Аналитические и гладкие решения линейных систем функционально-дифференциальных уравнений

ОГЛАВЛЕНИЕ
ВВЕДЕНИЕ
§0.1. Функционально-дифференциальные уравнения как математические модели реальных процессов............................... 5
§0.2. Проблематика диссертационной работы..................• 13
§0.3. Краткий обзор полученных результатов.................. 16
§0.4. Основные определения, обозначения..................... 26
ГЛАВА 1. ЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ ФУНКЦИОНАЛЬНОДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
§1.1. Функционально-дифференциальные уравнения. Аналитические решения....................................................... 28
§1.2. Аналитические решения линейных систем функционально-дифференциальных уравнений с линейным отклонением функционального аргумента.................................................... 34
§1.3. Аналитические решения линейных систем функционально-дифференциальных уравнений запаздывающего типа с аналитической структурой функционального аргумента............................. 48
§1.4. Аналитические решения линейных систем функционально-дифференциальных уравнений нейтрального типа с аналитической структурой функционального аргумента............................... 53
§1.5. Комментарии...........................................106
2
ГЛАВА 2. ЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ ФУНКЦИОНАЛЬНО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ В ОКРЕСТНОСТИ РЕГУЛЯРНОЙ ОСОБОЙ ТОЧКИ
§2.1. Линейные системы функционально-дифференциальных уравнений
запаздывающего типа. Постановка задачи......................108
§2.2. Аналитические решения линейных систем функционально-дифференциальных уравнений запаздывающего типа...................112
§2.3. Линейные системы функционально-дифференциальных уравнений нейтрального типа в окрестности регулярной особой точки. Постановка
задачи......................................................130
§2.4. Аналитические решения однородных линейных систем функционально -дифференциальных уравнений нейтрального типа........132
§2.5. Аналитические решения неоднородных линейных систем функционально -дифференциальных уравнений нейтрального типа.......150
§2.6. Комментарии...........................................170
ГЛАВА 3. ЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОРАЗНОСТНЫХ УРАВНЕНИЙ ЗАПАЗДЫВАЮЩЕГО ТИПА
§3.1. Полиномиальные квазирешения линейных систем дифференциально-разностных уравнений запаздывающего типа. Постановка задачи..........................................................172.
§3.2. Теорема существования полиномиальных квазирешений линейных
систем дифференциально-разностных уравнений..................178
§3.3. Обратная начальная задача для линейных систем дифференциально-разностных уравнений. Постановка задачи...................191
3
§3.4. Условия разрешимости обратной начальной задачи для линейных
систем дифференциально-разностных уравнений..................193
§3.5. Вариационные решения обратной начальной задачи...202
§3.6. Комментарии............................................237
ГЛАВА 4. ПРИБЛИЖЕННЫЕ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ КОШИ ДЛЯ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
§4.1. Разрешимость задачи Коши для линейных систем обыкновенных дифференциальных уравнений в пространстве функциональных пара-
метров....................................................239
§4.2. Постановка задачи об оценках точности приближенных решений ......................................................248
§4.3. Мажорирующие последовательности метода функциональных параметров..................................................253
§4.4. Оценки точности приближенных решений задачи Коши для линейных систем дифференциальных уравнений в пространстве функционального параметра.......................................271
§4.5. Оценки метода пространства малого времени...........288
§4.6. Комментарии.........................................307
ПРИЛОЖЕНИЕ...................................... 310
ВЫВОДЫ ..........................................317
ЛИТЕРАТУРА ......................................320
4
ВВЕДЕНИЕ
§0.1 ФУНКЦИОНАЛЬНО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ КАК МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ РЕАЛЬНЫХ ПРОЦЕССОВ
В теории и практике большое значение имеют дифференциальные уравнения и системы дифференциальных уравнений, которые представляют собой математические модели явлений, происходящих в природе и общественной жизни. Поэтому проблема решения дифференциальных уравнений относится к числу основных проблем современной математики. К настоящему времени получены важные результаты по различным методам исследования решений дифференциальных уравнений, накоплен большой опыт, позволяющий судить о достоинствах и применимости тех или иных методов.
При изучении математическими методами какого-либо явления во многих случаях предполагается, что будущее состояние системы не зависит от ее прошлых состояний и определяется только настоящим. Как правило, в качестве математической модели такого явления выступают либо обыкновенные дифференциальные уравнения, либо дифференциальные уравнения в частных производных. В результате интенсивных и глубоких исследований получено много важной информации о процессах путем анализа математических моделей такого типа. Несмотря на весьма удовлетворительное состояние теории дифференциальных уравнений, детальное изучение окружающего мира вынуждает обратиться к исследованию более сложных уравнений и Припять во внимание тот факт, что скорость изменения в некоторых системах зависит не только от их состояния в настоящий момент времени, но и от их предыстории. Кроме того, многие задачи теряют смысл, если не рассматривать зависимость решения от прошлого.
5
Впервые уравнения, учитывающие предысторию процесса, появились в работах И.Бернулли [144] в 1728г. Однако, до работы В.Воль-терра [195], вышедшей в 1928г., наибольшая часть результатов, пол}'-ченных в предшествующие годы, касалась специальных свойств очень узких классов уравнений. В исследованиях моделей "хищник - жертва” и работах по вязкоупругости В.Вольтсрра [195, 196] получил некоторые достаточно общие дифференциальные уравнения, в которые входят прошлые состояния системы. Тем не менее, эти работы игнорировались другими исследователями и поэтому не оказали существенного влияния на развитие теории таких уравнений.
