1
Оглавление
Введение Л
1 Понятие относительной стандартности 18
1.1 Теории IST и BST.......................................... 18
1.1.1 Аксиома идеализации................................ 19
1.1.2 Монады и ультрафильтры............................. 21
1.1.3 Приведение формул к специальному виду..............24
1.2 Мотивация введения понятия относительной стандартности. 27
1.2.1 Двойной предел......................................27
1.2.2 Теорема Римаяа......................................29
1.3 Предикат относительной стандартности.......................32
1.4 Принцип единственности......................................36
2 Нестандартная теория классов 38
2.1 Аксиоматика................................................38
2.2 Базовые следствия аксиом...................................42
2.2.1 Внутренние классы...................................42
2.2.2 Стандартность и конечность..........................47
2.3 Аксиома хроматнчности классов..............................50
2.3.1 Пазу множества стандартного размера.................52
2.3.2 Монады и ультрафильтры..............................57
2.4 Модели NCT.................................................60
2.4.1 Необходимые факты о BST.............................62
2
2.4.2 Конструкция модели .................................65
3 Определимые предикаты стандартности 70
3.1 Стандартизация в теории BST"............................ 70
3.2 Определимые предикаты стандартности..................... 73
3.3 Предикат антистандартности...............................81
3
Введение
Принято считать (см. например [Ш] и |КК|), что идеи и методы нестандартного анализа восходят к исследованиям Г. В. Лейбница, хотя многие из этих идей и методов возникли и применились задолго до Лейбница.
Одна из причин такого взгляда на истоки нестандартного анализа состоит, по-видимому, в том, что Лейбниц и Ньютон явились основателями не только двух различных школ, но и двух различных стилей математического анализа; и если стиль Ньютона, с акцептом на теории пределов, получил строгое обоснование в XIX веке, то стиль Лейбница, со свободным использованием актуальных бесконечно малых, только с появлением нестандартного анализа.
Когда речь идёт об аксиоматических системах нестандартного анализа, существенным представляется также и то, что для Лейбница был характерен взгляд на его исчисление как на формальную систему.
Уже в первой опубликованной им статье по анализу он отмечал, что предлагает «особый род исчисления», который был представлен в виде <алгоритмов для обращения с особыми видами бесконечно малых и бесконечно больших величин (такими, как дифференциал). Благодаря тому, что в этом исчислении бесконечно малые и бесконечно большие рассматриваются как самостоятельные величины, обладающие всеми свойствами действительных чисел, хотя в особых лучаях с ними обращаются согласно специальным алгоритмам (например, отбрасывают бесконечно бесконечно малые при вычислении дифференциалов), эти величины принято называть актуально бесконечными. При этом Лейбниц был убеждён
•1
в возможности формального использования актуально бесконечных величин в рассуждениях как вспомогательного средства, сокращающего выкладки, подобно комплексным числам, и не напаивал на их существовании «в качестве действительных вещей». В этом смысле можно сказать, что Лейбниц был предтечей аксиоматических систем нестандартного анализа. 1
Тем не менее, нестандартный анализ начался именно с нахождения бесконечно малых как «действительных вещей», то есть с построения соответствующих моделей. Бесконечно малые были найдены как элементы некоторых собственных элементарных расширений (нестандартных моделей) множества вещественных чисел (стандартной модели).
Открытие Л. Робинсона состояло также в нахождении способа построения для произвольной математической структуры А/ ее нестандартного расширения *МУ то есть элементарного расширения, обладающего специальными свойствами нетривиальное™, гарантирующими существование в 'М идеальных элементов. Метод нестандартного анализа состоит в использовании этих идеальных элементов для доказательства утверждений, истинных в 9Му которые, благодаря элементарной эквивалентности моделей А/ и 9Му оказываются справедливыми также и в А/. С другой стороны, Элементарная эквивалентность Л/ и *А/ дает возможность «переносить» известные утверждения об М на 9М.
Однако, то же самое свойство элементарной эквивалентности накладывает определённые ограничения па модель 9М. Например, если А/ содержит вещественные числа и все их подмножества, то и 9М имеются
'Например, о« пишет (см. |Л|): « ... если кто-нибудь не допускаем* бес конечных и бесконечно малых линий о строго метафизическом смыслю и в качестве действительных вещей, юг может надёжно пользоваться ими как идеальными понятиями, сокращающими рассуждения и сходными с так называемыми в анализе мнимыми корнями .... которые» несмотря на то, «по их называют мнимыми, но перестают от ттого быть полезными и даже необходимыми для аналитического выражения действительных величин*.
5
бесконечно малые« но совокупность всех бесконечно малых ВЄЩІЧТВСН-ных чисел не является элементом W/. Поэтому в суперструктурном, или теоретикомодельном, варианте нестандартного анализа — подходе, развитом Робинсоном, Законом. КеПсдером« Люксембургом и другими - обе модели рассматриваются погружёнными в теоретико-множественный универсум, благодаря чему можно использовать в рассуждениях произвольные множества, построенные из элементов "А/. Такие множества, не являющиеся элементами \1/. называются внешними множествами. За элементами 9М закрепилось название внутренних множеств.
П супергтруктурном варианте нестандартного анализа развились методы, которые существенно опираются на наличие щмшзнольных внешних множеств. Примеры таких методов дают конструкция нестандартных оболочек нормированных пространств, меры Лёбл, дескриптивная «сория множеств над гиперконечным множеством.
По-видимому, первые аксиоматические системы для нестандартного анализа принадлежат К. Хрбачеку (|Н1, Н2|). Однако наиболее известной и используемой аксиоматикой нестандартного анализа является теория внутренних множеств IST Э. Нельсона (|N1|). Эта система привлекает своей простотой: IST добавляет к аксиоматике теории множеств Цермело-Фреикеля ZFC лишь три принципа (схемы аксиом), имеющие ясную интуитивную интерпретацию, и является консервативным расширением ZFC.
IST предлагает альтернативный взгляд на нестандартный анализ, который, можно описать следующим образом: все множества можно разделить на стандартные и нестандартные, то есть предикат стандартности задаст дополнительную структуру и универсуме множеств; дополнительные аксиомы, описывающие свойства стандартности, позволяют интерпретировать стандартные множества как доступные. В частности, все множества, которые можно назвать, то есть множества, определимые в языке IST (определение может включать предикат стандщхгности),
6
- Київ+380960830922