Динамическое моделирование систем управления пучками частиц

Л/
Содержание
ВВЕДЕНИЕ................................................................стр.5
ГЛАВА 1.................................................................стр.1б
§1.1 Уравнения движения частиц ........................................стр.16
§1.2 Описание управляющих полей .......................................стр.23
§1.3 Гамильтонов формализм .............................................стр.34
§1.4 Моделирование пучков частиц ......................................стр.45
§1.5 Собственное поле длиппого пучка с эллиптическим
сечением..........................................................стр. 53
§1.6 Матричный формализм для систем дифференциальных
уравнений ........................................................стр.74
§1.7 Уравнения дзижения для одиночной частицы с учетом
собственного заряда пучка ........................................стр.79
§1.8 Уравнения эволюции для огибающих пучка.............................стр.85
Заключение к главе 1...................................................стр.92
ГЛАВА 2 ...............................................................стр.93
§2.1 Алгебра наблюдаемых и состояния динамической системы .............стр.94
§2.2 Векторные поля, операторы Ли. Матричный формализм.................стр.100
§2.3 Эволюция динамических систем. Метод последовательных
приближений......................................................стр. 108
§2.4 Эволюция динамических систем. Методы Ли..........................стр. 114
§2.5 Матричное представление оператора эволюции.......................стр. 131
§2.6 Эволюция фазового множества.......................................стр.113
§2.7 Эволюция пучков с собственным зарядом.............................стр.158
§2.8 Построение приближенных инвариантов..............................стр. 166
§2.9 Некоторые алгебраические аспекты моделирования
динамических систем..............................................стр. 184
§2.10 Построение точных преобразований Ли.....................................стр.198
Заключение к главе 2...................................................стр.204
"О"
ГЛАВА 3 ...............................................................стр.205
§3.1 Синтез систем управления ........................................стр.206
§3.2 Построение приближенных симметрий.................................стр.212
§3.3 Оптимизация систем управления пучками частиц ....................стр.218
§3.4 Идентификация параметров систем управления пучками частиц стр.224
Заключение к главе 3...................................................стр.234
ГЛАВА 4 ...............................................................стр.235
§4.1 Базы данных, базы знаний и экспертные системы ...................стр.236
§4.2 Объектно-ориентированное программирование как средство
динамического моделирования.......................................стр.243
§4.3 Алгебраические операции в численных и символьных кодах ..........стр.251
§4.4 Компьютерное моделирование системы управления пучками частиц .. .стр.258 Заключение к главе 4...................................................стр.269
ГЛАВА 5 ..............................................................стр.270
§5.1 Ядсрный микрозонд.................................................стр.271
§5.2 Синтез иоцно-оптических систем с заданными
характеристиками..................................................стр.289
§5.3 Проблемы допусков в системах управления
пучками частиц ..................................................стр.303
§5.4 Моделирование системы резонансного вывода.........................стр.308
§5.5 Проблемы длительной эволюции пучков частиц ......................стр.323
§5.6 Моделирование систем сепарации частиц ...........................стр.336
Заключение к главе 5 .................................................стр.342
ЗАКЛЮЧЕНИЕ............................................................стр.343
ЛИТЕРАТУРА
стр.345
"Ч-
ПРИЛОЖЕНИЯ К ГЛАВЕ 1
Приложение А. Гамильтоиизация динамических систем...........стр.370
Приложение В. Общее решение уравнения Лапласа и учет симметрии стр.375
Приложение С. Вычисление коэффициентов разложения
потенциалов магнитпого поля....................стр.379
Приложение Б. Кронекерово произведение и сумма матриц
и векторов .....................................стр.382
ПРИЛОЖЕНИЯ К ГЛАВЕ 2
Приложение А. Теория представлений и обертывающие алгебры ...стр.390
Приложение В. Формулы Кемпбелла Бекера Хаусдорфа
и теорема о факторизации .......................стр.399
Приложение С. Ряды Ли, оператор Ли. преобразования Ли.......стр.408
Приложение Б. Дифференциальное уравнение в алгебре Ли .......стр.413
ПРИЛОЖЕНИЕ К ГЛАВЕ 5 .......................................стр.422
ВВЕДЕНИЕ
Данная диссертация посвящена математическому и компьютерному моделированию, а также оптимизации систем управления пучками частиц. Следует сразу отметить, что история развития указанных задач уже насчитывает не один десяток лот, однако именно в последние годы наблюдается бурное развитие самых различных подходов к задачам моделирования и оптимизации динамики пучков частиц в электромагнитных системах. Резкое возрастание интереса к данным проблемам связано прежде всего с необходимостью в создании новых мощных инструментов для фундаментальных, прикладных и технологических исследований и целей. Требования. предъявляемые к пучку (к его фазовым характеристикам), к системе управления накладывают жесткие ограничения на выбираемый математический аппарат и методы проведения вычислительною эксперимента. В частности, чрезвычайно высокая стоимость такого рода установок как накопительные кольца, коллайдеры самой различной конфигурации с необходимостью приводят к обязательному проведению предварительного компьютерного моделирования всевозможных эффектов, которые могут иметь место в подобного рода установках. На другом полюсе систем управления пучками частиц находятся сравнительно небольшие по размерам, но высоко-прецизионные установки, используемые в самых различных областях человеческого знания и применения. Очень высокие требования, предъявляемые к пучку, требуют также как и в случае больших установок, проведения тщательного качественного и количественного анализа.
В работе предлагается единый с методологической точки зрения математический аппарат, обеспечивающий единообразное описание как объекта управления - пучка частиц, так и субъекта управления - управляющего объекта системы управления пучками частиц - системы транспортировки и формирования пучка частиц с помощью электромагнитных полей. Обзор современной литературы, прежде всего материалов многочисленных конференций ( наиболее быстро реагирующих на современные достижения, смотри, например [122, 144, 158, 20С, 231]) показывает. что несомненно растет интерес к повышению эффективности и информативности используемых подходов с одновременным развитием интерфейсов самого различного предназначения. Существование громадною числа пакетов прикладных программ, предназначенных для решения задач физики пучков ( смотри [192, 253, 261)), указывает также и на необходимость создания (по мере возможности) единою подхода, основанною на максимально адекватном математическом аппарате и обеспечивающего эффективное решение задач, достаточно просто расширяемым при включении новых теоретических и экспериментальных знаний.
