Гармонический проектор и граничные интегральные уравнения для областей с нерегулярной границей

Оглавление
1 Вагдение 3
1.1 Гармоническим проектор................................... 3
1.2 £/*-теория граничных интегральных
уравнений................................................. 12
1.3 Граничные интегральные уравнения в
пространствах Гедьдера.................................... 24
1.4 Асимптотическое поведение решений
граничных минеральных уравнений для области с пиком . . 27
2 Гармонический проектор 31
2 1 Интегральный оператор Бергмана............................ 31
2.2 Гармонический проектор ................................... 42
2.3 Дока:>лтел ъство основной теоремы........................ 51)
2.4 Бигармоиичегкий оператор.................................. 65
3 и теория граничных интегральных урлпмений 67
3.1 Предварительные сведения ................................. 63
3.2 Интегральное уравнение первого рода....................... 92
3 3 Интегральное ур&ише пмутренией задачи Дирихле на кон-
туре с внешним пиком.................................... 96
3.4 Интегральное уравнение внутренней задачи Дирихле на контуре с внутренним инком........................................105
3.5 Интегральное уравнение висагиек задачи Ненмляа на контуре с внешним пиком.............................................115
3.6 Интегральное уравнение внешней задачи Неймана на контур«;
с внутренним пиком .......................................120
3.7 Замечания..................................*...............122
-І І раним шле интегральные уравнения в пространствах
Гельдера 126
4.1 Непрерывность оператора »г/ - 1 Ул........................129
4.2 Непрерывность оператора гг/4- у...........................134
4.3 Краевые задачи Дирихле и Неймана
в иолу полосе.............................................138
1
4.4 Граничим* интегральные уравнения кривых залам Дирихле
и Неймана в области с внешним пиком.......................149
4.5 Граничные интегральные уравнения краевых задач Дирихле
и Неймана для области с яну/ре и ним пиком ...............163
5 Асимптотическое попедение решении гранитных
интегральных уравнении для области с инком 173
5.1 Задачи Дирихле и Неймана и области с пиком................173
5.2 Интегральное уравнение внутренней задачи Дирихле 181
5 3 Интегральное уравнение ьлешней аадачи Неймана.............189
5.4 Дополнения................................................194
5 4.1 Интегральное уравнение внешней задачи
Дирихле.............................................194
5.4.2 Интегральное уравнение внутренней задачи
Неймана ............................................196
2
Глава 1
Введение
1.1 Гармонический проектор
1.1.1 Пусть П - область на комплексной плоскости, и пусть Л£(0) - прострам ст по аналитических функции / в облаете П с конечной нормой
II / 11«<п>= (/ |/(*)ГЛ»»(*)),/'.
Л
где та - мера Лебега м К3. Значение функции в Точке г 6 П является непрерывным линейным функционалом п &2(0). В силу теоремы Рисса о представлении линейного функционала в гильбертовом пространстве найдется функция А',(к*) = К{:, ш) £ /-2(П) такал, что
/(г)= IК (г, *)/(*>)<!**(»).
Л
Функиия К [г, и») называется воспроизводящим ядром или ядром Бергмана (см. [1,66]).
Ядро Бергмана играет паж ну ю роль при изучении конформных отображений области П ка канонические области к в теории ортогональных систем функций, аналитических п О.
Так, конформное отображение «$(*,го) односвязной ограниченной области ОС С на единичный круг О, нормированное условиями ^(г0, *о) = 0. #(**>. *о) > 0, где 2о - фиксированная точка из 0, связано с функцией К(г%м) соотношением
Пусть теперь £ = 1,..., - полная ортонормировании* сисгема
3
функций из Тогда билинейный ряд
оо
£ <Ьк (<)«*(*)
4=0
при каждом фиксированиом С из П равномерно сходится внутри Я к функции /ч(г.<) Є б* (О), те.
4=0
Ядро Бергмана просто связано с функцией Г'рина 0П(*.<) задачи Дирихле дог оператора Лапласа в области О
К<г'0=>-1іГгЩ9п(*іС)
(см. Приложение» написанное Шиффером в книге Куанта |18]).
