Разложения и автоморфизмы фундаментальных групп поверхностей

ОГЛАВЛЕНИЕ
Введение ... 4
Глава 1. Конечно порожденные группы со свойством
М. Холла ... 18
§1.1. Условие ... 18
§ 1.2. Граф групп и его фундаментальная группа ... 19
§ 1.3. Нормализаторы подгрупп фундаментальных
групп графов групп ... 20
§ 1.4. Некоторые соглашения ... 23
§1.5. Комплекс К (С,Г) ... 24
§ 1.6. Окрестности комплекса К (С, Г) и их накрытия ... 25
§ 1.7. /7-компоненты ... 27
§1.8. Лемма о вложении ...32
§ 1.9. Теорема о свободных подгруппах
почти свободных групп ... 33
§ 1.10. Характеризация конечно порожденных
холловых групп ... 36
§ 1.11. Алгоритм, выясняющий холловость
конечно порожденных почти свободных групп ... 39
§ 1.12. Контрпример к гипотезе Бруннера и Бернса ... 43
Глава 2. Проблема автоморфной сопряженности подгрупп фундаментальных групп компактных поверхностей ... 49
§ 2.1. Некоторые классические теоремы о гомеоморфизмах поверхностей и автоморфизмах их фундаментальных групп ... 49
§ 2.2. Минимальные представители замкнутых кривых
па поверхностях ... 52
§ 2.3. Эффективное построение ядер накрытий,
соответствующих конечно порожденным подгруппам ... 53
2
§ 2.4. Реализация конечно порожденных подгрупп
несжимаемыми подповерхностями ... 57
§ 2.5. Доказательство основной теоремы ... 64
Глава 3. Разложения фундаментальных групп замкнутых поверхностей в свободные конструкции ... 75
§ 3.1. Определения геометрических разложений § 3.2. Построение негеометрических разложений группы щ(Тд,х) в свободное произведение с объединением § 3.3. Критерий геометричности свободного произведения с объединением § 3.4. Критерий геометричности НКК-раоьирения §3.5. Почти геометричность представлений группы яДТ, аг) в виде фундаментальной группы конечного графа групп § 3.6. Реберная жесткость
76
78
82
90
97
102
Глава 4. Классификация автоморфизмов свободной группы ранга 2 по рангам групп неподвижных точек ... 106
§ 4.1. Основные определения, обозначения и леммы ... 106
§ 4.2. Геометрическая интерпретация равенства а(ги) = ги ... 107
§4.3. Доказательства теорем ... 110
Глава 5. Гиперболические группы, сети и билипшицева эквивалентность
§ 5.1. Основные определения и теоремы § 5.2. Тупики в группах
§ 5.3. Лемма о почти продолжениях геодезических § 5.4. Конструкции
§ 5.5. Разделенные сети в гиперболическом пространстве ПИ” Литература
121
121
123
124 127 131
135
3
ВВЕДЕНИЕ
1. Обзор проблем и результатов
Группа называется разложимой, если она представляется в виде фундаментальной группы нетривиального редуцированного графа групп [58,12]. Такое представление называется разложением группы. Согласно теории Басса - Серра, группа разложима тогда и только тогда, когда она действует без общей неподвижной точки на некотором дереве [58].
Исследование разложений групп и связанных с ними действий групп на К-деревьях - одна из важных задач комбинаторной теории групп. Разложения групп позволяют лучше понять строение их подгрупп [58], а в случае гиперболических групп - изучить динамику и классифицировать их автоморфизмы, а также выяснить строение групп автоморфизмов этих групп (см. обзор Бествины [13], а также работы [15, 52, 55, 57]).
Истоки многих идей и методов исследования разложений групп находятся в топологии. Отметим здесь теорему Зейферта- ван Кампена, теорию Столлингса концов групп, теоремы об алгебраическом торе и о ЛБЛ-разложении групп (Рипс, Села, Данвуди, Сагеев, Свенсон, Па-пасоглу и Фудживара). Далее мы говорим только о тех разложениях, в которых реберные группы конечно порождены.
