Ви є тут

Элементарная эквивалентность линейных и алгебраических групп

Автор: 
Бунина Елена Игоревна
Тип роботи: 
Кандидатская
Рік: 
2001
Артикул:
1000326783
179 грн
Додати в кошик

Вміст

Введение
Элементарные свойства (то есть те свойства алгебраической системы, которые можно выразить на языке узкого исчисления предикатов, принимая в качестве исходных основные операции и отношения данной алгебраической системы) линейных групп были впервые рассмотрены в 1961 году А.И. Мальцевым. В работе “Об элементарных свойствах линейных групп” ([1]) он задавал следующие вопросы:
1) какие из теоретико-групповых понятий, определяемых обычно при помощи неограниченных логических средств (например, при помоши исчисления предикатов высших ступеней), допускают определения на языке
УИП;
2) какова алгоритмическая структура тех или иных совокупностей элементарных предложений;
3) при каких условиях неизоморфные группы будут тем не менее обладать одинаковыми “элементарными” свойствами и т.п.
В работе [1] вопросы указанного характера рассматривались для групп ОЬп(К), 5//п(АГ), РОп(К), Р8Ьп(К). Было показано, что для каждой характеристики Сегре х (т.е. последовательности вида
X = {[(«!> П1)... (п4,, п1)]... [(т?, п')... (т£,, гг5)]}, взятой для каждой матрицы М, у которой жорданова форма имеет вид
Л = (Л<» + • • ■+ли (!)) + •■• + (48) + ■ • • + 4:)),
— клетки Жордана, построенные над одной и той же матрицей
А0)
, причем характеристические многочлены матриц А'1\..., А^ различны и неприводимы над полем К\ М* — индекс А^\ пг — порядок основной матрицы А(,)) в любой из перечисленных выше групп существует такое групповое предложение ВХ(М), которому удовлетворяют те и только те матрицы Му которые имеют характеристику Сегре х- Кроме того, для каждой из серий групп СЬ, 5^, РОЬ, РвЬ и каждого п было найдено элементарно групповое предложение истинное в группе размера п х п и ложное в группе любого другого размера. Далее был описан алгоритм, позволяющий перерабатывать кольцевые предложения, относящиеся к полю К, В Групповые предложения, относящиеся К Группе О у где С? — одна
2
из груші ЄЬДК), ЗЬп(К), РСЬп^К) или РЗЬп(К) при фиксированном п, причем таким образом, что алгоритм не зависел от поля К. В результате была получена следующая структурная теорема:
Теорема (Мальцев). Для того, чтобы группы <7(га, К\) и С(п, К2) (С = ЄЬ,РО, 5Г, РвЬ, т > п > 3) имели, один и тот же арифметический тип (были элементарно эквивалентны), необходимо и достаточно, чтобы т = п и чтобы один и тот же арифметический тип имели поля К і и К2.
Для доказательств всех утверждений использовались только методы линейной алгебры, предложения выписывались в явном виде, не затрагивая логических конструкций.
Продолжение эта теория получила в 1992 году, когда К.И. Бейдар и А.В. Михалев предложили в работе [4] общий способ решения проблем такого типа. С помощью сложных логических конструкций и теории моделей они обобщили теорему Мальцева для случая групп СЬ, 51/, РС? Р5/> над первичными ассоциативными кольцами, содержащими 1 и 1/2, и над телами. Кроме того, ими была доказаны важнейшие теоремы, позволяющие выводить утверждения об элементарной эквивалентности алгебраических систем из утверждений об их изоморфности. В теоремах использовался тот факт, что две алгебраические системы Я и 5 одинаковой сигнатуры элементарно эквивалентны тогда и только тогда, когда существует множество / и ультрафильтр Р над 1 такой, что Я7/Р и 57/Р изоморфны.
Диссертация посвящена изучению элементарных свойств унитарных линейных групп над полями, кольцами и телами с инволюцией, а также групп Шевалле над полями. Группы Шеваллс включают в себя такие классические группы, как группы $Ьп(К), РЗУЬп(К), ЗОп(К), Зріпп{К), РБОДК), £>Р2п(К)і РЗр2п(К)* то есть, с одной стороны, изучаемые группы пересекаются с теми, которые рассматривались А.И. Мальцевым в работе [1], а с другой стороны, среди вышеперечисленных групп присутствует довольно много классических линейных групп, им не рассмотренных.