Ортогональный проектор /р, отображающий £*(Й) на А» называемый проектором Бергмана, является интегральным оператором» ядром которого служит ядро Бергмана,
№)(*) = /*(*,*)/М*»,М, *€«.
О
Наряду с оператором мы будем рассматривать также ортогональный проектор Рл (гармонический проектор), отображающий £2(Й) на подпространство £*(&) гармонических функций- Этот оператор был исследован Ароншайном в работе [I] в связи с задачами теории пространств с воспроизводящим свойством. Гармонический проектор естественным образом появляется при ретешш первой краевой задачи для бигармоиического уравнения с однородными граничными условиями методом “негармонического остатка* (см. Михднп [31]).
Основная цель первой главы состоят в отыскании условий, которым нужно модчнмиїь границу области П С С с тем» чтобы гармонический прс*ктор, отвечающий угон области, был непрерывен в £^(0). В ней дается полное описание ограниченных конечно-связных областей с кусочно-гладкой границей, для которых гармонический проектор непрерывен в £Р(Й). Даио также приложение гармонического проектора к теоремам существования и единственности решения краевой задачи
Д2ц = / в области и, и = —и = 0 на границе Г = .
с*л
1.1.2 Перейдем к более подробному описанию результат он нерпой главы Символом 1/(Х, V) будем обозначать пространство функции / на измеримом множестве X С Н* с конечной нормой
II /Ь(Х.У)= (/ |/(г)ГИ(.-)Лп2(г))1/'.
X
Л
Здесь V - неотрицательная измеримая по Лебегу функция, называемая и дальнейшем весовой функцией или весом.
Для односвяэной области Г) ограниченность оператора
Рй(^(й)-♦ І5(й)). 1<р<00.
равносильна ограниченности оператора
где и - конформное отображение единичного круга V на П.
Достаточным условием ограниченности оператора Р& в //(Р, V) является условие Ля(0) Макенхаупта. Неотрицательная измеримая функция V в круге Х> удовлетворяет условию Лл(0), гели существует ІЮЛОЖИТеЛЬНЛЯ постоянная С такая, что для каждого квадрата со сторонами, параллельными координатным осям, и с центром, принадлежащим Э, выполняется соотношение
Здесь и везде символом С будем обозначать различные положительные постоянные. Этот класс весовых функций был введен в 1972 г. Макенхау-птом [73]. Он нашел необходимое н достаточное условие на вес (Ау - условие), при выполнении которого максимальный оператор Харди-Лктглвуда действует непрерывно из 1/(НГ\У) в себя. Позднее Хаит, Макенхаупт и Виден [64] показали, что дли оператора Гильберта
точным условием ил вес, обеспечивающим оценку сильного типа
является условие Лу на прямой. Копфмаи и Фсфферман [56] рвспростра-нили зту теорию на общие сингулярные интегралы в Нп. Беколяе и Бонами (55) нашли необходимое и достаточное условие (В? • условие) ограничен носги проектора Бергмана и 1Р(Оу И), 1 < р < оо, которое получается из условия Ау(0) заменой квадратов из Я5 квадратами, центры которых лежат иа д'О.
Нам понадобятся критерии принадлежности функции »ила |ы#р-р классам Лр(О) и ВГ(Э) (см. [40, 42)). Здесь & - конформное отображение единичного круга Э на область О с кусочно-гладкой границей. Для ш 6 дП
1рГГУ<Ьпі<с[\ffVdmu,
5
череа *7и. будем о<кзначать раствор угла в точке ю. внутреннего относительно области О. Положим
Тлороуап (см. Теорему 2.1.1 и Лемму 2.1.4). Весовая функция удовлетворяет условию Л,(О) и услоаию ВР(Т)) тогда и только тогда, когда выполняется неравенство
Р РЧ
1.1.3 Введем интегральный оператор Кц : £2(0) -* ^2(0) вида
(Яг./)(г) = I|#Г(*. «)|/ИЛп,Н, * € о.
