Введение
В этой работе исследуются представления алгебры Вирасоро и алгебры петель со значениями в простой конечномерной алгебре Ли. Эти алгебры возникают в конформной теории поля, а также при изучении пространств модулей комплексных кривых (алгебра Вирасоро) и пространств модулей комплексных расслоений (алгебры токов в структурную группу). В этих задачах возникает определенный класс представлений, а именно минимальные представления для алгебры Вирасоро и интегрируемые представления для алгебр токов.
Все такие представления — бесконечномерны. Один из стандартных способов их исследования — определить убывающую цепочку подалгебр 21 = 210 э 211 Э ... и рассмотреть фильтрацию FlV на представлении V конечномерными пространствами инвариантов F*V = (V)a% такую что U.PI7 = V. В данном случае удобнее определить такую цепочку подалгебр, что необходимая фильтрация определена на двойственном представлении. При этом F*V* = (У*)'21* = (V/21*-)*, где V/% — фактор пространства V по действию алгебры 21,, и есть пространство коин-вариантов. Оказывается, что подобная ’’финитизация” согласована с рассматриваемыми задачами. Поясню это кратко для алгебры Вирасоро.
Напомню, что алгебра Вирасоро — центральное расширение алгебры Ли полиномиальных векторных полей на окружности. Пусть X — комплексная кривая, zi,..., zw — набор точек на ней, Vi,..., Vjv — набор представлений алгебры Вирасоро с одинаковым центральным зарядом (действием центрального элемента). Рассмотрим алгебру Ли Lont меро-морфных векторных полей на X, голоморфных вне точек Zi. Разложения в ряды Лорана в окрестности точек z\ определяет вложение
bout -* Vir Ф . • • Ф Vir,
и, поскольку действие центрального элемента одинаково, действие Ьш на VI13 ... 13 Vjv. Рассмотрим пространство коинвариантов
{Vu...,VN)x = {Vl^..MVN)/Lmt.
В работе [4] это пространство возникает как пространство конформных блоков для широкого класса конформных теорий. В работе [24] это
2
пространство возникает как сечение канонически определенного расслоения на пространстве модулей кривых с отмеченными точками (’’модулярный функтор”). Это — пространство коинвариантов, но более сложной алгебры, зависящей от набора точек.
В работе [7] определяются другие пространства коинвариантов, а именно пусть .4(21, • • • > ^лО — подалгебра алгебры Вирасоро, состоящая из ограничений на окружность векторных полей на С, имеющих нули второго порядка в точках 2,-. 13 этой же работе доказывается утверждение, связывающее эти конструкции. А именно, пусть — все
минимальные представления с данным центральным зарядом (их конечное число — см. [8]). Тогда
У/Л(г 1,...,2д?) = ф (V, У1хУ.. .,^-ЛГ)СР, .
Утверждение про размерности - теорема 1.6, приведенная далее, следует из этого утверждения и вычисления размерности пространств конформных блоков согласно [7], [4], 27]. В частности, рассматриваемые пространства — конечномерны.
Можно расширить определение подалгебры /1(21,..., ^Лг) и на случай совпадений точек 2,\ А именно, если точка 2 встречается среди аргументов т раз, то следует потребовать, чтобы векторные поля обращались в этой точке в ноль с кратностью 2т. В частности, можно рассмотреть пространство коинвариантов УЛ = У/Л^ относительно подалгебры Адг = А(0,Это пространство градуировано. Кроме того, легко доказать, что размерность этого пространства максимальна среди пространств коинвариантов представления V относительно подалгебр А(21,..., 2д,'). Если размерности в случае 2; = 0 и в случае достаточно общих 2* совпадают, то дополнительная градуировка позволяет говорить о ^-аналогах конформных блоков и понятий с ними связанных (правила Верлинде и.т.д.).
В [6] доказано совпадение этих размерностей для определенного набора центральных зарядов — серии (2,2А; + 3). Оказывается, что именно эти представления с точки зрения рассматриваемых задач аналогичны интегрируемым представлениям алгебр петель.
Первая глава этой работы посвящена именно этому случаю. Явный базис, построенный в [6;, позволяет отождествить многочлен Гильберта градуированного пространства Ул с комбинаторными величинами,
3
участвующими в тождестве Эндрюса-Гордона (гл. 1.1, 1.2). Знакопеременная часть этого тождества может быть интерпретирована, как д-аналог правила Верлинде, а именно, доказывается, что при гу —1 эта формула перейдет в утверждение теоремы 1.С (гл. 1.3). Аналог этой формулы имеется (и приведен в главе 2) для произвольной алгебры петель. Знакопостоянная формула интерпретируется в терминах абелевой версии пространства коинвариантов (гл. 1.4, 1.5). Аналог этой формулы имеется (и приведен в главе 3) для алгебры петель со значениями в алгебре Ли $/2. В первой главе доказывается еще одна формула (гл
1.6, 1.9; [31]). Ожидается, что ее аналог для алгебр токов будет фини-тизацией тождества Вейля для характера. Поэтому соответствующая формула названа формулой типа Вейля. Кроме того, абелевая версия пространств коинвариантов позволяет обобщить тождества Эндрюса-Гордона (гл 1.7, 1.8; [31]).