Систематическое изучение этих уравнений, названных дифференциальными уравнениями с отклоняющимся аргументом, началось лишь в XX веке в связи с потребностями ряда прикладных наук. В начале сороковых годов Н.Минорский [185] в работах, посвященных стабилизации курса корабля и автоматическому управлению его движением, ясно указал на важность учета запаздывания в механизме обратной связи. Интенсивному исследованию математическими методами дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом послужил выход в 1951г. монографии А.Д.Мышкиса [61], в которой он ввел общий класс уравнений с запаздывающим аргументом и заложил основы общей теории функционально-дифференциальных уравнений. В своей монографии Р.Веллман и Д.М.Данскин [143] указали на широкую применимость уравнений, содержащих информацию о прошлом, в таких областях, как биология и экономика. Они также изложили хорошо построенную теорию линейных уравнений с постоянными коэффициентами и начала теории устойчивости. Наиболее полное развитие этих идей содержится в книге Р.Веллмана и К.Кука [9]. В настоящее время усилиями математиков разных стран теория функционально-дифференциальных уравнений глубоко разработана в различных направлениях, найдены
6
естественные постановки задач, установлена адекватная терминология. Отметим здесь фундаментальные работы Л.Э.Эльсгольца [136],
Э.Пинни [74], Н.Н.Красовского [40], А.Халаная [172], В.П.Рубаника [81], Ю.А.Митропольского и Д.И.Мартынюка [59], Л.Э.Эльсгольца и С.Б.Норкина [138], Д.Хейла[100], В.Б.Колмановского и В.Р.Носова [36],
Н.В.Азбелева, В.П.Максимова и Л.Ф.Рахматуллиной [1].
При изучении реальных систем с отклоняющимся аргументом в качестве исходного приближения предполагалось, что зависимость от прошлого в дифференциальном уравнении осуществляется через переменную состояния, при этом запаздывание постоянно. Уравнения данного типа получили название дифференциально-разностных уравнений. Такое рассмотрение представляет собой шаг вперед по сравнению с моделью ” идеального” процесса, которая получается при отсутствии отклонения аргумента, и в ряде случаев принятое предположение хорошо отражает действительные явления.
Так при рассмотрении транспортной задачи В.Боффи и Р.Скозафава [151] пришли к уравнению
N
*(*) = £ ~ Ti)'
*=0
В статье В.М.Райта [197] приводится дифференциально-разностное уравнение
x(t) = -ax(t - 1)[1 + #(£)],
которое встречается при изучении распределения простых чисел. Различные варианты этого уравнения использовались В.Д.Каннингеймом [166] в качестве математических моделей в теории роста численности изолированного вида.
Описывая распространение кори в городской среде, В.П.Лондон и А.Йорк [181] рассматривали уравнение
S(t) = ~/3(t)S(t)[27 + S(t - 14) - S(t - 12) + 7],
7
где 5(^) - количество восприимчивых к инфекции индивидов в момент времени t.
Обилие приложений, которое неуклонно расширялось, стимулировало бурное развитие теории функционально-дифференциальных уравнений. В работе А.Д.Мышкиса [62], вышедшей в 1977г. и посвященной обзору проблем теории дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом, сообщается, что только за 1976г. в РЖМ было отреферировано статей, относящихся к данной области, значительно больше, чем было опубликовано до 1950г., т.е. почти за 200 лет. Так, широкое распространение получили математические модели, основанные на функционально-дифференциальных уравнениях, при исследовании физиологических систем. Здесь время, необходимое для обработки химических компонент, может быть значительным, что приводит к временным запаздываниям. В обзоре У.Хайдена [174] приводятся математические модели на основе дифференциально-разностных уравнений, описывающие динамику физиологических систем и рассматриваются примеры, показывающие, что запаздывания могут влиять на качественное поведение биологических систем: существование или несуществование устойчивых, периодических и даже хаотических решений может напрямую зависеть от присутствия или отсутствия запаздывания соответствующей продо л жите л ьност и.
Более сложные математические модели, встречающиеся в биологии и представляющие собой нелинейные дифференциально-разностные уравнения, рассматриваются в работе К.Р.Хадлера [171].
На основе специально разработанных численных методов большой объем исследований иммунологических систем, описываемых существенно нелинейными системами дифференциально-разностных уравнений, выполнен коллективом ученых под руководством академика Г. И. Марчу ка [52, 149, 150].
8
С запаздываниями приходится встречаться и в различных разделах радиоэлектроники. Здесь запаздывание обусловлено конечной скоростью движения носителей электрических зарядов и тем, что нужно определенное время для прохождения электромагнитными волнами значительных расстояний. Время запаздывания в радиоэлектронных устройствах, обычно очень мало вследствие больших скоростей распространения электромагнитных сигналов, и поэтому в низкочастотных устройствах запаздываниями сигналов в большинстве случаев можно пренебречь. В высокочастотных же устройствах время запаздывания сигналов становится уже сравнимым с периодом колебаний и пренебрегать запаздыванием уже нельзя.
Так, учитывая время запаздывания в цепи обратной связи лампового генератора, В.П.Рубаник [81] рассматривал уравнение Ван-дер-Поля
х({) + <*#(*) — /(я(* — г))х{1 — г) 4- х(/) = 0.
Исследования различных радиотехнических и электронных устройств с использованием в качестве математических моделей системы функционально-дифференциальных уравнений, приводятся в работах [18, 22, 32, 116, 167, 188].
До сих пор мы рассматривали случаи, когда запаздывание входило в неизвестную функцию и (или) ее производные низшего порядка. Существует также большое количество приложений, в которых запаздывание входит и в производную неизвестной функции высшего порядка. Уравнения такого типа представляют собой функциональнодифференциальные уравнения нейтрального типа. Такие задачи возникают, например, при изучении двух или более колебательных систем с некоторыми связями между ними [81, 167]. Исследования современного быстроходного дизеля показывает, что примерно пятидесятисантиметровая всасывающая труба по отношению к времени всасывания оказывается длинной линией и для описания процесса впрыска топлива при-
9
ходите;я привлекать в качестве математической модели функционально-дифференциальные уравнения нейтрального типа.
Отметим здесь еще одно обстоятельство. Часто оказывается, что связь между частями составной системы может быть адекватно описана системой линейных гиперболических уравнений с частными производными, причем эволюция каждой отдельной колебательной системы описывается граничными условиями. В некоторых случаях связь, описываемая дифференциальными уравнениями с частными производными, может быть заменена связями с запаздыванием. Как правило, получающиеся при этом дифференциальные уравнения имеют структура функционально-дифференциальных уравнений нейтрального типа.