а
Теорема |см. Теорему 2.1.3) Следующие утверждения эквивалентны;
a) Пространство 1/(0) инвариантно относительно Р^.
b) Пространство 1^(0) инвариантно относительно Ял
c) Имеет место неравенство
ИК
Спр&педлиаостъ утверждении 1) дди О = О я при любом р б (1,оо) была доказана в работе Захарюты и Юдовичз [12]. Второе утверждение для П = В (и аналогичное утверждение для шара в пространстве С°) было получено Форелям и Рудииым (60]. Равносильность утверждений 1) и 3) для области и с куоочио-аиалктичсскои границей доказана Шихвато-ьыVI (52, 53]. Для конечно-связных областей, ограниченных либо кусочно-гладкими кривыми, либо кривыми с ограниченным вращением, эквивалентность утверждений 1), 2) и 3) анонсирована в работах [39, 4(1] (см. также (42, 43), где ирлисдепм полные доказательства).
Пусть теперь С конечно-связная область в С с границей класса С00. Через С обозначим односвязную область в С, ограниченную С°°-кривой и содержащуюся в <7, для которой найдется круг В с центром на дО такой, что СС\В = СГ\В = V. Для ядер Бергмана Ко и К& областей С и С соответственно разность Ко(2,С) - К^(*,С) (2,С € V) является гладкой функцией по совокупности переменных. Это утверждение принадлежит Херман деру. Наброгок дохаэаггедьстпа п-мерного париапта ЭТОГО утверждения можно найти в работе Феффермана {59]. В лемме 1.2 1 приводится другое доказательство этого факта, в основе которого лежит связь ядра Бергмана с функцией Г рима. С помощью этого утверждения устанавливается ограниченность операторов Р& и Яп в £Р(П) для конечно-связной области П.
6
1.1.4 При исследовании оператора нам потребовались некоторые свойства пограюра гармонического сопряжения. Пусть и 4* гь» - аналитическая функция в области О, где и, і» - веществен позначны, г0 € О, г(-го) — О-Пргибразовамие вида Ни = ЯХо.п« := V будем называть оператором гармонического сопряжении.
В работе Фридрпхеа (61) показано, что оператор гармонического сопряжения действует нэ £*(0) в себя, если (I - ограниченная область с кусочно гладкий границей без внешних точек заострения. Этот результат в ослабленной форме был повторен в работе Бабушки [2]. Уже в статье Фридрихов было показано, что наличие внешних точек заострения может привести к парудаиию б*-непрерывности оператора Н (см. также Бабушка (2),Тзтоян [43]).
Следующее утверждение составляет содержание пункта 1.3 первой главы
Теорема (см. Теорему 2.1.4) Преть О - конечно-евлзнм область с кусочно гладкой границей без внешних точек заострения. Тогда прост* ранета о 1^(0) при каждом р Є (1>оо) инвариантно относительно оператора гармонического сопряжения.
Предположим, что П - одвосвязная область и и/ - конформное отображение единичного круга О на область 13 тахое, что и/(0) = *о 'Лік как оператор гармонического сопряжения инвариантен относительного конформного преобралопамии, то достаточно показать, что оператор Но,о непрерывно отображает пространство Л*(0, \и/\*) в себя Воспользуемся равен стаом = 21т Р£. Из теоремы об ограниченности проектора Бергма-
на подучаем, что оператор Н,%іп действует л Х^{0), если 7 < р и область О не имеет внешних точек заострения. В общем случае ограниченность оператора Ті в ^(0) можно дохпзать, разбипля області, на подобласти, к которым применим зтот промежуточны»! результат.
1.3.5 Наряду с проетрааствохі_ £<2(0) рассмотрим пространство /.£(0) функций / из таких, что / € ££(0) и /п /с/та = 0. Пусть = Р* - оператор ортогонального проектирования пространства £2(Л) на ШП). Арокшаии (1) показал, что если множество /Я(0)4 б^(П) плотно в £*((?), то имеет место представление
= ^{На(Р*Ра)*~1 4 - {Р*Р*)' - (Я*/*)*).
Мш\
Здесь ряд сходится в сильной операторной топологии, отвечающей пространству Ь7{Я).
Основным результатом главы 1 является следующее утверждение (см. ИМ, (421).
