Параллельные перенесения на поверхности проективного пространства

2
СОДЕРЖАНИЕ
ВВЕДЕНИЕ
А. Исторический обзор..............................................4
Б. Описание работы и результатов...................................8
ГЛАВА 1. Поверхность проективного пространства в репере нулевого порядка
§ 1. Структурные уравнения........................................14
§2. Фундаментальный объект высшего порядка........................17
§3. Центропроективиая связность...................................19
§4. Оснащение Бортолотти и индуцированные связности...............22
§5. Объект деформации.............................................23
§6. Вырожденные параллельные перенесения..........................25
§7. Параллельные перенесения произвольного направления............28
§8. Параллельные перенесения нормали 2-го рода....................32
§9. Протосвязность................................................36
§10. Параллельные перенесения касательного направления............39
ГЛАВА 2. Поверхность проективного пространства в репере первого порядка
§ 1. Расслоение, ассоциированное с поверхностью...................42
§2. Расслоение голономных линейных реперов........................46
§3. Связность в ассоциированном расслоении........................47
3
§4. Оснащение Э.Картана, нормализация А.П.Нордена
и композиционное оснащение.......................................49
§5. Индуцированные связности трех типов.............................50
§6. Тензоры деформации..............................................55
§7. О неподвижности гиперплоскости Бортолотти.......................58
§8. Тензор параллельности...........................................60
§9. Абсолютные параллельные перенесения нормали
2-го рода и плоскости Картана....................................63
§10. Перенесение А.П.Нордена........................................65
§11. Перенесение А.В.Чакмазяна......................................66
§12. Перенесение направления общего положения.......................67
§13. Коаффинное параллельное перенесение............................68
§14. Сильное перенесение нормального направления....................69
ГЛАВА 3. Поверхность проективного пространства в репере второго порядка
§ 1. Ассоциированное расслоение.....................................77
§2. Объекты связности и кривизны....................................81
§3. Композиционное оснащение и индуцированные связности.............84
§4. Тензор деформации...............................................86
§5. Условия совпадения индуцированных связностей....................89
§6. Тензор параллельности...........................................91
§7. Параллельные перенесения оснащающих плоскостей..................99
§8. Линейные параллельные перенесения...............................96
§9. Нелинейные параллельные перенесения.............................98
Библиографический список...........................................100
4
ВВЕДЕНИЕ А. Исторический обзор
В дифференциальной геометрии важное место занимает теория связностей в различных расслоенных пространствах, а также применение этой теории при исследовании погруженных многообразий. Теории связностей положила начало в 1917 г. работа Леви-Чивита [58] о параллельном перенесении касательного к поверхности вектора в римановом пространстве. Эта идея сразу нашла важные приложения в общей теории относительности и была обобщена в разных направлениях. В частности, сформировалось понятие аффинной связности. Э.Картан касательные векторные пространства дифференцируемого многообразия заменяет аффинными или проективными пространствами и задает отображения соседних пространств друг на друга, что приводит к пространствам аффинной и проективной связностей. В.В.Вагнер [1] и Ш.Эресман [56] независимо друг от друга ввели общее понятие связности в расслоенном пространстве.
Дальнейшее развитие теории связностей с привлечением методов Э.Картана и теории геометрических объектов дано в работах Г.Ф.Лаптева
[8]. В своих исследованиях Г'.Ф.Лаптев придерживался локальной точки зрения, однако, благодаря применяемому методу, полученные результаты фактически приобретают глобальный характер. Одновременно с развитием обшей теории погруженных многообразий Лаптев изучат пространства с фундаментально групповой связностью. Им было введено и развито понятие многообразия геометрических объектов, т.е. многообразия расслоенной структуры, снабженного полем образующего элемента, и изложены основы теории дифференциальной связности в многообразиях геометрических элементов, созданной с помощью введения определяющих связ-
5
ность отображений. В дальнейшем связность в расслоенных пространствах вводилась Лаптевым также как поле некоторого объекта, называемого объектом связности [9]. Понятие связности, возникшее в дифференциальной геометрии как обобщение понятия параллельного перенесения, в дальнейшем стало отождествляться с понятием геометрического объекта специального вида. Объект связности (того или иного порядка) является геометрическим объектом относительно дифференциальной группы (соответствующего порядка), либо обобщенной (в каком-то смысле) дифференциальной группы (напр., проективной дифференциальной группы) [10].
Начинает применяться другая трактовка [37] понятия связности, при которой над многообразием как над базой рассматривается последовательность расслоений, слои которых являются линейными представлениями дифференциальных групп, а связность ассоциируется с полями плоскостей, располагающихся в слоях этих расслоений. При этой трактовке понятие связности получает наглядную геометрическую интерпретацию, наблюдается аналогия с конструкциями, рассматриваемыми в классической дифференциальной геометрии. С этой точки зрения изучены аффинные связности и проективные связности.