Несомненно весьма заманчиво строить изложение таким образом, когда оно начинается с простейших идей и затем разворачивается в логических выводах так, что появляется некоторая сложная теоретическая структура, в которой каждый элемент связан со всеми прочими. К сожалению, в этом случае можно погрязнуть в мелочах, тем более, что сама структура содержит в себе некоторые неясности, из-за которых нелегко всякий раз определять свой следующий шаг и быть уверенным, что именно он ведет к намеченной цели. Поэтому в основу предлагаемого подхода следует положить принципы системного подхода, позволяющего построить как бы общий контур
~6~
’’территории”, на которой следует отыскать главное направление прежде чем начать ориентирование с помощью подробных карт. Именно системный подход подсказывает необходимость использования для описания упомянутых выше объектов и явлений математический аппарат, позволяющий на едином языке описывать как объект управления, так и субъект управления. Укажем следующие основные требования, предъявляемые к выбираемому подходу:
1. Максимально возможная адекватность физической и математической моделей;
2. Возможность получения глубоких качественных результатов тем более. что именно с качественной стороны еще много неясностей при исследовании нелинейной эволюции пучка;
3. Возможность эффективного ( с точки зрения прежде всего проведения вычислительного эксперимента) и глубокого численного анализа, позволяющего осуществлять реализацию полученных результатов в виде конкретных установок;
4. Возможность осуществления программы анализа и синтеза систем управления пучками частиц; построения эффективных методов оптимизации ( в широком смысле этого понятия) таких систем;
5. Возможность достаточно безболезненного усложнения модели в процессе появления новых экспериментальных и теоретических данных.
Реализация математического аппарата на языках высокого уровня в виде пакета прикладных программ с обязательным входным и выходным интерфейсами, позволяющими оператору общаться с ЭВМ на естественном для рассматриваемого класса задач языке, в том числе и па языке графических изображений, тем более, что именно графическое представление исследуемых процессов и явлений существенно способствует интенсификации интуитивного (очень важного для физика) мышления. По сути дела речь идет о создании проблемно-ориентированной системы, выступающей при исследовании динамических систем в качестве компьютерной) эксперта. Вышесказанное приводит нас к необходимости при построении программного обеспечения учитывать следующие основные требования:
1. Возможность проблемно ориентированной системы работать с системами компьютерной алгебры, позволяющими проводить глубокие качественные и количественные исследования, автоматизировать процессы ручного кодирования создаваемых программ, повышать их быстродействие и уменьшать используемые объемы памяти;
2. Возможность включения в проблемно-ориентированную систему пакетов программ, написанных на разных языках, с одной стороны, с целью привлечения к решению задач широко известных пакетов, а с другой стороны, с целью использовать достоинства этих программ с максимальной эффективностью;
3. Возможность проблемно-ориентированной системы "работать” с графическими данными, как входными, так и выходными - проводить ”вычисления” на языке графических символов.
' т
4. Возможность привлечения средств и методов искусственного интеллекта (не только методов и средств компьютерной алгебры) с целью создания сначала прототипов. а затем и реально действующих экспертных систем ( которые могут также выступать и в качестве электронных учебников в данной предметной области).
Кодирование
Рис. 1
В своих работах (109, 110] Л.Л.Самарский предложил графическую схему, иллюстрирующую процесс моделирования физических задач. Аналогичные представления развивались в методических пособиях факультета прикладной математики-процессов Санкт-Петербургского университета. К сожалению, подобные схемы не отражают современных тенденций как в самом процессе моделирования, так и в развитии вычислительной техники (hardware) и математического обеспечения (software). С учетом изменений и дополнений, которые стали возможными в последние годы, а также исследований, проведенных автором работы по моделированию конкретных систем управления пучками частиц, автор предлагает следующую схему процесса моделирования (смотри Рис.1). Здесь представлена схема построения иерархических моделей различного уровня. При этом под физической моделью объекта, процесса или явления будем понимать по возможности полное (на данный момент развития науки) описание в физически содержательных терминах и понятиях. В физической модели без всяких изменений и упрощений должны входить вся теоретическая (в
виде функциональных, дифференциальных и прочих связей и соотношений) информация и все экспериментальные данные, изложение гипотез, которые могут быть сформулированы по поводу еще не изученных явлений и соотношений между различными частями исследуемого объекта. Таким образом, физическая модель представляет собой содержательное отображение реального объекта или явления на уровне современных знаний. Особые трудности возникают при создании физической модели систем управления. Дело в том. что в этом случае приходится строить единую систему описания модели лроцесов, имеющих различную качественную природу. Кроме того, модели процессов управления должны включать физические критерии качества, определяющие предназначение, эффективность и качество функционирования системы управления.
Следующим этапом моделирования является построение аппроксимирующей модели. Введение в рассмотрение промежуточного этапа между физической и математической моделями [147] позволило автору по иному взглянуть на весь процесс моделирования исследуемых процессов и явлений. Аппроксимирующая модель также* как и физическая модель описывает объект или процесс в физически содержательных терминах. Но в отличие от физической модели при построении аппроксимирующей модели отбрасываются факты, не оказываюпцее заметного влияния (в пределах заданной точности) влияния при заданных условиях на ход процесса или поведение объекта. При переходе от физической модели к аппроксимирующей модели сложные математические зависимости и соотношения заменяются по возможности более простыми, аппроксимирующими, соотношениями. В частности, одни классы функций заменяются на другие, более простые, нелинейные соотношения - линейными (с помощью процедуры линеаризации). При наличии недостаточно изученных явлений и связей в аппроксимирующей модели могут вводится аппроксимирующие гипотезы. При этом целесообразно строить последовательности иерархически вложенных аппроксимирующих моделей, каждая из которых имеет свои границы применимости (по принципу "от более простого к более сложному'1). Большое значение имеет принцип минимальной сложности аппроксимирующей модели исследуемых процессов и объектов. При всех упрощениях и отбрасывании различных несущественных (на данном этапе) факторов или малых параметров необходимо дать оценку границ применимости полученной модели, так как малые параметры могут оказать (и оказывают в накопительных кольцах, коллайдерах при многооборотной эволюции пучка) громадное влияние на устойчивость и качественное повеление исследуемого объекта (в частности, возникает возможность появления в фазовом пространстве областей стохастичности [275, 278]). Построение аппроксимирующих моделей является весьма сложной задачей. Именно на этом этапе огромную роль играют методы и средства искусственного интеллекта (на схеме ИИ), в частности, методы и средства компьютерной алгебры. Последние позволяют резко повысить эффективность построения аппроксимирующей модели и существенно снизить порядок (практически свести к нулю) ошибок, которые являются 11 проклятием" чрезвычайно громоздких математических выкладок, сопровождающих процесс построения аппроксимирующих моделей. Введение как обязательного элемента процесса моделирования методов и средств искусственного интеллекта осуществляется в данной работе впервые. Именно это введение открывает перед исследователями совершенно новые возможности на пути иссследования сложных процессов и явлений. Кроме сказанного, следует ука-
зать на чрезвычайно важный этап формирования аппроксимирующей модели - этап физической формализации задачи. Под этим понятием мы понимаем процесс агрегирования исходной задачи, построения системы подмоделей - элементарных моделей, из которых и строится та или иная аппроксимирующая модель. Система элементарных моделей, объединенная в единое целое иерархической системой ориентированных графов, является базовой для перехода к следующему этапу процесса моделирования — этап построения математической модели.
