ОГЛАВЛЕНИЕ
ВЕДЕНИЕ..........................................................1
ЛАВА 1. АСИМПТОТИКА ВЕРОЯТНОСТИ ОДНОВРЕМЕННЫХ КСТРЕМУМОВ ДВУХ ГАУССОВСКИХ СТАЦИОНАРНЫХ РОЦЕССОВ.........................................................13
1.1 ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ.......................................13
1.2 ВСПОМОГАТЕЛЬНЫЕ УТВЕРЖДЕНИЯ...............................16
1.3 ДОКАЗАТЕЛЬСТВА ТЕОРЕМ.....................................32
ЛАВА 2. АСИМПТОТИКА ВЕРОЯТНОСТИ ДВОЙНОГО ЭКСТРЕМУМА ,ЛЯ ГАУССОВСКОГО СТАЦИОНАРНОГО ПОЛЯ..............................56
2.1 ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ.......................................56
2.2 ВСПОМОГАТЕЛЬНЫЕ УТВЕРЖДЕНИЯ...............................58
2.3 ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ТЕОРЕМЫ....................................70
ЛАВА 3. О ЗАДАЧЕ О КЛАСТЕРАХ ДЛЯ ГАУССОВСКОГО ТАЦИОНАРНОГО ПРОЦЕССА............................................78
3.1 ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ.......................................78
3.2 ВСПОМОГАТЕЛЬНЫЕ УТВЕРЖДЕНИЯ...............................80
3.3 ДОКАЗАТЕЛЬСТВА ТЕОРЕМ.....................................81
:писок ЛИТЕРАТУРЫ
95
ВВЕДЕНИЕ
В последние десятилетия всесторонне исследуется и развивается теория гауссовских случайных процессов и полей. Это связано с тем, что гауссовское распределение представляет собой весьма обширную область теории случайных процессов, а также с естественностью задания гауссовских распределений. Привлекательность гауссовских процессов состоит в том, что имеется возможность получения для случая гауссовских случайных процессов общих предельных теорем в терминах естественных характеристик — математического ожидания и ковариационной функции. Значительные успехи достигнуты в изучении распределения супремума траекторий, в предельных теоремах, в изучении свойств регулярности траекторий гауссовских функций и задачах типа пересечения уровня. Эти проблемы и еще ряд других направлений в теории гауссовских процессов достаточно полно освещены в работах [12], [14].
Настоящая работа посвящена изучению асимптотических свойств вероятности двойного экстремума для гауссовских стационарных процессов и полей.
Эти задачи берут начало с работ Д.Пикандса [45], [46]. Д. Пикандс первым предложил естественный и красивый способ вычисления точной асимптотики вероятности
для гауссовских стационарных процессов Х({). Этот способ основан на принципе локализации, то есть выделении малого подмножества параметрического множества Т, которое вносит доминирующий вклад в асимптотику. В работе [45] автор предложил эффективный метод изучения последней вероятности для гауссовского стационарного процесса с ковариацией, удовлетворяющей некоторым условиям, но при этом были допущены принципиальные ошибки. Устранению этих ошибок и дальнейшей разработке способа нахождения точной асимптотики были посвящены работы В.И.Питербарга [21], С.Бермана [29], К.Кволса и Х.Ватанабе [48]. В процессе развития и уточнения этого метода оказалось, что в определенном смысле он
1
является аналогом метода Лапласа и эта аналогия имеет два подтекста.
Первый состоит в том, что если траектория непрерывного гауссовского процесса содержится в событии под знаком вероятности в рассматриваемом выражении, то она, как правило, достигает значений, превышающих уровень и, на множестве бесконечно малого при и —> эо диаметра.
Второй подтекст заключается в том, что эти множества малого диаметра, распределенные по всему параметрическому множеству Т в случае стационарного или близко к стационарному процесса, в нестационарном случае концентрируются вокруг множества точек, в которых достигается максимум дисперсии процесса X.
Позже, как видно из работ Ю.К.Беляева и В.И.Питербарга [2], К.Кволса и Х.Ватанабе [48], [49] и М.А. Лифдшца [8], [9], этот метод был обобщен на случай гауссовских стационарных полей, включая процессы и поля, определенные на бесконечномерных параметрических множествах.
