с
Оглавление
0.1 Основные обозначения.....................................
0.2 Введение .... I..........................................
1 Интенсивности особых точек огибающей гауссовского процесса
1.1 Элементы общей теории точечных процессов.................
1.2 Локальные максимумы огибающей гауссовского процесса .
1.2.1 Определение огибающей
и интегральные представления интенсивностей ее локальных максимумов . ; . ; '.'Ч................
1.2.2 Вспомогательные результаты........................
1.2.3 Асимптотический
анализ интегралов, определяющих интенсивности маркированных точечных процессов.................
1.2.4 Формулы интенсивностей локальных максимумов огибающей ..............................................
1.3 Изолинии равной интенсивности выходов двумерного гауссовского процесса........................................
2 Асимптотический анализ вероятностных характеристик выходов случайных процессов
2.1 Исходные понятия.........................................
2.2 Пуассоновость выходов за высокий уровень огибающей гауссовского стационарного случайного процесса .......
2.2.1 Свойства компонент огибающей ....................
3
4
14
14
18
18
24
27
34
39
47
47
50
50
1
2.2.2 Асимптотика квантования точечного процесса выходов..............................................
2.2.3 Предельная пуассоновость квантованного точечного процесса выходов огибающей.................
О слабой сходимости непрерывных функционалов от случайных процессов с непрерывно дифференцируемыми
траекториями.........................................
Непрерывные функционалы на слабо сходящейся последовательности С*[0, оо)-значных случайных процессов . . . Примеры непрерывных функционалов на слабо сходящейся последовательности гладких случайных полей
0.1 Основные обозначения
*
С, С\, Сг,... - константы; т - знак транспонирования; х = ($1, ...,хт)т - вектор столбец;
Л х Б - декартово произведение множеств;
Е - математическое ожидание;
& - случайный процесс;
£* - векторный случайный процесс;
Гу (2) - взаимные корреляционные функции, 7(т) = г^(т) +
||Е|| - детерминант ковариационной матрицы Е;
^(•) - спектральная функция;
Лк = \кР{(1\) - к-й спектральный момент;
Р(-), Рп(-) - вероятностные меры;
Р(-) х Р(-) - прямое произведение вероятностных мер; р(')з^а(‘)>Рй^(‘) “ плотности распределений вероятностей; п$(х) - вектор нормали к поверхности 5* в точке х;
<££ф(х) - дифференциал площади 5ф поверхности в точке х 6 5ф; Ат(-) - точечный процесс;
ЛГ+ (•) - точечный процесс выходов за круг радиуса и;
/х, /х+ - интенсивности точечного процесса ./V, ТУ*;
7(2) (•) - второй факториальный момент; гих(') - модуль непрерывности функции аг(-);
С£[0,1], С^[0, оо) - пространство /г-раз непрерывно дифференцируемых Кт-значных векторных функций на [0,1], и на [0, оо) соответственно;
~ е~Х ^ ~ плотность распределения стандартной гауссовской случайной величины;
X
Ф(у) = J (р[£)(И - ее функция распределения;
—оо
3
0.2 Введение
Во многих областях естествознания и техники возникают постановки сложных математических задач, связанных с расчетом вероятностных характеристик случайных точечных процессов, порождаемых реализациями случайных процессов или полей. Начальные постановки такого рода задач и первые результаты, связанные с пересечениями уровня реализациями случайных процессов, были получены при решении задач статистической радиотехники о передаче сигналов в условиях присутствия шумов, см. Райс (1945,1958), Райс, Биир (1966). Более полно это направление представлено в книге Тихонов (1970). В задачах расчета характеристик надежности технических систем типичными являются задачи оценки вероятностей выхода параметров, характеризующих пригодность использования систем, за границы допустимых областей. В расчетах прочности конструкций, подвергающихся воздействию случайно меняющихся нагрузок, важно уметь рассчитывать вероятность превышения ими критического уровня в течение заданного времени эксплуатации этих конструкций. Здесь мы встречаем задачи расчета максимума случайного процесса, описывающего изменение нагрузок. Близкие задачи связаны с задачами накопления усталости материалов при случайном циклическом изменении нагрузок. Такого рода задачи рассматриваются в монографии Лидбеттер, Ротсен и Линдгрен (1989). Естественно, что эти практически важные задачи привлекли внимание математиков, специалистов в области случайных процессов и математической статистики. Так задача выхода случайного процесса за уровень для частных типов случайных процессов рассматривалась в работе Кац и Слепян (1960). В начале 60-х годов были получены интересные результаты о числе пересечений уровня, см. Ито (1964), Крамер (1966). Здесь наиболее продуктивными оказалось использование (и развитие теории) соответствующих точечных процессов. Один из первых результатов общего значения содержала работа Булинской Е. В., (Булинская (1961)), в которой получены общие условия для ограниченности среднего числа пересечений уровня реализаций
4
случайного процесса, а также условия отсутствия касаний уровня. Полученные в это время результаты, связанные с задачами ти'па пересечений уровня случайными процессами, составили содержание второй части монографии Крамер и Лидбеттер (1969). Русский перевод этой книги с дополнением Беляева Ю. К., содержащим новые результаты, полученные в том числе в МГУ, был опубликован в 1969, см. Беляев (1969). Задачи о пересечениях уровня случайными процессами, получают разнообразные обобщения. В статье Беляев (1968) приведена формула для среднего числа выходов векторного случайного процесса из области с гладкой границей. Это обобщение на векторные процессы выявило новые подходы к решению ряда известных ранее задач. Так задача о пересечении уровня огибающей случайного процесса была сформулирована как задача о выходах за границу круга двумерным процессом, в котором компонентами являются исходный стационарный процесс и его преобразование Гильберта. Заметим, что эти компоненты являются взаимно зависимыми случайными процессами. В серии статей, посвященных выходам двумерного гауссовского процесса за границу круга (радиуса ц), предполагалось, что его компоненты взаимно независимые гауссовские процессы, Линдгрен (1980а, 19806, 1984). В такой постановке задача эквивалентна изучению выходов Х2-процесса за уровень и2. Поскольку огибающая случайного
процесса является естественной математической моделью амплитудно-моделированных сигналов и не входит в класс х2'пРои.ессов> то ее исследование продолжалось. В статьях Адлер (1978), Дитлевсен, Линдгрен (1988), Линдгрен (1.989), Хасофер (1974), Хасофер, Петоч (1979) были решены отдельные частные задачи, связанные с огибающей: найдены интенсивность выходов за уровень и приближения для вероятностей длительных выбросов.
