ВВЕДЕНИЕ.
В работе рассматриваются граничные свойства аналитических и гармон и ч ес ких фу н к ни й.
Работа состоит из введения, двух глав и списка цитированной .литературы. содержащего 56 названий.
Во введении приводятся необходимые определения, кратко излагается история вопроса и формулируются основные результаты диссертации. В первой главе исследуются множества особых граничных точек функций — в основном, аналитических в единичном круге О . Во второй главе рассматривается вопрос о возможности поточечного приближения полиномами функций, определенных на окружности Г. и о равномерном приближении функций, непрерывных на единичной окружности (но не продолжающихся непрерывно внутрь В до аналитической функции в В), посредством граничных значений ограниченных аналитических функций в О .
Приведем основные определения, используемые в работе.
Пусть /(-) — функция, определенная в круге Г> ; /?ч- — замкнутый радиус круга £> с концом в точке (,' € Г . Радиальным пределом функции /(с) в точке ( называется предел Нтг—1_о /(Ю • Т-е- предел /{:) в ( по радиусу . Если этот предел существует и конечен, то точка С называется точкой радиальной непрерывности функции /(с) , в противном случае ц называется точкой радиальной неопределенности.
Говорят, что функция /^) имеет угловой предел в точке ( € Г , если она имеет угловой предел в С но любому углу с вершиной в С, образованном} парой хорд круга I) . (Всюду в дальнейшем под углом будем понимать угол именно этого типа; очевидно, угловой предел функции / в точке С £ Г , если он существует, определен единственным образом.) Точки, в которых есть конечные угловые пределы, называются точками Фату.
- 3 -
Обозначим через E(f) множество всех точек окружности Г , в которых функция f(z) не имеет конечных угловых пределов, а через Ep(f) — множество всех точек, в которых нет конечных радиальных пределов. Множество всех точек Фату и всех точек радиальной непрерывности функции / обозначим, соответственно, через F{f) и
Fp(f)■
Пусть функция g(z) определена на некотором множестве Q комплексной плоскости и ( — предельная точка Q. Предельным множеством функции g(z) в точке С относительно Q называется множество всех частичных пределов g(z) в точке £ при стремлении Z К С ПО Q. Будем его обозначать Cq(J, ().
Точка С Е Г называется G1’-особой точкой функции f(z) , z 6 D, если хотя бы по одному углу V с вершиной £ , образованному хордами круга D, предельное множество функции / в этой точке отличается от предельного множества относительно всего круга D : Cy(f.Q ф Co{f,О - Точка £ называется W-особой точкой функции, если существую!' два угла Vi и Vo с общей вершиной £ , по которым предельные множества различны: Су, (/, £) Ф Сц (/, £) •
Множество всех GV - особых и V’И-особых точек функции / будем обозначать, соответственно, Eav(f) и Evv(f) ■
Точка £ £ Г называется точкой Плеснера функции f(z) {z G D), если предельное множество по любому углу V с вершиной в £ совпадает с расширенной комплексной плоскостью: Су(/, £) — С. Множество всех точек Плеснера функции / обозначим через 1(f).
Пусть Н°° — пространство функций, ограниченных и аналитических в D с нормой II/H = sup | f(z)\ < оо, и пусть Т°°(Г) — простран-
z£D
ство функций, определенных и конечных почти всюду на Г , с нормой
1I/IU = supvraij.gr|/U)| < оо.
Пространство всех непрерывных функций на Г с обычной супремум-нормой и его подпространство, состоящее из непрерывных функций,
- 4 -
допускающих непрерывное и аналитическое продолжение с окружности Г внутрь круга D, будем обозначать, соответственно, С(Г) и Сд(Г).
По теореме Фату каждая функция / G Я 00 имеет почти в каждой точке ( G Г конечный угловой предел /(С). Обозначим через Я°°(Г) подпространство пространства Xх(Г), состоящее из всех граничных функций /(() для функций / G Я00.
Пусть / G Х°°(Г) . Функция g(z) = g(f, z) G ЯЭС(Г) называется функцией наилучшего приближения для функции /(г) в классе Я5С(Г) , если для любой функции q(z) G Я°°(Г) будет
||/-РЦоо< И/-в||оо-
В первой главе исследуются множества £(/), Ep(f), Eyv(f), /(/) для различных классов функций /(г) , определенных в круге D, а также аналогичные множества для функций /, определенных в семерном единичном шаре Яп С Вп (п > 2).