Наряду с теорией связностей в главных расслоениях создается теория связностей в более общих однородных расслоениях. Связность в однородном расслоении вводится как дифференцируемое распределение, удовлетворяющее некоторым дополнительным условиям. Так ее определил Ю.Г.Лумисте [11,12]. Вагнер рассматривал не только однородные расслоения, но также расслоения, типовыми слоями которых являются общие пространства Веблсна-Уайтхеда, г.е. гладкие многообразия, и вводит в них связности (как линейные, так и нелинейные) при помощи систем дифференциальных уравнений определенного вида в локальных координатах. Лаптев ограничивается линейными связностями, определяя их как множе-
6
ства отображений бесконечно близких слоев расслоения, соответствующих касательным векторам базисного многообразия, удовлетворяющих определенным условиям. Нелинейные связности в широком смысле аппаратом, разработанным Лаптевым, исследовал Л.Е.Евтушик [2].
Многие исследователи применяли связности в касательных расслоениях при изучении геометрии подмногообразий, вложенных в риманово пространство, в частности, в пространство постоянной кривизны. Первые применения понятия связности к геометрии подмногообразий в проективном пространстве дал Э.Картан. Г.Ф.Лаптев, следуя идеям Картана, выделил естественным образом комплекс внутренних геометрий на многомерной поверхности пространства аффинной связности. А.П.Норденом [16] разработан метод нормализации, позволяющий на подмногообразиях проективного пространства индуцировать аффинные связности без кручения.
А.В.Столяров [38] вводил аффинные связности на гиперполосном распределении и двойственные им линейные связности на оснащенных многообразиях пространства проективной связности. В работе [39] показано, что в слу'чае гиперполосы п-мерного проективного пространства поле характеристик является параллельным в нормальной связности.
Э.Картан [5] вводил внутренне нормальное дифференцирование и гауссово кручение подмногообразия. В настоящее время эти понятия можно истолковать с помощью связности в нормальном расслоении и ее форм кривизны. Подмногообразия с общим параллельным нормальным векторным полем в пространствах постоянной кривизны рассматривались Ю.Г.Лумисте и А.В.Чакмазяном [13]. Детальное исследование локального строения подмногообразий в пространствах постоянной кривизны, допускающих параллельное поле р-мерных нормальных направлений дано
А.В.Чакмазяном в [41]. В работах [42,43] исследовано локальное строение подмногообразия проективного пространства, нормализованного по Нор-
7
дену, допускающего параллельное поле р-мерных нормальных направлений. Уравнения параллельного перенесения А-струи получены
В.В.Шурыгиным в [54]. В работе [14] М.А.Малахальцев рассматривает внутреннюю геометрию связности Нейфельда и ее связь с нормализацией, задающей эту связность. Доказано, что задание нормализации эквивалентно заданию ковекторного поля, найдены условия на этот ковектор, при которых связность допускает поле абсолютно параллельного ковектора.
Н.В.Талантовой в [40] дано геометрическое истолкование параллельного переноса вектора во внутренней геометрии нормализованной поверхности.
Для исследования многообразий, погруженных в какое-либо пространство представления Лаптев предлагает следующее [9]: 1) в исходном пространстве представления задается какое-либо погруженное многообразие системой линейных зависимостей между формами, определяющими это пространство представления; 2) система уравнений погруженного многообразия продолжается путем последовательного внешнего дифференцирования, сопровождаемого применением леммы Картана, в результате чего получается последовательность представлений, определяемая вполне интегрируемой системой форм (фундаментальные представления); 3) строятся всевозможные представления, охватываемые фундаментальными; 4) изучаются полученные представления и связи между ними. Эта схема исследования погруженных многообразий названа методом продолжений и охватов.
Большое внимание оснащениям уделено в работах Ю.И.Шевченко [50,52]. Введена обобщенная нормализация [44], позволяющая задать связность в главном расслоении, ассоциированном с поверхностью проективного пространства, представленной как многообразие соприкасающихся плоскостей, и состоящая в задании полей нормалей 1-го, 2-го и 3-го рода. С помощью удачного изложения понятия ковариантного дифферен-
циала геометрического объекта относительно связности главного расслоения [46,48] удалось дать геометрические интерпретации нелинейным связностям в узком смысле, а также линейной комбинации групповой связности на поверхности проективного пространства.
Б. Описание работы
Работа посвящена изучению параллельных перенесений направлений и плоскостей в линейных и нелинейных связностях в узком смысле вдоль линий поверхности проективного пространства, рассматриваемой в реперах 0-го, 1 -го и 2-го порядков. Параллельные перенесения задаются вполне и не вполне интегрируемыми системами дифференциальных уравнений и описываются с помощью ковариантных дифференциалов квазитензоров в случае нелинейных связностей и проективно-ковариантных дифференциалов в линейных связностях.
Методика исследований основана на применении способа Г.Ф.Лаптева задания связности в главных расслоениях и разработанного им метода продолжений и охватов.
В каждой главе все рассуждения проводятся по одной схеме.
1) В проективном пространстве Рп рассматривается поверхность Хт (0<т<п) как т-мерное многообразие (точек, касательных плоскостей, соприкасающихся плоскостей).
2) Подвижной репер адаптируется образующему элементу так, чтобы при его фиксации вторичные формы являлись инвариантными формами подгруппы в стационарности образующего элемента.
3) С поверхностью Хт в данном репере ассоциируется главное расслоение в(Хт)? базой которого является сама поверхность Хт, а типовым слоем - группа в.