Геометрия и комбинаторика виртуальных узлов

Оглавление
ГЛАВА 1. Обзор содержании диссертации....................................................... о
1.1. Введение.............................................................................. 5
1.1.1. Основные определения и конструкции............................................. 9
1.2. Мотивация............................................................................ 33
1.3. Цели исследования.................................................................... 36
1.4. Методы исследования.................................................................. 36
1.5. Научная новизна...................................................................... 38
1.6. Положения диссертации, выносимые на защиту........................................... 38
1.6.1. Другие важные результаты ..................................................... 39
1.6.2. Примеры....................................................................... 39
1.7. Апробация диссертации. Публикации по теме диссертации................................ 40
1.8. Структура и объем диссертации........................................................ 41
Глава 2. Виртуальные узлы и трехмерная топология........................................... 44
2.1. Теорема Куперберга................................................................... 49
2.2. Род виртуального узла................................................................ 50
2.2.1. Два типа связного суммирования................................................ 55
2.2.2. План доказательства теоремы 2.5............................................... 56
2.2.3. Процесс дестабилизации........................................................ 58
2.3. Распознавание виртуальных узлов...................................................... 65
Глава 3. Дистрибутивные группоиды в теории виртуальных узлов............................... 74
3.1. Группоиды и их обобщения............................................................. 78
3.1.1. Виртуальный группоид.......................................................... 84
3.1.2. Инвариант раскрасок........................................................... 95
3.1.3. Виртуальный модуль Александера................................................ 97
3.2. Длинные виртуальные узлы.............................................................114
3.2.1. Вопрос о коммутируемости длинных узлов........................................123
3.3. Виртуальные узлы к бесконечномерные алгебры Ли.......................................127
3.4. Иерархия виртуальных узлов...........................................................133
3-4.1. Плоские виртуальные узлы......................................................134
3.4.2. Алгебраический формализм......................................................136
3.4.3. Примеры.......................................................................142
ГЛАВА 4. Полином Джонса. Атомы............................................................ 146
4.1. Основные определения.................................................................147
4.1.1. Атомы и узлы..................................................................153
4.1.2. Модель затягивающего дерева для скобки Кауфмана...............................165
4.2. Полином Е. Вопросы минимальности.....................................................170
4.2.1. Старший и младший коэффициенты скобки Кауфмана................................179
4.2.2. Полином 5.....................................................................131
4.2.3. Примеры применения полинома Е ................................................139
OrvuaiEHitE 3
4.2.4. Поверхностная скобка и инвариант 2...........................................103
Глава 5. Комплекс Хованова для виртуальных узлов......................................... 198
5.1. Введение............................................................................198
5.2. Основные используемые конструкции...................................................202
5.2.1. Папином Джонса J: другая нормировка..........................................203
5.3. Комплекс Хованова с коэффициентами в папе Z2........................................204
5.4. Комплекс Хованова удвоений узлов ...................................................218
5.5. Атомы и комплекс Хованова...........................................................231
5.6. Затягивающее дерево для комплекса Хованова..........................................240
5.7. Полином Хованова и фробениусовы расширения..........................................242
5.7.1. Фробениусовы расширения......................................................242
5.7.2. Описание конструкции Хованова
для фробениусовых расширений..................................................243
5.7.3. Геометрические обобщения посредством атомов..................................246
5.7.4. Алгебраические обобщения.....................................................247
5.8. Минимальные диаграммы классических и виртуальных зацеплений.........................253
5.9. Минимальные диаграммы длинных виртуальных узлов (согласно результатам гл.4) . . . 256
Глава 6. Гомологии Хованопа виртуальных узлов с произвольными коэффициента ми 265
6.1. Введение. Основной результат........................................................266
6.2. Атомы и скрученные виртуальные узлы.................................................268
6.3. Определение комплекса Хованова для виртуальных узлов................................272
С.3.1. Определение частичных дифференциалов.........................................275
6.4. Формулировка и доказательство основной теоремы .....................................279
6.5. Обобщения......................................................................... 303
6.5.1. Гомологии зацеплений и фробениусовы расширения .'............................305
Глава 7. Виртуальные косы.................................................................307
7.1. Определения виртуальных кос ........................................................308
7.2. Виртуальные косы и виртуальные узлы.................................................311
7.2.1. Представление Бурау и его обобщения..........................................317
7.3. Скобка Кауфмана для классических и виртуальных кос .................................320
7.4. Нормальная форма виртуальных кос по В.Г.Бардакову...................................321
7.5. Инвариант виртуальных кос...........................................................322
7.5.1. Построение основного инварианта..............................................324
7.5.2. Представление группы виртуальных кос.........................................327
7.5.3. О папноте в классическом случае..............................................328
7.5.4. Некоторые следствия..........................................................329
7.5.5. Насколько силен инвариант Т'1................................................331
Глава 8 Инварианты Васильева.............................................................335
8.1. Инварианты Васильева классических узлов.............................................338
8.2. Подход Гусарова-Поляка-Виро к инвариантам Васильева виртуальных узлов...............347
8.3. Подход Кауфмана.....................................................................349
8.3.1. Инварианты, порожденные пап и номом 5 .......................................350
8.4. Инварианты Васильева, порожденные инвариантом 5.....................................351
8.5. Графы, хордовые диаграммы и полином Кауфмана........................................354
8.6. Доказательство гипотезы Васильева...................................................357
Оглавление
4
8.7. Бесконечность количества длинных узлов,
имеющих фиксированное замыкание........................................................367
Глава 1
Обзор содержания диссертации
1.1. Введение
Настоящая диссертация посвящена двум бурно развивающимся теориям — теории виртуальных узлов и теории гомологий Хованова.
Классическая теория узлов, насчитывающая более двухсот лет, за последние десятилетия обогатилась разнообразными методами и тонкими инвариантами, составляющими мощный аппарат современной теории узлов. Естественным образом классическая теория узлов (т.е. теория узлов в трехмерном евклидовом пространстве или в трехмерной сфере), является составной частью неизмеримо более широкой теории — узлов в трехмерных многообразиях. Для этой теории аппарат развит в гораздо меньшей степени.
Теория виртуальных узлов занимает промежуточное положение между теорией узлов в произвольных трехмерных многообразиях и классической теорией узлов. Она с одной стороны гораздо шире классической теории узлов, а с другой стороны близка к ней в силу некоторых причин, которые мы изложим ниже. Вследствие этого многие методы и инварианты классических узлов могут быть перенесены на “виртуальную” теорию. Это перенесение часто требует дополнительных идей, которые представлены в настоящей диссертации. Среди таких идей — мощные новые инварианты гомологии Хованова (1997). Последние представляют собой гомологии цепного комплекса, который строится но диаграмме узла (зацепления); сами гомологии являются инвариантами узла (зацепления).