На третьем этапе строится математическая модель объекта или процесса. Под математической моделью будем понимать уравнения и соотношения, приведенные в аппроксимирующей модели, четкую математическую формализацию всех соотношений. условий и ограничений. При этом обычно осуществляется дальнейшее абстрагирование модели (в частности, происходит переход к безразмерным величинам, уже не имеющим непосредственную физическую интерпретацию). Кроме того, математическая модель включает в себя методы решения поставленных на этом этапе математических задач в виде уравнений самой различной природы, задач синтеза систем (в том числе оптимального) управления и т.п. Однако на этом этапе необходимо проводить согласование точности задания и наблюдения данных (определяемой классом точности используемых приборов и инструментов) и точности решения задач. По возможности используемые методы должны быть универсальны ( по крайней мере для данного класса задач), но не в ущерб их эффективности, что обычно связано со специализацией применяемых методов. На этом этапе формулировки математической модели также могут использоваться методы компьютерной алгебры с целью проведения необходимых преобразований для построения аппроксимирующих сумм, произведений, вычисления интегралов, производных, решения (если это возможно) в символьном виде уравнений, построения разностных схем (особенно это касается уравнений в частных производных). Очевидно, что для каждой аппроксимирующей модели вообще говоря строится некоторая последовательность (в том числе и иерархическая ) математических моделей (смотри главу 4).
Следуя далее по схеме, мы переходим к реализации математической модели в виде алгоритмов и программ (пакета прикладных программ). На этом этапе использование средств и кодов компьютерной алгебры (например, таких систем как REDUCE, МАТ НЕМ АП С А. МАРЬЕ V, MuPAD и так далее) позволяет автоматизировать процесс кодирования программ, снижая тем самым как временные затраты, так и число обычно совершаемых при таких объемах вычислений ошибок.
В традиционно используемом в естественно научных исследованиях подходе пакеты прикладных программ используются для проведения численных расчетов с целью проверки адекватности выбранных аппроксимирующих и соответствующих математических моделей. При этом основную функциональную нагрузку экспертизы получаемых результатов осуществляет исследователь - человек. Очевидно, что требования, предъявляемые к такого рода экспертам весьма высоки. В современных условиях сочетание знаний в предметной области, математических методах и в программном обеспечении в одном человеке весьма проблематично из-за чрезвычайной сложности современных задач. Поэтому в настоящее время на арену научных и технических расчетов все шире привлекаются методы и средства искусственного интеллекта, реализация которых осуществляется в виде создаваемых в основном пока прототи-
лов экспертных систем [176, 196, 255, 257, 335]. Заметим, что частным случаем такого рода систем являются так называемые электронные учебники, позволяющие неопытному исследователю (”студенту”) в интерактивном режиме получать новые знания и приобретать опыт в исследовании интересующих его процессов и объектов. В области моделирования систем управления пучками частиц в настоящее время также идет интенсивная работа по созданию такого рода систем [128, 133, 191, 231, 245, 268, 287, 335]. В этих работах большое внимание уделено концептуальным вопросам построения интеллектуальных систем. При этом большее внимание уделяется вопросам управления в режиме реального времени. Достаточно интересной работой является работа [257], в которой выделяются основные проблемы создания эффективных вычислительных модулей для экспертных систем, предназначенных для научных исследований. Интересно также направление, развиваемое в работах Leo Michelotti (смотри, например, [282]) и Hiroshi Nishimura [245]. Однако следует отметить, что большинство реализуемых подходов основано на достаточно традиционных математических подходах. Основная проблема в процессе интеллектуализации вычислительного эксперимента заключается в отсутствию! унифицированного описания различных составных частей исследуемого объекта или процесса, что, естественно, резко снижает возможности проведения процесса интеллектуализации. Кроме того, большинство применяемых математических методов (в том числе и таких современных как алгебраические методы Ли [202 215, 241, 242], методы автоматического дифференцирования [168, 300], в том числе методы дифференциальной алгебры [169, 170, 172, 252, 344], методы символьной динамики [45]) являются численными методами и, как следствие этого, не обладают в достаточной мере свойствами универсальности и адаптируемости.
Наконец, получаемые в процессе проведения вычислительного эксперимента ( вернее серии такого рода экспериментов ) результаты проходят фазу интерпретации (возвращения в область физически содержательных объектов) и проверки на адекватность как с выбранной аппроксимирующей моделью, так и с исходной физической моделью. При обнаружении адекватности полученных результатов данным, соответствующим выбранной аппроксимирующей модели, мы либо заканчиваем процесс исследования, либо переходим к более сложной аппроксимирующей модели, если сопоставление результатов вычислений с данными физической модели показывают их недостаточность или несостоятельность. В последнем случае используемый подход должен обеспечивать оперативный выбор другой аппроксимирующей модели без разрушения самой структуры вычислительного процесса и с максимальным использованием полученных ранее результатов (принцип наследования, смотри главу 4).
Замечание 1. Вообще говоря интерпретация результатов возможна и на более рашшх этапах моделирования, например, при выборе той или иной математической модели для аппроксимирующей модели. Здесь также весьма эффективны методы компьютерной алгебры, так как они позволяют получать аналитические соотношения в виде решений уравнений, симметрий (как непрерывных, так и дискретных), инвариантов и т.п. Именно символьная форма такого рода представления позволяет оперативно, еще на этапе выбора математической модели, осуществить поиск более подходящей модели, в том числе и аппроксимирующей. В частности, часто задачи синтеза систем управления конкретизируются на этапе согласования аппроксимиру-
ющей и математической моделей. Поиск же оптимального управления в синтезированном классе управлений осуществляется на этапе вычислительного эксперимента. *
Еще раз необходимо отметить, что введенная структура процесса моделирования является не просто новой графической интерпретацией этого процесса, а новым подходом к моделированию, который находит свое отражение в парадигме динамического моделирования [142 144. 245]. Эта парадигма находит все большее число сторонников среди дизайнеров систем управления пучками частиц (beam line designers), хотя еще и не отдающим себе отчета, что эта идеология требует не просто по иному взглянуть на этап построения компьютерной модели (смотри, например, [245]), а перестройки практически всей идеологии. Прежде всего необходимо ввести как обязательное требование адекватности математических методов не только аппроксимирующей модели (обычно воспринимаемой как физическая модель), но и современному hardware и software (принцип сквозной адекватности). В противном случае по настоящему высокоэффективные компьютерные модели построить будет нельзя. Именно это требование и является основным направляющим моментом в данной работе. Выбор в качестве основного математического аппарата матричного формализма для алгебраических методов Ли по мнению автора снимает многие вопросы, связанные с унификацией как математических, так и физических объектов, используемых в процессе моделирования на всех его этапах. Естественно, понимая ограниченность области применения данного формализма (в пределах применимости идеологии теории возмущения), автор при построении компьютерной модели предусматривает возможность подключения альтернативных математических методов в виде независимых объектов (смотри, например, работы [128, 131]). Предлагаемый в качестве базового математического аппарата для реализации парадигмы динамического моделирования аппарат матричного формализма алгебраических методов Ли является новым и в полной мере соответствует всем приведенным выше требованиям. Рассмотренный в этом формализме целый класс задач общей теории динамических систем (смотри, например главу 2) позволяет существенно повысить эффективность процесса моделирования, поскольку этот формализм не только позволяет отслеживать динамику исследуемого процесса, но и проводить оптимизацию (в широком смысле этого понятия) с привлечением теории инвариантов, симметрий. Кроме того, использование точных решений для преобразований Ли, порождаемых определенного класса системами, позволяет построить эффективные по точности и быстродействию численные алгоритмы.