В тех случаях, когда группа имеет ярко выраженное геометрическое происхождение, естественно спросить
1) всякое ли ее разложение геометрично?
2) как связаны произвольные разложения с геометрическими?
Мы отвечаем на эти вопросы для фундаментальных групп замкнутых (то есть компактных и без края) поверхностей, понимая под геометрическим разложением такое, которое индуцируется разбиением поверхности на подиоверхности. Формальные определения приводятся ниже. Оказывается, не все разложения таких групп геометричны
4
(это дает ответ на вопрос 10.69, сформулированный X. Цишангом в [3]), однако все разложения почти гсометричны в некотором точном смысле [78]. Кроме того, эти группы, за исключением фундаментальной группы бутылки Клейна, обладают свойством реберной жесткости: при фиксированных реберных подгруппах имеется конечное число вариантов для вершинных подгрупп в разложениях группы.
Представлять разложения и подгруппы в виде геометрических объектов помогает теорема Скотта [54], утверждающая, что любая конечно порожденная подгруппа Я фундаментальной группы где
Т - компактная поверхность, реализуется несжимаемой иодповсрхно-стью в некотором конечнолистном накрытии поверхности Т.
На алгебраическом языке это означает, что Я выделяется как вершинная подгруппа в некотором разложении подходящей подгруппы конечного индекса в щ(Т,х).
Такой подход позволил нам решить проблему автоморфной сопряженности двух конечно порожденных подгрупп группы 7Г\(Т>х) [76]. Ранее проблема автоморфной сопряженности была решена Уайтхедом для элементов свободной группы [65], Герстеном для конечно порожденных подгрупп свободной группы [34] и Левиттом и Фогтманн для элементов Группы 7Г] (Т, я) [45].
Скотт отмечает, что толчком к его исследованию [54] явилась работа М. Холла [39], в которой доказано, что любая конечно порожденная подгруппа свободной группы Я конечного ранга выделяется свободным множителем в некоторой подгруппе конечного индекса группы Я. Фактически, Скотт доказывает обобщение теоремы Холла на геометрическом языке.
Группа С называется холловой (в честь М. Холла [39]), если всякая ее конечно порожденная подгруппа выделяется свободным множителем в некоторой подгруппе конечного индекса группы бт. Мы доказываем, что конечно порожденная группа холлова тогда и только тогда, когда она почти свободна и всякая ее конечная подгруппа выделяется свободным множителем в подходящей подгруппе конечного индекса [70]. Это свойство алгоритмически распознаваемо в классе групп, заданных конечными графами конечных групп. Используемая техника - накрытия комплексов.
Исследование автоморфизмов свободных групп - одно из важных и интересных направлений в комбинаторной теории групп, в котором геометрические идеи и методы находят яркое воплощение.
5
Пусть Fn - свободная группа ранга п и Aut(F„) - группа ее автоморфизмов. Важнейшей характеристикой автоморфизма а 6 Aut(Fn) является группа его неподвижных точек: Fix(ar) = {х € Fn | а(х) = х}. Используя технику трейн-треков Бествина и Хэндель [2] доказали, что rfc(Fix(a)) ^ п. Детальный анализ этой техники позволил Коллинзу и Тёрнеру [3] классифицировать автоморфизмы от с условием rk(F\x(a)) = п. Однако получить полную классификацию автоморфизмов Fn по рангам групп их неподвижных точек и классификацию этих групп с точностью до сопряженности в Aut,(Fn) пока не удается. Мы показываем возможность получения такой классификации для гео метр и ческ их авто м орфиз м ов.
Автоморфизм а группы Fn называется геометрическим, если он индуцируется гомеоморфизмом некоторой компактной поверхности Т с краем при отождествлении групп Fn и 7г\(Т,х). Неподвижные точки автоморфизма реализуются минимальными замкнутыми кривыми в Т. Несжимаемые подновсрхности в Г, связанные с этими кривыми, соответствуют группам неподвижных точек автоморфизма.