Следуя Р.Брайтону [153], рассмотрим линию электропередач без потерь, математическая модель которой может быть описана системой уравнений с частными производными
г&'ОМ) дь(х,г) &(М) „ „ _ ,
1~дГ~—дГ-' = °<*<1’г>0
с граничными условиями
е - у{0,«) - я*(о,2) = о, = ;(М) - 1,*)).
Если обозначить в = (ХС)-0,5 и г = (ЬС)0'5, то общее решение системы уравнений с частными производными запишется в виде
г>(х, £) = (р(х — $<) 4- ф(х 4- я*),
*(#,£) = “Мя — $£)*— 4" .9/)]
2
или
2<р(х — з£) = £) 4- 2-г(х, *),
2^(а: 4- $£) = у(х, £) — гг(#, /),
Это означает, что
2у>(-$£) = г/(1, * 4- -) 4- >гг(1, £ 4- -),
в $
10
2ip(st) = v(l,t - - ziCltt -
s s
Подставляя эти выражения в общее решение, учитывая второе граничное условие и полагая u(t) = приходим к дифференциально-
разностному уравнению нейтрального типа
ii(f) - Ku(t - ~) = f(u(t),u(t - ^)),
где К = (z - R)/(z -f R)
Рецепт перехода от линейного уравнения с частными производными и нелинейными граничными условиями к уравнению с запаздыванием, несомненно, не является единственным, и другие преобразования могут быть подходящими в некоторых случаях (см., напр. [81, 155]).
В более сложных математических моделях как запаздывающего, так и нейтрального типов запаздывание может быть переменным, т.е.
*(<) = f(t,x(h(t))yx(g(t))), (h(t) < t, g(t) < 0)
и это налагает дополнительные сложности при исследовании таких уравнений. Особые трудности возникают в случае, когда запаздывание t — h(t) при t —» оо не ограничено. Так обобщенная задача о пантографе [175] сводится к исследованию функционально-дифференциального уравнения нейтрального типа
x(t) 4- Cx(qt) = Ax(t) -f- Bx(qt), #(0) = яо,
где А, В и С — d х d комплексные матрицы, #о Е Cd. Здесь при q < 1 запаздывание имеет линейную структуру. Частные случал этого уравнения встречаются в аналитической теории чисел [183], нелинейной динамике систем [170], теории диэлектриков [186], астрономии [20] и т.д..
При математическом описании эволюции реальных процессов с кратковременными возмущениями часто длительностью возмущения удобно пренебречь и считать, что эти возмущения носят ” мгновенный”
11
характер. Такая идеализация приводит к необходимости исследовать динамические системы с разрывными траекториями или, иначе, дифференциальные уравнения с импульсным воздействием. Теория таких уравнений берет свое начало с работы В.Д.Мильмана и А.Д.Мышкиса [55], и дальнейшее развитие она получила в трудах А.Д.Мышкиса и А.М.Самойленко [63]. Качественная теория функционально-дифференциальных уравнений с импульсным воздействием рассматривалась в работах А.Халаная и Д.Векслера [173], А.Анохина, Л.Березанского и Е.Браверман [140, 141].
Наконец, отметим функционально-дифференциальные уравнения, имеющие сложную структуру запаздывания. Сюда относятся случаи, встречающиеся в прикладных задачах, когда отклонение аргумента зависит от искомого решения и (или) от его производной [28, 135]. Зависящие от искомого решения т.е. авторегулируемое запаздывание, может количественно и даже качественно влиять на свойства решений, например, делать неустойчивую систему устойчивой, изменять скорость стабилизации устойчивой системы, изменять свойства управляемости и т.д..
Вариантом функционально-дифференциальных уравнений со сложной структурой запаздывания служат уравнения с максимумом, где в правую часть уравнения входят выражения типа тах^ + г) [46, 47, 142].
Итак, функционально-дифференциальные уравнения находят многочисленные приложения в теории автоматического управления, в теории автоколебательных систем, при изучении проблем, связанных с горением в ракетном двигателе, в задачах долгосрочного прогнозирования в экономике, в ряде биофизических проблем и во многих других областях науки и техники, число которых неуклонно расширяется (см.налр.[18, 22, 32, 57, 143, 148, 152, 176, 191]). Обилие приложений стимулирует
12
бурное развитие теории функционально-дифференциальных уравнений, и в настоящее время эта теория принадлежит к числу наиболее быстро развивающихся разделов математического анализа.
§0.2. ПРОБЛЕМАТИКА ДИССЕРТАЦИОННОЙ РАБОТЫ
Нет необходимости говорить о той роли, которую играют линейные системы функционально-дифференциальных уравнений (JIC ФДУ) в вопросах исследования математическими методами явлений природы или общественной жизни. Как отмечалось выше, именно потребности практики способствовали тому, что теория таких уравнений интенсивно развивалась начиная с XIX столетия, и на сегодняшний день накоплен богатейший материал по различным разделам теории линейных систем функционально-дифференциальных уравнений. Тем не менее, и в этой, казалось бы достаточно изученной области, имеется довольно много ”белых пятен”, успешное решение которых представляет значительный интерес как с научной, так и с прикладной точек зрения.
Объектом исследования данной работы являются решения начальной задачи для линейных систем функционально-дифференциальных уравнений различной структуры, определенных в пространстве функций вещественной переменной. Изучаются аналитические решения ЛС ФДУ запаздывающего и нейтрального типов с аналитической структурой отклоняющегося аргумента, когда в начальный момент отсутствует первоначальное запаздывание. Рассматриваются начальные задачи для ЛС ФДУ как в окрестности регулярной точки, так и в окрестности регулярной особой точки. Исследуются вопросы разрешимости указанных задач в классе аналитических функций. Известно лишь небольшое число работ, посвященных разрешимости в классе аналитических функций линейных систем функционально-дифференциальных уравнений такого типа [104, 178, 71, 76, 79]. Особые трудности возникают
13
при исследовании вопросов существования и единственности аналитических решений линейных систем функционально-дифференциальных уравнений нейтрального типа. В диссертации приводятся условия, при которых для ЛС ФДУ существует единственное аналитическое решение или бесконечное множество решений, а также дополнительные условия, при которых из этого бесконечного множества решений может быть выделено единственное аналитическое решение.