Для перенесения теории гомологий Хованова на виртуальные узлы потребовалось построение новою комплекса, имеющего те же гомологии, что
1.1. Введение
6
и комплекс Хованова. Такое построение потребовало ряда новых идей: ориентации и упорядочения окружностей в состояниях, скрученных коэффициентов в алгебре Фробениуса гомологий тривиального узла, использования внешних произведений вместо обычных тензорных (симметрических) произведений. Ключевую роль в построении теории гомологий Хованова для виртуальных узлов, в изучении свойств гомологий Хованова, а также в других задачах сыграло понятие атома (введенное А.Т.Фоменко [F] и активно изучаемое А.Т.Фоменко и его школой, см. сборник [ФБШ] и ссылки в нем). Независимо то же понятие атома было определено В.Г/Гураевым [Тиг2]. Атомы и d-диаграммы (особый вид хордовых диаграмм с двумя семействами незацепленных хорд. стр. 163) сыграли ключевую роль также в доказательстве гипотезы В.А.Васильева (глава 8). Теория d-диаграмм разработана автором в работах [Ман-2], [Ман-3], [Ман-1]. Род атома (в других источниках называемый родом Тураева) оказался естественным образом связан не только с гомологиями Хованова, но и с гомологиями Ожвата-Сабо, [Low].
Опишем некоторую общую точку зрения, которая позволяет трактовать классические и виртуальные узлы единым образом. Классический узел (или зацепление) можно задать диаграммой узла. Па диаграмме есть перекрестки и непересекающиеся между собой линии, соединяющие перекрестки друг с другом. Если расставить на плоскости перекрестки % произвольным образом и указать, в каком порядке их концы соединяются друг с другом, то иногда соединяющие линии могут быть выбраны непересека-ющимися (в этом случае получается диаграмма классического узла), а в некоторых случаях установить непересекающиеся соединительные линии не удается — получается “виртуальная” диаграмма, или диаграмма виртуального узла. Виртуальные перекрестки, обозначаемые кружочками, возникают всякий раз, когда четырехвалентный граф, определенный заданными перекрестками и заданным способом соединений этих перекрестков не является плоским, что представляет собой довольно частое явление. Пример виртуальной диаграммы изображен на рис. 1.1.
Таким образом, виртуальные узлы относятся к классическим примерно так же как произвольные графы к плоским графам.
1.1 Введение
7
При этом эквивалентность (изотопность) диаграмм классических узлов определяется посредством формальных комбинаторных преобразований (движений Рейдемейстера), которые относятся к близко стоящим перекресткам. Для виртуальных узлов, заданных посредством набора классических перекрестков с указанием способа соединения перекрестков друг с другом эквивалентность задается в точности теми же движениями Рейдемейстера (различные способы изображения соединения классических перекрестков приводят к диаграммам, отличающимся друг от друга движением объезда, см. далее).
Отметим, что на. этом пути обобщения появились новые теории: виртуальных многомерных узлов (абстрактных узлов, Камада-Камада [КК]), а также пространственных виртуальных графов (Меллор, Флеминг, [FM]). Нетрудно показать,что виртуальные диаграммы происходят от узлов (зацеплений) в утолщенных двумерных поверхностях.
Теория узлов является одной из основных ветвей маломерной топологии. Как математическая теория, она восходит к концу восемнадцатого века. Важный вклад в развитие теории узлов внесли А.Т.Вандермонд, К.-Ф. Гаусс [Gau], Ф.Клейн, М.Ден [Dehn], Дж. Александер [Alel, А1е2] и другие выдающиеся ученые.
При этом прорыв в теории узлов, приведший к современному ее состоянию, решению многих давно стоящих проблем, связан с открытиями Дж.Х.Конвея (Соп] и В.Ф.Р.Джонса. [Jonl], а позднее — В.А.Васильева [Vasl, Vas2] и других и относится к последней трети двадцатого века (по-
1.1. Введении
8
линомы Конвея, Джонса, инварианты Васильева конечного порядка). За открытия в теории узлов В.Ф.Р.Джонс, Э.Виттен, В.Г.Дринфельд (1990) и М.Л.Концевич (1998) были удостоены высшей математической награды филдсовских медалей.
В 1997 году была предложена еще одна выдающаяся конструкция инвариантов узлов — гомологии Хованова [КЬ]: каждой диаграмме узла сопоставляется алгебраический комплекс, все гомологии которого представляют собой инварианты узлов, а эйлерова характеристика этого комплекса совпадает с полиномом Джонса.
В девяностые годы XX века получили широкое развитие несколько направлений маломерной геометрии и топологии, связанных с теорией узлов, имеющих самостоятельный интерес. С одной стороны, получила широкое распространение теория лежандровых узлов, лежащая на стыке теории узлов и контактной геометрии |П\ Ев II, СЬе, ЕН]. Она имеет многомерные аналоги и связана с различными областями геометрии и топологии.
Другим направлением является теория гомологий зацеплений, двумя важнейшими ветвями которой являются теория гомологий Хованова [КЬ] и теория гомологий Хегора-Флоера, предложенная П.Ожватом и З.Сабо, см. [ОгвЗг].
Замечательным изобретением является теория виртуальных узлов, открытая Луисом Кауфманом в 1996 году, [Каи7]. С ее появлением стало понятно, что теория классических узлов является малой составной частью более широкой теории, изучение свойств которой помогает лучше понять некоторые явления в теории классических узлов, а также стимулирует постановку новых задач, см. [П<М]. Теория виртуальных узлов находит свои применения в классической теории узлов. Посредством теории виртуальных узлов была решена проблема существования комбинаторных формул для всех инвариантов конечного порядка классических узлов [ОРУ].
Проблема распознавания классических узлов была одной из центральных в маломерной топологии. Ее первое безупречное решение связано с именами Хакена, Хемиона, Матвеева и др. Результат об алгоритмической распознаваемости важен также и по причине того, что в маломерной топологии часто имеет место алгоритмическая нераспознаваемость. С появле-
1.1. Введение
9
нием теории виртуальных узлов естественно встал вопрос об их алгоритмической распознаваемости. Этот вопрос разрешен положительно в главе 2 настоящей диссертации; при этом помимо нескольких структурных положений теории Хакена-Матвеева потребовалась также нетривиальная теорема Куперберга и ряд рассуждений, специфических для виртуальных узлов.
Теория виртуальных узлов, ее конструкции и методы тесно взаимодействуют с различными разделами классической теории узлов, в частности, с инвариантами Васильева. Этому посвящена глава 8. В ней. с использованием атомов и d-диаграмм доказана гипотеза Васильева о планарности графов с крестовой структурой; эта гипотеза играет ключевую роль в работе Васильева [Вас] о существовании комбинаторных формул для инвариантов конечного порядка.
К теории виртуальных узлов проявили интерес многие известные ученые: О.Я.Виро. В.Г.Тураев, М.Н. Гусаров, М.Ховапов, Л.Розанский Р.Фенн, К.Рурк, Ге Молинь, С.Картер, В. Меллор, Г.Куперберг, В.В.Вершинин,
В.Г.Вардаков, Н.Камада, С.Камада, Д. Рэдфорд, и др. Ей посвящено множество работ, см., напр., [APS, Ваг, BF, DK1. FJK. FM, FRR, Dye, GKZ, GPV, II, HK],[Kad, Kam.Nl, Kam.N2, Kam, Kau7, Kau8, Kau9, DK2, Kaul, KK], (KaulO, KL, KL2, Kll, KhR3, Kup, Nel, Satoh, SW, SW2, Saw, Saw2, TuTu, Tnr4, Ver, Viro2. Viro, W, ZZ1, ZZ2] и ссылки в них.
