Геометрические и вероятностные свойства сплетений групп

Содержание
1 Введение
4
1 Геометрия сплетений 9
2 Геометрические свойства конечно порожденных групп 9
3 Разрешимость и отсутствие кручения не являются геометрическими свойствами 11
II Вероятностные свойства сплетений групп 20
4 Основные понятия 20
5 Равенство нулю энтропии 27
6 Асимптотика сноса для Z^Z/2Z 36
7 Асимптотика сноса для Х\(ЪХ...\ Z)...) 39
7.1 Вспомогательные утверждения о блуждании на прямой . . 39
7.2 Доказательство теоремы 7.1.........................42
8 Дальнейшие примеры сноса 46
8.1 Вспомогательная лемма..............................46
8.2 Некоторые функционалы от двумерного случайного блуждания ................................................47
8.3 Примеры сноса......................................51
2
8.4 Добавление. Доказательство вспомогательной леммы .... 54 9 Оценки энтропии 58
3
1 Введение
В этой работе мы рассматриваем счетные конечно порожденные группы. Мощным средством изучения таких групп является геометрическая теория групп. Выбор конечной системы образующих позволяет рассматривать группу как метрическое пространство и изучать геометрическими методами. Основы геометрической теории групп заложены в работах Громова ([18], [19], [20]), хотя предпосылки к ее возникновению появлялись значительно раньше (см. ссылки в [21]). Оказалось, что с помощью геометрического подхода можно решить некоторые старые чисто алгебраические, логические или комбинаторные задачи, связанные с теорией групп. Геометрический язык сделал возможным расширить классы исследуемых конечно порожденных групп. И, конечно, появилось много новых задач, связанных непосредственно с геометрией групп.
В первой части работы мы рассматриваем словарные метрики на сплетениях групп. Мы строим квазиизометрии (точнее, билишшшевы отображения) между некоторыми сплетениями групп. Оказывается, что такие сплетения не жестки, в том смысле, что алгебраическая структура групп не определяется однозначно их геометрией. Более того, в некоторых из этих примеров разрешимая группа может быть квазиизометрична не виртуально разрешимой группе. Также; возможно, что группа без кручения может быть квазиизометрична группе, которая не является виртуально без кручения. Это доказывает, что ни виртуальная разрешимость, ни виртуальное отсутствие кручения не являются геометрическими свойствами. .
Основной конструкцией для построения всех примеров данной работы
4
является сплетение групп. Напомним определение сплетения.
Определение. Сплетение групп Ли В - это полупрямое произведение А и ФлВу где А действует слева сдвигом на (&АВ : Если а € Л. / е / : А В - функция с конечным носителем), то а/{х) =
/(ха~1),х е А. То есть для (о»> Л) € Л.11?
(а1, /1 (х))(а2, /з(^)) = («1 «г? /1 (к^Ч/гН).
Обозначим сплетение А I В.
В дальнейшем мы будем рассматривать сплетения конечно порожде-ных групп. В этом случае сплетение тоже является конечно порожденной группой.
Понятие сплетения групп возникло изначально в теории конечных групп. Оказалось, что и для бесконечных групп эта конструкция может служить важным источником примеров. Сплетения групп были использованы для построения групп со сверхэкспоненциальным ростом множеств Фельнера [39), 32], для построения аменабельных групп с нетривиальной границей, и, следовательно, с положительной энтропией; сплетения могут служить примером экспоненциальных групп с нулевой энтропией ([23]). Сплетений оказываются исключительно важными и полезными в теории многообразий групп [45]. Изучены и многие другие вопросы, связанные со сплетением групп [27], [28], [29], [2], [3],[4]. Например, в [5] дан полный ответ на вопрос, когда сплетение является конечно представимой группой. Основным результатом первой части работы является следующая теорема:
Теорема. 3.1
1. Существуют квазиизометричные группы G и II такие, что G разрешима, а Н не является виртуально разрешимой.
2. Существуют квазиизометричные группы G и Н такие, что в G свободна от кручения, а любая подгруппа конечного индекса в Н имеет кручение.
Во второй части работы мы рассматриваем случайные блуждания по конечно порожденным группам. Заметим, что такие случайные блуждания определяются графом Кэли группы, и, таким образом, для того, чтобы их изучать, достаточно знать геометрию группы. Мы рассматриваем две характеристики случайных блужданий - энтропию и снос. Во втором параграфе мы приводим критерии равенства нулю энтропии для некоторого класса сплетений. В частности, мы строим новые примеры групп экспоненциального роста с нулевой энтропией. Следующие параграфы посвящены изучению сноса. Как отмечено в 42], вычисление сноса важно для гипотетических обобщений центральной предельной теоремы. Во всех ранее известных примерах снос был асимптотически равен у/п или был линейным. А.М.Вершиком был поставлен вопрос, возможны ли другие асимптотики для сноса. Ответ положителен, в этой работе мы строим целый ряд возможных асимптотик сноса. В частности, мы доказываем следующую теорему.
Обозначение. Пусть f,g : N -» R. Мы говорим, что они эквивалентны / х су, если существуют К, С > 0, такие что для любого п > N выполнено
С fin) < g(n) < К f(n).
6