Теорема (см Теорему 2.2.1). Пусть 0 - конечно-солэная облаешь с кусочно-гладкой границей без бнешни* точек заострения. Если р£ (1, оо) и
7
1 !Ь ^ 1
-- 17 <а> Р = I—Г. Р У\ Р-1
7
то пространство 1/(П) инвариантно относительно оператора /$. Здесь а - мтлбььший положительный корень уравнения
(яп *г*)2 (тч)* - («п г-г)* (гг)2 = О
Припедем здесь схему дохліїателмгтъа этой теоремы,
а) Пространство І7(0) ізометрично пространству 1/(0, \М0[2~*) относительно изоморфизма / —»■ (/ о IV) И", где IV - конформное отображение области О ил обласгъ П. Пусть - ііраізля полуплоскость к IV - конформное отображение И2 на область О с единственной угловой точкой И^(О). Тогда проектор
р* {[/ЛКІЖҐП ицкл^п)
допускает представление
Р° = Т •+ 5, (І)
где 5 - вполне непрерывный оператор и Г - интегральный оператор, изо мстрнчный оператору вида
Т/М = I /(г) ^ооаЬ ^(г + а5)) *,
Не і 20
действующему из ^(Л,|У'|^Р) * ЩАЛУУ"*)- Здесь Л а {г : |Ке*| < я/2} и V - конформное отображение полосы А на (I Представление (1) выводится с помощью одного приема, предложенного Фридрмхсом [61]. Здесь и везде в этом пунк те символом 5 будем обозначать вполне непрерывные операторы» конкретный пид которых для нас не важен.
Тогда произведение проекторов
РЧ* \«Ґ\*-Г) -» іда, ІИ^р-Т)
представляется в виде
Р*Р*шТТ+$%
где 7 - интегральный оператор с ядром, хомплсксно-сопряжснным к ядру оператора Г.
С помощью преобразования Фурье, учитывая, что иа прямой Ае? г О оператор^является оператором свсрткн> получаем в каждой точке и> € П* оценку
1№ЯЦ*с[*2р£,
/ рЫй 7*~‘ (Й) / ^(Г)'
к* \ 0 «Ц
8
где argA = аг*г и
г«-і
т-*&.
[einh тг J
-со
Символем /? обозначим интегральный оператор, ядром которого являет>:я модуль функции Бергмана для правой полуплоскости. Введем интегральный оператор &гп-1 вида
(в*-1^(*) = [*4г]ЗП1 \j^)K-^.x (jj) dv.
О
Так как для оператора R при выполнении условия j\i-p\ < р имеет место оценка сильного типа
II & J С II / J|l*(R},|iy*|l-*).
то верно неравенство
II (FT)*/ ІІ2><а*,|Л"р-*)
t»/a \lh
/ ІІ*.-і(*/>, ■ (2)
где (К/),(г) = (Я/Иге1').
Для того, чтобы а&вершить оценку, нам потребуется следующее обобщение неравенства Харди (см. [45]).
Предложение. Существует комс/пакта С, >се аависдщая от функции /, такал, что
оо or ^ 00
У И'(х) J J(u)du Лж<Сj V(z)\f(x)\4z ,
о or/2 0
если навдстс-я целое k > 0, для которого
D°k)=ss (/ (/ (У?) ^ *) < +о°
Нанлучтая константа С не превосходит постоянной
eWpV'OO1''' (I)* •
Неравенство Харди п весоі*>м ^-пространстве получено Макенхауитом (72] Обобщения неравенства Харди на случай различных показателей р ф д
too / £ \ Я v */« /с-0 \ W
f W{x) ^ I f(i)Aj dxj <сЦ V{x) l/wr^j
получены Меэьей и Роз и к ы xi (см. [Об]). Случай р < q независимо рассмо-трен Кокилашвпди [15).