Доказаны структурные теоремы об унитарных линейных группах над полями с инволюцией, в том числе показано, что с помощью унитарной группы над полем можно построить объект, изоморфный соответствующему полю с инволюцией; показано, что для любого числа п > 2 можно построить элементарно групповое предложение, верное в каждой группе
3
bT2n(K,j,Q2n) для любого ноля К с инволюцией j и ложное во всех унитарных группах других размерностей. В процессе доказательства были использованы методы, близкие методам А.И. Мальцева, но автор столкнулся с двумя сложностями: во-первых, невозможно было пользоваться найденными Мальцевым элементарными предложениями, характеризующими характеристику Сегре матриц из группы UonlKijtQtn), так как при некоторых типах инволюций эти предложения не выделили бы искомую характеристику; во-вторых, необходимо было перерабатывать не просто кольцевые предложения, относящиеся к полю К, в предложения, относящиеся к группе Uin(Kt j>Q2n)> а кольцевые предложения с участием инволюции, относящиеся к полю К с инволюцией j. По этим двум причинам пришлось считать поле К алгебраически замкнутым, но при этом появилась возможность распространить доказательство на произвольные характеристики, отличные от двух.
Далее с помощью теорем К.И. Бейдара и A.B. Михалева [4] и теоремы о продолжении изоморфизма И.З. Голубчика и A.B. Михалева [2] были доказаны структурные теоремы для унитарных линейных групп над кольцами и телами. Здесь основной сложностью было продолжения изоморфизма между группами и кольцами на инволюцию.
В последней части работы показано, что для груші Шевалле над алгебраически замкнутым полем можно для каждой простой алгебры Ли построить предложение, которое истинно во всех группах Шевалле, построенных с помощью этой алгебры Ли, и ложное в группах Шевалле, построенных с помощью других алгебр Ли. Для каждой простой алгебры Ли показано, как по группе Шевалле, использующей эту алгебру Ли, построить поле, изоморфное полю этой группы. Доказана общая теорема об “элементарной” структуре групп Шевалле.
ЦеЛЬ работы. Изучение элементарных свойств и получение структурных теорем для унитарных линейных групп над полями, телами и кольцами с инволюцией, а также для групп Шевалле над полями.
МетОДЫ Исследований. В диссертации используются методы теории моделей и математической логики, линейной алгебры, теории колец.
Научная новизна. Результаты работы являются новыми. Основ-
4
ными являются следующие:
1) Исследованы элементарные свойства унитарных линейных групп над алгебраически замкнутыми полями характеристики, отличной от двух, с инволюцией; описан способ выделения в унитарной группе относительно элементарного множества, и введения на нем операций таким образом, чтобы оно стало изоморфно соответствующему полю; получены элементарно групповые предложения, различающие унитарные линейные группы разной размерности.
2) Получены структурные теоремы для унитарных линейных групп над полями.
3) Получены структурные теоремы для унитарных линейных групп над кольцами и телами; изучены элементарные свойства унитарных линейных групп над кольцами и телами с инволюцией.
4) Исследованы элементарные свойства групп Шевалле над алгебраически замкнутыми полями; найдены элементарно групповые предложения, различающие группы Шевалле с различными системами корней их алгебр Ли; показано, что множество элементарно групповых предложений, истинных над группами Шевалле данного типа, рекурсвино эквивалентно множеству элементарно кольцевых предложений, истинных на исходном поле.
5) Получены структурные теоремы для групп Шевалле над алгебраически замкнутыми полями характеристики, отличной от двух.
Практическая ценность. Работа носит теоретический характер. Результаты диссертации могут быть использованы в дальнейших исследованиях в структурной теории классических линейных групп и групп Ше-валле.
Структура работы. Работа состоит из трех частей (21 параграфа) и Приложения. Все основные результаты (леммы, теоремы, следствия и т.п.) имеют двойной индекс: первое число указывает на номер части, второе — на номер соответствующего результата.
Результаты диссертации отражены в работах автора [14] — (19]. Автор выступал с докладами об элементарных свойствах унитарных линейных групп над полями, телами и кольцами, а также об элементарных свойствах
5
групп Шевалле на семинарах кафедры высшей алгебры мех.-мат. факультета МГУ.
