Приближенные решения операторных уравнений с монотонными операторами в пространствах с двумя полуупорядоченностями

2
Оі.іан.к'11 не
Глава І. Вопросы геометрии банаховых пространств с двумя полуупорядо-
ченностями...................................................... 20
§ 1. Основные типы конусов............................................ 20
1.1. Воспроизводящие и несплющенные конусы....................... 20
1.2. Миниэдральные конусы........................................ 20
1.3. Сильно миниэдральные конусы................................. 23
1.4. Принцип Биркгофа неподвижной точки для полуупорядоченных пространств..................................................... 24
§2. Банахово пространство с двумя полуупорядочснностями............... 26
2.1. А'-миниэдральные и сильно /Сминиэдральные конусы............ 26
2.2. Обобщение принципа Биркгофа для пространств с двумя конусами............................................................ 27
2.3. Признаки сильной АГ-миниэдралыюсти конуса .................. 28
2.4. /^-воспроизводящие и /Г-несплющенные конусы................. 33
2.5. Свойство А'-несплюшенности /^-воспроизводящих конусов 35
2.6. /Анормальные конусы......................................... 38
2.7. Принцип неподвижной точки для операторов сжатия, действующих в пространствах с двумя конусами............................ 47
2.8. Развитие критерия М.Г. Крейна нормальности конуса для случая пространств с двумя полуупорядоченностями....................... 51
2.9. Об одном новом критерии нормальности конуса................. 54
Глава II. Существование положительных собственных векторов у положительных операторов...................................................... 57
§ I. Равномерно положительные операторы............................... 57
§2. Критерий равномерной положительности оператора.................... 58
§3. Теоремы существования положительных собственных векторов у положительных операторов......................................... 61
§4. Операторные уравнения с монотонно разложимыми операторами.
Двусторонние оценки решения....................................... 65
4.1. Двусторонние оценки......................................... 65
3
4.2. Монотонно разложимые операторы............................... 67
4.3. Построение монотонно сходящихся приближений к решению
“по недостатку” и “по избытку”................................ 67
4.4. Оценка эффекта ускорения сходимости построенных приближений.............................................................. 74
4.5. Алгоритм выбора начальных приближений........................ 75
§5. Уточнение двусторонних оценок решения для операторных уравнений с и« ограниченным снизу оператором.......................... 78
§6. Признаки существования и положительности оператора, обратного к
данному для пространств с нетелссным конусом....................... 83
Глава III. Операторные уравнения с дифференцируемыми операторами 87
§ I. Постановка задачи.............................................. 87
§2. Продуктивность модели Леонтьева................................. 89
§3. Проблема единственности положительного решения нелинейной мо
дели Леонтьева................................................... 93
§4. Модифицированный метод Ньютона для решения нелинейной модели
Леонтьева........................................................ 96
Глава IV. Метод однопараметрического итеративного агрегирования для
решения операторных уравнений................................ 99
§1. Описание метода однопараметрического итеративного агрегирования. 99 §2. Обсуждение метода однопараметрнческого итеративного агрегирова-
и ия.............................................................. 100
2.1. Применение метода одномарамстрического итеративного агрегирования для приближенного решения линейных алгебраических уравнений.................................................. 101
2.2. Применение метода однопараметрического итеративного агрегирования для приближенного решения мнтшральных уравнений............................................................. 108
2.3. Применение метода однопараметрического итеративною агрегирования дня приближенного решения нелинейных алгебраических уравнений.................................................. 110
Заключение............................................................. 114
Литература.............................................................. 115
4
Введение.
Значительное число задач анализа, алгебры, теории интегральных уравнений можно представить с единых позиций в виде линейного или нелинейного операторного уравнения вида:
х=А(х)+/ (0.1)
с оператором Л(а). действующим в том или ином банаховом пространстве Е. При этом для таких уравнений возникают весьма специфические задачи. В качестве довольно распространенных задач такого типа, например, встречается задача о существовании у таких уравнений решения дг=лг\ обладающего свойством неотрицательности: х'>0. Такого рода задачи, вообще, специфичны в задачах экономики, для которых экономический смысл имеют лишь неотрицательные решения (типичный пример - модель Леонтьева межотраслевого баланса). Поэтому при рассмотрении подобных задач предполагается наличие в пространстве дополнительной структуры-конуса А', с помощью которого в пространстве Е вводится полуупорядочснность: для некоторых пар векторов .г, у еЕ определено отношение х2у, являющееся аналої ом обычного скалярного неравенства: х>у если (х-у)еК. От свойств конуса в пространстве Е и оператора А, действующею в этом пространстве 'зависит существование решения х’ у уравнения (0.1). а также способ, с по.мошыо которою можно построить приближения к этому решению. Дальнейшее развитие теории пол »'порядочен ных пространств и ее приложений привело к обобщению л их понятий на пространства с двумя конусами. Настояшая работа продолжает исследования ряда авторов (Красносельский М.А., Стеиенко В Я. и др.) в этом направлении.