Поведение реализаций стационарных гауссовских процессов и полей в окрестности точек пересечений высокого уровня или высоких локальных максимумов было исследовано в работах Кац, Слепян (1960), Беляев, Носко (1969), Носко (1969а, 19696, 1986). Поскольку пересече-
5
ния локальных максимумов происходят при случайных значениях временного параметра, то здесь естественными являются так называемые эргодические распределения. В теории точечных процессов, см. Кениг, Шмидт (1992), Керстан, Маттес, Мекке (1982), эти распределения называют распределениями Пальма. Эргодические распределения имеют естественное статистическое понимание.
Задачи о выходах реализаций гауссовских процессов и полей за уровень тесно связаны с задачами нахождения распределений максимума случайных процессов и полей. Здесь существенные результаты были получены Питербаргом В. И. Эти результаты включены в его монографию, Питербарг (1996).
Числа выходов за уровень, как и числа локальных максимумов реализации на определенном отрезке времени (множестве значений временного параметра), естественно понимать как значение соответствующего функционала, заданного на каждой реализации. Задачи о нахождении распределений таких функционалов могут быть решены только для весьма узкого класса гауссовских случайных процессов. Однако, можно получить асимптотически точные распределения чисел выходов за растущий уровень, или выходов векторного процесса за границу расширяющейся области в асимптотической постановке задачи. Здесь базовым является понятие слабой сходимости распределений вероятностных мер в полных сепарабельных метрических пространствах. Работы Прохорова Ю. В., см. Прохоров (1953, 1956), открыли новые подходы к решению многих задач теории случайных процессов, в том числе задач, связанных с пересечениями растущего уровня.
Понятие слабой сходимости подробно описано в ряде монографий, см., например, Биллингсли (1977), Ван дер Ваарт и Веллнер (1996). Хорошо известны условия слабой сходимости для пространства непрерывных функций на отрезке и пространства Скорохода. Условия слабой сходимости получены для специальных классов случайных процессов, таких как точечные случайные процессы и скачкообразные процессы, см., например, Калленберг (1975), Гут и Йансон (1999). Слабая сходимость к
6
пуассоновскому точечному процессу числа пересечений растущего уровня стационарным гауссовским процессом при соответствующем выборе масштаба времени была получена Крамером и Лидбеттером (1969) и одновременно при более слабых ограничениях на корреляционную функцию гауссовского процесса Беляевым (19676). Обзор более поздних результатов дан в книге Питербарга (1996). Заметим, что результаты о непрерывности целочисленных функционалов типа пересечений уровня, полученные в работе Русаков, Селезнев (1987), напали применение в задачах, связанных с использованием интенсивных компьютерных методов в статистике случайных процессов (Беляев, Селезнев (2000), Селезнев, Беляев (2000)).
Диссертация состоит из двух глав. Список литературы содержит 62 источника.
Первая глава диссертации состоит из трех параграфов. Здесь получены формулы, определяющие интенсивности случайных точечных процессов, связанных с реализациями вещественных или векторнозначных стационарных тауссовских процессов £*. В §1.1 приводятся основные необходимые понятия общей теории точечных процессов. Простой случайный точечный процесс определяется случайной последовательностью моментов наступления некоторых событий, например, моментами выхода за уровень (из заданной области) реализации случайного процесса, или последовательностью локальных максимумов случайного процесса. Одной из основных характеристик случайного точечного процесса является его интенсивность, которая совпадает с параметром, определяемым формулой (1.1). Во многих задачах естественно характеризовать наступающие события, дополняя их величинами (метками) связанными с поведением реализации в моменты наступления событий. Так момент наступления локального максимума можно дополнить его высотой - значением реализации в момент наступления этого локального максимума. Здесь полезным оказывается понятие простого маркированного точечного процесса с множеством М* меток в Н*. Такой процесс для любого ограни-
7
- Київ+380960830922