Предметом исследования в работе являются также линейные системы функционально-дифференциальных уравнений с постоянным запаздыванием, т.е. линейные системы дифференциально-разностных уравнений (ЛС ДРУ). Как известно, решения ЛС ДРУ однозначно определяется начальной функцией, заданной на начальном множестве. Однако, как правило, само решение не является аналитической функцией в его области определения, если даже начальная функция будет аналитической на начальном множестве. В тоже время, если математическая модель реального процесса, протекающего достаточно длительный промежуток времени, описывается системой дифференциально-разностных уравнений и начальное множество находится далеко от начала процесса, то стыковка начальной функции с порождаемым решением должна удовлетворять соответствующим условиям гладкости. И если для линейных систем дифференциально-разностных уравнений с постоянными коэффициентами удается получать частные аналитические решения на всей оси изменения независимой переменной, то уже в случае переменных аналитических коэффициентов вопрос о существовании аналитических решений Л С ДРУ остается открытым.
В диссертации рассматриваются линейные системы дифференциально-разностных уравнений запаздывающего типа. Результаты исследований нацелены на изучение начальной функции, порождающей единственное решение начальной задачи для ЛС ДРУ, удовлетворяющей
14
требованиям необходимой гладкости сопряжения начальной функции и решения в точке стыковки.
С другой стороны, изучается задача нахождения такой начальной функции, которая удовлетворяла бы условиям, наложенным как на саму начальную функцию, так и на порождаемое ее решение. В случае разрешимости, такая задача, называемая обратной начальной задачей для линейных систем дифференциально-разностных уравнений, имеет бесконечное множество решений. Тогда выбор конкретной начальной функции осуществляется с помощью дополнительных критериев, в качестве которых обычно выступают различные функционалы.
На сегодняшний день существует большое число методов, позволяющих находить решение задачи Коши или давать качественные оценки таких решений. В первом случае, как отмечали И.Бабушка, Э.Витасек и М.Прагер [5],” задача считается решенной только в том случае, если имеется эффективный метод, дающий требуемый результат с достаточной точностью за приемлемый отрезок времени”. В этом смысле наиболее эффективны точные аналитические методы. Однако получение аналитической формулы решений даже для достаточно простых дифференциальных уравнений сопряжено со значительными трудностями. Разрабатывая новый способ интегрирования дифференциальных уравнений, С.А.Чаплыгин [102] отмечал, что для нахождения аналитического выражения приближенного решения ” единственным дающим практически удобный прием вычисления способом является разложение интеграла в ряд; прием этот, однако, даже в простейших случаях приводит обычно к чрезвычайно сложным, а при значительном числе подлежащих подсчету членов практически едва преодолимым трудностям вычислениям - обстоятельство тем более тягостное, что при пользовании лишь этим приемом большей частью не оказывается возможным установить величину остающейся погрешности и узнать, насколько удовлетворительно
15
разрешена поставленная задача.” Следовательно, оценка погрешности, возникающая от обрыва ряда, представляет собой значительный теоретический и практический интерес.
В диссертации приводится разработанный автором для линейных систем дифференциальных уравнений метод функциональных параметров [110], который позволяет решать задачу об оценках точности приближенных решений. Здесь ставится и решается следующая ОСНОВНАЯ ЗАДАЧА: определить (или оценить) число членов функционального ряда, представляющего собой единственное решение изучаемой задачи, сумма которых на рассматриваемом сегменте изменения функционального параметра обеспечивает требуемую точность приближенного решения. Исследование этой задачи основано на анализе построенных специальным образом скалярных мажорирующих последовательностей, введение которых позволяет перенести решение основной задачи из пространства функций в пространство коэффициентов. Привлекая аппарат теории разностных уравнений, последующие преобразования проводятся в пространстве коэффициентов и только окончательный результат получается в заданном пространстве функций.
Таковы основные вопросы, которые рассматриваются в предлагаемой диссертационной работе.
§0.3. КРАТКИЙ ОБЗОР ПОЛУЧЕННЫХ РЕЗУЛЬТАТОВ
Изложим основные результаты диссертационной работы и краткое содержание по главам п параграфам.
0.3.1. В первой главе рассматриваются линейные системы функционально-дифференциальных уравнений с такой структурой функционального аргумента, при которой он не имеет первоначального смещения. В такой постановке при ^ = 0 начальное множество состоит из одной точки. В §1.1 приводится краткий обзор функционально- дифферен-
16
циальных уравнений и постановка задачи об аналитических решениях задачи Коши для линейных систем функционально-дифференциальных уравнений упомянутого типа.
Аналитические решения линейных систем функционально-дифференциальных уравнений с линейным отклонением аргумента рассматриваются в §1.2. В разделе 1.2.1 исследуются линейные системы функционально-дифференциальных уравнений запаздывающего типа. Приводится теорема 1.1 об однозначной разрешимости задачи Коши для указанных линейных систем функционально-дифференциальных уравнений в классе аналитических функций. Раздел 1.2.2 посвящен линейным системам функционально-дифференциальных уравнений нейтрального типа. Здесь возникают два случая: регулярный и сингулярный. Первый случай изучается в пункте 1.2.2.1, где доказывается теорема 1.3 о существовании единственного аналитического решения данной задачи Коши. Исследованию сингулярного случая уделено внимание в пункте 1.2.2.2 этого раздела. Основные результаты сформулированы в виде двух теорем. В теореме 1.4 при водятся условия, при которых задача Коши либо имеет бесконечный пучок аналитических решений, исходящих из начальной точки, либо не имеет ни одного аналитического решения. Теорема 1.4а указывает условия выделения из пучка аналитических решений данной задачи Коши единственного аналитического решения. В §1.3 исследуются вопросы существования аналитических решений задачи Коши для линейных систем функционально-дифференциальных уравнений запаздывающего типа с аналитической структурой функционального аргумента. Основной результат параграфа содержится в теореме 1.5, где доказывается существование единственного аналитического решения задачи Коши данного типа. Следующий §1.4 посвящен линейным системам функционально-дифференциальных уравнений нейтрального типа с аналитической структурой запаздывания.
