Содержание
0. Введение ....................................................3
0.1 История вопроса .........................................3
0.2 Постановка задачи .............'.........................6
0.3 Краткое содержание диссертации...........................6
1. Обобщенные интерполяционные сплайны, порожденные возмущенным оператором.........................................29
1.1 Существование, единственность и аппроксимативные свойства обобщенных интерполяционных сплайнов............29
1.2 Обобщенные интерполяционные сплайны, построенные
но приближенному оператору .................................39
1.3 Неравенства типа Маркова для обобщенных интерполяционных сплайнов ......................................... 43
2. Интерполяционные £-сплайны ,................................46
2.1 Оценки погрешности полиномиальной сплайн-интерполяции . 40
2.2 Аппроксимативные свойства интерполяционных £ -сплайнов 55
2.3 Аппроксимативные свойства интерполяционных £ -сплайнов, построенных по приближенному оператору ..................08
3. Некоторые экстремальные задачи и интерполяционные
£ -сплайны ....................................................78
3.1 Асимптотика линейных и колмогоровских поперечников классов в метрике Ьд ...........................78
3.2 Задача оптимального восстановления и ее связь с интерполяционными £-сплайнами ...........................................94
Сокращения .............................................. 100
Основные обозначения и определения к главе 1 ..............101
Основные обозначения и определения к главе 2 ..............104
Основные обозначения и определения к главе 3 ..............108
Список литературы ............................................110
О Введение
0.1 История вопроса
Полиномиальные сплайны как самостоятельный аппарат приближения был введен Шёнбергом |42] в 1946 г., однако и ранее кусочно-полиномиальные функции использовались как в численном анализе (ломаные Эйлера), так и в качестве экстремальных функций в работах Ж.Фавара, А Н.Колмогорова. С-М.Никольского и других математиков. Дальнейшие исследования по приближению классов гладких функций показали, что полиномиальные сплайны дают минимально возможную погрешность приближения среди подпространств заданной размерности, т.е. реализуют п -поперечник (по Колмогорову, линейный и др.). Более того, оказалось, что этим экстремальным свойством обладают не только полиномиальные сплайны наилучшего приближения, но и полиномиальные интерполяционные сплайны. Именно они во многих случаях решают задачу оптимального восстановления функции и ее производных по имеющейся дискретной информации о функции. Подробный обзор результатов по этой тематике приведен в монографиях: Дж.Алберг, Э.Нильсон, Дж.Уолш |2|, В.М.Тихомиров [28], Н.П.Корнейчук [14], [17], Л.Шумейкер [44| и др.
Аппарат полиномиальных сплайнов оказался удобным и при решении задач вычислительной математики. Эти вопросы достаточно подробно освещены в монографиях: В.А.Василенко [5], С.Б.Стечкин, Ю Н.Субботин [23], Ю.С.Завьялов, Б.И.Квасов, В.Л.Мирошниченко [10|,
А.И.Гребенников [8| и др.
С-сплайны также были введены Шенбергом (43), здесь С - линейный дифференциальный оператор. Развитие теории С -сплайнов было во многом обусловлено потребностями вычислительной математики. В частности, требовалось восстанавливать решения дифференциальных
3
уравнений вида Сх{(] = у(1) (краевая задача, задача Коши), которые при приближенном решении уравнений, часто получались в виде сеточных функций (например, в случае, когда задача решалась разностным методом). Обзор работ в этом направлении имеется в монографиях [2|, (4), |8), |10], |23) и др.
Вопросам обобщения понятия сплайн и изучению аппроксимативных свойств сплайнов различной природы также посвящено большое число работ. Первый шаг в этом направлении, как отмечено выше, сделал Шенберг (43), рассмотревший тригонометрические сплайны. На следующем этапе были введены интерполяционные сплайны, порожденные нското-
V I«»151 • •
рым линейным дифференциальным оператором, при различных ограничениях. Дальнейшее обобщение понятия "интерполяционный сплайн" происходило в основном в двух направлениях: с одной сщюны ослаблялись ограничения на оператор, с другой стороны обобщение достигалось за счет расширения способа интерполяции. Одновременно развивался абстрактный подход к теории сплайнов в гильбертовом пространстве; при этом подходе интерполяционный сплайн определяется как решение некоторой экстремальной задачи Большой вклад в вариационное направление внесли Аттиа |34), Анселом, Лоран [33), В.А.Василенко [5],
В.А.Морозов, А.И.Гребенников (7) (см. также |2), [19), [35]). Дальнейшее развитие этот подход получил, например, в работах [36], [37) и ряде других.