При п = 2 любой автоморфизм геометричен. Это позволило нам получить классификацию автоморфизмов свободной группы ранга 2 по рангам групп неподвижных точек, классификацию групп неподвижных точек автоморфизмов и классификацию стабилизаторов элементов из F‘2 [79]. В качестве следствия мы подучаем алгоритм, решающий проблему сопряженности в группе AutfF?), а также алгоритм для нахождения базиса подгруппы Fix(a) для а £ Aut(F2).
Одним из перспективных направлений геометрической теории групп является исследование свойств групп, инвариантных относительно ква-зиизометрий, а также описание классов квазиизометричных групп (см. книги М. Громова [37, 38]). Мы исследуем частный случай квазиизо-метрий - билипшицевы отображения (они обобщают понятие изоморфизма).
Группу можно рассматривать как метрическое пространство со словарной метрикой относительно фиксированного порождающего множества. Метрические пространства (Xi,c/i) и (Хг,^) называются Сш-липшицево эквивалентными, если существуют биекция \ Х\ —> Х*2 и константа ß > 0 такие, что \di(x,y) ^ d2(<p(x),<p(y)) ^ ßd\(x,y) для всех х,у £ Х\.
Мы доказываем, что бесконечные соизмеримые гиперболические группы билипшицево эквивалентны [73, 75]. Это дает ответ на один во-
6
прос М. Громова [37, стр. 23] в классе гиперболических групп. Ранее П. Папасоглу [51] доказал аналогичное утверждение для свободных групп. Позднее и независимо В. Некрашевич [7] доказал, что квази-изометричные гипе]>болические группы билипшицево эквивалентны. Отметим, что идеи нашего доказательства (в частности лемма о парасочетаниях из комбинаторики и идея превращения инъективного отображения в биективное), могут быть применены для доказательства еще более обшего факта: неаменабельные конечно порожденные группы квазиизометричны тогда и только тогда, когда они билипшицево эквивалентны [66]. Наше доказательство применимо также для положительного решения другого вопроса М. Громова из [37, стр. 23] (см. оп ределен ие 5.1.2):
Будут, ли. произвольные разделенные сети в гиперболическом пространстве Н", п ^ 2, билипшицево эквивалентны?
Удивительно, что для евклидовых пространств размерности п ^ 2 аналогичный вопрос решается отрицательно [20].
2. Формулировки основных определений и теорем
Глава 1 посвящена исследованию холловых групп.
Напомним, что группа й называется холловой, если всякая ее конечно порожденная подгруппа выделяется свободным множителем в некоторой подгруппе конечного индекса группы О. Известно, что свободные группы конечных рангов холловы [39], свободные произведения и подгруппы холловых групп - холловы [21]. Естественно возник вопрос о характеризации холловых групп [19].
Группа называется достижимой, если она может быть представлена в виде фундаментальной группы конечного графа групп, в котором группы всех вершин имеют не более одного конца, а группы ребер конечны.
Легко доказать, что всякая конечно порожденная достижимая хол-лова группа может быть представлена и виде конечного графа конечных групп, то есть является почти свободной [19].
Заметим, что конечно порожденная недостижимая группа содержит бесконечную локально конечную подгруппу [28], и поэтому не может быть холловой.
Отсюда следует, что всякая конечно порожденная холлова группа почти свободна. Обратное, вообще говоря, неверно. В [19] была пред-
7
принята попытка охарактеризовать почти свободные холловы группы в частном случае свободного произведения с объединением конечных групп. Однако основная теорема и гипотеза работы [19] неверны.
Основные результаты данной главы следующие.
Теорема 1.10.1. Конечно порожденная группа С холлова тогда и только тогда., когда она почти свободна и всякая ее конечная под-группа выделяется свободным множителем в некоторой подгруппе конечного индекса группы С.