17
Анализ рекуррентных формул, определяющих решение задачи Коши для этих уравнений, показывает, что имеют место регулярный и сингулярный случаи. Регулярные решения однородных линейных систем функционально-дифференциальных уравнений нейтрального типа с постоянной матрицей рассматриваются в разделе 1.4.1. Здесь основной результат о существовании единственного аналитического решения сформулирован в теоремах 1.6 (регулярный случай) и 1.7 (сингулярный случай). Содержание раздела 1.4.2 посвящено неоднородным Л С ФДУ с переменной матрицей и постоянными коэффициентами при производных, содержащей функциональные аргументы. В пункте 1.4.2.1 рассматривается регулярный случай, где доказана теорема 1.8 о существовании для каждого начального вектора единственного аналитического решения. Пункт 1.4.2.2 посвящен сингулярным решениям данной задачи. Главный результат здесь сформулирован в теореме 1.9, где приводятся условия существования пучка аналитических решений. Теорема 1.9а дополняет теорему 1.9 условием, при котором из пучка выделяется единственное решение. Раздел 1.4.3 посвящен начальной задаче в случае, когда коэффициент при производной, содержащей функциональный аргумент, переменный. В пункте 1.4.3.1, где рассматривается регулярный случай, основной результат отражает теорема 1.10, а в пункте 1.4.3.2 исследуется сингулярный случай, и условия существования аналитических решений приведены в теореме 1.11. Раздел 1.4.4 данной главы связан с изучением аналитических решений линейных систем функциональнодифференциальных уравнении нейтрального типа с матричным коэффициентом при производной. Здесь также рассматриваются регулярный и сингулярный случаи. Первому посвящен пункт 1.4.4.1, где приводится теорема 1.12 о существовании единственного аналитического решения данной задачи. Сингулярный случай изучается в пункте 1.4.4.2 раздела. Основной результат об условиях разрешимости исследуемой задачи Ко-
18
ши в классе аналитических функций содержится в теореме 1.13. Раздел 1.4.5 обобщает предыдущие результаты. В пункте 1.4.5.1 рассматривается регулярный случай и доказывается теорема 1.14 о существовании единственного аналитического решения исследуемой задачи Коши, а в пункте 1.4.5.2 для сингулярного случая приводятся теоремы 1.15 и 1.15а об условиях разрешимости задачи Коши в классе аналитических функций и условиях выделения из пучка аналитических решений единственного аналитического решения.
0.3.2. Вторая глава диссертации содержит результаты исследований решений линейных систем функционально-дифференциальных уравнений в окрестности регулярной особой точки. Эта задача, являющаяся одной из важных проблем качественной теории дифференциальных уравнений, носит локальный характер, но она тесно связана с поведением решений в целом. Результаты, полученные в этой области для обыкновенных дифференциальных уравнений, отражены во многих публикациях. Для функционально-дифференциальных уравнений вопросы существования и поведения решений в окрестности особой точки до сих пор оставались открытыми. В §2.1 приводится постановка задачи об аналитических решениях задачи Коши для линейных систем функциональнодифференциальных уравнений запаздывающего типа с аналитической структурой запаздывания, при которой функциональный аргумент не имеет первоначального смещения, т.е. начальное множество при £0 = О состоит из одной точки. Полагая в качестве формального решения данной задачи ряд по степеням независимой переменной, получаем рекуррентную формулу для коэффициентов искомого ряда. Анализ этой формулы приводит к двум возможным случаям: регулярному и сингулярному. Исследование вопросов разрешимости в классе аналитических функций задачи Коши, рассмотренной в §2.1, составляет содержание §2.2. В разделе 2/2.1 доказывается теорема 2.1 существования единственного
19
аналитического решения данной задачи в регулярном случае. Материалы раздела 2.2.2 посвящены сингулярному случаю. Здесь в пунктах 2.2.2.1-2.2.2.4 изучены условия, при которых последовательность, составленная из коэффициентов ряда, представляющего собой формальное решение, определяется однозначно. Это в свою очередь позволило доказать теорему 2.2 об однозначной разрешимости задачи Коши данного типа в классе аналитических функций. В §2.3 рассматривается задача Коши для линейных систем функционально-дифференциальных уравнений нейтрального типа с линейной структурой запаздывания и с постоянной матрицей в окрестности регулярной особой точки. Содержание §2.4 связано с исследованием аналитических решений задачи Коши для однородных линейных систем фуыкционально-диффе{>енциальных уравнений указанного в §2.3 типа. Результаты, полученные в разделе 2.4.1 и сформулированные в виде теоремы 2.3 и замечаний 2.1 и 2.2, показывают, что если спектр матрицы не содержит целых положительных чисел, то единственным аналитическим решением данной задачи будет тривиальное решение я(2) = 0. В разделах 2.4.2 - 2.4.4 изучены условия, при которых однородная задача Коши разрешима в классе аналитических функций. Здесь приводятся доказательства теорем существования для следующих случаев: простой спектр матрицы состоит из целых положительных чисел (теорема 2.4); простой вещественный спектр содержит целые положительные характеристические числа (теорема 2.5); спектр матрицы состоит из вещественных кратных характеристических чисел, среди которых имеются целые положительные (теорема 2.6); произвольный спектр, среди характеристических чисел которого имеются целые положительные (теорема 2.7). Последний §2.5 этой главы посвящен вопросам существования аналитических решений неоднородной задачи Коши для линейных систем функционально-дифференциальных уравнений нейтрального типа в окрестности регулярной особой точки. В разде-
20
ле 2.5.1 рассматриваются общие случаи, анализ которых проводится без учета свойств спектра матрицы изучаемой системы. В том случае, когда неоднородная часть представляет собой полином, в пунктах 2.5.1.1 и 2.5.1.2 доказаны две теоремы. Первая - теорема 2.8 - приводит условия. при которых неоднородная задача Коши для заданного начального вектора неразрешима в классе аналитических функций, а вторая теорема 2.9 указывает на существование множества векторных полиномов, определяющих неоднородную часть системы, доставляющих полиномиальное решение задачи Коши. Содержание пункта 2.5.1.3 связано с вопросом существования решения в виде бесконечного ряда. Показано, что для каждой аналитической функции, удовлетворяющей при 2 = 0 начальному условию данной задачи Коши, найдется такая аналитическая функция, представляющая собой неоднородную часть задачи, что искомая функция будет аналитическим решением этой задачи. Материалы раздела 2.5.2 освещают специальные случаи. Исследование существования аналитических решений опирается на анализ структуры спектра матрицы. В пунктах 2.5.2.1-2.5.2.3 изучены условия разрешимости неоднородной задачи Коши в классе аналитических функций. Соответствующие теоремы существования доказаны для следующих случаев: простой вещественный спектр содержит целые положительные характеристические числа (теоремы 2.10-2.12); спектр матрицы состоит из вещественных кратных характеристических чисел, среди которых имеются целые положительные (теорема 2.13); произвольный спектр, среди характеристических чисел которого имеются целые положительные (теорема 2.14).