Упомянутые выше теории имеют связь с различными задачами комбинаторики, трехмерной и четырехмерной топологии, теорией представлений групп и алтобр Ли. На последней основано построение так называемых квантовых инвариантов, см. |Turl, О ht].
1.1.1. Основные определения и конструкции
(Классический) узел представляет собой образ гладкого вложения окружности S1 в сферу S3; два узла называются изотопными, если один из них может быть получен из другого диффеоморфным отображением объемлющего пространства S'6 на себя, сохраняющим ориентацию сферы Sz. (Общеизвестно, что каждый из таких диффеоморфизмов гладко гомотопен тождественному в классе гладких диффеоморфизмов). Если мы вкладываем в
1.1. Введение
10
сферу 53 несвязное объединение нескольких окружностей 51 □ • • • и то говорят о классическом зацеплении, образ каждой окружности — узел — называется компонентой зацепления. Классификация узлов в 53 эквивалентна классификации узлов в К3. В случае, если фиксирована ориентация окружности 51, говорят об ориентированном узле (соответственно, в случае ориентированного зацепления требуется ориентация окружностей — прообразов компонент зацепления); в случае изотопии ориентированных зацеплений требуется, чтобы диффеоморфизм объемлющего пространства сохранял как ориентацию сферы 53, так и ориентации всех компонент.
Если компоненты зацепления перенумеровать и при изотопии потребовать, чтобы номера компонент сохранялись, то мы получим крашеные зацепления.
Ориентированное зацепление называется оснащенным, если в каждой его точке задан некоторый единичный непрерывно зависящий от точки нормальный к компоненте зацепления вектор; два оснащенных зацепления называются (оснащенно) изотопными, если существует сохраняющее ориентацию отображение объемлющего пространства (сферы £3) на себя, переводящее одно зацепление в другое, согласованное с векторными полями. Оснащенные зацепления можно трактовать как вложения набора лент 51 х / в трехмерное пространство (трехмерную сферу); соответствующее векторное поле указывает, каким образом эти ленты перекручены.
Обычно узлы кодируются следующим образом. Фиксируем узел, т.е. образ отображения / : 5'1 —> Л3. Рассмотрим некоторую плоскость /1 С Л3 (скажем, /?. = Оху) и проекцию узла на нее. Без ограничения общности можно считать, что проекция узла на плоскость представляет собой вложенный конечный четырехвалентный граф, являющийся образом гладкого погружения окружности в плоскость. Обычно мы будем называть отрезок зацепления (т.е. образ в трехмерном пространстве отрезка — части окружности) его ветвью. Иногда (когда из контекста ясно, о чем идет речь) ветвью мы будем называть также проекцию ветви на плоскость. Каждая вершина графа проекции (называемая перекрестком диаграммы зацепления:) снабжена следующей структурой. Пусть а. Ь — две ветви зацепления, проекции которых пересекаются в точке V. Так как а и Ь не пересекаются
1.1. Введение
11
в К3, два прообраза точки V имеют различные г-координаты. Таким образом, мы можем сказать, какая ветвь (а или Ь) проходит сверху (образует переход)-, а какая — снизу (образует проход) (см. рис. 1.2). Ребра переходов изображаются сплошными линиями, в то время как проход изображается линией, имеющей разрыв в перекрестке.
Все перекрестки диаграммы ориентированного зацепления делятся на положительные X и отрицательные X - Легко проверить, что в случае диаграммы узла знак перекрестка не зависит от ориентации узла.
Такое изображение узла на плоскости называется плоской диаграммой узла.
Плоская диаграмма зацепления называется альтернированной, если при движении вдоль любой из ее компонент проходы чередуются с переходами.
переход проход
Рнс. 1.2. Локальная структура перекрестка
Простейшие примеры классических узлов изображены на рис. 1.3.
Рис. 1.3. Простейшие узлы
Первые две диаграммы представляют собой тривиальный узел\ на третьей диаграмме изображен трилистник, на четвертой диаграмме — восьмерка. Все эти диаграммы являются альтернированными.
На рисунке 1.4.1. изображено тривиальное зацепление из двух компонент. На рисунках 1.4.2, 1.4.3 и 1.4.4 изображены зацепление Хопфа, за,-цепление Уайтхеда и кольца Борромсо соответственно. Все эти три зацепления не тривиальны.
1.1. Введение
12
1 2 3 4
Рис. 1.4. Простейшие зацепления
Назовем дугами диаграммы компоненты связности диаграммы (при этом ветвь прохода предполагается разрывной, как и изображается на рисунках).
Четырехвалентный граф проекции без указания структуры проходов и переходов называется тенью узла. Сложностью узла называется минимальное количество перекрестков диаграмм узлов заданного изотопического типа. Будем далее называть диаграмму зацепления связной, если таковой является ее тень. В частности, связной является любая диаграмма любого узла.
В 1932 году немецкий тополог Курт Рейдемейстер [Rei| привел список локальных топологических перестроек (преобразований Рейдемейстера, известных ныне как движения Рейдемейстера, см. рис. 1.5) и доказал, что любые две плоские диаграммы задают одно и то же зацепление тогда и только тогда, когда они могут быть получены друг из друга конечной последовательностью этих движений, а также плоской изотопии — преобразования диаграммы посредством диффеоморфизма плоскости на себя, сохраняющего ориентацию плоскости. Это позволяет рассматривать изотопические классы узлов как комбинаторные объекты: они представляют собой классы эквивалентности плоских диаграмм по движениям Рейдемейстера.
Движения Рейдемейстера являются отправной точкой для комбинаторного определения виртуальных узлов (см. далее).
С тех пор доказательство инвариантности тех или иных функций на узлах (задаваемых на диаграммах узлов) основывается, как правило, на проверке инвариантности относительно движений Рейдемейстера.
Одним из наиболее ранних инвариантов в теории узлов является топо-
1.1. Введение 13
Рис. 1.5. Движения Рейдемейстера ПьПз.Пз
логический инвариант ~ группа узла.
Группой узла К С Я3 (обозначение п(К)) называется фундаментальная группа дополнения к узлу К, точнее говоря, к его малой трубчатой окрестности М(К), а именно, мы полагаем 7Г(К) —
Известно, что группа узла является очень сильным инвариантом: так, например, знаменитая теорема Дена-Папакирьякопулоса ([Пап]) утверждает, что единственный узел, имеющий группу, изоморфную группе Ъ, — это тривиальный узел.
По диаграмме узла можно явно выписать некоторое копредставление группы узла (носящее название копредсгпавления Виртпингсра).