Теорема 1.11.1. Существует, алгоритм, позволяющий выяснять по конечному графу конечных групп (С, Г), холлова группа 7Г1(С,Г,г>о) или нет.
В работе. [71] мы приводим также алгоритм, позволяющий по конечному графу конечных групп (С, Г) и конечно порожденной подгруппе Н ИЗ С = 7Г1(С, Г, ^о) выяснить, выделяется ли Н свободным множителем в некоторой подгруппе конечного индекса группы С.
Глава 2 посвящена проблеме автоморфной сопряженности подгрупп фундаментальных групп компактных поверхностей.
В 1936 году Уайтхед [65] нашел алгоритм, решающий следующую проблему в случае, когда С - свободная группа конечного ранга:
Пусть {«1,... ,ап} и {Ь\9... ,5П} - конечные наборы элементов группы С. Существует ли автоморфизм группы С, переводящий а,- в Ь; для каждого I ? Если существует, то найти хотя бы один такой автоморфизм.
Герстен решил аналогичную проблему для конечных наборов конечно порожденных подгрупп свободных групп [34]. Коллинз и Ци-шанг распространили метод Уайтхеда на свободные произведения конечного числа неразложимых групп при услории, что данная проблема разрешима для каждой из них [25, 26].
Заметим, что любая свободная группа конечного ранга изоморфна фундаментальной группе подходящей компактной связной поверхности с непустой границей и наоборот. Левитт и Фогтманн решили данную проблему для фундаментальных групп компактных поверхностей без границы [45].
В данной главе мы получаем аналог результата Герстена.
Теорема 2.5.2. Пусть Е - компактная связная поверхность с базисной точкой х. Пусть Н\ и две конечно порожденные под-
8
группы группы ttj (E, х), заданные конечными множествами порождающих. Существует алгоритм, позволяющий выяснить, есть ли автоморфизм a G Aut(7Ti(E,.x*)) такой, "«то = Я2. Ллгоргтш
позволяет, найти хотя бы один такой автоморфизм а, если он существует.
Уточним, что группа 7Г[(Е,а.*) считается заданной каноническим представлением (у\,... ,дп\ П*)> совпадающим с представлением
У
($1, • • . , à'nn ^1 у ^1? • • • ^1 * * * $т ^»1)>
г=1
если Е ориентируема, и с представлением
Sm, Щ , . . . , Vg | 6‘1 SmV J • * * Уд) у
если Е не ориентируема. Мы говорим, что ее подгруппа II задана конечным, множеством порождающих, если задано конечное множество слов в алфавите {<7b#i~V*‘ i9n>9nl}> °бразы которых в группе 7Г1 (Е, х) порождают Я.
Глава 3 посвящена исследованию разложений фундаментальных групп замкнутых поверхностей. Опишем сначала коротко результаты данной главы.
Пусть Т - произвольная замкнутая поверхность с базисной точкой х и тт\(Т,х) - ее фундаментальная группа. Можно построить нетривиальные разложения группы к\(Т,.г) в фундаментальные группы графов групп, используя несжимаемые подповертпости в Г. Такие расщепления называются геометрическими (точные определения даны ниже). 13 § 3.2 строятся негеометрические разложения групп iri(T,x). Теоремы 3.3.6, 3.4.2 и 3.5.7 дают критерии геометричности расщеплений групп 7Гх(Г, х).
Основным результатом данной главы является теорема 3.5.8, утверждающая, что любое разложение группы щ(7\х) в фундаментальную группу конечного графа групп с конечно порожденными реберными группами является почти геометрическим. Это означает, что существует подгруппа Я конечного индекса в 7Tj (Г, х*), зависящая от данного разложения, индуцированное разложение которой геометрично в соответствующем ей накрытии.