Случай функций, непрерывных в Я, был рассмотрен Хаусдорфом: фактически он показал, что множества Ep(f) и E(f) имеют тип G в а [35].
Обратно, Е.П.Долженко [26, Добавление переводчика] было показано, что для любого множества Я С Г типа Gsa можно построить непрерывную ограниченную в D функцию /(с) , не имеющую радиальных (а значит, и угловых) пределов на множестве Е и имеющую угловые (а значит, и радиальные) пределы в каждой точке множества Г\Е . Следовательно, для непрерывных в D функций, как класс всех множеств Ep(f ), так и класс всех множеств E(f) совпадает с классом всех множеств типа Gsa на окружности Г .
В 1906 г. П.Фату [44] было доказано, что для ограниченных гармонических и ограниченных аналитических функций f(z) угловые пределы существуют почти в каждой точке ( G Г , и, следовательно, линейная мера Лебега множеств Ep(f) и E(f) равна нулю:
- 5 -
шее £(/) = rn.es Ер(/) = 0 . Как следует из теоремы Лицделефа [51], для случая ограниченной аналитической функции / из существования радиального предела следует существование и углового предела, так что в этом случае Е(/) = Ер(/) .
Н.Н.Лузин ( 1919 г., [27]) показал, что для любого множества Е С Г , имеющего линейную меру нуль, существует аналитическая и ограниченная в В функция f(z), для которой Е С Е(/) .
Таким образом, множества Ер(/) и £(/) для ограниченных гармонических и аналитических функций необходимо удовлетворяют двум условиям:
1) Ер(/) и Е(/) имеют тип Спо ; 1
2) Ep(f) и E(f) имеют нулевую линейную лебегову меру. J
При этом второе условие является неулучшаемым.
Возник вопрос: будут ли эти два условия являться достаточными для того, чтобы множество Е С Г являлось множеством Ep{f) или E(f) для ограниченных гармонических и ограниченных аналитических функций?
Вопрос о полной характеристике множеств угловой и радиальной неопределенности для гармонических ограниченных функций был решен З.С.Загорским (1947 г., [11]). Им было показано, что для любого множества Е с Г, имеющего нулевую меру и тип G^a , существует ограниченная гармоническая функция, не имеющая радиальных пределов на Е и имеющая угловые пределы в каждой точке множества
Множества Е(/) для ограниченных аналитических функций рассматривались А.Ловатером и Дж.Пираняном, (1957 г., [52]). Ими было показано, что любое множество Е С Г , имеющее линейную меру нуль и тип Е<, , совпадает с множеством Е(/) для некоторой аналитической и ограниченной функции /. Будет ли это верно для любого
(*)
Г\Е.
- 6 -
множества типа С^0 меры нуль, оставалось невыясненным. Эта задача полностью решается в теореме 1.3 гл.1 настоящей работы.
Для произвольных (необязательно ограниченных) аналитических функций / рассматривались множества радиальной непрерывности Гр(/) = Г\ЕР(/). Из сказанного выше о типе множества Ер(/) следует, что для любой непрерывной в В фупкции }\г) множество Ер(/) имеет тип .
Ф.Герцогом и Дж.Пираняном (1954 г., [47]) было показано, что всякое множество типа Еа на окружности Г является множеством всех точек радиальной непрерьпшости для некоторой функции, аналитической в круге В . Там же ими был построен пример функции /(г), аналитической в В, для которой множество Е\}') не является множеством типа ГД Полностью задача о характеризации множеств ТД/), в случае произвольных аналитических функций /. решается в теореме 1.4, гл. 1, настоящей работы.
Коллингвуд (1957 г., [48]) показал, что для мероморфных в В функций / множества Есу(/) и Еуу(/) являются множествами первой категории на окружности Г . В 1959 г. [7] Е.П.Долженко было показано, что это имеет место и для произвольных функций в единичном круге, не обязательно аналитических или непрерывных. Немногим позже, в 1960 г., П.Эрдеш и Дж.Пиранян [43] показали, что для любого множества Е С Г первой категории на Г существует такая аналитическая функция /, для которой каждая точка множества Е является СУ-особой точкой: Е С Есу{}) . Окончательный результат для множеств Есу(/) был получен Е.П.Долженко в 1964 г., [8]. Им было показано, что класс множеств Еоу{/) для произвольных (необязательно измеримых и даже необязательно однозначных) функций совпадает с классом таких множеств для ограниченных аналитических функций и совпадает с классом множеств Е С Г одновременно первой категории и типа Е0 на Г . Таким образом, полная характеристика мно-
- 7 -
жеств Ecv(f) — даже для ограниченных аналитических функций — является число топологической. Также в [8] было показано, что и для отображений / n-мерных областей G с гладкой границей ОС в заданное произвольное банахово пространство класс всех множеств Eov(f) совпадает с классом всех множеств одновременно первой категории и типа Fa на дG .