Копредставление Виртингера задается следующим образом. Рассмотрим зацепление Ь, заданное некоторой плоской диаграммой Д. Рассмотрим некоторую точку гг, “висящую” над плоскостью проекции зацепления. Будем классифицировать гомотопические классы петель в Я3\ЛГ(^), исходящих
1.1. Сведение
14
Рис. 1.С. Петли, соответствующие ребрам
из данной точки. В качестве образующих элементов можно выбрать следующие. Рассмотрим петли, исходящие из точки х и зацепляющие дуги диаграммы Ь один раз в направлении, заданном правилом буравчика (каждая такая петля ограничивает диск, пересекающий ровно одну дугу узла ровно в одной точке), см. рис. 1.6.
Перейдем теперь к описанию определяющих соотношений.
Геометрическая связь между петлями образующими имеет следующий вид (в смысле соотношения в группе): Ь = сас“\ если дуга с отделяет дугу а от дуги Ь, см. рис. 1.7.
^ 6 = сас'л
а
Рис. 1.7. Соотношение в перекрестке
Из геометрических соображений легко следует, что данный набор соотношений порождает все соотношения в группе узла.
Таким образом, копредставление Виртингера фундаментальной группы имеет следующий вид: дуги соответствуют образующим, в то время как определяющие соотношения происходят из перекрестков: мы полагаем сасГ1 = Ь для соседних дуг а и Ь. отделенных дугой с, если Ь лежит слева от с относительно ориентации дуги с.
Главный недостаток группы узла (зацепления) состоит в том, что груп-
1.1. Введение
15
пы, заданные различными копрсдставлениями, трудно сравнивать. В общем случае распознавание группы по копредставлению является неразрешимой проблемой. Тем не менее группа узла является основой для построения более удобных (хотя и менее мощных) инвариантов узлов и зацеплений и доказательства структурных теорем.
Фундаментальная группа является почти полным инвариантом узлов, в частности, она распознает простые узлы: узел называется простым, если он не представим в виде связной суммы двух нетривиальных узлов; определение связной суммы см. в гл.2. Более точно, два простых ориентированных узла имеют изоморфные фундаментальные группы, если они либо изотопны, либо получаются друг из друга посредством замены ориентации узла и/или объемлющего пространства.
Естественным формальным алгебраическим обобщением фундаментальной группы является понятие дистрибутивного группоида или квандла (quandle), введенного независимо С.В.Матвеевым [Мат] и (несколько позже) Д.Джойсом [Joy].
Идея состоит в замене группового соотношения в перекрестках вида Ь = сас“1 формальным соотношением вида а о с = Ь.
Далее мы описываем формальный объект, образующими которого являются дуги диаграммы, подчиняющиеся заданным соотношениям. Непосредственная проверка инвариантности объекта, который мы строим, приводит к следующим необходимым аксиомам:
1. Идемпотентность: а о а = а;
2. Наличие левого обратного: для фиксированных Ь, с существует и единствен элемент х, такой что х о Ь = с. В этом случае будем писать
х = с/Ь.
3. Правая самодистрибутивность: (а о 6) о с = (а о с) о (Ь о с).
Эти аксиомы отвечают первому, второму и третьему движениям Рейде-мейстера соответственно.
Этот объект (точное аксиоматическое определение см. в гл. 3) получается более сильным, чем фундаментальная группа.. Непосредственная проверка аксиом дистрибутивного группоида для операции aob = bab~{ в труп-
1.1. Введение
16
пе показывает, что эта операция удовлетворяет всем аксиомам дистрибутивного группоида и определяет функтор из категории групп в категорию дистрибутивных группоидов, при этом естественным прообразом дистрибутивного группоида узла является фундаментальная группа дополнения к узлу (рассмотренная с точностью до изоморфизма).
Дистрибутивным группоидам в теории виртуальных и классических узлов посвящена глава 3 настоящей диссертации.
Главный объект теории Луиса Кауфмана (1996) см. (Каи1] и исследования настоящей диссертации — виртуальный узел (или — в случае многих компонент — виртуальное зацепление) представляет собой естественное комбинаторное обобщение обычного понятия узла: вводится новый тип перекрестка, и пополняется список движений Рейдемейстера. Новый тип перекрестка (который называется виртуальным и изображается кружочком) не следует трактовать ни как переход одной ветви над другой, ни как проход одной ветви под другой (его следует понимать как диаграм-матическое изображение на плоскости двух “далеко отстоящих7' частей узла (зацепления), пересечение которых является дефектом изображения). В этом смысле естественным является следующий выбор обобщенных движений Рейдемейстера: все обычные движения Рейдемейстера, относящиеся к классическим перекресткам, а также движение объезда. Последнее состоит в том, что ветвь диаграммы узла, содержащая последовательно несколько виртуальных перекрестков, но не содержащая классических перекрестков, может быть преобразована в любую другую ветвь с теми же начальной и конечной точками; на месте новых пересечений и самопересечений ставятся виртуальные перекрестки, см. рис. 1.8.
Классические движения Рейдемейстера и объезд составляют набор обобщенных движений Рейдемейстера.
Определение 1.0. Виртуальной диаграммой (или диаграммой виртуального зацепления) называется вложенный в плоскость четырехвалентный граф с классическими и виртуальными перекрестками.
Определение 1.1. Виртуальное зацепление — это класс эквивалентности виртуальных диаграмм по обобщенным движениям Рейдемейстера.
Подобно классическому зацеплению, виртуальное зацепление обладает
1.1. Введение
17
Рис. 1.8. Объезд
некоторым количеством компонент.
Виртуальный узел — это виртуальное зацепление с одной уникурсальной компонентой.
Компоненты виртуального зацепления можно описать комбинаторно, исходя из виртуальной диаграммы.
Под уникурсальной компонентой (диаграммы) виртуального зацепления понимается следующее. Рассмотрим виртуальную диаграмму Ь как одномерный комплекс на плоскости. Часть связных компонент этого комплекса представляет собой окружности; каждую такую компоненту назовем (уникурсальной) компонентой зацепления. Оставшаяся часть представляет собой четырехвалентный граф Г с вершинами в классических и виртуальных перекрестках. У нику реальной компонентой диаграммы назовем также (помимо компонент-окружностей) классы эквивалентности на множестве ребер графа: два ребра е,е' называются эквивалентными, если существует набор ребер е = ех,... ,6* = е! и набор вершин ,Ук-\ (некоторые из которых, быть может, совпадают) графа Г, такой, что ребра е,-,е*+1 подходят к вершине с противоположных сторон.
Числом закрученности т(Ь) виртуальной диаграммы называется количество положительных перекрестков X минус количество отрицательных перекрестков X•
Легко видеть, что количество компонент диаграммы зацепления является инвариантным при обобщенных движениях Рейдемейстера. В классическом случае это определение компонент зацепления согласуется с приве-
1.1. Введение
13
денным ранее.
Замечание 1.1. Отметим, что такой подход — стандартные движения внутри локальной евклидовой области и двио/сения типа объезда — был использован П.Калшдой и С.Камадой /КК] для построения формальных теорий многомерных “виртуальных узлов” и их инвариантов.