С помощью этого Предложения доказывается неравенство
II <ЛТ7 Ць»(а>ди"|»-»>< С [Ё^]2’’"1 х |l + 1 Иь.-і(г)^-1,1 + II
ft Л 1 £ * Л 1 €
r 1 ~ \Р‘ p)y ?l + e” 3~\P p)y + p «+<’
max
где
Здесь є - малое положительное число. Так как
ПС оо
J Kfn-i(r)ri~,dr = (2г)-1^* j
.0
cosh 2,3г (cosh т)*
dr
2п-1
2л-1
то спектральный радиус оператора 7Т, действующего из 1/(11?+, |№"|2“р) в себя, не прсюсходит константы
Е =
(£-£) "п^ (RJJ
*1П зг-г
Учитывая, что о является наименьшим положительным корнем ураяне*
НИИ
(sin гг)1 (л>)2 + (sin *і)1 (ігх)* = 0,
при выполнении условия-у|р-2| < ар получаем, чіоЕ < 1. «>то доказывает, тто существенным спектр произведения Р4РТ (1/(0) -> 1/(0)) содержится внутри единичного круга. Отсюда и из неравенства || РЛР* ||да.,гд< 1 следует, что || РйРТ||^-,1Р< 1.
6) Если область О жвязна, то при замене проектора ортогональным проектором Рн пространства Ь7(0) на подпространство И7 = 1у*(0) +Ь%(0) конечной коразмерности заключение пункта а) остается ъ силе.
10
Пусть С*> * = !*--• - угловые точки П. Через йк обозначим од-
кос вяз ну ю область с кусочно- гладкой границей, дли которой О» тииетс* единственной угловой точкой. Предположим, что для каждого к найдется круг Уа с центром в точке С* такой, что О* П % = ЙП V*. Будем считать, что области 0* попарно не пересекаются. Пусть Фа Є (V*) раина единице в малой окрестности точки <а Выберем фм Є СЦ*(Ук) так. чтобы ^ = 1 на виррф*.
Для оператора (^2(0) -» ££(Й)) имеет место соотношение
Р?Х = £>*3> + 5 = І>1І* + 5,
1 1
где оператор 7І строится по области П* так же, как в пункте а). Из отого представлении следует, что существенный спектр произведения РаР* (£*(Й) -» /7(П)) не превосходит наибольшего из спектральных радиусов
ту/* (і/т -> 1/т)-
Это позволяет доказать, что при выполнении условия -у}2 - р) < ар норма || РиРя \\ь*-+і,г меньше единицы, а значит, ортопроектор Рцз является ограниченным оператором в 1/(0).
в) Пространство £*(0) представимо ь виде прямой суммы своих подпространств
ії(0) = Яа(П)+Сі(П).
где Л^в1(0) - (п — і)-мерное подпространство, натянутое на гармонические меры граничных компонент области Й Ортопроектор Л (1*(й)
продолжается до вполне непрерывного оператора в пространстве £г(й), Р € (1» зо). Спектр вполне непрерывного оператора Рц»оН (//(Й) -* £»{й)) совпадает со спектром Р/ц о А хак оператора, действующего ил £ (Й) в І*{П) ТЪк хзк || Ря» о Л ||г.г_г.» < I то норма || Рн> о Л !|і*-.і£ также меньше единицы. Позтому операторным ряд
^ = £ [Яя»(ЛРя.)‘-х + й(Ря»Л)*-‘ - (АР«»)* - (Ря»Л)*].
сходится в равномерной операторной топологии, отвечающей пространству 1/(и). 'Гїіхим образом, проектор ограничен в £/(й).
Следствием теоремы является следующее утверждение.
Следствие?. В предположениях теоремы об ограниченности гармонического проектора пространство (£д(Й))\ сопряженное к 1*{й), ото-ждестаимо с Ьрь (й) (р* = 1/(р - 1)).
Отметим, что для рассматриваемого класса областей условие теоремы об ограниченности гармонического проектора в 1Р(Й) является точным.
1.1.6 В третьем параграфе главы I дано приложение результатов предыдущих пунктов к краевом задаче для бигармоиического оператора.
11
Теорема ( см. теорему ‘2.4.1). Пусть Я - кон£чно»сълзпал облисінь с кусочно-гладкой границей и пусть выполнено услоьие
Тогда д.<я любой / 6 И'р“3(П) сри*сстбр**я одинстоенноя функция и € IV*(Я) токая, что Д2« = /.
