорема II, может быть доказана с помощью эффективного построения линейной приближающей формы для соответствующей совокупности функций. Отметим, что в последней теореме рассматривается совокупность значений функции (1) и её производных в нескольких точках мнимого квадратичного поля.
Если а(т) = 1, и Ь(х) = А + х, то мы получим такую гипергео-метрическую функцию (см. [3, глава 5, § 2, с. 189]):
Приведём пример теоремы, вытекающей из результатов работы [7], в которой варьируются параметры функции
Но,Іікі,к = і = 1 ,...,771,
— целых чисел из поля І — выполняется неравенство
т
Ло + ЕЕ> Н-т1-кЬя,
где Я = шах(3, |/г^|, к — 1,..., £,j = 1,..., га), а положительная
Теорема IV. Пусть си — ненулевое рациональное число, а Аі,....Аг суть различные по модулю 1 рациональные числа, отличные от отрицательных целых. Тогда для любого нетривиалъ-
6
ного набора /іо, Лі,..., /і* — целых рациональных чисел — выполняется неравенство
а 7 — положительная постоянная, зависящая от Аі,..., А* и и).
В ряде работ были исследованы арифметические свойства значений производных по параметрам гипергеометрических функций. С помощью метода Зигеля была доказана алгебраическая независимость таких значений; см. [22, 23], а также [3, глава 7, § 3]. Эффективная конструкция линейных приближающих форм в этих работах не использовалась.
Рассмотрим ещё полилогарифмы, т.е. функции вида
Такие функции изучались во многих работах; в [12] рассмотрены функции £г(0,2г) и доказана иррациональность их значений в достаточно малых рациональных точках; в [13] исследованы функции
£1(01, г),..., £1(0^2).
В работе [14] рассмотрены функции
Наиболее общие результаты получены в работе [15], где с помощью эффективного построения линейной приближающей формы доказано, что числа
линейно независимы, и получена оценка соответствующей линейной формы. При этом предполагается, что Ац,..., Ам рациональны
где
1,1* Аі, — ,/с = = 1,...,щі = 1,... ,пг/
и удовлетворяют некоторым естественным ограничениям, а число q достаточно велико.
Вместо линейной приближающей формы (3) часто используют совместные приближения
где Р[ф)лР^я) — многочлены, степени которых не превосходят п, а отличные от тождественного из'ля функции имеют при
2 = 0 нуль порядка не меньше, чем
Замечание по поводу е{п), сделанное после (4) остаётся в силе и здесь. Во многих случаях использование совместных приближений даёт лучшие результаты. В работе Г.В.Чудновского [24] с помощью совместных приближений доказаны теоремы об арифметической природе значений функции и её производных при
Эффективные конструкции линейных приближающих форм (3) или совместных приближений (9) позволяют не только уточнить оценки соответствующих линейных форм, но также исследовать арифметические свойства значений функций вида (1) и их производных в случае иррациональных параметров. Первые результаты такого рода были получены в предположении 6(0) = 0 (так называемый однородный случай).
Теорема V. Пусть Р{г) - функция вида (1), а[х) = 1,6(.т) Є Цх], 6(0) = 0, со ф 0 - число из поля П. Тогда для любого набора целых чисел /її,..., /іт из поля 1! выполняется неравенство
где Н = шах(3, |/1;|, 7 = 1, ...,т), а 7 — положительная постоянная, зависящая от со и от параметров функции
Привлечение теории делимости в полях алгебраических чисел позволило получить аналогичные результаты и для неоднородного случая (т.е. при 6(0) ф 0); см. по этому поводу работы [16, 17]. Приведём здесь формулировку одного из результатов работы [16].
ад = + Рі(г), і = 1,..., т, (9)
п 4 є (ті).
т
а(я) ф 1.
(10)
8
Теорема VI. Пусть а(х) = 1, а /3— алгебраические числа степеней соответственно , хт, причем Ь(х) Е Я[я],
д пусть и — ненулевое число из поля Я. Тогда для любого є > О при любом наборе /?.0, , і = 1,..., га, — целых чисел из поля Я,
для которых
В работе [181 для построения линейной приближающей формы предложен новый подход, в котором используется как принцип Дирихле, так и эффективная конструкция. Это позволило получить наиболее общие результаты об арифметической природе значений функций вида (1) с иррациональными параметрами при а(я) = 1.
Теорема VII. Пусть а(х) = 1 , 6*(я) — многочлены, старите коэффициенты которых равны единице,
с!姑Ь\(х) = ... = с!е°6*(я) = и,Ь(х) = ц,га = и + и ^ 1.
Пусть, далее, их,..., и* — числа из поля Я,Ь(х) Е 1[я], все корни многочленов 6^-(я) рациональны, а 6(я) = (я + А*) • • • (я 4- Ам), где уХи — алгебраические числа степеней соответственно
ус\,..., >си, и пусть
(п)
выполняется неравенство
и
га
Предположим, что функции
1,$ 1](г),к= і = 1,...,тп,
9
линейно независимы над С(^). Тогда для любого положительного числа є выполняется неравенство
где Но, — произвольный нетривиальный набор целых чисел из поля П,
II = шах(|/і^|,к = 1,...,£, з = 1,...,т) > #0(є, Ьк(х). Ъ(х),ык). Если Н ^ 3, и 6(0) = 0, то
где положительная постоянная 7 не зависит от Н.
При некоторых дополнительных ограничениях, наложенных на параметры функции Е(г): оценка (б) допускает дальнейшее уточнение. Относящиеся сюда результаты содержатся в работах [19] - [21]. Приведем здесь в сокращенном виде основную теорему работы [20].
Теорема VIII. Пусть = щ = 1,...,5 — числа из I,
отличные от — 1, —2,...; 0 ф а Є — такое число, что
аА, = 1,
Пусть у далее, 0 ф 6 Є Нк Є
шах(|/іА:|і к = 0,1,..., в) = Н, Ф(х) = х-4(1па;)_^1-д^(1п 1пх)5^г'д^
(12)
10
где числа А и г зависят от Ль...,А,. Тогда существуют положительные постоянные С\ и Со , зависящие от а, Ь, А],..., А^, такие что
2) существует бесконечно много форм (12), для которых
Определения входящих в оценки величин А и г см. в [20]. В некоторых случаях константы С\ и (72 могут быть вычислены. Пример такого вычисления содержится в [21].
Приведенные результаты показывают, что актуальной является задача эффективного построения функциональной приближающей формы Я(г), определяемой равенством (3), для случая а(х) ф 1. Указанное построение позволяет обобщить на такой случай теоремы II и III, а также другие аналогичные результаты. Эффективные конструкции, в которых варьируются параметры функций, дают возможность обобщить аналог теоремы IV в различных направлениях . В некоторых случаях возможно эффективное построение линейной приближающей формы и для функций, полученных из (1) дифференцированием по параметру. Это позволяет уточнить оценки линейных форм, вытекающие из результатов работ [22] и [23]. Актуальной является также задача обобщения теорем V - VII на случай а{х) ^ 1. Здесь можно применить упомянутую выше эффективную конструкцию линейной приближающей формы Я(,г), а также обобщение некоторого аналога метода Зигеля из работы [18]. В связи с работой [20] отметим также актуальность задачи о вычислении констант С\ и Со из теоремы VIII по аналогии с тем, как это сделано в [21] для экспоненциальной функции.
Содержание диссертации. Перечислим теоремы, доказанные в диссертации. Рассмотрим вновь функцию
< С2Ф(Я).
- Київ+380960830922