9
В § 3.6 вводится новое понятие - реберная жесткость. Неформально говоря, группа й обладает реберной жесткостью, если для любого конечного набора ее конечно порожденных подгрупп Сч,... ,<2П существует только конечное число способов представления £ в виде фундаментальной группы графа групп с реберными подгруппами Оь ... ,Сп без учета значений проходных букв. Теорема 3.6.1 утверждает, что фундаментальная группа замкнутой поверхности, отличной от бутылки Клейна, обладает реберной жесткостью.
Приведем теперь точные определения и формулировки основных результатов главы 3.
Пусть Е - связная поверхность с базисной точкой х. Компактная подповерхность 5 поверхности Е. называется несжимаемой, если ни одна компонента замыкания Е\5 не является 2-диском с границей, содержащейся в с^5. Если 5 несжимаема и х € 5, то естественный гомоморфизм 74 (5,#) —> 7Гх (Е, дг) инъективен. Поэтому мы отождествляем группу 711 (&#) с ее образом в 7Г1 (Е, х). Пусть Н - подгруппа группы тгДЕ,#). Мы говорим, что Н реализуется несжимаемой подповерхно-стыо 5 в Е, если х 6 т£(5) и Н = тгДЗ,;г).
Определение 3.1.1. Пусть Е - поверхность с базисной точкой х и пусть 7Г1(Е,я) = *с-з ~ разложение ее фундаментальной группы в свободное произведение с объединением. Мы говорим, что это разложение геометрично, если в Е существуют несжимаемые подпо-верхности 5\,52,5з такие, что Е = и 52,5] П = 5з, х £ т£(5з) и Gi = щ^х), г = 1,2,3.
Далее мы обобщим это определение на случай разложения группы тгДЕ, х) в фундаментальную группу произвольного конечного графа групп.
В [3] X. Цишанг сформулировал следующую проблему.
Проблема 10.69. Пусть Т,, - замкнутая ориентируемая поверхность роба у ^ 2 с базисной точкой х. Верно ли, что любое разлоэюе-ние 7г\(Тд,х) = С\ *<?з геометрично при условии, что Gl Ф ф и подгруппа конечно порождена?
Известно, что любое такое разложение геометрично, если (?з - циклическая группа (см. [41] и [10]). В этом случае разложение определяется простой замкнутой кривой в ТЯ) разделяющей Тд. С точностью ДО гомеоморфизмов В Тд имеется только конечное число таких кривых.
10
Поэтому имеется ТОЛЬКО конечное ЧИСЛО разложений группы П[(Тд,х) в свободное произведение с объединением по бесконечной циклической группе Z С ТОЧНОСТЬЮ ДО автоморфизмов группы 7Г|(Тд,х).
В общем случае ответ на этот вопрос отрицателен. В § 3.2 приводится некоторый метод построения негеометрических разложений и доказывается, что для каждого д ^ 2 существует бесконечно много негеометрических и не автоморфно эквивалентных разложений вида 7Г|{Тд,х) = Г2д-1, где - свободная группа ранга п.
В следующем определении используется понятие графа групп и его фундаментальной группы из [58] (см. также § 1.2). Для любого графа X и ребра е Е X1 начало е обозначим через ог(е), конец - через сДе). Класс петель, гомотопных петле / на поверхности Г обозначим через [/].
Определение 3.1.2. Пусть Т - компактная поверхность с выделенной точкой х. Пусть (С, АТ) - конечный граф групп с вершинными группами Ог, (г; € А0), реберными группами (е Е А’1) и вложениями ае : (7е —> Скажем, что (С, Л") геометрически реализован в Т,
если выполнены следующие условия.
(1) Каждой вершине и Е -А0 поставлена в соответствие несжимаемая подповерхность 5„ с выделенной точкой и* и ее фундаментальная группа 7Г1 (5м,м*) отождествлена с группой Сги.