Доказательство теоремы оспормо на методе "негармонического остатка” (см. Михлин (31]). Применимость этого метода обеспечивается теоремой об ограниченности гармонического проектора а пространстве //(П), из которой следует соотношение
і'(0) а £5(0)4-Д Й£(0).
Аналогичное разложение пространства //(Я) в виде прямой суммы под-IIростешста ££(Я) и
£«*?(<*> = {« е * € й;1(П)}
использовалось в рабочее [44] при вычисления кидекса оператора Д :
-> И^"1(й) для области Я% ограяичеююй кусочно*гладкой кркізой или кри-ьой с ограниченным вращением. Ранее Хавин (49] доказал, что просгран-ство ^ІІ^(Я) является аннулятором пространства (Я), р1 ^ р(р- I)“1, для любой области Я на комплексном ПЛОСКОСТИ.
1.2 //-теория граничных интегральных уравнений
Во второй главе изучаются граничные интегральные уравнения теории логарифмического потенциала для плоской области, граница которой имеет пик, направленный внутрь иди ви внешность. В ней доказываются теоремы о разрешимости в /^-пространствах граничных уравнений и описываются ядра операторов, определяемых этими уравнениями.
1.2.1 Пусті. Я - одностопная ограниченная область на комплексной плоскости с граиицгк Г. Классических подход к решению краевых задач Ди-рихлв
Ди = 0 в Я, м[г — \р
и Неймана
Да = 0 в Я, (&и/дп))Г = ф
методом интегральных уравнений состоит в представлений их решений в виде потенциалов двойного слоя
12
и простого слоя
(1'г)(х)г J г(г) 105
соответсгпенмо, где д/дп - производная по направлению пкешнсй нормали к контуру Г.
Потенциал двойного слоя является гармонической функцией как в области П, так и по внешней области О' и претерпевает разрыв при переходе точки через контур Г. Если контур Г обладает непрерывной кривизной, за исключением конечного числа особых точек, то в точках гладкости г € Г прямое значение потенциала двойного слоя (И#о) (-), рапное
- £ »(О*"*« “ •*) •
Г
и пределы изнутри (И',*) (л) и извне 1}Улс) (л) связаны соотношениями
{ІУі<г\{г) = (IV» (л) - **(*) и (1ЛГС*)(«)=(№»(*) + *?(*). (3)
Потенциал простого сдоя является гармонической функцией в П и & и непрерывен в точках контура Г. Однако его производная но нормали разрывна па Г. Для непрерывной плотности г прямое значение нормальной ІХроИЗЛОДПОИ (л) и пределы нормальной производной
(л) и М к изнутри в каждой точке гладкости
г € Г связаны соотношениями
(£")м-^м+(£")<■»
К (4)
(яГУг)(',-”(',+(ж:,'')(ж)-
Таким образом. ПЛОТНОСТИ потенциалов а и г должны удовлетворять на Г уравнениям
-г.<г + IV,<г = \р (5і)
д.1Я внутренней задачи Дирихле,
т<г + И'#<г = <р (5е)
для внешнее задачи Дирихле и
*т+я;Угт+ (6І)
13
для внутренней задачи Неймана,
«*)
для внешней задачи Неймана. Здесь *> и ^ - граничные данные краевых задач.
Уравнении (5і) — (6с) дли областей с ненулевыми углами юу*шксь ммо г ими авторами в различных функциональных пространствах.
(i) Дли области, ограниченной кривой Ляпунова, к уравнениям (5і)-(6е) применима теория интегральных уравнении, развитая, и первую очередь, в трудах К Неймана, Пуанкаре и Фрсдгодьма, а также, Шварца, Робзна, Ляпунова, Стеклова н др. В пространствах непрерывных функции на Г
операторы И/* и -—V Вполне непрерывны. Поэтому к каждому из урапие-
СП|
иий (!>«) — (6е) применима альтернатива Фредгодьма. Таким образом, либо неоднородное уравнение имеет непрерывное ранение при любом пыборс непрерывной функции в правой части, либо однородное уравнение допускает ненулевое решение.