Автор выражает благодарность своему научному руководителю проф. A.B. Михалеву за. постоянное внимание к работе, полезные советы, многочисленные обсуждения и комментарии.
Содержание диссертации
Во введении содержится краткая предыстория изучения элементарных свойств различных линейных групп — общей линейной группы, специальной линейной группы, проективных общей и специальной линейных групп, дается мотивировка изучения элементарных свойств других линейных групп, а также приведены основные определения, утверждения и примеры.
Первая часть посвящена изучению элементарных свойств унитарных линейных групп над алгебраически замкнутыми полями характеристики, отличной от двух. Вообще, элементарными свойствами группы, ноля или какой-либо другой алгебраической системы Q называются такие свойства Q, которые можно выразить на языке узкого исчисления предикатов (УИП), принимая в качестве исходных операции и отношения системы Q. При этом две алгебраические системы называются элементарно эквивалентными, когда они обладают одинаковыми элементарными свойствами.
В первом параграфе даются обозначения и определения, а также формулировка основной теоремы.
Во втором параграфе мы ищем элементарно групповое предложение, которое ИСТИННО ДЛЯ группы U<ln(KijiQ2n) при любых поле К, инволюции j и фиксированном п, и ложно во всех группах Q'im) при п ф т.
В третьем параграфе мы с помощью любой группы С/2п(^, j,Q2n)> где п > 2, строим Группу, изоморфную PU^(K\j,Qi) с выделенной в ней подгруппой диагональных матриц.
В §4 выписывается элементарно групповое отношение такое, что объект, ему удовлетворяющий, со специально введенными на нем операциями, изоморфен полю К с инволюцией j.
б
В последнем, пятом параграфе, окончательно доказывается основная теорема первой части диссертации:
Теорема. Группы Ьг2п(КиЗь<2ъп) и и2т(К2,Зъ&гт), где Кг и К2 — алгебраически замкнутые поля характеристик, отличных от двух, с инволюциями Д и у2 соответственно, п, т > 2, элементарно эквивалентны тогда и только тогда, когда п = т, а поля К\ и К2 элементарно эквивалентны как поля с инволюциями.
Для доказательства утверждений этой части используются некоторые леммы и теоремы, доказанные А.И. Мальцевым в (1). Но полностью его техника не могла быть использована для данной теоремы, так как в нашем случае приходится выделять не просто поле, а поле с инволюцией, которое имеет другую сигнатуру.
Вторая часть диссертации посвящена доказательству структурных теорем для унитарных линейных групп над ассоциативными кольцами и телами. В первом параграфе содержатся основные для этой части работы определения, а также формулировки теорем:
Теорема 1. Если К\ и К2 — ассоциативные кольца, содержащие 1/2 и 1/3, jl и 72 — инволюции в кольцах К\ и К2 соответственно, п,т > 2, то унитарные линейные группы и2п{К\,3\, С}2п) и и2тп(К2,]2,Я27П) элементарно эквивалентны тогда и только тогда, когда т. = п и кольца матриц М2п{К{) и М2т(К2) элементарно эквивалентны как кольца с инволюциями Т\ и т2 соответственно.
Теорема 2. Если К\ и К2 — ассоциативные коммутативные кольца, содержащие 1/2 и 1/3, Д и 72 — инволюции в кольцах К\ и К2 соответственно, п,т > 1, то унитарные линейные группы ^
^2т(^2> .72) Я2т) элементарно эквивалентны тогда и только тогда, когда т — п и кольца матриц М2п(К\) и М2т(К2) элементарно эквивалентны как кольца с инволюциями и т2 соответственно.
Теорема 3. Если тела ^ и Е2 имеют характеристику, не равную двум, Д и 72 — инволюции в телах ^ ц Г2 соответственно, п,т > 2, то унитарные линейные группы Я-2п) и ^г2т(^2>Л, (}2т) элементар-
но эквивалентны тогда и только тогда, когда тела Г\ и Е2 элементарно эквивалентны как тела с инволюциями Д и 72 соответственно.