Множества Eyv(f) имеют не только топологические свойства, но и следующее, введенное Е.П. Долженко, метрическое СВОЙСТВО (7-пористости.
Пусть С — точка множества Е С Г ; г (є) — длина наибольшей открытой дуги окружности Г , лежащей в г-окрестности точки ( и не имеющей общих точек с Е . Точка Ç называется точкой пористости множества Е. если отношение не стремится к нулю при є —» 0 . Множество, каждая точка которого является точкой пористости, называется пористым; (7-пористым называется множество, представимое в виде объединения не более чем счетного числа пористых множеств. Очевидно, всякое (7-пористое множество является множеством первой категории и, по теореме Лебега о точках плотности, имеет линейную лебегову меру нуль.
Е.П.Долженко [8, 9] было установлено, что для любой, (возможно неоднозначной и принимающей бесконечные значения) функции f(z) множество Evv(f) является (7-пористым множеством типа G Sa на Г . в частности, множеством первой категории на Г и меры нуль. Кроме того, им было показано, что для любого cr-пористого множества Г С Г существует ограниченная аналитическая функция f(z) , z Є D , для которой Е С Eyv(f) > а если при этом Е имеет тип Fc , то найдется такая ограниченная аналитическая функция /, что Е — Eyy(f) . В [9] этот результат также распространен на случай отображений /г-мерных областей с гладкой границей в произвольное сепарабельное метрическое пространство.
- 8 -
В § 5, гл.1 диссертации дается полная характеристика множеств Evv(f) для произвольных функций, а также для ограниченных аналитических функций / . Ю.А. Шевченко ([36], [37]) обобщил этот результат на случай отображений полупространства пространства Rn , (п > 3). в произвольное локально компактное метрическое пространство со счетной базой.
Относительно множеств /(/) И.И. Плеснером [54] было показано, что для любой мероморфной в D функции / почти каждая точка окружности Г является или точкой Фату, или точкой Плеснера. Таким образом, окружность Г представляется в виде объединения множества Плеснера /(/), множества Фату F(f) и некоторого исключительного множества £/(/), линейной меры нуль.
В 1970 г. П.Лаппаном [49] было доказано, что для мероморфных в D функций / множество Плеснера имеет тип Gs ; отсюда, в частности, следует, что для мероморфных функций / множество U(f) имеет тип Gb(j • Кроме того, им было доказано, что для любого множества Е С Г типа G s существует голоморфная функция f{z), для которой Е = /(/). В этом примере Лаппана точки множества Г \ /(/), вообще говоря, могут быть как точками Фату, так и точками из U(f).
В.И. Гавриловым и А.Н. Канатниковым в 1977 г. [3] было показано, что существует такая мероморфная в D функция / , что Е = I(f) и
Г\E = F(f).
Вопрос о полной совместной характеристике всех трех множеств F{ f ). /(/), U(f) рассматривался А.Н.Канатниковым. Им было показано [13], что для любых трех попарно непересекающихся множеств Е2. и Ц=1 Fi = Г, таких, что Е\ имеет тип Gs, а £3 — тип Fa и линейную меру нуль, существует такая мероморфная в круге D функция /, что Е[ = /(/), Ео = F(f ) и Ез = U(f). При этом для доказательства им применялся приведенный выше результат Ловатера и Пираняна о множествах E(f) для ограниченных аналитических функций.
- 9 -
Ниже, в § 4 главы 1, дается полная совместная дескриптивно-метрическая характеристика множеств /(/), Р{/) и и(/) (теорема 1.5).
Во второй главе рассматривается поточечное и равномерное приближение функций на окружности Г.
М.В. Келдышем (1935, [16] ) рассматривался вопрос о поточечном приближении функций, определенных на Г, посредством равномерно ограниченных последовательностей полиномов от г, возникший, по-видимому, в связи с более общей задачей о поточечном приближении функций полиномами в произвольной области.