Это подводит к следующей трактовке виртуальных узлов, описываемой в терминах гауссовых диаграмм.
Пусть узел К задан отображением / ориентированной окружности 51 в трехмерное пространство.
Определение 1.2. Гауссовой диаграммой, соответствующей плоской диаграмме (виртуального) узла К называется диаграмма, состоящая из ориентированной окружности (с фиксированной точкой, которая не является прообразом перекрестка), на которой прообразы прохода и перехода (для каждого классического перекрестка) соединены стрелкой, направленной от прообраза перехода к прообразу прохода. Каждая стрелка снабжена знаком, который совпадает со знаком перекрестка, т.е. 4- для перекрестка вида X и - для Х>
Так, для классического правого трилистника гауссова диаграмма выглядит следующим образом, см. рис. 1.9.
Рис. 1.9. Гауссова диаграмма правого трилистника
Произвольные гауссовы диаграммы, вообще творя, не могут быть представлены в виде гауссовых диаграмм классических узлов. Это связано с невозможностью вложения в плоскость графа с некоторой комбинаторной структурой. Тем не менее, все гауссовы диаграммы можно реализовать посредством погружения общего положения, отмечая точки, имеющие боль-
1.1. Введение
19
ше одного прообраза (в случае общего положения — ровно два прообраза), виртуальными перекрестками, см. рис. 1.10.
Это естественным образом приводит к следующему определению виртуальных узлов (не зацеплений): нужно рассмотреть все формальные гауссовы диаграммы и формально описать движения Рейдемейстера (как в случае классических диаграмм узлов): они будут представлять собой комбинаторные схемы преобразований гауссовых диаграмм. В этом случае классы эквивалентности гауссовых диаграмм по формальным движениям Рейдемейстера и будут представлять виртуальные узлы. Отметим, что нам не понадобится движение объезда, так как гауссова диаграмма “не знает” ничего о расположении виртуальных перекрестков на плоскости, а “знает*1 лишь классические перекрестки и то, как они соединены между собой. Это означает, что гауссовы диаграммы чувствительны только к классическим движениям Рейдемейстера и нечувствительны к движениям объезда. Точного списка движений Рейдемейстера для гауссовых диаграмм мы не приводим, см., наир., [ОРУ].
Ветви виртуального узла, имеющие виртуальное пересечение, относящиеся к двум “далеко отстоящим” частям узла, могут свободно двигаться по поверхности независимо одна от другой. Это приводит к определению виртуальных узлов как узлов в утолщенных ориентированных поверхностях 5 х /, где 5 — двумерная ориентированная замкнутая поверхность, а 1 — отрезок с фиксированной ориентацией; при этом утолщенные поверхности должны рассматриваться с точностью до стабилизации, т.е. с точностью до добавления и удаления ручек из поверхности 5 гак, чтобы добавляемые утолщенные ручки не затрагивали соответствующего узла (более подроб-
Рис. 1.10. Гауссова диаграмма виртуального узла
1.1. ВНЕДКНИЕ
20
ное описание см. в гл. 2).
Здесь и далее предполагается, что на утолщенной ориентрованной поверхности S х / фиксирована структура прямого произведения и указано, какой край является верхним, а какой — нижним.
В случае зацепления нужно разрешать также несвязные поверхности Si LJ • • • LJ Sk (при этом иногда требуют, чтобы в каждом многообразии Sj х I лежала по крайней мере одна компонента виртуального зацепления, [Кир]). Зацепления в S х / описываются диаграммами на S с проходами и переходами. В этом смысле виртуальные диаграммы получаются с помощью регулярных проекций общего положения диаграмм с поверхности S на плоскость: перекрестки переходят в классические перекрестки, а новые пересечения (дефекты проекции) отмечаются виртуальными перекрестками; при этом требуется, чтобы при диффеоморфизме проекции окрестностей классических перекрестков все переходили на плоскость с сохранением ориентации. Движения Рейдемейстера для диаграмм на 5 (те же, что и в случае классических диаграмм узлов) соответствуют классическим движениям Рейдемейстера для виртуальных диаграмм; существуют также преобразования, которые не меняют комбинаторной структуры диаграммы на 5, но меняют комбинаторную структуру проекции на плоскость: им соответствует движение объезда.
Теорема об эквивалентности различных определений виртуальных узлов была анонсирована в работе jKau7] и доказана различными авторами, в том числе Кауфманом. Полное подробное доказательство можно найти, например, в [Mal].
Наряду с обычными виртуальными узлами существует теория “скрученных узлов”, предложенная Бургуаном [Вой], которые представляют собой виртуальные узлы в ориентированных утолщениях неориентируемых поверхностей. Мы обратимся к скрученным виртуальным узлам в главе 6.
Реализация движений объезда движениями на утолщенных поверхностях и их проекциями изображена на рис. 1.11.
Это подводит нас к локальным версиям движения объезда, которые состоят из:
1. Чисто виртуальных движений Рейдемейстера Ц,£У2, Q3, которые иолу-
1.1. Введение:
21
'2Ж17гЗг
/777 £27
к’ *
Второе лиртулльиос движение а2 Я' Рейдемействра
Третье виртуальное днижение Рейдемейстера
Рис. 1.11. Обобщенные движения Рейдеыейстера и утолщенные поверхности
чаются из классических движений Рейдемейстера заменой всех участвующих в них классических перекрестков виртуальными перекрестками, см. рис. 1.12.
Рис. 1.12. Движении ОД,
_____________________________1.1. Введение_______________________________22
2. Полувиртуальной версии Щ третьего движения Рейдемейстера, которая состоит в том, что дуга, содержащая два виртуальных перекрестка, может быть перенесена сквозь классический перекресток, см. рис. 1.13.
Рис. 1.13. Псшувиртуальиая версия Щ
Назовем увеличивающим тот из вариантов движения Рейдемейстера, который увеличивает количество перекрестков (классических в классическом случае и виртуальных — в виртуальном). Так, движения Г2і, П2, П2 “в одну сторону” являются увеличивающими, а “в другую сторону” — уменьшающими.
Очевидно следующее
Утверждение 1.1. Две виртуальные диаграммы К и К' получаются друг из друга последовательным применением движений объезда тогда, и только тогда, когда они получаются одна из другой последовательным применением движений П|,П'з, О3,03.
Восстановление диаграммы узла в утолщенной поверхности по виртуальной диаграмме на плоскости происходит следующим образом.
Пусть Ь — диаграмма виртуального зацепления на Б2 (мы компактифицируем II2 одной точкой). Каждый виртуальный перекресток этой диаграммы соответствует пересечению двух дуг. Выберем одну из них и создадим для ее поднятия “ручку”, см. рис. 1.14. В итоге мы получим диаграмму (с проходами, переходами и виртуальными перекрестками) на торе, у которой количество виртуальных перекрестков на единицу меньше, чем у изначальной диаграммы.