(ii) При наличии на границе области угловых точек оператор прямого значения потенциала двойного СЛОЯ не является компактным оператором. Тем не менее метод Фредгольма был распрсстрапен и на такие области при условии отсутствия на границе точек заострения.
Предположим, что граничный контур Г области Я является спрямляемой кривой. Обозначим через $ угол между касательной к Г я фиксиро ванным направлением. Введем на Г натуральный параметр и обозначим через |Г| длину Г. Если угол 0(в), определяемый в каждой точке гладкости кривой Г с точностью до слагаемого» кратного 2т, выбран так, что функция 9($) имеет ограниченную вариацию на (О, |Г|], то Г называется кривой с ограниченным вращением. ТЪкие кривые рассматривались вцервме, по-вндимому, Радоном в [35].
Поднимал двойного сдоя IVа(:) С непрерывной плотностью а имеет предельные значения изнутри и извне в каждой точке гладкости 2 € Г. Предельные значения потенциала и прямое значение \У,(г) на Г связаны соотношениями (3).
У работе [35] Радон доказал, что ори отсутствии на контуре Г точек заострения к интегральным уравнениям краевых задач Дирихле и Неймана, рассматриваемым соответственно в пространстве непрерывных функций и ему сопряженном, применимы теоремы Фредгольма.
Для линейного ограниченного оператора Т в банаховом пространстве в существенной нормой |Г| называется точная нижняя грань множества чисел г > 0, для которых существуют линейные операторы Ь конечного ранга такие, что
ІІТ-ІЦ < Г •
Для функционального уравнения
14
при каждом А, удовлетворяющем неравенству |А| < \Т{ ^ выполняются теоремы Фредгольма. И самом доле, уравнение (7) допускает представление в виде
/-А£(А)/ = (/-А//)’1*,
где Я = Г - £, / - единичный оператор и Ц\) = (/ - \Н)~1Ь - оператор конечної о ранга.
Радиусом Фредгольма 72(Т) оператора Т называется радиус наибольшего круга на комплексной плоскости с центром п точке А = 0, внутри которого для уравнений
/ - А Г/ - и, у - АГ* ^ = *
(/,и € В. Є в’) справедливы теоремы Фредгольма. Ясно, что Я(!Г) >
ІЛ"1-
Следующая теорема дает значение радиуса Фредгольма для потенциала двойного слоя \\\ ь пространстве С(Г) .
Творена (Радой [38]. ем. также Клрдсман (57)). Пусть Г - замкнуты простая кривая с ограниченным вращением. Тогда для оператора IV, в пространств с С( Г) имеет место раоснстоо
Я(И'.) = \\Y.r1 = ■£- .
“тах
где $им - наибольший по модулю скачок функции в($).
Таким образом, если на Г отсутствуют точки заострения (0т*х < г), то к интегральным уравнениям внутренней к внешней задачи Дирихле применим метод Фредгольма.
Так как ш угловых точках кривой Г понятие нормальной производной не имеет смысла, то постановка задачи Неймана требует* некоторых юмь нений.
Пусть <?($) - произвольная непрерывная на Г функция Продолжим ее кеирермьиым образом в (Усматриваемую обл.гсп. О или 0'. Задача Неймана ставится следующим образом: найти гармоническую функцию и, для которой
Ит | ,«>^(С)<*< = /
7 г
где контур 7 имеет непрерывную кривизну и сходится к граничной кривой Г ТАК, что полная вариация кривой 7 стремится к полной вариации контура Г. Здесь Ф - заданная функция с ограниченным изменением нл Г.
Решение задачи ищется в виде потенциала простого слоя
Vт^г) = 11ов—
Плопіосіь т олределясто« и;» уравнения
тг - АИ'/т = ^, (8)
15
в котором А = ±1 к W/ являете оператором, сопряженным к W9 и определенным в пространстве функций с ограниченным изменением на Г. Поэтому для уравнении (8) на крином Г С ограниченным Вращением без точек заострения при А = ±1 также выполняется штервства Фрсдголъма.