Если функция /(г), ; Е Г, является поточечным пределом последовательности полиномов Рп(г), равномерно ограниченной на Г [\Рп{г)\ < К. V: Є Г, Уга = 1. 2, ...), то легко доказывается, что /(г) должна удовлетворять следующим трем условиям:
1) функция /(г) ограничена: |/(г)| < К.
2) функция /(с) не выше первого1 класса Бэра на Г,
3) функция /(г) почти всюду на Г равна угловым граничным значениям некоторой ограниченной аналитической в О функции.
М.В.Келдышем было доказано, что если функция /(г), г 6 Г, удовлетворяет условиям 1) — 3) и, кроме того, множество ее точек разрыва имеет лебегову меру нуль, то существует равномерно ограниченная последовательность полиномов, сходящаяся к /(*) в каждой точке окружности Г. В этой же работе было отмечено, что для существования такой последовательности полиномов последнее условие не явдяется необходимыми.
С.Н.Мергеляном и А.А.Талаляном (1961 г., [30]) были сделаны до-
• Непрерывные функции составляют нулевой класс. Первый класс Бэра, составляют функции, представляющиеся в виде поточечного предела последовательности непрерывных функций и не являющиеся непрерывными.
- 10 -
полиения к теореме М.В.Келдыша. Они доказали, что всякая функция первого класса Бэра, равная нулю почти всюду на Г, является пределом равномерно ограниченной последовательности полиномов. Ими также было приведено следствие из этого утверждения и теоремы Келдыша: если ограниченную функцию первого класса Бэра, удовлетворяющую условиям 1) — 3), можно изменить на множестве меры нуль так. чтобы она стала ограниченной функцией не выше первого класса Бэра и почти всюду непрерывной на Г, то она является поточечным пределом равномерно ограниченной последовательности полиномов.
Б § 1 гл. 2 доказывается, что дополнительное условие на множество точек разрыва в теореме Келдыша излишне, т.е. условия 1) — 3) являются как необходимыми, так и достаточными для существования равномерно ограниченной последовательности полиномов, сходящейся к /(г) поточечно.
Хорошо известно, что не всякая функция /(г), непрерывная на Г , допускает на Г сколь угодно точное равномерное приближение алгебраическими полиномами. Для существования последовательности полиномов Рп{г), равномерно сходящейся на Г к функции Дг), необходимо и достаточно, чтобы функция Дс) непрерывным образом продолжалась с Г внутрь О до функции, аналитической в В. Б силу теоремы Руиге, возможность равномерного приближения непрерывной функции полиномами на Г равносильна возможности ее равномерного приближения функциями из пространства С л (Г). Это также равносильно возможности равномерного приближения функциями из Я30(Г).
Если функция Дг) не продолжается в круг И аналитически, то величина
р = т^еСдСГ) II/ “ Я.11оо = Ь^€Я~(Г) II/ “ ЯНсо' положительна и существует функция д € Я°°(Г) (функция наилучшего приближения функции / из класса Я°°(Г)) для которой
II/ — 5||оо = Р-
- 11 -
Такая функция д единственна [33] (см. также [1] и [4]), по может не являться функцией из Сд(Г). В этом случае в пространстве Сд(Г) у функции /(х) нет функции наилучшего приближения.
Более общий случай, связанный с приложениями, рассматривался в ряде работ (см. напр. [45], [46]) Д.Е.Маршалла. Дж.У.Хелтона,
О.Мерино и др.
Именно, пусть Ну и Ну, р > 0, — пространство векторнозначных функций и. каждая координата которых является функцией из Н°° или. соответственно, из Нр\ С(С, ги) — некоторая действительнозначная функция переменных С 6 Г, IV £ СЛ . Ищется функция и* из Яд? или н%. на которой достигается минимум величины
(задача ОРТ1).
Для этой, более общей задачи, также исследовались вопросы существования, единственности и непрерывности экстремальной функции
Вопрос о непрерывности функции наилучшего приближения из Я°°(Г), т.е. о ее принадлежности к Сд(Г), изучался Л.Карлесоном и С.Якобсом (1972 г., [42]). Ими было показано, что если функция /(*) непрерывна по Диии, т.е., если ее модуль непрерывности и/{6) удо в л етвор яет условию
то д(г) будет непрерывна. Ими также было показано, что для любой функции и;(6) типа модуля непрерывности, для которой
(задача ОРТ00) или величины
и* (см. [45]).
- Київ+380960830922