0.3.3. Третья глава посвящена линейным системам дифференциально-разностных уравнений запаздывающего типа. В §3.1 рассматриваются полиномиальные квазирешения Л С ДРУ. В разделе 3.1.0 сообщаются краткие сведения о решениях основной начальной зада-
21
чи для ЛС ДРУ и об аналитических решениях в случае постоянной матрицы линейной системы. Далее, в разделе 3.1.1 для ЛС ДРУ с полиномиальными коэффициентами приводится постановка задачи и определение полиномиального квазирешения. §3.2 посвящен доказательству теоремы 3.1 об условиях существования полиномиальных квазиреше-ний. Здесь же приводится теорема 3.2 о погрешности согласованной по размерности полиномов начальной задачи по отношению к исходной. Имеющиеся примеры иллюстрируют предложенный метод.
В §3.3 ставится обратная начальная задача для линейных систем дифференциально-разностных уравнений, а условия разрешимости этой задачи, сформулированные в виде теоремы 3.4, приводятся в §3.4. Поскольку в случае разрешимости обратная начальная задача имеет бесконечное множество решений, выбор конкретного решения зависит от дополнительных критериев, в качестве которых, как правило, выступают функционалы. Такие задачи рассматриваются в §3.5. Здесь внимание уделяется двум проблемам: задаче идентификации начальной функции, когда условие в виде функционала накладывается на начальную функцию, и задаче управления по начальной функции, когда функционал зависит от решения, порождаемого начальной функцией.
0.3.4. В четвертой главе исследуются вопросы оценки точности приближенных решений линейных систем обыкновенных дифференциальных уравнений (ЛС ОДУ) в пространстве функциональных параметров. В §4.1 обосновывается применение метода функциональных параметров (МФП) для решения линейных систем дифферепциальных уравнений. В разделе 4.1.0 приводятся сведения о МФП, а в разделе 4.1.1 доказывается теорема 4.1 о существовании в пространстве функциональных параметров корректного в предельном смысле относительно начального значения функционального параметра решения задачи Коши для линейных систем обыкновенных дифференциальных уравпений с аналитичсски-
22
ми коэффициентами. Результат теоремы 4.1 распространяется на класс функциональных параметров с дробно рациональной производной. Показано, что в этот класс входят ранее известные и широко применяемые в прикладных задачах функциональные параметры. Для нахождения решения рассматриваемой задачи Коши в пространстве функционального параметра в виде ряда по степеням функционального параметра используется метод неопределенных коэффициентов, позволяющий получить рекуррентные формулы для неизвестных коэффициентов ряда.
Параграф 4.2 посвящен анализу разных погрешностей, возникающих в процессе решения задач. Основное внимание в данной главе уделяется погрешностям IV группы - погрешностям метода. Причина появления этих погрешностей состоит в том, что многие математические уравнения можно решить, описав бесконечные процессы, пределы которых II являются искомыми решениями. Поскольку бесконечный процесс не может быть завершен, возникает необходимость его остановки. Полученный при этом результат рассматривается как приближение к искомому решению. Так как решение задачи Коши для линейных систем обыкновенных дифференциальных уравнений на основе метода функциональных параметров представляется в виде ряда по степеням функционального параметра, ОСНОВНАЯ ЗАДАЧА об оценках ставится так: определить (или оценить) число членов ряда по степеням функционального параметра, представляющего собой решение исследуемой задачи, сумма которых на рассматриваемом сегменте изменения функционального параметра обеспечивает требуемую точность приближенного решения. Исследование задачи о точности приближенных решений, возникающих при обрыве ряда, основано на изучении введенных специальным образом скалярных последовательностей, мажорирующих нормированную последовательность векторных коэффициентов ряда по степеням функционального параметра. Этот вопрос рассматривается в §4.3.
23
В зависимости от структуры рекуррентных формул, определяющих векторные коэффициенты искомого ряда, строятся прямые мажорирующие последовательности (раздел 4.3.1), укороченные мажорирующие последовательности (раздел 4.3.2) и мажорирующие последовательности на основе производящих функций (раздел 4.3.3). В каждом случае доказываются соответствующие леммы о мажорирующих свойствах приведенных выше последовательностей. Четвертый параграф этой главы посвящен оценкам точности приближенных решений задачи Коши для линейных систем дифференциальных уравнений в пространстве функциональных параметров. С этой целью исследуются введенные в предыдущем параграфе различные мажорирующие последовательности, структура которых позволяет применять для анализа последних аппарат теории разностных уравнений и аппарат теории производящих функций. Оценки на основе разностных уравнений опираются на структуру корней характеристического уравнения. В разделах 4.4.1, 4.4.2 и
4.4.3 рассматриваются соответственно случаи простых, комплексных и кратных корней характеристического уравнения. Полученные здесь результаты оформлены в виде локальных теорем об оценках согласно сформулированной основной задаче. Опираясь на эти результаты, в разделе 4.4.4 приводится теорема 4.7 об оценках в случае произвольных корней характеристического уравнения. Изложенные выше способы построения оценок точности приближенных решений для линейных систем обыкновенных дифференциальных уравнений с аналитическими коэффициентами могут быть перенесены на исследование приближенных решений линейных систем дифференциальных уравнений иного вида. В последнем §4.5 приводятся примеры применения метода пространства малого времени, являющегося одним из вариантов метода функциональных параметров, для нахождения приближенных решений задачи Коши для Л С ОДУ с аналитическими коэффициентами.