(Ш) Другое направление исследования в теории граничных интегральных уравнений ил негладких кривых было положено работами Лопатин* с кого (19. 20]. В [19] им поедены аналоги потенциала \\\ - обобщенные потенциалы двойного сдоя
ТФ) *Jg (*.у,*/(*), v{v), jj~{) Yx^fr* '
где Г - граница области О С R-2, ь'(лг), д/(у) • единичные векторы внешней нормали к Г, С - квадратная матрица, определенная на Г х Г, непрерывная по перемен ним х. у и допускающая оценку
с; (г, **,!?,<) = о (кш+i(ii.c)l), ICI = М = ici = і.
В (20] Лопатинекий изучает уравнение
u-Tv = f (9)
для кусочно-ля луновской кривой без точек возврата в весовом пространстве /Др~с,Г), где Р -расстояние от точки интегрирования до ближайшем у^лово^ точки и 0 < с < 1. Он строят для оператора / - 'Г регулярнзатор, ycCTopfhy оказывается матричным интегральным оператором типа стлсртки на полупрямой, и. опираясь на результаты Гохбсргаи Крейна [б], получает явную формулу для индекса.
П арапок (87) обобщил эти результаты на случай кривых с ограничен ным вращением без точек заострения в пространстве Цр<, Г) с восом
Уравнение (9) в æ-кторном //-пространстве на контуре с ограниченным вращением 6еэ точек заострения изучалось Шелеповым (50, 51} В этих работах, в частности, для логарифмического потенциала двойного слоя им получено необходимое к достаточное условие нетсровогти граничного уравнения внутренней задачи Дирихле. Обозначим через раствор угла, внутреннего по отношению к области Я, в точке г € Г. Для того, чтобы уравнение (Зі) было нетсровым в пространстве //(Г), 1 < р < оо, необходимо и достаточно, чтобы
РФ 1 + }1-ъ|, *<нг.
При nu полней ии этого условия Граничное ур&ьисиме разрешимо в пространстве /^(Г) для всякой функции из £р(Г) в правой частя уравнения.
1«.
Число линейно независимых решений соответствующего однородного уравнения вычисляется по формуле
dim пи)1(J - W,) = £ 2 0 - ®в° \Р~ (! * №»I/17))) •
Д-2
Радиус Фрсдгольмл оператора W\ в пространстве £р(Г), 1 < р < *Юо> равен
яте) = 1Л .
*>1 штШ/р)
(iv) Икая методика исследования граничных интегральных уравнений на нерегулярных контурах, не ислольэуюсцая теорий фредгольмопых и сии гулярных интегральных операторов, была предложена Маэьсй [22]. Этот подход основан на представлении решений уравнений (5i) - (6с) через ре* шения некоторых вспомогательных краевых задач и позволяет с помощью теорем о разрешимости эллиптических краевых задач получать теоремы о разрешимости граничних интегральных уравнении и исследовать свойства этих решений вблизи особых точек.
Вез потери общности будем считать, что область Q ограничена кусочно-гладким (класса См) контуром Г с единственной особой точкой. Декартову систему координат выберем так, чтобы особая точка совпала с началом координат Через и<*) и и*е> будем обозначать гармонические продолжения в (2 и во внешнюю область ІУ функции, заданной на Г\ (0). Тогда при достаточно общих предположениях относительно функиии у на Г найдутся и(0 и u(*)t ддл которых верно соотношение
"М-5» / (w":)-^(0),oei^ci'"I + “",(“>' (10)
(Г:|С1>«)
и найдется такое решение rW внешней задачи Неймана с функцией диМ/дп на Г\ (0) в граничном условии, iA*)(oo) = 0, что для функции и>(г) = ut<l(z) - «W(*) + ti(f>(oo), :бГ \ {0}> справедливо раненство
яю{і) - Lim I u.«)^- log —1—= -2*Ы*) ~ «<‘>(00)). (11)
С помощью соотношений (10) и (11) строятся решения интегральных уравнений (5i) - (6е). Так. решением граничного ураинения ннутре«ней задачи Дирихле (5 і) является функция
,7 = ^(»W - Ч>) ■
Решение граничного ураинения и вешней задачи Неймана (6е) находится следу ющим образом: ищется решение внешней задачи Неймана с функцией V* * граничном условии, равное нулю на бесконечности. и строится
17