7
Теорема 4. Если поля F\ и F2 имеют характеристику, не равную двум, j 1 и h — инволюции в телах Fi и F2 соответственно, п,т > 1, то унитарные линейные группы U2n(Fuji, Q2n) « U2m(F2,j2,Q2m) элементарно эквивалентны тогда и только тогда, когда тела F\ и F2 элементарно эквивалентны как тела с инволюциями Д и j2 соответственно.
Во втором параграфе второй части доказываются леммы о том, что если унитарные линейные группы U2n(K\,j\,Q2n) и U2m(K2,j2,Q2m) над ассоциативными кольцами К1 и К2 изоморфны, то кольца матриц M2n(KL) и М2т{К2) изоморфны. Эти утверждения доказаны для некоммутативных колец в случае т, п > 2 и коммутативных колец в случае т,п > 1. Доказательство этих утверждений выведено из теорем 1.3 и 1.4 работы [2].
В третьем параграфе доказано, что изоморфизм между кольцами М2п(К{) и М2т(К2), установленный в предыдущем параграфе, коммутирует с инволюцией, то есть кольца матриц изоморфны как кольца с инволюциями.
Четвертый параграф второй части посвящен сохранению инволюции в телах. Доказана следующая лемма:
Лемма. Пусть Ft и F2 — тела характеристики, отличной от двух, с инволюциями ji и j2 соответственно; M2n(F\,T\) и M2n(F2,r2) — кольца матриц (2п) х (2п) над FY и F2 с инволюциями г* и т2 соответственно, получающимися из инволюций Д и j2 следующим образом:
ы* =Q2„«)q2~,;;
(а<*)Т!
Пусть, кроме того, существует изоморфизм А между M2n(F\,T{) и M2n(F2t т2), коммутирующий с инволюцией, т.о есть такой, что
V/GAMFbrO A(fr') = A(fp.
Тогда существует изоморфизм В тел Fi и Г2 такой, что У а € Fi В (а?1) =
В (а)*.
В пятом параграфе второй части проводится доказательство основных теорем. Оно основано на предыдущих леммах и основных теоремах работы [4] A.B. Михалева и К.И. Бейдара.
Третья часть диссертации посвящена элементарной эквивалентности
8
групп Шевалле над алгебраически замкнутыми полями характеристики, отличной от двух.
В первом параграфе вводятся основные определения и обозначения, в том числе определение группы Шевалле. Приведены некоторые результаты структурной теории групп Шевалле, взятые из книги Р. Стейнберга [10], а также основные примеры групп Шевалле.
Во втором параграфе третьей части проводится построение группы Шевалле Q с помощью алгебраически замкнутого ноля К характеристики, не равной двум, простой алгебры Ли С и факторгруппы решетки L по решетке L0. Кроме того, доказано, что каждое элементарно групповое предложение U, относящееся к группам Q\ и Q2? можно преобразовать в элементарно кольцевую формулу иК, относящуюся К ПОЛЯМ К\ И К'2 так, чтобы вид формулы не зависел от базисного поля.
В третьем параграфе мы факторизуем группу Шевалле Q по ее центру, что требуется для последующих построений.
Четвертый параграф третьей части посвящен классическим группам Шевалле, то есть группам, построенным по алгебрам Ли серий Ап, Вп, Сп и Dn. Строится групповое предложение такое, что множество элементов, ему удовлетворяющих, есть подгруппа У группы Q матриц, диагонализируемых в одном базисе. Далее показано, что если взять нормализатор N(H) группы У в Q и нрофакторизовать группу N(4) по группе У, то полученная в результате факторгруппа будет изоморфна группе Вейля соответствующей алгебры Ли С. Доказано, что группы Вейля различных простых алгебр Ли не могут быть элементарно эквивалентны, за исключением случая систем корней Сп и Вп при одинаковом п.
В заключительной части четвертого параграфа построено предложение, истинное во всех группах Шевалле, алгебра Ли которых изоморфна группе Ли типа В„, и ложное для всех групп Шевалле с алгеброй Ли типа Сп. Таким образом, четвертый параграф дает нам для каждой классической алгебры Ли элементарно групповое предложение, истинное для всех групп Шевалле, построенных но этой алгебре .Пи, и ложное для всех групп Шевалле построенных с помощью иной классической алгебры Ли.