Нами предложено определение интерполяционного сплайна в линейном нормированном пространстве как соответствующего элемента из ядра некоторого расширения /.. заданного линейного оператора (точное определение дано в главе 1). Содержательность данного определения показано на примере изучавшихся ранее интерполяционных С-сплайнов. Для которых установлены новые теоремы существования и единственности и получен ряд новых асимптотически точных результат
TOB.
Выше уже упоминались п -поперечники классов функций в связи с задачей о наилучшем методе приближения. Данное направление получило дальнейшее развитие для случая классов функций, задаваемых ограничением на норму линейного дифференциального оператора. Выл получен ряд точных и асимптотически точных результатов (см. например |21|, |31), {38|, [11), [44) и др.). Оказалось, что для ЛДО с постоянными коэффициентами в ряде случаев интерполяционные С -сплайны также реализуют п -поперечник, а значит являются оптимальным методом восстановления функции из соответствующего класса (см. например [22), [30), (40) и др.). В данной работе нами показано, что и для ЛДО с переменными (вообще говоря с суммируемыми) коэффициентами в ряде случаев соответствующие интерполяционные С -сплайны реализуют асимптотику п-поперечника, т.с. являются асимптотически оптимальным способом восстановления функции (а в ряде случаев и ее производных). Значение асимптотически точных результатов (как отмечено
Н.П.Корнейчуком) важно тем, что часто точные результаты получены в неявной ферме. Например, узлы полиномиального сплайна (реализующего 71-поперечник) и точки интерполяции в непериодическом случае можно найти лишь приближенно, в то же время, полиномиальные интерполяционные сплайны по равномерному разбиению (с краевыми условиями Лндстона) реализуют асимптотику ряда п-поперечников. В данной работе подобные результаты переносятся на интерполяционные С -сплайны с переменными коэффициентами. При этом доказана теорема, позволяющая находить в ряде случаев асимптотику п -поперечников класса функций задаваемых ограниченном на норму ЛДО.
5
0.2 Постановка задачи
В данной работе, пользуясь методами функционального анализа, определим обобщенный интерполяционный сплайн в линейном нормированном пространстве и исследуем следующие вопросы.
1) Найти условия, обеспечивающие существование и единственность ОИС (необходимые и достаточные, достаточные).
2) В терминах В -близости элемента х и его ОИС изучить аппроксимативные свойства ОИС на соответствующем классе.
3) Изучить устойчивость аппроксимативных свойств ОИС при замене Оператора £ порождающего ОИС "близким" в некотором смысле оператором С£.
4) Все предыдущие вопросы рассмотреть применительно к интерполяционным £ -сплайнам, т.е. к случаю когда £ есть линейный дифференциальный оператор с переменными коэффициентами.
5) На соответствующих классах сравнить погрешность приближения функций с помощью интерполяционных £-сплайнов с оптимальными методами приближения (т.е. с соответствующими поперечниками).
Рассмотрению сформулированных выше вопросов и посвящена данная работа.
0.3 Краткое содержание диссертации Сокращения.
ЛНП - линейное нормированное пространство.
ЛДО - линейный дифференциальный оператор.
ИС - интерполяционный £-сплайн.
ОИС - обобщенный интерполяционный сплайн = интерполяционный £ -сплайн.
ПИС - полиномиальный интерполяционный сплайн.
АС - класс абсолютно непрерывных функций.
В 1-оіІ главе изучаются ОИС, порожденные возмущенным оператором в ЛИП. Основные результаты этой главы - теоремы 1.1, 1.4 и 1.5.
§1.1. Условимся о некоторых обозначениях. Если А линейный оператор, то через £)(Л), /?(/!) и Х(А) будем обозначать соответствен-но область определения, область значений и ядро оператора А. Запись А : X —> У будет означать, что оператор А переводит О(А) С X на Я(Л) С У.
Пусть X и У некоторые "основные" линейные нормированные пространства, Ц линейный оператор Ц : X -* У, £>(£о) С X, /?(£о) = У Пусть 53 подпространство X, 53 с (ЛД(£(£о)\{0})). Распространим оператор Ьо на 53> полагая Ьцг — О V х Є 53* Продолженный таким образом оператор обозначим через £, П(Ь) = 53+О(£о)-
Определение 1. Ядро оператора /,, Х{Ь) будем называть подпространством £ -сплайнов.