Отметим, что выбор расположения этой ручки — сверху или снизу — несуществен, так как утолщенная поверхность рассматривается нами сама по себе вне конкретного вложения поверхности в БА
1.1. ВВЕДЕНИЕ
23
Рис. 1.14. Поднятие виртуального перекрестка на ручку
Легко проверяется также, что несуществен и выбор той из двух дуг, которая “поднимается” на вновь создаваемую ручку — две картинки-диаграммы К[ и 1<2, соответствующие таким двум поднятиям на поверхности с ручками Мі и М-2, т.е. К\ С Мі и К2 С М2, будут комбинаторно эквивалентны (т.е. существует гомеоморфизм / : М\ —> М2 одного поднятия на другое. переводящий одну виртуальную диаграмму с перекрестками в другую
/(*0 = *2).
Продолжая далее заменять виртуальные перекрестки на. ручки, мы можем избавиться ото всех виртуальных перекрестков и получить диаграмму на 5у ( =вд х {^} С Бд х [0,1]) , где д — некоторое количество ручек. Такое преобразование объясняется движением объезда. Каждое такое движение состоит в “собирании” последовательно расположенных ручек в одну и дроблении этой ручки на новые ручки, расположенные в других местах, см. рис. 1.15
Рис. 1.15. Объезди стабилизация
1.1. ВВБДВНИБ
21
В нижней части рисунка 1.15 “собирание” (или, наоборот, дробление) состоит из элементарных движений, которые как раз представляют собой дестабилизацию (соотв., стабилизацию).
При этом классические движения Рейдемсйстера производятся локально на некоторой части поверхности 5’у, происходящей из сферы посредством добавления ручек.
Естественно, что поверхность х I автоматически является ориентированной: ориентация для происходит из ориентации сферы Б2, к которой приклеиваются ручки.
Отметим, что на поверхности Бд нет никакой выделенной системы координат (параллелей и меридианов). Действительно, при применении первого виртуального движения Рейдемейстера эта поверхность подвергается скручиваниям Дена, см. рис. 1.16.
Рис. 1.16. Скручивание Дена и движение П',
Отметим, что два похожих на движения Рейдемейстера преобразования, показанные на рисунке ниже, вообще говоря, не являются эквивиалеитно-стями виртуальных узлов. Они получили название запрещенных движений. см. рис. 1.17.
Оказывается (это впервые заметили Гусаров, Поляк и Виро (ОРУ)), что при добавлении обоих запрещенных движений любые два виртуальных узла (но не зацепления!) становятся эквивиалентными. Если добавить только одно из этих движений, а другое оставить запрещс'нным, получится интересная теория трубчатых узлов. Эта теория была предложена Шином Сато, [Эа^Ь], см. также [КМ2].
1.1. Введение
25
Рис. 1.17. Запрещенные движении
Общеизвестно (доказательство, см., напр., в [Mal]), что каждый классический узел может быть перестроен в тривиальный узел последовательной заменой перекрестков X (X- Это является отправной точкой для построения инвариантов узлов (скейн-модули, алгебры Конвея, полином Кауфмана, инварианты Васильева и др.) Для виртуальных узлов это утверждение неверно, а именно, разрешение замены типа классического перекрестка приводит к нетривиальной теории плоских виртуальных узлов, см., напр., [КК]. Ее можно формализовать следующим образом. Вместо любого классического перекрестка - прохода или перехода — мы используем один тип перекрестка, называемый плоским (классическим)\ он изображается обыкновенным пересечением двух линий на плоскости; кроме того, мы допускаем виртуальные перекрестки. Движения Рейдемейстера для плоских виртуальных узлов изображены на рис. 1.18.
Простейший пример плоского виртуального узла, который не может быть сведен к тривиальному, изображен на рис. 3.19.
Виртуальные узлы поднимаются на “утолщенные” поверхности. Если не обращать внимание на то, какая ветвь виртуального узла в классическом перекрестке проходит выше, а какая — ниже (забыть про структуру проходов/переходов), мы получим естественное поднятие плоских виртуальных узлов на двумерные поверхности (утолщение не требуется); здесь мы они-
1.1. Введение________________________________________26
Рис. 1.19. Простейший нетривиальный плоский виртуальный узел
шем другой способ поднятия, отличный от описанного на стр. 22.
Поднятие происходит в два этапа. Сначала по виртуальной диаграмме L мы строим поверхность с краем следующим образом. В каждом классическом перекрестке диаграммы зацепления мы располагаем крест (верхняя часть рис. 1.20), а в каждом виртуальном перекрестке — пару неиересека-
1.1. Введение
27
ющихся лент (нижняя картинка), ср. [КК]. Соединяя эти кресты и ленты лентами (не перекрученными), идущими вдоль дуг зацепления, мы получаем ориентируемое двумерное многообразие с краем, которое мы обозначим через М'.
Естественным образом проекция диаграммы зацепления L отображается в М' таким образом, что дуги диаграммы отображаются в средние линии лент, а классические (плоские) перекрестки соответствуют перекресткам внутри крестов. Следовательно, мы получаем набор кривых 6 С М'. Заклеивая дисками граничные компоненты многообразия М\ мы получаем ориентируемое многообразие М = М(Ь) без края с набором кривых 6, погруженных в него.
Это приводит нас к теореме, см. наир., [КК].
Теорема 1.1. Плоские виртуальные зацепления — это классы эквивалентности конечных наборов ориентированных кривых в двумерных по-верхпостях, рассмотренных с точностью до свободной гомотопии, стабилизации и дестабилизации.
Вопрос о том, являются ли два таких задания плоского виртуального зацепления эквивалентными в категории плоских виртуальных узлов легко распознается алгоритмически. Впервые это было сделано Б. Райнхартом [ReinJ. Ниже мы приводим один алгоритм такого распознавания. Настоящий алгоритм и его связь с виртуальными узлами был сообщен автору
Рис. 1.20. Локальная структура поверхности М'
1.1. Введение
28
Е.А.Кудрявцевой. Здесь двумерная поверхность подразумевается ориентированной, замкнутой и имеющей конечное число компонент связности (если 5 несвязна, то ориентированной предполагается каждая из ее компонент связности).
Определим эквивалентность с точностью до свободной гомотопии и стабилизации более точно.
Пусть 5 — множество всех пар (М,6), где М — гладкая ориентированная замкнутая двумерная поверхность без края (возможно несвязная, но с конечным числом связных компонент), а 6 — неупорядоченное конечное семейство замкнутых кривых, погруженных в М. В дальнейшем мы будем рассматривать лишь погружения общего положения.
Определим классы эквивалентности на множестве 5 посредством следующих элементарных отношений эквивалентности:
1. Если существует гомеоморфизм М —> М\ отождествляющий наборы 5 и 5\ то две пары (А/. 6), (М'.б') эквивалентны,
2. Для фиксированного многообразия М если набор кривых 6 свободно гомотопен набору кривых 6' в М. то пары (М,6) и (М, (5') эквивалентны.
3. Если /V является многообразием, полученным из М удалением двух дисков, не пересекающих кривых из 6, и вклеиванием ориентированных ручек на их место (стабилизация), то пары (М. 6) и (Лг, 6) эквивалентны.