Также в многочисленных задачах математической статистики, теории надежности, теории приближения случайных процессов и других возникают гауссовские процессы и поля, не являющиеся стационарными, хотя в некотором смысле и близкие к ним. Речь идет о так называемых локально стационарных процессах и полях. Впервые такой локально стационарный процесс с постоянной дисперсией исследовал
С. Берман в [26]. В работе [19] В.И. Питербарг и В.П. Присяжнюк изучили вероятность больших выходов гауссовского нестационарного процесса, дисперсия которого достигает абсолютного максимума в конечном числе точек и регулярно ведет себя в окрестностях этих точек. Локальная стационарность в данном случае означает, что в этих окрестностях корреляционная функция процесса близка к корреляционной функции некоторого стационарного гауссовского процесса (из изученного уже класса). В работе В.Р. Фаталова [22] найдены точные асимптотики для вероятностей больших уклонений локально стационарных гауссовских полей, дисперсия которых достигает своего максимума на произвольном компактном множестве в Ш'\
В работе [7] уделено значительное внимание случайной величине, равпой числу моментов времени, в которые траектория процесса пере-
2
секает произвольным уровень и за время Т. Эта и подобные ей случайные величины играют большую роль в теории связи, а также в ряде других областей. Еще один пример приложения последней теории — количественное описание надежности сложной физической системы, подверженной случайным возмущающим воздействиям. Случайные величины, которые изучаются в дальнейшем, позволяют получать содержательные статистические характеристики качества работы системы. Те же задачи рассматриваются и в работах [1], [2], [4]. В большинстве задач невозможно получить явное выражение для функции распределения этой случайной величины. Поэтому изложение в основном связано с вычислением моментов. Моменты полезны не только сами по себе, на их основе можно получать оценки и аппроксимизации интересующих нас вероятностей. В том числе, для максимума числа пересечений уровня на отрезке [О, Г] в работе [7] можно найти явное выражение асимптотического распределения при Т —> оо. Подобные результаты можно найти в работе [13].
Следующими результатами в этом направлении является пуассо-новская предельная теорема для числа выходов гауссовского стационарного процесса за высокий уровень, полученная Ю.К. Беляевым [1] и Г. Крамером [32], предельная теорема для максимума гауссовской стационарной последовательности (С. Берман, [26]). В дальнейшем изучению асимптотических свойств гауссовских процессов была посвящена обширная литература (работы [2], [3], [4], [46], [47], [48], [49]). Часть этих и связанные с ними результаты содержатся или прореферированы в [7].
Далее, в работах [11], [44] и [50] авторами получены точные формулы для вероятности пересечения границы гауссовскими стационарными процессами, где границы представляют собой некоторые нелинейные функции. В работах [44] и [50] для этого использован прямой метод получепия точной формулы для вероятности
(2 (ф),Т) = Р (Х(<) > с(<), для некоторого t < Т)
для кусочно-линейных границ, а затем обобщен для нелинейных границ, которые можно представить в виде предела кусочно-линейных функций. В работе [44] обобщение проведено с использованием метода повторного интегрирования, а в работе [50] — с помощью метода
3
Монте-Карло.
В ряде работ ([33], [34], [40], [42] и [43]) получено сначала асимптотическое распределение максимума элементов стационарной нормальной последовательности, которое зависит от корреляции между элементами последовательности, а на основе этого получены асимптотические оценки для стационарного гауссовского процесса.
В работе Дж. Хеслера [35] вводится массив гауссовских стандартных случайных переменых (£П),-,г > 0,гс > 0), таких, что (£п>:-,г > 0) — стационарная нормальная последовательность для каждого п > 0. При некоторых условиях на корреляцию между элементами массива найдены необходимые оценки для максимума элементов последовательности. Такие массивы из гауссовских последовательностей использовались далее для получения асимптотических оценок вероятностей достижения максимума непрерывного гауссовского процесса.
В работе Дж. Хеслера и В.И. Питербарга [36] найдены асимптотики для экстремальных значений дробного броуновского движения и гауссовских процессов с трендом. В доказательствах использовались результаты, полученные в работе X. Брейкера [25].
В работе Г.М. Молчана [10] дана асимптотическая оценка вероятности Р (X(t) < 1, — pu < t < и) при и —> оо для дробного броуновского движения с параметром 7. При условии, что р > 0, доказано, что вероятность не зависит от 7. Доказательства проводились с использованием свойств функций распределения этой вероятности.
Отметим также работы В.А. Дмитровского [5], К. Ферника [23] и В.В. Юринского [52], в которых содержатся одни из наиболее точных оценок для распределения максимума гауссовского поля, заданного на произвольном параметрическом множестве.