Диссертация состоит из пяти глав, каждая из которых посвящена вопросам, изложенным выше и нашедшим свое отражение на схеме, приведенной на Рис.1. При переходе от главы к главе мы постепенно ’'передвигаемся” по указанной схеме. Учитывая, что построение физической модели является прерогативой всего научного сообщества, занимающегося исследованием данной проблемной области, основное внимание уделяется построению аппроксимирующих моделей. Однако необходимая информация по физической модели естественно приводится. Первая глава посвящена прежде всего постановочной части — краткому описанию основных составляющих элементов физической модели с указанием одного из подходов построения аппроксимирующих моделей, основанного на идеологии теории возмущения. Выбор именно
-м-
такого подхода в основном определяется классом решаемых задач и во многом связан с представлением информации (прежде всего эмпирической) об управляющих полях (смотри, например, §1.2). Все построения внешних полей и собственных полей являются конструктивными. Их формализация является новой, хотя в ином представлении описание внешних управляющих полей известно достаточно давно и описано в многочисленной литературе. Однако, эти описания не обладают достаточной общностью, позволяющей ' подключать’' новую информацию естественным образом. Кроме того, все приведенные формулы (как для описания объекта, так и для описания субъекта управления) согласованы и реализованы на едином языке - языке матричного формализма, основные принципы которого для описания уравнений движения и управляющих полей также приведены в первой главе (§1.6). В рамках этой же единой матричной формализации рассмотрены проблемы вычисления собственных полей, проведенные в данной работе для одного важного класса пучков (смотри §1.5), а также формализации уравнений движения с учетом объемного заряда (§1.7). В этой же идеологии рассмотрены вопросы моделирования пучка в терминах огибающих (§1.8). Все построения в данном виде являются новыми и естественным образом поддаются формализации с целью построения элементарных моделей при построении аппроксимирующих моделей для исследуемой динамической системы с управлением.
Вторая глава является основной, так как в ней изложен математический аппарат, предложенный автором, и на котором основаны процессы моделирования и оптимизации. используемые для решения ряда практических задач качественного и количественного характера. В качестве отправной точки выбран алгебраический аппарат Ли, имеющий достаточно большую историю. Однако именно в последние годы к этому аппарату интерес резко возрос. Это связано прежде всего с тем обстоятельством, что алгебраический аппарат Ли позволяет привлечь самые различные области математики, тем самым увеличивая свои аналитические возможности. В области нелинейной динамики пучков частиц, по-видимому, первым стал интенсивно использовать и развивать этот подход Alex J.Dragt, хотя в других областях знания эти методы применялись достаточно давно (прежде всего в небесной механике [199, 218, 248, 295)). Однако традиционные методы реализации этого аппарата, к сожалению, не обладают достаточной совместимостью с современной компьютерной технологией в се аппаратной и программной реализации. В частности, полиномиальное описание гамильтонианов динамических систем, используемое в традиционном (на данный момент) алгебраическом аппарате Ли (смотри, например, [202-214, [251, 324]) предполагает выполнение операций дифференцирования (взятие скобок Пуассона). Именно эта операция (необходимая для вычисления высших порядков) и вызывает определенные трудности при ее численной реализации. Появление работ М. Berz’a [167—173], посвященных дифференциальной алгебре, и были мотивированы прежде всего этими трудностями. В предлагаемом в данной работе подходе эти проблемы сняты полностью. Более того, с точки зрения вычислительных операций этот подход является более экономичным, так как не использует 'лишних переменных" — фазовых переменных. К тому же он использует только алгебраические операции над объектами, описывающими исследуемые явления, - матрицами. Это позволяет в максимальной степени использовать современные достижения современного hardware — компьютеров с распараллелированием вычислений. Предыдущие исследования автора данной работы показали достаточную эффективность метода последовательных приближений в
матричном представлении (метода погружения в пространство фазовых моментов) [9,14]. Но методы вычислений, предлагаемые в рамках этого подхода обладают рядом недостатков, которые в определенных ситуациях снижают эффективность соответствующих вычислений. Поэтому сохраняя матричную форму представления решений дифференциальных уравнений сами методы построения этих матриц реализованы уже с привлечением алгебраического аппарата Ли. С помощью матричного формализма во второй главе исследованы практически все основные задачи, которые возникают в теории динамических систем (часть информации излагается в §3.2). Кроме основных определений и утверждений, создающих теоретическую базу предлагаемого подхода, в параграфах данной главы приведены алгоритмы, на основе которых в дальнейшем строится соответствующее программное обеспечение. С точки зрения схемы, приведенной на Рис.1, во второй главе рассмотрены вопросы, относящиеся к компетенции сразу трех блоков: аппроксимирующие модели, математические модели, алгоритмы и программы. Указано, как при реализации данного подхода применяются методы и средства компьютерной алгебры. Весь материал главы является новым и полностью отражает те требования к математическому аппарату, которые были описаны выше. Рассмотренные в данной главе задачи динамических систем являются чрезвычайно важными не только для исследования систем управления пучками частиц, но и для исследования динамических систем других типов. Изложение ведется по нарастающей, все вычисления доведены до конструктивных формул и находят свое продолжение в специальных кодах, написанных средствами систем REDUCE и MAPLE V, обеспечивающих возможность проведения необходимых громоздких математических выкладок с необходимой степенью достоверности. Все формулы и соотношения, имеющие общий характер, включаются в соответствующие базы данных и знаний [126, 128, 129, 133, 135,136, 144, 147, 158]. Символьный характер на всех уровнях (от абстрактных некоммутирующих переменных до функциональных соотношений) позволяет быстро "перенастраивать1’ элементы баз данных (более точно баз знаний) для включения их в процесс моделирования конкретных динамических систем (можно сравнить с идеологией объектно ориентированного программирования).