4. Для каждого компактного замкнутого ориентированного двумерного многообразия N пары (М,д) и (М и М, 6) являются эквивалентными.
Естественно, вместе с каждым элементарным преобразованием рассматривается также и обратное преобразование; так, преобразование, обратное к стабилизации называется дестабилизацией.
Б п.4, и означает несвязную сумму многообразия М (со всеми кривыми из набора 6 па этом многообразии) и многообразия N (с пустым набором кривых).
1.1. Введкник
29
В дальнейшем такие комбинаторные объекты понадобятся нам для построения более сильных инвариантов виртуальных узлов (Е-полином, см. гл. 4, раздел 4.2.2).
Идея распознавания плоских виртуальных узлов состоит в том, что дестабилизация не препятствует движениям, уменьшающим количество перекрестков и наоборот. Таким образом, упрощение можно производить в любом порядке. Опишем это более подробно.
Рассмотрим элемент (А/, 5) € Назовем двуугольником два отрезка /ь /2 кривых (или одной кривой) из 6, такие, что пересечение 1\ П /2 = д1\ = дЬ состоит из двух точек, при этом объединение 1\ и 1о ограничивает диск на М. Под петлей будем понимать отрезок кривой из набора 6> концевые точки которого совпадают, при этом отрезок не имеет других точек самопересечения, кроме концевых, а получившаяся замкнутая кривая ограничивает диск на М.
Алгоритм распознавания сводится к поиску возможности дестабилизировать поверхность (уменьшить род) либо к уменьшению количества пересечений посредством разведения двуугольника или удаления петли, см. рис. 1.21. В случае, когда ничего из вышеперечисленного сделать невозможно. диаграмма называется минимальной.
Минимальные диаграммы получаются друг из друга последовательным применением третьего движения Рсйдемейстера, которое не меняет ни по верхпости, ни количества перекрестков. Поэтому распознавание двух эк-
Рис. 1.21. Удаление петли и разведение двуугольника
1.1. Введение
30
Бивалентных минимальных диаграмм представляет собой простую комбинаторную задачу, которая решается перебором.
Таким образом, плоские виртуальные узлы — нетривиальное (но полностью описанное алгоритмически) первое приближение виртуальных узлов, допускающее наглядную геометрическую интерпретацию.
Параллельно теории узлов строится теория кос (впервые понятие введено Э.Артином, [Arfcl]). Под группой кос из п нитей понимается фундаментальная группа конфигурационного пространства неупорядоченных наборов из п различных точек на комплексной прямой. Таким образом, для задания косы из п нитей нужно задать замкнутый путь в этом конфигурационном пространстве, т.е. описать траекторию движения набора п точек во времени так, чтобы они в конечный момент попали на место изначальных точек (в некотором порядке). При этом порядок точек не фиксирован. Если фиксировать порядок точек, мы придем к понятию крашеных кос. Косы можно рассматривать в гладкой или в кусочно-линейной категории, при этом в гладкой категории стандартным образом определяется сглаживание при взятии операции произведения кос.
Обычно за точку отсчета (в конфигурационном пространстве) берут набор целых точек 1,..., n € Z С С.
Траектории движения отдельных точек представляют собой нити косы. Гомотопия в пространстве кос представляет собой гладкую (кусочно-линейную) деформацию всех нитей без пересечений.
Существует естественная операция замыкания кос: если соединить каждый верхний конец косы с ее соответствующим нижним концом, мы получим корректно определенный класс зацепления, см. рис. 1.22.
Классы эквивалентности кос имеют естественную структуру группы.
Параллельно с теорией виртуальных узлов существует теория виртуальных кос, впервые рассматривавшаяся в работах В.В.Вершинина, (Ver], С. Камады, [Кат], см. также (МаЗ, KL, KL2]. Группа виртуальных кос из п нитей представляет собой группу с двумя семействами образующих: п - 1 классических (как у классических кос) и п - 1 виртуальных (как у группы перестановок); соотношения соответствуют обобщенным движениям Рей-демейстера (всем, кроме первого классического и первого виртуально-
1.1. Введение
31
Рис. 1.22. Замыкание косы
го Ü[) и дальней коммутативности (см. далее). Они разделяются на три группы: классические соотношения (относящиеся к классическим образующим), соотношения группы перестановок (относящиеся к виртуальным образующим) и смешанные соотношения (соответствующие полувиртуаль-ному движению П").
Подобно тому, как замыкания классических кос задают классические узлы или зацепления, замыкания виртуальных кос дают виртуальные узлы или зацепления. При этом такие зацепления автоматически являются ориентируемыми: ориентация наследуется из косы, если все нити косы ориентировать сверху вниз. Пример виртуальной косы изображен на рис. 1.23.
Имеется ряд естественных аспектов теории классических и виртуальных кос. Отметим наиболее важные из них.
1. Любое ориентированное классическое зацепление может быть получено замыканием некоторой косы. Это доказано в [А1еЗ]. Любое виртуальное ориентированное зацепление может быть получено замыканием некоторой виртуальной косы [Каш, Ver].
2. Замыкания изотопных (в классическом случае) или эквивалентных (в виртуальном случае) кос задают изотопные (эквивалентные) зацепления. Это утверждение следует из определений.
3. Две классические косы, имеющие эквивалентные замыкания, иолу-
1.1. Введение
32
Рис. 1.23. Виртуальная коса
чаются друг из друга последовательным применением так называемых движений Маркова (Бирман [Ви*2], Мортон [Мог] и др.), и т.д. Две виртуальные косы, имеющие эквивалентные замыкания, получаются друг из друга последовательным применением виртуальных движений Маркова (С.Камада); другой набор достаточных движений предложен Л.Кауфманом и С.Ламбропулу [КБ].
Важное место принадлежит следующим вопросам.
4. Группа классических кос естественно вложена в группу виртуальных кос. Впервые этот факт был доказан Фенном, Риманьи и Рурком в [ПШ], в настоящей диссертации в главе 7 мы приводим доказательство, основанное на инварианте Т [МаЗ], построенном автором.
Отметим, что утверждение о взаимной однозначности естественного отображения множества классических узлов в подмножество множества виртуальных узлов не эквивалентно аналогичному вопросу о косах. Более того, никакое из этих двух утверждений не является прямым следствием другого.
о. Классические косы допускают множество алгоритмов распознавания, см., напр.,[АгЦ, БеЫ), явно описываемые полные инварианты, а также точные конечномерные представления [В1§1, Кга]. Кроме того, для классической группы кос из произвольного числа нитей положительно решается проблема сопряженности [Саг]. Алгоритм Деорнуа приводит к упорядоче-
1-2. Мотивация
33
нию классических кос, см. [Dehl, MN].
Для случая виртуальных кос алгоритм распознавания построен В. Г. Бар-даковым посредством приведения кос к нормальной форме, см. [Ваг].
Автором настоя щей диссертации построен инвариант виртуальных кос, являющийся обобщением одного полного инварианта классических кос. 51в-ляется ли этот инвариант полным, до сих нор неизвестно.