Пятый параграф также посвящен классическим группам Шевалле. Здесь мы для каждой серии классических алгебр Ли строим с помощью группы Шевалле соответствующее ей поле К. Для серии Ап (группы (PSLn+i(K))
9
это построение при п > 2 взято из работы А.И. Мальцева [1) и распространено на случай п — 1. Для серии Сп (группы Р5Р2п(А')) находится групповое предложение такое, что множество матриц, ему удовлетворяющих, есть подгруппа в <3, изоморфная группе Р5£2(А'); после чего поле выделяется аналогично предыдущему случаю. Случай серии Г)п (группы Р502*(Л')) Довольно сильно отличается от предыдущих. Сначала мы выделяем в группе £ относительно элементарную подгруппу, изоморфную группе РвОДК), а затем находим элементарно групповое предложение, которому в РвОДК) удовлетворяют матрицы, имеющие в некотором базисе вид
/1 £ 0 0\
0 1 0 0
0 0 1 £
\0 0 0 1/
Множество таких матриц с введенными на нем операциями “сложения” и “умножения” изоморфно полю К. Оставшийся случай (случай группы типа Вп, то есть группы 502т,-и (А')) легко сводится к предыдущему. Показывается, что подгруппа 502п(А‘) в группе 502П+1(А) относительно элементарна, в группе 502п(А") мы уже умеем выделять поле К.
Шестой параграф третьей части посвящен группе Шевалле, алгебра .Ли которой имеет тип 02- В первой части этого параграфа показано, что для такой группы предложение, построенное в четвертом параграфе, также выделит множество 'Н матриц, диагонализируемых в одном базисе, а значит, факторгруппа М(Ч)/Ч также будет изоморфна группы Вейля соответствующей алгебры Ли. Так как группа Вейля алгебры Ли типа 02 неизоморфна ни одной группе Вейля для классических алгебр Ли, то существует элементарно групповое предложение, которое выполняется во всех группах Шевалле, построенных по алгебре Ли типа 02 и не выполняется ни в одной классической группе Шевалле.
Во второй части шестого параграфа мы выделяем в группе Шевалле типа 02 объект, изоморфный полю К. Сделано это с помощью работы И. Ива-хори [8], в которой найдено, что централизатор инволюции в группе $ изоморфен центральному произведению двух экземпляров групп 5А2(АГ).
В седьмом параграфе мы находим элементарно групповые предложения, отличающие группы типов Е6, Е8, А4 от всех остальных групп и друг от
10
друга, а в восьмом параграфе строим с помощью этих групп поле К. Мы также пользуемся работой [8] о централизаторах инволюций в группах Ше-валле.
Девятый и десятый параграфы третьей части посвящены группе Ше-валле, построенной по алгебре Ли типа Е7.
В одиннадцатом параграфе сформулирована и доказана основная теорема третьей части диссертации:
Теорема. Предположим, что группы Шевалле Я\ и Я2 построены по алгебраически замкнутым полям К\ и К2 характеристик, не равных двум, простьш алгебрам Ли С\ и С2 и решеткам Ь и М. Пусть, кроме того, Ь/Ь0 = V?!, М/Мо = <рг, где <р\ и (р2 — конечные группы. Тогда Я[ = Я2 тогда и только тогда, когда К\ = К2, С\ = С2 и у>\ = у>2.
Приложение посвящено нахождению централизаторов инволюций исключительных групп Шевалле над алгебраически замкнутыми полями. Для конечных полей централизаторы инволюций исключительных групп Шевалле были найдены II. Ивахори в работе [8]. В приложении автор переносит результаты этой работы на случай алгебраически замкнутых полей, который не является обобщением случая конечных полей, но для доказательства даже более легок.
И
Часть І
Элементарная эквивалентность унитарных линейных групп над полями
1.1. Обозначения и определения.
Пусть К алгебраически замкнутое поле характеристики, не равной двум, с инволюцией j (инволюция — это автоморфизм поля порядка 2). Через Мп(К) обозначим кольцо матриц размера (п х п) над полем К, через СЬп(К) — группу невырожденных матриц размера (п х п) над полем К. Пусть С^2п — это матрица из ЄЬ^К) вида
/О 1 ......
-1 0 .....