(2) Каждому ребру е е X1 с началом и поставлена в соответствие несжимаемая подповерхность 5е в содержащая и*. При этом группа 7Г1 (5е,м,) отождествлена с группой £е так, что каноническое вложение 7Г1 (5с,м*) —>• 7Г1(5и, и*) совпадает с вложением ае :
(3) Для каждого с € Л'1 с началом и и концом ю зафиксирован путь е* из гг* в ш* такой, что 7Г](5е, гг*) = {[е*1е~1] | [/] € 7т1(5ёТш*)}. При этом (ё)* = (в,)"1.
Для произвольной вершины и € -А0 и элемента д 6 Ои обозначим через д некоторую петлю в 8и с началом в и*, гомотопический класс которой отождествлен с д. Зафиксируем некоторую вершину V Е А0. Тогда можно задать гомоморфизм в : 7Г](С,Л\и) —> п\(Т,ь*) следующим правилом: элементу (?ое1</1 группы яДС^АТ,?;) сопоставим
гомотопический класс петли до(е\)*д\... (еп)*дп.
Пусть (<П,А') - граф групп, V Е и : л^С.АГ, и) —> 7Г](Т, х) - гомоморфизм. Мы скажем, что геометричен, если существует
такая геометрическая реализация графа групп ((С, А'), для которой
11
х = ь\ и построенный выше гомоморфизм 0 совпадает с (р. Мы говорим также, что разложение лДС, X, у) геометрически реализуется в Т (относительно <р).
Замечание 3.1.3. Пусть Т - замкнутая поверхность с базисной точкой х и (р : * £*2 —» Я\(Т,х) - геометрический изоморфизм. Тогда
С?з
разложение яДТ,#) = <р(Сп) * ^(^2) геомстрично в смысле опре-
деления 3.1.1. Это следует из теоремы 3.3.0 ввиду того, ЧТО з) реализуется несжимаемой подповерхностью в Т.
Замечание 3.1.4• Пусть Я ^ 7Гх(С, Хуь). По теории Басса - Серра существует индуцированное представление Я в виде Я = щ (Н, У, ю). Если изоморфизм <р : 7Г](С, X, и) -> 7Г1 (Т*, а:) геометричен и р : (Т,я) —>• (Т,.т) - накрытие, соответствующее подгруппе У>(Я), то изоморфизм Р*1 0 ф\н ' тг] (И, У, ю) 7Г1 (Т,х) тоже геометричен. Если {5М},{5(.}
и {е,} - набор подповерхностей и путей в Т, соответствующий реализации графа групп (С, X), то компоненты связности прообразов р_1(5и),р-1(5е) и р_1(е,) составляют набор подповерхностей и путей в Т, соответствующих реализации графа групп (1Н1, У).
Теорема 3.5.8. Пустпь Т - замкнутая поверхность, (С, X) - конечный граф групп с конечно порожденными реберными группами, (р : 7г 1 (С, Л', с) —» 7г^ (X1, а,*) - изоморфизм. Тогда существует такая подгруппа Н конечного индекса п в группе (&, X, у), что для ее индуцированного разложения 7г 1 (Н. У, гс) м соответствующего ей накры-тия р : (Т,.т) —► (Т,т) изоморфизм р~1 о <р\1{ : ТГ](М,У,гс) —>• тт\(Т,х) геометричен.
В § 3.5 уточняется, что индекс п оценивается рекурсивной функцией от суммы длин «^-образов порождающих реберных подгрупп группы *1(С,А» относительно фиксированной системы порождающих группы 7Г| (Г, Ж) .
Определим понятие реберной жесткости групп. Расширенным графом групп назовем четверку (€•, Х,.т,Г), где (С,Х) - граф групп, х 6 Х°, Г - максимальное поддерево в А’. Положим яДС, Х,я,Г) = 7Г](С,X,х). Для произвольной вершины V е Х° обозначим через р„ путь без возвращений в Г из х в и. Подгруппы р^Сцр”1 = {рьУР^Х 19 € <7„} назовем вершинными подгруппами, подгруппырс,^ае{Ое)р~^су где е £ X1 - реберными подгруппами группы яДС,X,а:,Г).
12