К настоящему моменту не решена проблема сопряженности для виртуальных кос, а также открыт вопрос о том, являются ли группы виртуальных кос линейными.
6. Также актуален вопрос построения инвариантов узлов посредством кос. В классическом случае построению таких инвариантов положил начало В.Джонс [Jon2), построивший инвариант зацеплений с использованием теоремы Маркова. В дальнейшем это привело к теории квантовых инвариантов классических узлов. Теория квантовых инвариантов виртуальных узлов до конца не построена; важным препятствием для построения такой теории является первое виртуальное движение Рейдемейстера Q[. Если исключить это движение из списка, мы получим теорию жестких виртуальных узлов, на которые продолжаются вес квантовые инварианты классических узлов (теорема Кауфмана из работы [Каи7]). Теория жестких узлов является более точным приближением к теории классических узлов, чем теория виртуальных узлов.
1.2. Мотивация
Основными темами диссертации являются виртуальные узлы и гомологии Хованова.
Виртуальные узлы представляют интерес по следующим причинам.
1. Являясь классическими объектами трехмерной топологии (узлы в утолщенных поверхностях, рассматриваемые с точностью до стабилизации), они допускают исследование объектов трехмерной топологии с использованием комбинаторной техники (плоских диаграмм с проходами-переходами, гауссовых диаграмм). Они также дают подход к изучению трехмерных многообразий с коническими особенностями (виртуальные трех-
1.2. Мотивация
34
мерные многообразия (OKI]), а также к узлам в трехмерных многообразиях. Таким образом, любая теорема о виртуальных узлах (доказанная, например, комбинаторными методами с использованием плоских диаграмм) является теоремой об узлах в утолщенных поверхностях вида Sgx I в силу теоремы Куперберга (Кир] (см. гл. 2).
2. Доказательство некоторых классических теорем использует виртуальные узлы. К таковым относится, например, теорема Гусарова [GPVJ о существовании комбинаторных формул типа Виро-Поляка [PV] для вычисления инвариантов Васильева классических узлов. В этих формулах появляются нереализуемые гауссовы диаграммы, т.е. виртуальные узлы.
3. Теория гомологий Хованова узлов в утолщенных поверхностях строится с использованием идей теории виртуальных узлов (см. главы 5,6 настоящей диссертации).
4. Задача о планарности графов с крестовой структурой (происходящая из теории инвариантов Васильева классических узлов) решается методами, заимствованными из теории виртуальных узлов (атомы, d-диаграммы и др), подробнее см. главу 8.
5. Виртуальные узлы (и узлы в утолщенных поверхностях Sg х /) стимулируют развитие и изучение различных алгебраических структур. К таковым относится, например, биалгебра Ли I олдмана-Тураева, [Tur5, Gold] и теория виртуальных струн, см. [Тиг4].
6. Некоторые инварианты виртуальных узлов, ограниченные на множество классических узлов, совпадают с хорошо известными классическими инвариантами (см. работы [Ма7, Ма8, DK1, DK2], обобщающими полином Джонса, фундаментальной группы, дистрибутивного группоида и квантовых инвариантов зацеплений). Эти инварианты освещают некоторые важные феномены теории виртуальных узлов, существование которых в классическом случае до сих пор является открытой проблемой: так, например, существует виртуальный узел /Г, имеющий группу, изоморфную группе Z, полином Джонса которого нетривиален (не равен 1). Этот феномен показывает, что узел К не является классическим, а также указывает на сложность вычисления полинома Джонса по топологическим инвариантам узлов в классическом случае.
1.2. Мотивация
Зо
Систематический поиск виртуальных узлов с тривиальным полиномом Джонса и попытка выявить среди них классические является, с одной стороны , подходом [РКМ] к классической давно стоящей задаче, которая до сих пор не решена, ас другой стороны стимулирует постановку новых задач о виртуальных узлах и, следовательно, об узлах в утолщенных поверхностях.
Другая такая задача -- вопрос о распознавании инвариантами Васильева обратимости узлов — до сих пор не решена в классическом случае, но легко решается в виртуальном случае.
7. В задаче распознавания плоских виртуальных узлов важную роль играют филаментации (см. работы Д. Хренсесина и Л. Кауфмана [Н, НК]). Это понятие было изначально введено С.Картером [Саг] для изучения вопроса. когда иммерсированная в трехмерное пространство кривая ограничивает диск, погруженный в это пространство. Таким образом, изучение плоских виртуальных узлов дает (частичный) ответ на вопросы о погружениях.
8. Виртуальные узлы стимулируют развитие новых теорий, напр., теория виртуальных графов Б.Меллора и Т.Флеминга [ГМ]; в этой работе приводятся обобщения метода виртуальных группоидов, предложенного в настоящей диссертации.
9. В диссертации (главы 4,5.6.8) установлен единый подход к теории виртуальным и классическим узлам посредством атомов. С точки зрения атомов и гауссовых диаграмм, а также некоторых инвариантов (скобка Кауфмана, инварианты Васильева, гомологии Хованова) классические узлы естественно рассматривать как составную часть множества виртуальных узлов.
10. В работах [Ъ21> ЪЪ2] хорошо известные методы перечисления комбинаторных объектов посредством гауссовых интегралов нашли свое применение для перечисления альтернированных диаграмм виртуальных узлов, которые возникают естественным образом при перечислении неплоских че-тырехвалеитных графов.
1.3. Цели исследования
36
1.3. Цели исследования
Построить теорию гомологий Хованова для виртуальных узлов. Изучить свойства гомологий Хованова классических и виртуальных узлов применительно к оценкам характеристик узлов (сложность и др).
Выявить феномены теории виртуальных узлов, которые не имеют места для классических узлов.
С помощью новых и уже имеющихся инвариантов виртуальных узлов определять их неклассичность.
Выяснить связь между инвариантами Васильева классических и виртуальных узлов.
Доказать гипотезу Васильева о планарности графов с крестовой структурой.
Построить теорию инвариантов длинных виртуальных узлов.
Построить инварианты виртуальных кос и выявить их связь с классическими косами.
Доказать алгоритмическую распознаваемость виртуальных узлов.
3.4. Методы исследования
Одним из основных методов исследования настоящей диссертации является разработанный автором метод кодирования узлов и виртуальных узлов посредством так называемых атомов (А.Т.Фоменко, [F]) (а также (/-диаграмм для классических узлов). Атомы были впервые предложены А.Т.Фоменко для классификации интегрируемых гамильтоновых систем малой сложности, и в дальнейшем использовались автором при решении различных задач теории классических и виртуальных узлов. Так, метод атомов использован автором при построении теории гомологий Хованова виртуальных узлов. Этот метод также широко применяется в проблемах распознавания минимальности диаграмм классических и виртуальных зацеплений и позволяет установить единую точку зрения на все виртуальные узлы, неотъемлемой частью которых являются классические узлы. Как оказалось, род атома, тесно связанный с толщиной гомологий Хованова (см. гл. 5) также дает оценки для гомологий Ожвата-Сабо [Low].