Третья глава посвящена вопросам, связанным с проблемами оптимизации (в широком смысле) систем управления пучками частиц. В основу описанного подхода положены с одной стороны методы нелинейного программирования, а с другой стороны — теорстико - групповой подход (для синтеза систем управления с заданными характеристиками). При этом реализация методов оптимизации основана на изложенном во второй главе матричном формализме алгебраического аппарата Ли. Данный подход позволяет на более ранних этапах моделирования по сравнению с обычными подходами, основанными на численных алгоритмах, осуществлять процесс синтеза систем с заданными характеристиками (смотри, например, [29]). Действительно, символьное представление информации и использование теоретико-группового подхода позволяет осуществлять процесс поиска системы еще на этапе взаимодействия математической и аппроксимирующей моделей без использования программ для численных расчетов, входящих в компьютерную модель. Описанный в третьей главе метод последовательной интервальной идентификации является естественным распространением идеологии иерархичности процесса моделирования на процесс поиска оптимальных решений. Здесь под идентификацией понимается широкий класс задач
определення параметров системы, определяющих ее функционирование (в том числе и оптимальное). Практически можно говорить об идеологии последовательной интервальной оптимизации. Введение термина "интервальная" для физических задач имеет глубокий смысл. Действительно, вся информация об управляющих полях или параметрах носит интервальный характер (проблема допусков). Поэтому именно интервальный характер процесса оптимизации наиболее полно соответствует рассматриваемой в работе предметной области. Построение задач оптимального управления в функциональных пространствах [14] позволяет формулировать теоремы о существовании оптимальных решений и сходимости оптимизирующих последовательностей для таких объектов как пучки траекторий. Весь материал данной главы является новым как по его содержанию, так по включению его в процесс моделирования, описанный выше.
В четвертой главе рассмотрены некоторые вопросы, связанпые с вопросами компьютерной реализации соответствующих алгоритмов как в символьной, так и в численной модах. В §4.1 описана идеология интеллектуализации процесса моделирования, которая основана на предложенных в предыдущих параграфах математических методах. Показана их адекватность тем требованиям, которые предъявляются к интеллектуальным системам. В частности, применение компьютерной алгебры с одной стороны и матричного формализма с другой позволяют строить основную составную часть любой экспертной системы — базу (баз) знаний, а также формировать вычислительные модули, обеспечивающие проведение вычислительного эксперимента [131-133, .136]. Подключение альтернативных методов [131] наряду с матричным формализмом в его численно символьной реализации позволяет проводить вычислительный эксперимент более эффективно и гибко, обеспечивая одновременно возможность тестирования численных расчетов с помощью аппробированных математических методов (там, где это возможно). Показано, как привлечение современных средств программирования (в том числе визуализация процесса написания кодов с помощью систем типа ОЕЬРН1) на основе идеологии объектно-ориентированного программирования реализует процесс моделирования, который описан в предыдущих главах. Достаточно подробно описаны примеры возможных классов (в терминологии объектно-ориентированного программирования) для задач моделирования систем управления пучками частиц. Указаны также тс возможности в численной и символьной реализации необходимых вычислений, которые естественным образом вытекают из применяемого аппарата матричного формализма для преобразований Ли.
Наконец в пятой главе приведены примеры решения практических задач физики пучков с привлечением всех средств и методов, описанных в предыдущих главах. Решенные задачи охватывают достаточно большой спектр задач, связанных с транспортировкой и формированием пучков заряженных частиц. Все вычисления доведены "до числа" с помощью написанных кодов (на .РОЛТЛАЛНе, РАБСАЬ'е и С++). Результаты нашли практическое применение в реальных установках. Их корректность и достаточность проверена сравнением с экспериментальными данными ( этап интерпретации и проверки на адекватность). При этом кроме тестирующего и демонстрационного значения все результаты пятой главы являют новыми и с точки зрения полученных физических результатов, которые используются в существующих или
будут использованы в проектируемых установках в рамках различного рода физических проектах. Подробное изложение идеологии моделирования в параграфах пятой главы вызвано прежде всего необходимостью демонстрации применимости как математического аппарата, так и идеологии динамического программирования с привлечением методов и средств компьютерной алгебры. При этом изложение построено таким образом, что общие концепции могут быть использованы также и при исследовании других конкретных задач физики пучков.
Кроме пяти глав и списка литературы в диссертацию входят приложения к некоторым параграфам, собранные в конце. Часть информации, собранной в этих приложениях (к первым двум главам), хорошо известна из теории алгебр Ли и их представлений. Однако, с целью использования этих результатов в основном тексте эти результаты несколько переформулированы и приспособлены для реализации в рамках предлагаемого подхода к моделированию систем управления пучками частиц. В частности, при доказательстве некоторых известных утверждений использовались некоторые модификации, введенные автором. Кроме того, в приложениях приведены и результаты автора, однако из-за их громоздкости не включенные в основной текст. И наконец, в приложении к главе 5 приведены краткие описания процедур решения конкретных задач, которые позволяют проследить все те методы и подходы, которые предлагает автор в диссертации. Приведены также некоторые результаты в виде таблиц и графиков, иллюстрирующих проведенное моделирование и оптимизацию. Все результаты являются новыми на время их опубликования и демонстрируют большую эффективность развиваемых методов по сравнению с существующими (если таковые есть). Для некоторых задач ( например для моделирования системы вывода §5.3) только методы автора позволили решить задачи (в рамках компьютерного моделирования), сформулированные в этом параграфе.
Написанные автором лично или при его участии программы обладают большей общностью с точки зрения их пополняемости и расширяемости по сравнению с существующими программами для моделирования систем управления пучками частиц. Естественно, что они решают те классы задач, которые ставились перед ними, и не предназначены для решения громадного множества частных задач физики пучков (именно это обстоятельство и привело к созданию сотен программ для их решения). Однако, реализация программ на основе решений, полученных с помощью компьютерной алгебры в рамках матричного формализма, позволяет создавать интеллектуальные системы моделирования (смотри, в частности, главу 4) — прототипы экспертных систем.
Список литературы составлялся таким образом, чтобы в максимальной степени отразить все рассматриваемые вопросы. В него не включено достаточно большое число работ, использованных автором в процессе работы над темой диссертации, чтобы не загромождать список ссылок. Оставленные в нем работы в достаточной мерс отражают существующее состояние дел в описанной предметной области.
