Содержание
Введение................................................................ 5
1 Гарантированное оценивание. 18
1.1 Постановка задач гарантированного оценивания.................. 19
1.1.1 Задача множественного оценивания при неопределенности............. 19
1.1.2 Априорная информация о наборе неизвестных параметров.............. 21
1.1.3 Задача множественного оценивания при заданном ограничении на меры неопределенности набора неизвестных параметров.................... 23
1.2 Метод динамического программирования. Гарантированное оценивание
для задачи с ограничением на мягкую меру неопределенности............... 24
1.3 Решение задач гарантированного оценивания систем, подверженных влиянию нескольких источников помех............................................ 30
1.3.1 Задача оценивания при известном ограничении па смешанную меру неопределенности. Случай 1.......................................... 30
1.3.2 Задача оценивания при известном ограничении на смешанную меру неопределенности. Случай II......................................... 35
1.3.3 Алгоритм решения задачи оценивания для системы с геомеїриче-скими ограничениями.................................................... 45
1.4 Точечное оценивание неизвестного состояния системы. Ошибки оценивания......................................................................... 51
1.4.1 Точечные оценки и множества ошибок при известном уровне ограничения на меру неопределенности....................................... 52
1.5.......................................................Решение задачи типа Нж.................................................... 54
1.5.1 Построение оценок Нх в случае мягкой меры неопределенности. . 56
2
1.5.2 Построение оценок Н^ в случае жестких и смешанных мер неопределенности............................................................. 57
1.6 Совместное оценивание модели и состояния билинейной системы.... 59
1.6.1 Преобразование исходной билинейной системы к линейному виду. 59
1.6.2 Постановка и решение задач оценивания для преобразован ной системы.................................................................. 60
1.6.3 Схема получения опенок неизвестного состояния и переходной функции исходной системы............................................... 65
1.7 Примеры к первой главе.................................................. 66
1.7.1 Динамическое изменение гарантированных множественных оценок при ограничении на различные меры неопределенное!и. . 66
1.7.2 Пример оценивания неизвестного состояния и параметра модели некоторой билинейной системы........................................... 71
1.7.3 Иллюстрации....................................................... 73
2 Доверительное оценивание состояния системы при смешанной неопределенности. 78
2.1 Задача точечного оценивания............................................. 79
2.1.1 Постановка задачи точечного оценивания............................ 79
2.1.2 Построение рекуррентной точечной оценки математического ожидания при заданном векторе средних. Фильтр Калмана.............. 81
2.1.3 Построение множественной оценки неизвестного вокюра средних. 82
2.1.4 Решение задачи точечного оценивания............................... 92
2.2 Задача доверительного оценивания........................................ 91
2.3 Смешанный стохастический //* фильтр............................ 99
2Л Примеры ко второй главе................................................ 101
2.4.1 Динамическое изменение доверительных множественных оценок
при фиксированных векторах средних...............................102
2.4.2 Динамическое изменение множественных оценок вектора средних
при ограничении на различные меры неопределенности...............102
3
2.4.3 Построение доверительных множественных оценок при ограни-
чении на различные меры неопределенности набора неизвестных векторов средних...............................................105
2.4.4 Условно-доверительные оценки...................................106
2.4.5 Иллюстрации....................................................107
4
Введение.
Задача оценивания (фильтрации) состояния параметров систем по результатам измерения доступных наблюдению величин в условиях постоянно действующих входных воздействий — одна из центральных в теории управления [5, 23). Она мотивирована различными прикладными проблемами в областях обработки н передачи сигналов и телекоммуникации, навигации и управления по неполным данным, аніомаїнзацин, а также многочисленными задачами математического моделирования в целом. В названных задачах источники помех могут порождать входные во.меіісівпя различноіі природы, например, электронной или механической. Электронные возмущения обычно полагаются случайными (распределенными чаще всего по нормальному закону). Априорная информация о механических возмущениях часто недостаточна для юго. чюбы высказать какие-либо предположения об их распределении. Обычно но.іаіакн, чю доступна лишь информация о диапазоне значений некоторой нсотрицліелмюіі функции этих возмущений — так называемой меры нсопрсгісленшкти. Отметм. чю оффекі, аналогичный воздействию возмущений, может быть іакжс вызван неполной информацией о параметрах модели системы.