24
Основные результаты диссертации опубликованы в монографиях [110, 43] и статьях [104 - 134,156 - 165]. В коллективной монографии [43] автором написана часть 1, а в совместных публикациях [105, 109, 129, 131, 133, 163, 164] соавторами выполнены работы по решению примеров.
Материалы диссертации докладывались и обсуждались на Иркутском городском семинаре по асимптотическим методам (1982-1992), на математическом семинаре Ленинградского государственного педагогического института и математических конференциях Герценовские чтения ЛГПИ (1983-1988), на республиканском семинаре по дифференциальным и интегральным уравнениям КГУ (Киев, 1987), на Пермском городском семинаре по функционально-дифференциальным уравнениям (1985-1992,1994-1997), на семинарах по дифференциальным уравнениям (1990) и прикладной математике (1991) МГУ, на семинаре по дифференциальным уравнениям Института математики АН Украины (Киев, 1994), на Уральских региональных конференциях ” Функциональнодифференциальные уравнения” ( Уфа, 1986; Челябинск, 1987; Пермь, 1988), на XXIV Воронежской зимней математической школе (1991), на II Всесоюзной конференции ” Лаврентьевские чтения по математике, механике и физике” (Киев 1985), на IV Всесоюзной конференции по качественной теории дифференциальных уравнений (Иркутск, 1986), на Всесоюзной конференции "Новые подходы к решению дифференциальных уравнений” (Дрогобьгч, 1987), на Всесоюзной конференции "Актуальные проблемы вычислительной и прикладной математики” (Новосибирск, 1987), на XI Международной конференции по нелинейным колебаниям (Венгрия, 1987), на Международной научной школе "Метод функций Ляпунова и его приложения" (Иркутск, 1989), на 1-Ш Международных коллоквиумах по дифференциальным уравнениям (Болгария, 1990-1992), на I Международном коллоквиуме по численным методам (Болгария, 1992), на Международной конференции по функционально-
25
дифференциальным уравнениям (Москва, 1994), на IV Международной конференции Лаврентьевские чтения по математике, механике и физике (Казань, 1995), на Международной конференции по прикладной и вычислительной математике и приложениям (Новосибирск, 1995), на Втором всемирном конгрессе нелинейных аналитиков (Греция, 1996), на Пятом Международном коллоквиуме по качественной теории дифференциальных уравнений (Венгрия, 1996), на Международной конференции по функционально-дифференциальным и разностным уравнениям (Турция, 1997), на Третьем Международном конгрессе по прикладной и индустриальной математике (Новосибирск, 1998), на Международной конференции по функционально-дифференциальным уравнениям (Израиль, 1998).
§0.4. ОСНОВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ И ОБОЗНАЧЕНИЯ
Здесь приводятся основные определения и обозначения, используемые в диссертационной работе. Остальные сведения появляются в тексте по мере необходимости.
0.4.1. В диссертации всюд}% где не оговорено особо, рассматриваются функции, заданные в пространстве вещественных переменных.
0.4.2 Перемножение рядов в смысле Коши: если a(t) = £ antn и
п=0
ОО . ОО Î
b(i) = ê ТО c(t) = a(t)b(t) = £ cntn , где с,- = £
я=0 7i=U к=0
0.4.3. Теорема Коши [27, с.167]. Рассмотрим линейную систему дифференциальных уравнений
x(t) = Л(г)я(*) + F(t), t € J = (—Г,Т),
где x(t),F(t) : J -> R\ A(t) : J -> Rkxk.
Теорема 0.1. Если A(t) и F(t) представимы сходящимгкся рядами
ОО ОО
A{t) = £ Ant\ F(t) = £ Fnt\ t € .7,
71 = 0 n=0
26
то данное уравнение для каждого начального вектора #(0) = Xq, #о Є Rh, имеет единственное решение, и это решение представимо сходя-
оо
гцимся рядом x(t) = Е £ntn, t Є 7.
n-0
0.4.4. Признак Вейерштрасса [96, с.427]. члены функционале-
оо
ного ряда Е удовлетворяют на сегменте .7, / € J, неравенствам
п=0
I wn(t) |< сп (гг = 1,2,...), г7е с„ сг/ть члены некоторого сходящегося числового ряда Е то ряд Е мп(/) сходится на J равномерно.
п=о п=0
0.4.5 Норма матрицы А, согласованная с нормой вектора х:
II А ||= max || Ах ||;
11 11 ||*||=1 11 11
Е - единичная квадратная матрица; вш Є Rmxm - нулевая матрица; о (А) - спектр матрицы А\ ф - прямая сумма матриц; обозначения вектора z € Rn : z = {za,Zb},
I IT і і T
%a —J ^1) ^2» * * * j %т I ? %b —I ^m+l» %т+2j * * ’ > ^ л |
0.4.6. x(g(t)) £x(s)|i=j(t).
0.4.7. Функции-переключатели: - символ Кронекера;
, k, 0 < к < і,
«•(*) ~ - ш =
г, V* > * +1;
1, а > s, О, а < 5.
0.4.9. Для сумм и произведений принимаются условия: при а > Ь ь ь
Е =0, П =1.
л =а
г=а
0.4.10. ]а[ - целая часть числа а.
27
ГЛАВА 1. ЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕШ ФЗГНКЩОНАЛЬНО-ЩФФЕРЕНЩАЛЬНЫХ
УРАВНЕНИЙ
$1.1. ФУНКЦИОНАЛЬНО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ.
АНАЛИТИЧЕСКИЕ РЙ11ЕНИЯ
1.1.0. Как отмечалось во введении, именно прикладные задачи, появившиеся в начале 20 столетия, стимулировали повышенное внимание математиков к теории дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом.