Продолжаются также исследования асимптотических свойств стационарных гауссовских процессов и полей. Так, в работе [30] автор обобщил результаты работ [3], [4], [45], [46]. Он изучил вероятность Р (supteT(X(t.) - fn(t)) > 0) при п —> ос для стационарных гауссовских процессов с правильно меняющейся в нуле корреляционной функцией и семейства непрерывных функций {fn(t)}, для которых, в частности, limn-^ooinfteTfn{t) = 00• Полученные результаты Дж. Кузик применял для изучения указанной вероятности, когда X(t) = W(t) — процесс броуновского движения.
ф
4
Важное значение имеет задача нахождения поправочный членов к асимптотике вероятности Р (тах^ Аг(*) > и) при и —» ос. Для достаточно гладких в среднем квадратическом гауссовских полей В.И. Питербаргом разработан метод (метод сравнения), позволяющий получить асимптотические разложения для этой вероятности, см. [12], [15]. В случае недифференцируемых процессов и полей вопрос отыскания поправочных членов остается открытым. Даже скорость сходимости к асимптотике здесь неизвестна. Она найдена В.Д. Конаковым [6] лишь для гауссовского стационарного процесса с корреляционной функцией вида г(£) = 1 — С|г| + о(|*|) при / —» О, С > 0.
Но метод Пикандса развивается не только для гауссовских процессов. Работы С.Бермана [26], П. Албина [24] и других содержат результаты для диффузионных и некоторых других процессов.
Все эти полученные результаты для стационарных процессов и полей имеют важное значение для прикладных исследований. Однако в некоторых задачах математической статистики, теории надежности и других областях возникает необходимость нахождения точной асимптотики двойного экстремума гауссовских процессов и полей. Первая и вторая главы настоящей диссертации представляют собой исследование в этом направлении. В первой главе найдены точные асимптотики для вероятности достижения одновременного экстремума для двух гауссовских стационарных процессов, а во второй главе — точные асимптотики для вероятности двойного экстремума гауссовского стационарного поля. Третья глава диссертации посвящена решению задачи о кластерах для гауссовских стационарных процессов. Такие задачи возникают также в теории надежности, в математической статистике и имеют важное значение для прикладных исследований. В работе [53] авторами предложены некоторые оценки для максимума гауссовского стационарного процесса при определенных условиях, наложенных на ковариационную функцию, а также некоторые интересные результаты для кластеров. В данной работе продолжается исследование в этой области. Решение этих проблем также также основывается на результатах Д.Пикандса [45], [46], В.И.Питербарга [21] и других авторов [7], [41].
Изложим теперь содержание работы.
Главный метод исследования — это ” метод двойной суммы” в том
5
виде, в каком он разработан В.И.Питербаргом в [17]. Метод двойной суммы сводит исследование вероятности выхода траектории гауссовского процесса за высокий уровень и на некотором множестве Т к исследованию вероятности выхода на малом множестве, размеры которого стремятся к нулю с ростом и. Исследование последней вероятности ведется методом сравнения. Впервые аналогичный подход появился в работе Д.Пикандса [45], но вскоре после публикации этой работы были предложены три модификации этого метода: С.Бермана [27],[28], К.Кволса и Х.Ватанабе [48], [49], и В.И.Питербарга [16]. (Этот же метод развивается дальше в работах Ю.К. Беляева и В.И. Питербарга [2], В.И. Питербарга и В.Р. Фаталова [20]).
Доказательство теорем проводится в соответствии со следующими схемами.
1. В стационарном случае, когда точка максимума траектории распределена по всему множеству, последнее разбивается на бесконечно малые подмножества. На каждом из этих подмножеств, как и в методе Лапласа, возможен локальный анализ траекторий, максимум которых на данном малом множестве превосходит и; это позволяет вычислить асимптотику искомой вероятности на фиксированном малом множестве. Необходима правильно выбрать размер множеств разбиения, для того, чтобы вероятность того, что найдется траектория, которая выйдет за уровень и на двух или более множествах, была асимптотически мала по сравнению с суммой (по всем множествам разбиения) вероятностей превзойти уровень и на одном множестве. Заметим, что такой правильный выбор допустим благодаря условиям регулярности, налагаемым на исследуемый процесс или поле.
2. В противоположном случае, когда имеется единственная точка максимума дисперсии процесса Л’(£), ситуация внешне выглядит более просто. Если исключить из параметрического множества бесконечно малую при и —> оо окрестность точек максимума дисперсии, то множество траекторий, которые выходят за уровень и, на образовавшемся дополнении имеет (конечно, при некоторых дополнительных условиях регулярности) пренебрежимую вероятность по сравнению с аналогичным событием в окрестности точки максимума дисперсии. И проблема состоит в выборе размера этой окрестности, исходя из корреляционной структуры процесса в этой окрестпости.
6
- Київ+380960830922