В условиях статистического описания неопределенных параметров нее іедование задачи оценивания привело в сороковые годы прошлого столетия к раірлбоїке теории фильтрации Колмогорова—Винера 118. 95]. В связи с развитием с релеї» авгомашза-ции в 1960 году появилась теория фильтрации Калмана |60|, нацеленная на решение подобных задач для процессов управления. Главной особенноеп>ю филырл Калмана является го, что оценка состояния системы может быть получена рекуррению из достаточно простых уравнений. Таким образом, процедура ее получения яв.іяеіся адаптивной, позволяющей уточнять решения по мере поступления НОВЫХ измерении
В отсутствие статистической информации о помехах подобными {здачами занимается теория гарантированного оценивания, инициированная 11.11 Красовским |22| и получившая развитие в работах А.Ь.Куржанского 124. 25. 261. Л П Верісекаса и И.В.Родеса |38|, Х.С.Витлепхаузеиа |96|. Ф.Л. Черноусы«» |88|. С* Швеппе 191 ]. Решение задачи в этих работах сводится, как правило, к описанию эволюции
некоторых областей, называемых далее информационными множествами, которые содержат все состояния системы, совместимые как с результатами измерений, гак и с априорными ограничениями на неопределенные возмущения. Описание указанных областей, таким образом, обеспечивает гарантированные оценки искомых величин. Они строятся, как и в первом случае, адаптивно, по реализовавшимся значениям измеренных параметров. В последующие годы теория гарантированного оценивания была широко развита в части изучения вопросов идентификации, нелинейных задач, а также задач оценивания для систем с распределенными параметрам и (2, 34, 36, 37, 69, 70, 71, 72, 73, 74, 76. 78, 79. 83. 84, 94, 33, 59, 63, 56|. Интенсивно разрабатывались и соответствующие вычислительные процедуры |13, 46. 55. 62. 75, 671.
На практике часто встречаются случаи, когда на траекторию движения системы и устройства, при помощи которых производятся измерения, оказываю! влияния несколько источников возмущений. Они могут порождать помехи как однотипной, гак и различной функциона 1Ьной природы. Решению задач оценивания для систем с подобными комбинированными возмущениями посвящена настоящая работа.
Следует подчеркнуть что рассмотренные в диссертации задачи оценивания конечномерных траекторий но результатам измерений относятся к числу "обратых" |4| При этом упомянутые в данной работе решения задачи с мягкими интегральными ограничениями являются в бесконечномерном случае аналогами уравнений известию регудя-рнзатора Л.11.Тихонова. |73|. В данной работе основное внимание уделено рассмотрению комбинированных ограничений на возмущения, применению динамического программирования и обеспечению рекуррентности решении — аффективном) IKK Iроению динамических оценок, особенно важных для управляемых процессов.
Целью работы является разработка методов динамического программирования для построения рекуррентных решений задач гарантированного и стохастическою оценивания неизвестного состояния дискретных систем с комбинированными возмущениями, в числе которых могут быть случайные составляющие, а также составляющие, не допускающие статистического описания, с заданным ограничением на меру неопределенности набора неизвестных параметров или с неизвестным ограничением на эту меру (задач типа Пх),
6
Предложенный в работе подход основан на применении техники динамического программирования. При получении решения использован принцип оптимальности 1391, модифицированный для рассматриваемого круга задач. Это позволяет выполнить одно из основных требований к решениям — добиться их рекуррентности.
Как отмечалось в работах (35, 36, 67 |, центральным в методе динамического программирования для задач гарантированного оценивания является понято информаци-онной функции, которая задается как решение прямого уравнения Гамилмона—Якоби— -Веллмана или его дискретного аналога. Информационная функция обладает юм свойством, что ее множества уровня совпадают с упомянутыми выше информационными множествами — решениями задач гарантированного оценивания. Таким образом, последующие решения будут следовать схеме Л: принцип оптимальности — информационная функция — информационное множество. При этом соответствующие решения будут определены в рекуррентной форме.
Первая глава диссертации посвящена развитию методов гарантированного оценивания. Предполагается, что система подвержена комбинированному воздействию нескольких источников возмущений, причем какая-либо статистическая информация о помехах отсутствует.
Рассматривается линейная система, моделируемая уравнениями динамики
.г(/) .!(/ — 1 ).г(/ — 1) I Н(/ — I)г(/— 1). / I //. П)
и уравнениями наблюдений
у(?) - Сг,(/).ф) -4 /«(/)» I - 1 п. (2)
Здесь векторы ,т(0)____1 .г(г>) е Шг — начальное и текущие состояния сичемы Век-
торы !•(/ — 1) € Шр и »«(/) 6 #?"*, / I и обозначают неопределенные возмущения, которые могут быть порождены несколькими источниками помех Матрицы Л(г— 1). Щ/- 1). (7(/), I 1 п считаются известными, гану.Ц/) г, г I) п - 1.
Введем обозначение:
«Ы1 Ш «(/)}..*</.
7
Под СО.п) будем понимать следующий набор неопределенных параметров:
<(Т7п) - {.т(0), ?>((). п - 1],го(1,т>|}.
Основная задача состоит в том, чтобы по известным измерениям //[ 1. п| //, п оценить
значение вектора х(п) при некоторой дополнительной информации о наборе неизвестных параметров С(Т7й), входящих в систему.
В главе 1 предполагается, что информация о неизвестных параметрах набора СО-") задается при помощи ограничения на некоторую функцию /*(С(1.")), а именно, имеет место неравенство
тт^))<и2. с*>
Под мерой неопределенности вектора и в работе понимается функция <&(11..|*)-Ц«1-1Г*||аи (I. - - «’)•
где вектор //' и весовая матрица IV Цт/ > 0 — заданы.