Во всей работе используется терминология функционального анализа и, в частности, теории полуупорядоченных пространств [11), (12), [15], |17), (22).
Диссертация состоит из введения и четырех глав. В ней принта двойная нумерация для утверждений и формул, включающая номер главы и порядковый номер утверждения или формулы.
В §1 главы I приведены определения и примеры основных типов конусов. а также ряд известных результатов.
5
Б §2 указанной главы рассматривается банахово пространство Е. в котором вводятся два конуса К и А'0 без какого-либо предположения об их взаимном расположении (заметим, что в большинстве предшествовавших работ |!5), (30) и др. обычно предполагается, что К^сК). Здесь вводятся понятия К-нормального, /(-воспроизводящего, /С-нссплющснного, /(-миниэдрального и сильно /(-миниэдрального конуса К0 , а также доказываются результаты, являющиеся развитием известных фактов на пространства с двумя конусами.
Приведем сначала некоторые из этих определений.
1 Іусть в пространстве Е выделены два конуса К и К0 . Полуупорядочении
ности, порожденные этими конусами будем обозначать "<" и "<" соответственно.
Конус Ко назовем /(-миниэдральным. если для любых элементов х,уеКц существует элемент z т К’sup{x. у) такой, что zeКо и z > х, z > у, причем для каждого и такого, что и г х, и 2 у следует, что и ? z. Иными словами. A'-sup{.v. у} является элементом конуса К0 и является наименьшей из верхних граней элементов х, у.
Конус Ко назовем сильно /(-миниэдральным. если для любого ограниченного по конусу К элементом w е К, множества элементов Л с А», го есть х < w (хє/’,), существует элемент v = A'-sup Р|, v € Ко и для каждого элемента х этого множества v >х, причем для каждого w: (хе Р\) выполняется неравенство:
w і v.
Конус Л'о назовем /(-воспроизводящим, если для каждого хеЕ можно указать такой элемент ие К0, и = л(х). что х < и.
Конус Ко назовем /(-нссилюшснным. если для каждого хеЕ можно указать такой элемент, ие К0. и = м(х), что х < и, ||н|| < А/ЦхЦ. где М - const.
Конус К0 назовем /(-нормальным, если для всех /,° є К0>/2 є К таких. что /і° + /;с А0 можно указать такую постоянную S > 0, что
Теперь приведем некоторые из результатов главы I.
6
Теорема 1.0. (обобщенный принцип Биркгофа). Пусть А(х)- монотонный оператор, действующий в банаховом пространстве Е с сильно К-миниэд-ральным конусом Ка и существуют два таких элемента и. г- є Кц (и <, у), что А(и) Z и, A(v) й v. Пусть для х€ К0 выполняется включение А(х) є К<у
Тогда существует элемент .г* е А'п, такой. что А(х) - х\ то есть в Аи существует неподвижная точка оператора А(х).
Дополнение утверждения обобщенного принципа Биркгофа к принципу Биркгофа заключается в том. что неподвижная точка оператора А(х) принадлежит конусу А0. При этом ее существование обеспечено при менее жестких предположениях по сравнению с принципом Биркгофа.
В связи с тем. что не каждый миииэдральный конус А0 является сильно миннэдральным, приобретают интерес признаки сильной А-минкэдральности конуса Ко- Естественно начать с таких признаков для случая, когда множество Р\. о котором идет речь в определении сильной А’-миниэдральности, состоит из счетной совокупности элементов {*1, х„,...},хп < w (п =1, 2....). Соответст-
вующие признаки будем называть признаками счетной А'-миниэдральности конуса К,у
Теорема 1.1. Пусть конус Ка является К-правияъным и К-минюд-рольным. Тогда каждая ограниченная сверху по конусу К последовательность fxjcz К0 имеет точную верхнюю грань.
Теорема 1.2. Пусть конус К0 К-правипен и К-миниэдраяем и пусть на Кг, определен некоторый строго монотонный функционал f(x): из х < у следует, что f(x) < f(y), обладающий свойством: для каждой неубывающей по К и ограниченной по К последовательности {x,J из |х„ - х*| -> 0 при п -> <ю вытекает, что
f(xj -> f(x ). Тогда конус А„ сильно К-миниэдрален.
Теорема 1.3. Пусть К0 телесный, К-нормальный и К-митпдральный конус. Тогда каждое компактное ограниченное сверху (по К) элементом иеК0 множество А/ элементов из Ка имеет K-sup.
Переходя к А'-несплющениым и А-воспроизводящнм конусам, отмстим, что каждый А-несплющенный конус является А’-воспроизводящнм. В случае А=А,). как известно f 15]. справедливо и обратное утверждение: всякий воспроиз-
7
водящий конус является несплющснным. Для пространств с двумя конусами при дополнительном предположении о том, что Ко <z К также доказан (30) аналог этого результата: если конус К0 является /("-воспроизводящим, то он является А-несшнощенным. В §2 устанавливается, что этот результат остается в силе и в общем случае, то есть при любом взаимном расположении конусов А'о и К.
Теорема 1.4. Всякий К-воспроюводящий конус Ко является К-не-епмощенным.