Пусть Хо подпространство из X, Хо Э О(Ь) и У - некоторое подмножество линейных и линейно независимых функционалов на А'о.
Определение 2. Будем говорить, что Ь -сплайн о интерполирует элемент х Є А'о относительно множества У, если V/ Є F /(*) = /(*).
Пусть в пространстве X задан также линейный оператор Ло : X —> У] У, действующий в некоторое линейное нормированное пространство У|, непрерывно вложенное в У, причем, /)(Ло) О Если
53 <£ /А(Ло)> то продолжим каким-либо образом До на 53 • Продолженный оператор обозначим через Л : X —> Уь /)(Л) Э 0{Ь). Будем также считать, что определены операторы Сц — Ьо + До : X —> У, 0{С\)) =
£>(!<,) и £ = £ + Л : X -> У, О(С) = £>(£).
Определение 3. Подпространство /У(£) назовем подпространством обобщенных £-сплайнов.
Аналогично интерполяционным Ь -сплайнам определим обобщенные
интерполяционные относительно множества Т £-сплайны. Для одного и того же элемента х Є О {С) = І)(і) интерполяционный сплайн будем обозначать буквой а, а ОИС 6.
В данном параграфе и далее мы будем предполагать, что выполнено следующее условие:
интерполяционные £-сплайны относительно множества .Р существуют и единственны
УхїОЩ. (0.1)
Пусть Оі = {х Є О(Т) : /(х) = 0 У / € Р}. Оператор обратный к сужению оператора І на /Д назовем оператором Сарда и обозначим через II.
Пусть х € О(С) и а есть ИС для элемента т. Определим операторы Т\ и Т2 следующим образом:
Т\х = д - ЯЛх, Ух € О(С),
Т2у = Ла - АІЇу, Vу Є У].
Имеет место следующая
Теорема 1.1. Пусть выполнено условие (0.1). Тогда следующие условия эквивалентны:
а) для элемента х Є £>(£) существует единственный ОИС;
б) оператор Ту имеет и. притом, единственную неподвижную точку;
в) оператор Т2 имеет и, притом, единственную неподвижную. точку.
Определим класс ИД£.о;*і) = {я € О(Ц) : £0х € Уі,||£оз||і < *}>
гае II ■ Иг, ^ II • ІІ1-
Теорема 1.2. Пусть выполнено условие (0.1) и
а) пространство Уу банахово;
б) 8ир,€щьУі) ||Л(* - сг)||! = ЦЛЯЦк.^у, = 71 < 1.
8
Тогда Vx Є О (С) существует единственный ОИС относительно множества F ( здесь как и ранее or есть ИС для элемента х).
Пусть У2 ЛИП, || • ||к, = || • ||* ; У2 <-> Y и К ф 0, К С (Y2nR{C0)). Определим следующие классы:
W(Co,K) = {xeD(£0) : С0х € Л’},
W{CiK) = {x£D{C): Сх Є К},
\V(Lo,K) = {xtD(Lo) : Цх Є К).
Пусть 72 = supsc№(£<a|f) ||Л(х - <т)ІІі (здесь о есть ИС для х).
Рассмотрим задачу вычисления значений заданною линейного оператора на классе W{Cq,K) и W(C, К) с помощью ОИС. Пусть В : X -» Z - линейный оператор, 0{В) Э D(C), где Z некоторое J1III1,
II • IU = II • ІІ4.
Введем следующие величины:
0\ = sup |В(*-<г)|І4, гєИ'Оо.П)
02 = «up ||Д(х - <т)||4|
xSW(LoJC)
0(Co,K)= sup \\B(x - s)||4, x€W{Co,K)
0(CJ<) = sup ||Я(х - e)||4,
x€(£./f)
здесь а есть ИС для x, a s - ОИС для x.
Теорема 1.4. Пусть выполнены условия теоремы 1.2, причем 72»02j 01 < 00 ■ Тогда имеет место неравенство:
| /3(£в,к) - а 1=1 «£,/<•) -ft |< мі - 7.Г1- (0.2)
Следствие. Рассмотрим последовательность //С оп, длл которой выполнены условия теоремы 1.4 и такую, что правая часть (0.2)
9
- Київ+380960830922