Во второй главе определяются пространства коинвариантов алгебр петель (гл. 2.1), доказывается их конечномерность (гл. 2.2). Эти пространства нумеруются не одним индексом ЛГ, как в случае алгебры Ви-расоро, а двумя, (р,г). При фиксированных риг пространства коинвариантов параметризуются набором из р + г комплексных чисел. При г = О определение наиболее естественно, но аналог теоремы 1.6 более сложен. Определение пространств коинвариантов при р = 0 сложнее и требует выбора борелевской подалгебры, но теорема 1.6 переписывается на этот случай буквально. Аналог теоремы 1.6 формулируется в гл. 2.3 и выводится в гл. 2.5, 2.6 из результата [26^ о размерности соответствующих пространств конформных блоков (гл. 2.4). Возможность ’’вырождать” такие пространства коинвариантов в градуированные пространства (рассматривать набор совпадающих точек), как и в случае алгебры Вирасоро, позволяет определить (/-аналоги пространств конформных блоков. Более точно, на пространствах коинвариантов при общих значениях непрерывных параметров определена естественная фильтрация (см. гл. 2.1) и можно рассмотреть многочлен Гильберта этой фильтрации. В гл. 2.8 приводится д-аналог правила Верлинде — формула для многочлена Гильберта (гипотетическая в общем случае). Эта формула использует д-аналог тензорного произведения, определенный в гл. 2.7, [29].
Третья глава посвящена алгебре токов со значениями в алгебре Ли
4
з1'2- В ней строится базис для (р, 0)-коинвариантов (гл. 3.2 и 3.3; [30]), приводится гипотетический базис в общем случае (гл. 3.4). Датее, сто-ится абелев аналог пространств коинвариантов (гл. 3.5). Исходя из этого пространства приводится явная формула для многочлена Гильберта, которая доказывается в случае вакуумных представлений (гл. З.б), а также в случае (р. 0)-пространств коинвариантов (гл. 3.7). Важным следствием этих результатов является то. что в этих случаях размерность не меняется при совпадении точек, параметризующих пространства коинвариантов. Кроме того, в пределе получаются интересные формулы для характеров самих представлений. Наконец, в гл. 3.8 приводится результат о высших гомологиях соответствующих подалгебр.
1. Тождества Эндрюса-Гордона и коинварианты алгебры Вирасоро
1.1. Тождества Эндрюса-Гордона
Назовем конфигурацией длины N последовательность неотрицательных целых чисел Оі,..., одт. Фиксируем параметры к и /. Назовем конфигурацию допустимой. если а і < / и а,Ч-а,+і < к для всех г. Обозначим множество допустимых конфигураций Д.у(&,/).
Содержательной комбинаторной задачей уже является подсчет числа таких конфигураций. Например, при & = 1 это — числа Фибоначчи. Но интереснее приписать каждой конфигурации вес <:1её(а1,.. .одг) = • га,-
и рассмотреть сумму
При к: = 1 получится стандартный сраналог чисел Фибоначчи. Приведу две различные по структуре формулы для с/дг(Аг, /;</), доказательство имеется в [1].
Теорема 1.1. Пусть 0 — иматрица к х к. такая что = шт(г,^),
С - вектор, такой что = тах(0,г — I), обозначим V = переменный вектор. Тогда
<ЫМ;?)= Т. 9<1е8(°ь-’0").
Ац(к,1)
УС}у+Су
5
q-биномиальный коэффициент.
Теорема 1.2. Имеет место равенство
і (Л і \ Л\і
dti(k,l-,q) = 2^(-l) q 2
H(2k-S)t-2k-2l+l)
2
JV + 1
[((Ar + 1)1 - (2Ä: + 3)г - 1 + /)/2]
ade
g-(l + 1)-и<шгшльмьгй коэффициент.
В пределе при q -» 1 получаются формулы для числа допустимых конфигураций через биномиальные и мультиномиальные коэффициенты.
Совпадение формул, указанных в этих теоремах и называют тождествами Эндрюса-Гордона. В пределе при N —> оо они перейдут в тождества Гордона (при 1 = 1 в тождество Роджерса-Рамануджана).
1.2. Связь с коинвариантами алгебры Вирасоро
Напомню, что алгеброй Вирасоро Vir называется центральное расширение алгебры Ли полиномиальных векторных полей на С*. Пусть L{ = zt+1d/dz. Тогда их коммутатор определяется так:
Алгебра Vir градуирована так, что degLj = L Эта градуировка берется из присоединенного действия элемента Lq.
Аналогом борелевской подалгебры для Vir является подалгебра В состоящая из векторных полей Lj, г > 0 и центрального элемента С. Обозначим В_ противоположную подалгебру, состоящую из L*, г < 0 и
Представления со старшим весом алгебры Vir определяются как представления, порожденные старшим вектором Г(сд) (с, h € С), таким что
[Lit Lj) = (і - j)Li+j + S^C.
C.
- Київ+380960830922