ГЛАВА 1
Первая глава посвящена формализации задачи динамики пучков заряженных частиц во внешних управляющих и собственных полях. В основу изложения положены как гамильтонов формализм, так и формализм обыкновенных дифференциальных уравнений произвольной природы. При формировании описания внешних управляющих и собственных полей используется эмпирическая информация, использование которой приводит к необходимости применения методов теории возмущения. Все приведенные в первой главе соотношения носят конструктивный характер и предназначены для реализации указанной во введении концепции процесса моделирования.
§1.1 Уравнения движения частиц
Параграф посвящен формализации уравнений движения Ньютона - Лоренца в криволинейных системах координат, как наиболее адекватных задачам физики пучков. Основные выкладки при необходимости осуществляются с помощью кодов компьютерной алгебры (REDUCE, MAPLEV).
1°. Уравнения Ньютона-Лоренца. Известно, что в случае движения заряженных частиц в электромагнитных полях произвольной природы уравнения движения задаются уравнением Ньютона-Лоренца
(т?)
dt
-,(S + ipx2]), Tf.ft,
где т* - радиус-вектор наблюдаемой частицы в лабораторной системе координат , т. д - масса и заряд частицы, Т* - радиус-вектор наблюдаемой частицы в лабораторной системе координат , т, д - масса и заряд частицы, с - скорость света,,
~3 - вектор напряженности электрического поля и вектор магнитной индукции соответственно. Обычно уравнение (1) записывается в безразмерных единицах. Пусть
? = £Г = ^2, 3‘ = ХЗ, 7=-т=р,
гас2 гас у/1 — (Р
тогда уравнение (1) примет вид
?-£, (2)
Размерности величин следующие
|£Г| = Ь~х, [Е'] = £-\ [г] = [г] = I, Ы = [/?] = !.
В дальнейшем индекс будем опускать, предполагая, что мы имеем дело с величинами. размерности которых указаны выше. Уравнение (2) можно записать в
несколько ином виде, используя кососиммстричсскую матрицу
( 0 -Вз в2 ЕЛ
А» 0 -В1 е2
-в2 Вг 0 Е3
<-Е1 -е2 -Ег 0 )
Рр,1) =
и четырехмерный вектор
<3>
Однако заметим, что использование уравнений движения в форме (1) или (3) в большинстве задач динамики пучков наталкивается на ряд неудобств, связанных прежде всего с проблемой представления внешнего поля, управляющего движением частиц.
Дело в том, что для определения Е и ~5 необходимо решать уравнения Максвелла с соответствующими краевыми условиями, что, как известно, задача в общем случае очень сложная. Поэтому, учитывая достаточно развитую теорию и практику вычисления и измерения полей как в мультипольных системах ( диполи, квадруполи и т.п.), так и в других системах ( например соленоидах ), более предпочтительным является использование таких систем координат, которые позволили бы в полной мере использовать априорную информацию о полях. Кроме того, выбор таких систем координат должен быть "привязан" к исследуемому объекту - пучку частиц. Таким образом, выбираемая система координат должна быть адекватна как субъекту, так и объекту управления.
2°. Криволинейная система координат. I. Кривая на плоскости. Как известно (смотри, например, [105] ) криволинейная система координат определяется метрическим симметрическим тензором дік-
= дік<іхх(1хк, і, к = 1.2,3. (4)
Здесь и далее будем, по-возможности, использовать правило суммирования Эйнштейна по повторяющимся индексам, находящимся на разных уровнях. С помощью обратного тензора дз1 можно осуществлять операции поднятия индексов. Вводя полностью кососимметрический тензор Єі$к (^123 = ^231 = £312 = 1, £132 = £213 = £321 = -1) можно записать
[а* х У*] = дкуЄ}ЦХ%у1 у/д, д = АеЬ(дік)
Таким образом, уравнение движения (1) может быть записано в виде </ / &с*\ • (1хк (1х1 •, <іхк : •
Здесь символы Кристоффеля второго рода
Г«' „мп г« 1-І 1 (&9тк , 0 Яті &9кі\
Iы-д ГтЫ, + і
(6)
J-O
rr,iw символы Кристоффеля первого рода. Пусть Г - произвольная кусочно-гладкая пространственная кривая, которая в дальнейшем будет именоваться опорной (reference) кривой. Как известно, эта кривая может быть однозначно задана с помощью кривизны h — h(s) и кручения к = к(л), как функций расстояния з, измеряемого вдоль этой
кривой. С кривой Г свяжем систему орт ( ортонормированный репер ) 2'. 3 )
которые связаны между собой с помощью формул Френе
,“Т>
(it 1 —^ (II 2 . / / ч“Т> « '< 3 .
—j— = h{s) i 2, -Jj— = ~Me) * 1 + «(л) Г 3, = -«(«) г 2, (7)
—Ч —4 -4
где * i, г г, И - орты, направленные соответственно по касательной, главной нормали и бинормали к кривой Г ( смотри Рис. 1.1 ).
К*1.1
Произвольный радиус-вектор "^(л) текущей точки М может быть записан в виде
"^(л) = “г\)(л) Ч- Т~г 2 Л- У~г ъ,
где Т^о - радиус-вектор точки Мо , движущейся вдоль кривой Г. Используя формулы Френе, преобразуем равенство (4)
(сИ^,(1~г*) = (їх2 Ч- сіу2 + ((1 — кх)2 Ч- к2(х2 Ч- у2)) (із2 - 2ку<іх<1з Ч- 2кх(іу<із. (8)
Как видно из (7), в этом случае криволинейная система координат Х\ = л, аз2 = ж, х3 = у не является ортогональной. Соответствующий метрический тензор имеет вид
(1 — Их)2 Ч- к2(х2 Ч- у2) —ку кх
Ы ) = | ~КУ 1 0 | , (9)
кх 0 1
д = <1е%тЧ.) = (1 - Л л)2.
и
Используя равенство д&д'* = получим тензор ук\ обратный метрическому тензору
(1 - Нху
1 ку
ку (1 — /гж)2 4- к2у2 \ -кж к2ху (1 — кх)2 + к2х2
—их
к2ху
Вычисляя символы Кристоффеля по формулам (5-6) подставляя в уравнение движения (7), получим три скалярных уравнения х1 = х, ж2 = ж, ж3 = у):
*+(/.-(А2 + к2)* - «'V - ^~’1КУ.) Р - - 2кау =
\ \ — пх) 1 - пх
- - Их)^~КУ^ + кх*№2 + (-(1 - Нх)2з2 + «у(ж - куз)) В3+
4- ((1 - Нх)2у + к2у(хх 4- уу)) В1),
I , 2 Ы кт2 4- Нк?у2\ .2 2ку ..