В данной работе в качестве ^«(ТТн)) рассматриваются меры неопределенности набора неизвестных параметров. Они представляют собой различные комбинации, получаемые применением операций суммирования и или максимизации к мерам неопределенности векторов, составляющих зтот набор. Если используется тлько операция суммирования, то меру неопределенности набора неизвестных параметров будем называть мягкой, если только операция максимизации — жесткой, а в случае их комбинации — смешанной. Отметим, что основное внимание в работе уделяемся задачам оценивания неизвестного состояния систем, меры неопределенности набора неизвестных параметров которых являются смешанными.
В зависимости от того, доступна ли информация о числе /г в неравенстве (.}), можно рассматривать различные задачи. В работе анализируются два случая: когда число //• известно и когда оно априори не задано.
В первом случае предполагается, что//2 — фиксированное число, и рассматривается задача гарантированного оценивания вектора .г(п) при помощи множества.
8
Во втором, когда число//2 не задано, основное внимание уделяется поиску наименьшей положительной константы, ограничивающей отношение между ’’входом” и ’’выходом” системы (1)-(2) (аналогично тому, как ото делается в /Утеории управления [ 371).
Раздел 1.1 диссертации посвящен постановке задач гарантированного оценивания для систем с комбинированными возмущениями.
Здесь вводятся в рассмотрение различные виды функций /"(((I. я)) --- мер неопределенности набора неизвестных параметров С(Т777), и для каждой из них рассматривается следующая задача:
3 а д а ч а 1. Рассмотрим систему уравнении (1)—(2). Предположим, что неизвестные возмущения в этой системе порождены несколькими источниками помех и определена некоторая функция ^(С(1.и)) --- мера неопределенности, содержащая информацию об тих возмущениях.
Пусть заданы измерения у\ 1. я| - щ п и некоторое число /г.
Требуется найти информационное множество Х,,{н) векторов .г(п). совместимых с уравнениями системы (1)—(2) и ограничением (1) на функцию Т\£( I. //) )•
В работе приводится решение Задачи 1 для различных видов функций ^{<(1.//)). полученное при помощи методов динамического программирования но схеме Л. упомянутой выше.
В разделе 1.2 эта схема описана более детально. Здесь вводится понято информационной функции для Задачи 1 и показывается, что информационное мпожеаво може1 быть получено как сечение этой функции на уровне /г.
Затем рассматривается известная задача гарантированного оценивания ( Задача 2(1)), подобная Задаче 1, но предполагается, что возмущения в снсюмс порождены одним источником помех. Здесь в качестве функции ЯС(Кп)) рассматривается мягкая мера неопределенности набора неизвестных параметров, задаваемая функцией
г>
Ф«(0)) 1И0) - т(0))||;. ) У^(|||'(/ - 1) - г(/ - 1 )||Д, , I |М|)-«П|Ц|-; ,). (1)
* 1
Здесь /ДО), М, N — заданные симметричные положительно определенные ширины, С(1,п) — {х(0),5>|0, п — 1|? й?|1, л|} — фиксированный набор векторов.
9
Решение этой задачи приведено для более четкого изложения результатов диссертации. В отличие от предыдущих работ, оно получено методом динамического программирования но схеме Л. В диссертации отмечено, что информационная функция такой задачи, а именно
У(х. п) - тш{Ф(С(0))|<(1.")}.
порождает отображение, обладающее полугрунповым свойством п. глсловакмыю, ее вычисление можно проводить последовательно. Далее показано, что в рассматриваемом случае информационная функция на каждом шаге может быть представлена в виде суммы квадратичной формы и константы, значит, ее сечение — информационное множество — представляет собой эллипсоид, уравнения центра и матрицы которого задаются рекуррентными формулами (Теорема 2).
Следует подчеркнуть что рассмотренные в диссертации задачи оценивания конечномерных траекторий по результатам измерений относятся к числу ’’обратных” |1|. При этом решения, упомянутой выше задачи оценивания неизвестного состояния системы при ограничении на мягкую меру неопределенности, являются в бесконечномерном случае аналогами уравнений известного регуляризатора Д.II.Тихонова |73|, построенного в виде рекуррентного решения.
В разделе 1.3 анализируются линейные системы, возмущения в которых порождены несколькими источниками помех. Каждому из которых отвечает своя мера неопределенности. В пункте 1.3.1 изучается система, помехи в которой порождены двумя источниками возмущений: один из которых влияет на динамику системы, а другой на точность измерений. В пункте 1.3.2 предполагается, что система подвержена влиянию я источников помех, каждый из которых оказывает воздействие как на динамику системы, так и на точность измерения.
Информация о системе в таких случаях может быть задана, через ограничение на функцию от мер неопределенности наборов неизвестных параметров, порождаемых каждым из источников возмущений. В качестве таких функций в работе рассматриваются смешанные меры неопределенности набора неизвестных иарамсфов С(1.и) (Задачи 2(2) и 5). Вычислить информационные функции подобных задач напрямую довольно сложно, поэтому в работе предложен следующий прием: вначале показано, что инфор-
10
- Київ+380960830922