Оглавление
1. Неравенства Бернштейна и Турана в Н> для многочленов с нулями в замкнутом множестве. 17
1.1. Сведение задач о точных константах в неравенствах Бернштейна и Турана для многочленов с нулями в замкнутом множество к задачам для многочленов с нулями
на границе множества................................. 18
1.2. Связь неравенств Бернштейна и Турана................ 24
1.3. Неравенства Бернштейна и Турана для многочленов степени п ^ 4 .............................................. 26
1.4. Неравенства Бернштейна и Турана для многочленов с нулями на окружности: случаи точного вычисления констант ................................................... 32
1.5. Неравенство Бернштейна для многочленов с нулями во внешности круга радиуса Я ^ 1............................ 38
2. Неравенство Бернштейна-Джексона из Яг в //<* для
многочленов с нулями в замкнутом множестве. 44
2.1. Неравенство Бернштейна-Джексона из Яг в Я*, для многочленов с нулями во внешности единичного круга ... 45
2.2. Сведение задачи о точной константе в неравенстве Бернштейна-Джексона из Яг в Нм для многочленов с нулями в замкнутом множестве к задаче для многочленов с нулями на границе множества........................ 47
2.3. Неравенство Бернштейна-Джексона из Я2 в Нж для многочленов с нулями в замкнутом множестве*: случаи вычисления точных констант................................. 51
2
Неравенство из Но в Нрл 0 < р ^ оо для многочленов с нулями в замкнутом множестве............................
Список обозначений
Вр(п, L, G) точніш (наименьшая) константа в неравенстве Бернштейна в Нр для оператора L на множестве многочленов V,t(G)
С - расширенная комплексная плоскості»
G(R) = {:€€ : \z\ ï R)
K[R) ={ze С : \z\*Z R}
S[R) = {z € С : \z\ = R)
Vn - множество алгебраических многочленов степени не более чем п с комплексными коэффициентами
Сп ~ подмножество Vn многочленов, коэффициенты которых удовлетворяют неравенствам Цм\ ^ |/*|» А.* = 0,гг — !
Cl - подмножество С„ многочленов, коэффициенты которых удовлетворяют неравенствам Kt-i|2 + К*+і|2 ^ 2 |4|2, к = 1,п - 1
Vn(G) - множество многочленов ИЗ Vn, имеющих все п нулей во множестве G.
Бр(п, L, G) - точная (наименьшая) константа в неравенстве Бернштейна з Нр для оператора L на множестве многочленов Vn(G)
Тр(п, L,G) - точная (наименьшая) константа в неравенстве Ту рана в Нр для оператора L на множестве многочленов V„(G)
Bpq{n,L,G) - точная (наименьшая) константа в неравенстве Бернштейна на паре пространств Hq и Нр для оператора L на множестве многочленов V„(G)
ж2(п,<3) = inf{|^: РєР„-,(С)}
^(n, i, G) = inf : Р є И = l}
1
Введение
Обозначим через V,, множество алгебраических многочленов степени не более чем п с комплексными коэффициентами, не рапных тождественно нулю. В тематике, обсуждаемой в данной работе, удобно считать, что любой многочлен из множества V,, имеет ровно п нулей с учетом кратности в расширенной комплексной плоскости; при этом, если точная степень многочлена есть г* - т, 1 < т ^ п, то полагаем, что точка г = ос является нулем многочлена кратности т. На множестве многочленов Р„, в пространстве Иу на единичном круге, справедливо неравенство Бернштейна
Мр<«1И1р, rsK, OÇpÇoо, (0.1)
в котором
||/5||со = тах{|Р(2)| : \z\ = 1};
1 Г2* \ 1/р
— J IPie'Wdt) , 0 < р < оо;
|И|о = Дт ЦРЦ, = exp (Т jT In\Р{е“)\а) .
Константа п п неравенстве (0.1) точная; неравенство (0.1) обращается в равенство на многочленах вида сг", и в случае 0 < р ^ оо других
экстремальных многочленов нет. Это утверждение при р = оо являет-
ся классическим неравенством С.Н. Бернштейна [5]; при других р оно доказано А. Зигмундом (I ^ р < оо) [С], В.В. Арестовым (0 ^ р < 1) [2]. Кроме оператора дифференцирования неравенства вида (0.1 ) исследовались и для других линейных операторов на множестве Vn. Так, известно, что при р ^ 1 и любом р, 0 ^ р ^ оо, справедливо точное
5
неравенство Харди [15]
||Р(pz)llj^/ЦF||p, P G Pn. (0.2)
Композицией Сеге многочленов
= p(z) = £ c*pizk
k—Q JM)
называют многочлен
(LP)(z) = £ CfopbZ*. (0.3)
i-=0
При фиксированном многочлене L композиция Сеге (0.3) определяет линейный оператор во множестве многочленов Vn\ который будем обозначать тем же символом L. В частности, многочлен L(z) = E{z) — = (z + 1)п порождает тождественный оператор ЕР = Р, многочлен L(z) = hp{z) = (pz + 1)" - оператор hf,P(z) = P(pz), а многочлен L(z) = D(z) = nz(z + l)""1 порождает оператор дифференцирования DP(z) = zP'(z).
В.В. Арестов [2], [3] показал, что для любых двух многочленов L и Р из V,, справедливо неравенство
||LP||p^||L||0||P||p, О^оо. (0,1)
В случае, когда многочлен L имеет все п нулей в круге |г| ^ 1 или во множестве \z\ ^ 1, константа \ L |и в неравенстве (0.4), на множестве многочленов Р„, точная [2]. Отметим, что неравенства (0.1) и (0.2) является частным случаем неравенства (0.4).
При 0 ^ p,q ^ со обозначим чс!>сз Bpq(n, L) точную (наименьшую) константу в неравенстве
||IP||p<Bw(n,L)|[P||„ Р € Vr, (0.5)
С помошью неравенства (0.4) нетрудно сделать вывод, что если р ^ q и все п нулей многочлена L принадлежат кругу |г| ^ 1 или все п нулей многочлена L лежат во множестве \z\ ^ 1, то имеет место равенство Z?w(n,L) = ;|L||u. При р > q точные константы в неравенстве (0.5)
6
- Київ+380960830922