у + _ гу + —ГГ7Й-^) С + =
= “ Ьх)2з2 4- *ж(у 4- лжа)) В2-
- ((1 - Ьх)2х 4- к2х(хх 4- уу)) В1 - «у(у 4- кх$)В3),
(Ю)
(П)
а 4-
Нку — Ь!х 2/г
1 — Лж
■5 —
1 — /гж
хх —
Зу— (-(У + кхк)з + (ж - пух)В2 4- /с(жж 4- уу)#1) .
7(1 — /гж)
(12)
Переходя к новой независимой переменной х, получим два скалярных уравнения движения в поперечной плоскости в окрестности опорной кривой Г:
ж" — (/г2 4- к2)ж — к у — 2ку = — Л. —
2/гж' 4- Ых — Ьку 1 — /гж
^ ((1 - Ах)2 + (х' - к;/)2 + (/ + кх)2)‘/2 ((ж' - ку)(у' 4- кх)В2 - ((1 - Их)2 4- (х/ - ку)2) В34-
4- ((1 — Нх)2у 4- ас(ж' - ку)(хх 4- уу')) В1),
(у' 4- кх)(2Ьх' 4- Ь!х — Нку)
(13)
у" 4- к!х 4- 2кх — к у =
1 — /гж
А. V
+ с0-у{1 -Ах) ((1 - Лі)2 + (I' “ КУ)2 + (,/ + KI)2)‘/2 (((1 - hxf 4- (y' + кх)2) B2 - (x' - ny)(y 4- kx)B3-
- ((1 - lixfx -f- n(y' 4- kx){xx 4- yy'Ÿj -^ *)• (14)
От контрвариантных компонент вектора можно перейти к физическим компонентам ( координатам вектора 2? в базисе г 1; і 2, і з ) по следующим формулам
Вх = у/д^В2 = В2, Ву = у/дГзВ3 = В\ в, = у/яГіВ1 = ((1 - Ах)2 + к2(*2 + у*))1/2 в1.
В случае, если в качестве опорной кривой выбирается траектория некоторой частицы (ж = у = 0. S = Vq ), то должны выполняться следующие условия
/*(*) = —1-^(0,°,«), Вх(0,0,*) = 0. /? = -. с/77 с
Такая кривая называется равновесной траекторией. Рассмотрим частный случай плоской кривой (к = 0 ). В этом случае уравнения (13 -14) существенно упрощаются.
■■ - ((і - +*“-
{х’у'Вх - ((1 - Ах)2 + х'2) Ву + (1 - hx)y’B.) , (15)
y,,= _yJ2^ + _^{(l_hx)2 + ^ + yT
(-х'у'Ву - ((1 - Ах)2 + у'2) Вж - (1 - Лх)х'В,) . (16)
В случае h = 0 ( прямолинейная опорная кривая ) получим
*" = ÿ-(l + + уУ'2 {*'У'В, - (1 + х'2)В# + у'В.) ,
у" = -i-(l + х'2 + у'2)'/2 (-х'у'Ву - (1 + у'2)В* - /В.) . (17)
Если от декартовых координат в плоскости, ортогональной к кривой Г ( в данном случае это уже прямая ), перейти к полярным координатам, то получим уравнения в цилиндрических координатах z, р, \р\
р" - рр'2 = ^(i + р'2 + р\У'2 (рр'р'в, - (1 + ЛД, + Рї>'вг),
-/ОХ'
(ЛО'=~(і+ґ+Рг^)т ((і+т - ррув* - р'в,). (їв)
3°. Криволинейная система координат. II. Кривая на поверхности. Рассмотрим другой вариант выбора опорной кривой Г. Пусть 6 ориентированная поверхность в Я3 и на ной задана ориентированная кривая Г. Сопоставим каждой точке Мо Є Г ортонормированный репер с началом в точке Му, который называется репером Дарбу ( кривой Г относительно поверхности 6 ). Пусть как и в случае репера
Фроне і 1 - единичный вектор касательной к Г, ~г 2 - вектор, касательный к поверхности и ортогональный к Г в точке М0, г з ~ единичная нормаль к в, определяющая ориентацию 6. Выбор і 2 не однозначен, поэтому потребуем выполнение условия
*■ ^ у) 1 ^ ^
<1еЄ( * і, і 2, і з) = 1. Реперные векторы і к связаны между собой уравнениями Дарбу
йг і - а г 2 , а * з , -4 -4 .
= Нд г 2 4- К * з, = -Лв г ! + « г з, = -кп г х - к г 2, (19)
где /?й, Лп - геодезическая и нормальные кривизны соответственно, к - геодезическое кручение. Дифференцируя = "т^о 4- х~г 2 4- у « з с учетом (18), получим ( (Гг*о = МЛ )
(сГг^,<Гг^ = (їх2 4- (Іу2 4- (із2 (((1 — /г0х) — кпу)2 4- ас2(ж2 4- у2)) — 2ку(іх,(із 4- 2кхЛуЛя. Метрический тензор принимает в этом случае вид
(1 - }іах - Л„у)2 4- к2{х2 4- у2) -ку кх \ (вік) = І -ну 1 0
их 0 1
(20)
Из сравнения (20) с (9) видно, что репер Дарбу совпадает с репером Френе при /г„ = 0. Соответственно уравнения движения (13—14) принимают вид
*" = (ку - х1) - (Вз 4- ТА) 4- (В3 7 ТА) (*»У 4- V) +
(/?! 4- «тх) (у' 4- кя) 4- («'у 4- ку')1, (21)
у,/ = + у,) + (Вз + Т1/*п)"№ + Т1К) (Ку + ,1дХ) ~
- (В, 4- юТ*!) (жг - лу) - 7\ (к'ж 4- /ся')|, (22)
где
т = /~ж {+ (х ~ ну) - (В2 - ТА) (у' 4- кж) 4-
Л/ л.
+^i (h'gX + hny' + кх' + Л„) J, (23)
и
уз = ^^2 {(* " ^ “ V)2 + (*' ' «У)2 + (2/' + л*)2} • (24)
Следует заметить, что приведенные выкладки и выражения весьма громоздки. Поэтому для их проведения использовались коды компьютерной алгебры REDUCE (версии 3.2 и 3.3) и МАРЬЕ V.