V
О 1
-1 оу
2 п.
Через и2П(К,э,(Э) обозначим унитарную группу матриц А € СЬ1п{К) таких, что выполнено соотношение
А(д2ПА* = ф2п»
где
Л* = (А’)т =
'а\х . • «1.Л Т = (а\і ... <*«1
Vа»] ■ ■ <п) ^а1п • * ■ 4п
Определение 1.1. Основным элементарно групповым отношением называется отношение Р(х.,у>г), равносильное соотношению ху = г. Основ-нъти элементарно кольцевыми соотношениями называются соотношения 5(т,у, х) и Р(х,у,х), равносильные соответственно равенствам х + у = г и ху = г.
12
Определение 1.2. Формула 1А узкого исчисления предикатов называется элементарно групповой, если Ы не содержит предикатных символов, отличных от Р. Элементарно групповая формула Ы, содержащая свободные предметные переменные, называется элементарным групповым отношением.
Определение 1.3. Формула >У узкого исчисления предикатов называется элементарно кольцевой, если >У не содержит предикатных символов, отличных от Р и 5. Элементарно кольцевая формула УУ, содержащая свободные предметные переменные, называется элементарным кольцевым отношением.
Определение 1.4. Две группы (кольца) X и У называются элементарно эквивалентными, если любая элементарно групповая (кольцевая) формула, верная в X, верна в У, а любая элементарно групповая (кольцевая) формула, верная в У, верна в X.
Вообще говоря, элементарными свойствами группы, поля или какой-либо другой алгебраической системы С) называются такие свойства 0, которые можно выразить на языке узкого исчисления предикатов (УИН), принимая в качестве исходных операции и отношения системы 0.
Далее мы будем говорить, что элементарно групповая (кольцевая и т.п.) формула истинна или выполняется на группе (в кольце и т.п.) в следующем случае:
Пусть дана, например, групповая, формула ..., хг), которую мы
можем переписать в виде (ф^О... (£}гхг)В(хь • • • ,Хг), где С}г = 3, V, формула В(хь..., хг) лишена кванторов, и группа С. Рассмотрим предложение
Ыа := (Я\Х\ е С)... (С}гхг € С?)£(жь... ,хГ).
Если оно истинно, то мы говорим, что формула Ы истинна на группе £ или что формула Ы выполняется на группе О.
Аналогично введем понятие истинности формулы на подгруппе или подмножестве группы (?, а также понятие ложности формулы на группе. Если мы говорим, что истинность предложения 1А\ на группе С] равносильна истинности предложения 1А-2 на группе (72, то это означает, что из формулы 1А1Сх выводится формула ^2с2 и наоборот.
13
В данной масти работы доказывается следующая теорема:
Теорема. Группы и2п{К1Д1}Я2п) и и2т(К2,д2,С}2т)) где. К} и К2 — алгебраически замкнутые поля характеристики, отличной от двух, с инволюциями и 72 соответственно, п, т. > 2, элементарно эквивалентны тогда и только тогда, когда т = п и поля К\ и К2 элементарно эквивалентны как поля и инволюциями.
1.2. Выделение в группе размерности.
Лемма 1.1. Формула
Осдк(М) := (Л/2‘ = Е)
верна в и2п(К,У,Я2п) только для диагонализируемых матриц.
Доказательство. Пусть для некоторой матрицы М е и2п{КД, С]2п) М2* = Е. Так как поле К алгебраически замкнуто, то существует матрица С € СЬ2п(К) такая, что СМС~1 = М, где М — жорданова нормальная форма матрицы М. Предположим, что М есть она имеет вид
/А 1 0 ... О (Л
недиагональная матрица, то
О Л 1
О О
А
1 О . А О \0 0 0 0 0 */
Так как (М)2* = Е, то = Е, но
/А 1 0 (Л 2 /х2к 2* • А2*-1 * *
0 А 1 0 0 А2* 2к • А2*'1 *
0 0 А 1 0 0 а2‘ 2к ■ А2‘-1
\о 0 0 АІ 0 0 0 А21
где звездочками обозначены некоторые произвольные элементы поля, которые нас не интересуют. Полученная матрица не может быть единичной, так как характеристика поля отлична от двух, а значит, 2к • А2*-1 ^ 0.
14