Содержание
Введение. 3
1. Оценка эффективности ЕП-приближений случайных матриц. 11
1.1. Необходимые сведения из теории ЕП-аппроксимации и многомерного статистического анализа..................... 11
1.1.1. Алгоритм построения и основные свойства ЕП- аппроксимации в тензорном произведении гильбертовых пространств...............!. . 11
1.1.2. Некоторые сведения из многомерного статистического анализа .• 15
1.2. Анализ эффективности ЕП-лриближений случайных матриц..............................,!.................... 17
2. ЕП-приближения для двумерных задач на хаотических сетках. 24
2.1. Алгоритм построения ЕП-аппроксимации на двумерных
хаотических сетках.................................. 24
2.1.1. Основные сведения из теории сплайн-аппроксимации на двумерных хаотических сетках................. 24
2.1.2. Алгоритм построения ЕП-приближений на двумерных хаотических сетках.............................. 26
! ;
2/2. Статистический анализ эффективности ЕП-приближений на двумерных хаотических сетках - 30
Приложение 1. Примеры оценок эффективности ЕП-
приближений случайных матриц. 35
Содержание 2
•ч
Приложение 2. Оценка эффективности ЕП-приближений на хаотических сетках. 40
Заключение. 42
♦
Литература 44
;
I
I
Введение
В,задачах численного анализа, в которых участвуют в качестве исходных данных или в качестве искомого результата функции многих переменных, одна из проблем, с которой приходится сталкиваться, заключается в сложности анализа функциональных зависимостей подобного рода. Это могут быть сложные формульные зависимости, не поддающиеся упрощению, либо табличные данные, требующие дополнительной аппроксимации для выполнения типовых операций анализа (интегрирование, дифференцирование, построение графических образов и так далее). Типовым способом решения этой задачи является аппроксимация сплайнами, обеспечивающая простое локальное представление данных с допустимой потерей точности. Однако даже такое представление может оказаться достаточно объемным. В этой связи для функций двух и более переменных представляются пере-спективиыми так называемые методы редукции размерности - приближение функции двух и более переменных с помощью некоторой комбинации функций меньшего числа переменных.
В известных работах А.И. Колмогорова и его учеников [1-3] была решена проблема представления функции многих переменных с помощью суперпозиций и сумм непрерывных функций меньшего числа переменных, а именно, была доказана следующая теорема.
Теорема. При любом целом п > 2 существуют такие определенные на единичном отрезке Е1 = [0, 1] непрерывные действительные функции гррч(х), что каждая определенная на 71-мерном единичном кубе Еп непрерывная действительная функция /(а,*ь ..., хп) представ им. а в виде
2п+1 л
/(жь...,х„) = Е хЛ Е ■фрч(^р)1
9=1
Введение.
4
где функции Хя(у) действительны и непрерывны.
Однако представления подобного рода едва ли возможно использовать в приложениях, так как алгоритм получения подобных разложений с точки зрения вычислительной математики неконструктивен.
В связи с тем, что на ЭВМ наиболее удобными являются элементарные арифметические операции, естественно ограничить класс всевозможных комбинаций функций такими, в которых используются лишь операции сложения и умножения.Наиболее простыми комбинациями такого типа являются суммы функций одного переменного.
Проблема аппроксимации функций многих переменных суммами функций одного переменного рассматривалась в работах [4-6]. Однако такой способ приближения обладает одним весьма существенным недостатком. Дело в том, что величина погрешности
п
Е/ = гтп\\!(хихь...,хп) - Х>*(2,)||
^ 1=1
вполне определяется функцией / и не может быть сделана меньше наперед заданной величины.
В этом смысле приближение функции нескольких переменных произведениями функций одного переменного обладает преимуществом, поскольку для остатка
Г|(.г,-|.Я-2.Х„) = /(Х1,Х2,...,Хп)-^1)(Х1)<р{2){х2)-...-.1р^)(хп)
можно вычислить следующее наилучшес приближение:
* *
г2(х 1,х2,..., .г-,,) = Г[(х\,Х2, <р%>(а-л>.
При этом
!
Введение. 5
= ||/(ж1,ж2,...,жп) - гЫ^о*») - п <pi2)(«.-)ii <
< ||n (xi,x2,..., Хп) II. (0.1)
Таким образом, для достижения необходимой точности достаточно взять соответствующее число членов ряда
П + П ^2)(*i) + • • • + П vin,te) + • • •, (0.2)
i=l i=l t=l
который строится последовательным повторением процедуры (0.1).
Впервые разложение в билинейный ряд (0.2) функции двух переменных в средне-квадратичной норме было сделано, по-видимому, в работе Шмидта уже в 1907 году [7]. Основные результаты этой работы достаточно подробно изложены в учебнике по математическому анализу Гурса [8].
В течении некоторого времени метод разложения в билинейный ряд не находил практического применения. Вероятно по той причине, что вычисление функций, необходимых для построения разложения в билинейный ряд,с помощью тех средств, которыми прежде располагали математики, являлось достаточно трудоемким делом.
Затем в шестидесятых годах в связи с развитием мощной цифровой вычислительной техники интерес к этому аппарату приближения функций многих переменных возродился вновь [9, 10]. В работе [10] были повторены некоторые из результатов Шмидта и предложен метод для вычисления функций ряда. Кроме того, в ней содержатся примеры применения метода разложения в билинейный ряд для обработки изображений и фильтрации шумов.
Здесь следует отметить, что если в качестве функции двух не-ременных рассматривать прямоугольную матрицу, то приближение вида (0.2) есть ни что иное, как скелетное (сингулярное) разложение матрицы (подробнее о скелетных разложениях можно прочитать, например, в учебнике Гантмахера [11]). Поэтому в современной тер-
- Київ+380960830922