Среди различных типов ЛС ФДУ в этой главе будем рассматривать такие ЛС ФДУ, в которых запаздывающий аргумент h(t)<t, определяющий значение функции x(h(t)) и ее производных, имеет аналитическую структуру и в начальный момент t-О отсутствует пер-
00
воначальное смещение аргумента, т.е. 2 ft tn. с физической
TV= 1
точки зрения такой случай имеет место в начальной стадии процесса или в случаях, когда отклонение аргумента A(t)-t-h(t) обращается в нуль. С математической точки зрения это означает, что начальное множество состоит из одной точки tQ=о и задачи такого типа формулируются аналогично классической задачи Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений без запаздывания. Поэтому в дальнейшем начальную задачу для ЛС ФДУ с точечным начальным множеством будем называть задачей Коши.
Исследования функционально-дифференциальных уравнений такого типа берут свое начало с конца 19 столетия. В 1894г. задача с линейной структурой функционального аргумента рассматривалась в работе В.Ли [1791. В 1924г. Р.Фламантом [168] изучалось линейное функционально-дифференциальное уравнение
28
x{t)=a(t )x{t/o)+b(t ), |а|^1.
Было показано, что если a(t) и t>(t)- функции аналитические в окрестности точки £=о, то существует единственное аналитическое решение ф(Г) этого уравнения, а в случае, когда в точке t=o функция b(î) имеет полюс, решение состоит из двух слагаемых
x{t)=y(t )Zogt,
где ф(*)- функция, аналитическая в окрестности точки t=0.
Ш.Изуми [176] распространил результаты Р.Фламанта на функционально-дифференциальные уравнения
х(t)=a(t)x(o)(t))+b(t), j 11 =^1
и доказал ряд теорем существования как регулярных (аналитических) решений, так и логарифмических решений этого уравнения.
Л.В.Робиносон [190], основываясь на результатах Ш.Изуми, показал возможность появления у уравнения Изуми сингулярных решений. Так для уравнения
Xx{t )=x{t2)-t3
00
было найдено регулярное решение в виде ряда x(t)= £ xntn. Перепое п
писывая данное уравнение в виде
x(t2)=t3+?Ji:(t) 9
методом последовательных приближений было получено сингулярное решение
х, (Î )=t3/2+ \ \t ,/4+2 X2t-3/8-lAX3r1 '/ ,6+...,
которое сходится при 111 <1 и достаточно малых значениях Л,.
Особое внимание математиков, изучавших ФДУ данного типа, уделялось задачам с линейным запаздыванием, которые относятся к
29
задачам с бесконечным»запаздыванием, поскольку в этом случае запаздывание A(t)=t-aî, а<1, при î-со стремиться к бесконечности. Такое внимание объясняется в первую очередь тем обстоятельством, что линейное запаздывание является простейшим представителем такого класса отклонений аргумента. Конкретная форма запаздывания (в отличие, например, от запаздывания в виде ряда) позволяла получить качественные результаты о поведении решений ФДУ данного типа. С другой стороны известно, что ФДУ
x(t)=a(t)x(t/o)+b{t), t>о
и
rv rv rv #v
dx(4)/d,t=a(rz)x(fz-r)+b(rz)9 t>о
эквивалентны в том смысле, что первое переходит во второе при подстановке T=Zogt и некоторые результаты, полученные при исследовании первого уравнения могут быть перенесены на второе.
Отметим здесь еще одно обстоятельство. Рассмотрим линейное ФДУ нейтрального типа
a{t)x(h(t ))+b(t )x{t )+c(t )x(h(t ) )+d{t)x(t)=o
с аналитическим запаздыванием h(t) таким, что ft(0)=û. Если при этом х(0)=с#о,±1, то в окрестности точки t=o существует аналитическая функция <p(t), удовлетворяющая уравнению Шредера cp(ft(t))=CKp(î) и такая, что <р(0)=1 [193]. Полагая x{t)=y(q{t) ) и T=(p(t;, выше приведенное уравнение можно представить в виде
а(т)у(?1(т))+Ъ(т:)у(т)4-с(т)у(?1(т))+2(п:)у(т:)=о
Таким образом, исходное уравнение с аналитическим запаздыванием h{t) свелось к уравнению с линейным запаздыванием ат. Поэтому исследования ЛС ФДУ с линейным запаздыванием является важной и актуальной задачей.
30
Уже первые исследования показали наличие у таких ФДУ некоторых свойств, присущих только этому типу уравнений и существенно отличающихся от свойств аналогичных уравнений без запаздывания. Так, например, скалярная задача Коши
•
хЦ )=-ая(£/а), а>0, х{о)=х0
имеет решение, неограниченное при £-*оо для любых о>1 [175]. Эти особенности в качественном поведении решений стимулировали дальнейшее исследование данных типов уравнений. В 1971г. вышла фундаментальная работа Т.Като и Д. В. Маклеода [177], посвященная асимптотическим свойствам уравнения
х^)=-ахШ)+Ъх^), (СХ£<оо), д?(о)=1,
где а и Ъ- conзt. Здесь было показано,что если о<А.<1, то в любой С- окрестности данная задача имеет единственное решение. С другой стороны, при А,>1 в окрестности точки £=о не существует аналитического решения этой задачи, однако имеется бесконечное число решений при £>0. Значительное место в данной статье уделяется вопросам асимптотического поведения решений задачи При £-*<».
Эта работа послужила отправной точкой для цикла исследований по асимптотическим свойствам решений ФДУ с линейным запаздыванием. Так, Д.Карр и Д.Дайсон [154], Е.-В.Лим [180] и Ф.Фогль [1943 распространили эти результаты на ЛС ФДУ
;?(£ )=4г(А.£НВг(£), (0^£<оо),
где А и В - гсхгс-постоянные матрицы, хЦ)- п-мерный вектор и 0<А.<1, а Л.Пандолфи [1891 рассматривал линейную систему ФДУ
x(t)=A(t)x(^t)+B(t)x(t), £^О
31