В §2 также доказывается необходимое и достаточное условие А-нор-малыюсти конуса Ко.
Теорема 1.5. Для того, чтобы конус Ко был К-нормальным, необходимо и достаточно существования такой consi XI: М>0. что для всех х, у є К0 из
х < у следует неравенство: |х|| <. М\у\.
Эта теорема является развитием следующей известной теоремы Бахтина И.А. (3): для того, чтобы конус К был нормальным, необходимо н достаточно существования такой постоянной Л/>0, что для любых элементов х.уе К, из неравенства в<х<у следует неравенство: J|xJ < A/j|v|.
Имеют место следующие признаки /С-нормальности конуса Л»
Теорема 1.6. Пусть конус Ко локально компактен. Тогда при любом конусе К. конус Ко является К-нормальным.
Теорема 1.7. Дчя того, чтобы конус К0 был К-нормальным, необходимо и достаточно, чтобы выполняюсь неравенство:
Иг s МИ* Ые (х є £«. * "о е кг «о * 0).
в котором постоянная XI не зависит ни от хе£ц, ни от м0.
В случае, когда Ко=К это утверждение было установлено М.Л. Красносельским [15], а в случае Ас-сА" - В.Я. Стецснко [30].
Следующая теорема является принципом неподвижной точки для оператора А. являющегося оператором сжатия в том смысле, что для элементов (0)
х,уєК0 из х< у следует:
(01
в < Ау- Ах<а(у-х) Ю.2)
где a-const. 0<а <1.
8
Теорема 1.8. Пусть оператор А положителен и удовлетворяет условию <0.2), а конус Ко является К-нормальньм. Тогда оператор А имеет в конусе Ко по крайней мере одну неподвижную точку х’:
Ах' =х’.
Эту точку можно получить методом последовательных приближений
х0 = 0, xnil=Axm (т= 0.1,...),
причем последовательные приближения хт сходятся к х со следующей оценкой
I • II Сх™
близости: |х* -X I йС (ms 1,2,...),
I 1£ \-а
где С - некоторая постоянная.
Рассуждениями, аналогичными тем, которые применяются при доказательстве теоремы 1.8, может быть доказана следующая теорема:
Теорема 1.9. Пусть конус К0 К-нормален, А - оператор, удовлетворяющий условиям теоремы 1.8 на множестве Т элементов х, для которых: (0)
0йх£ип, где и0 - некоторый фиксированный элемент конуса Ки. Пусть
(0)
оператор А монотонен на Т. Наконец, пусть выполнено неравенство: Аи0 < и0. Тогда оператор А имеет на Т единственную неподвижную точку х*:
Ах =х .
Эта неподвижная точка может быть получена по методу:
= Ах„ (т=0,1,...), при любом x0gT. При этом верна оценка:
и£ і _ а
где С - некоторая постоянная.
Отметим, что теоремы 1.8 и 1.9 близки к классическому принципу Банаха сжатых отображении. Отличие от этого принципа, по существу, состоит в том, что условие (0.2) нрсдполаїается выполненным не для произвольной пары элементов х.у, а лишь для сравнимых между собой по конусу К„ элементов этого конуса.
9
Приведем также доказанную в §2 теорему, которая является развитием критерия М.Г.Крейна нормальности конуса для случая пространств с двумя конусами. Предварительно дадим одно определение.
Множество К' функционалов сопряженного пространства £*, принимающих неотрицательные значения на элементах полугруппы К а.Е, называется сопряженной полугруппой. Для того, чтобы полугруппа К' была конусом приходится налагать дополнительные условия на конус К.
Теорема 1.11. Пусть К<> является К-воспроизводящим конусом, а К'ь-
конус. Тогда К' является К‘0-нормальным конусам.
В классических работах Перрона и Фробсниуса установлено, что неотрицательная матрица конечного порядка, не являющаяся нильпотентной, имеет положительное собственное значение, которое не меньше абсолютных величин остальных собственных значений и которому соответствует неотрицательный собственный вектор. Если матрица имеет строго положительную степень, то существует положительное собственное значение, большее абсолютных величин остальных собственных значений, этому собственному значению отвечает одномерное собственное подпространство, соответствующее вектору с положительными координатами.
Начиная от работ М.Г.Крейна, М.А.Рутмана {22], появились многочисленные обобщения этих результатов на случай операторов, оставляющих инвариантным некоторый конус в банаховом пространстве (краткая библиография приведена в (15), 117]).
Основные результаты первых трех параграфов главы II сосгояг в выяснении необходимых условий, при которых оператор А имеет положительное и простое вещественное собственное значение, большее (или не меньшее) абсолютных величин остальных собственных значений этого оператора, а отвечающий ему собственный вектор лежит в конусе К.
Оператор А называется положительным, если АКсХ. В случае телесного конуса К оператор А называется равномерно положительным, если для каждого х>0 элсмсгп Ах лежггг в конусе К вместе с окрестностью радиу са г, не меньшего, чем а|[х||, где постоянная а > 0.