Замечание 1. В дальнейшем при написании обозначений векторных величин мы не будем использовать значок —К вместо этого будем использовать заглавные буквы латинского алфавита. Л
1.2. Описание управляющих полей
В данном параграфе рассматриваются конструктивные методы описания управляющих нолей ( на примере магнитостатических полей) в произвольных системах координат. Описание проводится как на языке вектора магнитной индукции, так и скалярного и векторного магнитного потенциалов. Приводятся примеры основных типов управляющих магнитостатических элементов. Введение управляющих (функционально независимых) функций согласовано с экспериментальными данными. Для автоматизации процедуры решения громоздких определяющих уравнений используются методы и коды компьютерной алгебры (смотри, например, [7, 10, 135 138, 143, 144, 150, 153]).
1°. Уравнения Максвелла в лабораторной системе координат. Известно, что электромагнитное поле удовлетворяет системе дифференциальных уравнений -уравнениям Максвелла
div D = 47гр, div В = О,
1 дН It 1 (дЕ , Л rotE = —clH' rotH = c(-dF+M)’ (1)
D = eE, В = цН.
Замечание 1. С учетом сделанных в §1.1 замечаний в дальнейшем векторы будут обозначаться заглавными буквами, а их компоненты - соответствующими прописными с индексами. А
В дальнейшем будем предполагать, что в области движения заряженных частиц величины плотностей заряда р и тока - и соответственно определяются только самим ансамблем частиц. В вакууме внешнее ( external ) управляющее электромагнитное поле удовлетворяет следующей системе уравнений
div Eczt = 0, div Bcxt = 0,
lOB,xt xn 10 Ect
rot Ecxt =------—, rot Bcxt = —, (2)
с at с dt.
Bfxt == Ef-xti Bext = Hexti (/-* = € = 1).
Собственное электромагнитное поле пучка удовлетворяет системе уравнений
div Eecif = 4тгр, div В self = 0,
10Beelj Х n 1 (дЕ+t . , Л
r0t E’*,f = r0t в‘“> = с (“эГ + 4nJ)
(3)
ЛСЧ'
При исследовании уравнений Максвелла важную роль играет возможность выразить электрические и магнитные поля через потенциалы. Второе уравнение в (1) будет выполняться автоматически, если ввести векторный магнитный потенциал A: D = rot А . Тогда третье уравнение в (1) можно переписать в виде
(«И?)-»
rot
которое, очевидно, имеет следующее решение
1 дА
Е = —grad (р — , (4)
где ip - электрический ( скалярный ) потенциал. Очевидно, что векторный потенциал определяется неоднозначно, так как мы можем вместо потенциала А рассматривать А = А + grad /, где / - любая дифференцируемая функция. В этом случае вектор Е остается неизменным, если перейти к новому скалярному потенциалу
* = * + cat-
Приведенные формулы преобразования потенциалов называются градиентными ( калибровочными ) преобразованиями. Итак, вводя векторный и скалярный потенциалы систему уравнений (1) можно переписать в следующем виде
1 д2А 47г / 1 д(р\
AA-sW = ^TJ + grad{d,vA+cdt)' (5)
1 ddiv А
Alp=-Ажр--с-аг•
Здесь мы воспользовались соотношением
rot rot А = grad div А — А А.
Полученные уравнения для потенциалов (5) можно существенно упростить, введя условие калибровки Лоренца
divA+-^ = 0. (6)
С от.
Уравнения (5) примут в этом случае вид
/ 1 д2 \ 4тг т
( і ап
(7)
В дальнейшем мы будем предполагать, что внешние поля стационарны, то есть
ftpext _ л OAext _ л
dt 5 dt ’ таким образом для внешнего ноля получаем (pcxt = 0, Jcxt = 0 )
ДА,* = 0, Apext = 0. (8)
С целью упрощения дальнейшего изложения будем рассматривать широко применяемый класс магнитооптических систем. 13 этом случае ip = 0 и у нас остается единственное уравнение для определения векторного потенциала
ЛЛСХ< = 0, (9)
Однако удобнее в этом случае решать не уравнение (9), а уравнение для скалярного потенциала , который связан с В соотношением В = grad ф:
M>*xt = 0, (10)
После определения ф находим вектор В и затем век тор-потенциал Л, используя их связь, а также приведенное выше условие калибровки для Л. Предлагаемый подход позволит нам получить как вектор магнитной индукции , используемый в уравнении Ньютона-Лоренца, так и вектор Л, используемый для записи функции Гамильтона ( смотри §1.3).
2°. Криволинейная система координат. В §1.1 были описаны системы координат, ассоциированные с некоторым образом выбранной опорной кривой Г. Естественным продолжением этого формализма является запись уравнений Максвелла или уравнений для потенциалов в такого рода криволинейных системах координат. Так как выше была указана целесообразность определения на начальном шаге скалярного магнитного потенциала ф из уравнения (10), то необходимо записать оператор Д в терминах используемой системы координат ( смотри, например [105, 111])- Индекс ’’ext” будем в дальнейшем опускать, так как мы пока рассматриваем внешнее управляющее поле.
где д = det(</i*), дik ~ метрический тензор, характеризующий выбранную систему координат. При этом вектор В и вектор Л связаны с ф и между собой соотношениями
n-pjiW я_ 1 (дАі 9Аі\сЧ*Е
B-Bi9 W' в-2^\-Ы-д^)е Ek- (12)
Здесь є**к полностью антисимметрический тензор, Ек - локальные базисные векторы. Единичные ( локальные ) векторы связаны с следующими соотношениями
иі = -тЦя»> І-ІД
vlSjjl
а физические компоненты вектора А: {А}* = а* определяются уравнениями
3 Л Л --
А = ]Г^а*.[/*, at = yj|<7**|ак.
Jc=l
Рассмотрим простейший вариант криволинейной системы координат с hg = = —Л, hn к = 0, определяемой только кривизной h(s) плоской кривой Г. В этом случае равнение (10) с использованием (11) принимает вид
1 д
14■ hx дх
( \&Ф\ д2'1!’ 1 д ( 1 дф\ г\ /,о\
( + дх) + otf+ ТТйїдІ ((і + hx) зі) = ( *
Уравнения (12) принимают соответственно следующий вид ( запишем их покомпонентное представление )
дф сьр і дф
*- дх' *- ду' 1 + hxds' (14)
ОА. 1 дАу ь* = -£г~ і .. ят~' ьу =
1 (6А, \ дА, дАу дАх
тшуеГ- hAj ~ зГ’= 1ІГ ~ W (15)
ду 1 4- Нх дз ' у 14- Ііх
3°. Решение уравнения (13). Выше указывалось, что выбор криволинейной системы координат, отнесенной к опорной кривой Г. во многом определяется характером информации о внешних управляющих полях. Необходимость использования этой информации приводит к представлению искомых величин в виде степенных рядов по поперечным координатам в выбранной системе координат. Итак, решение уравнения (10) будем искать в виде
ф{я.у,з) = ад(*)^-|г. (16)
кл=о *• **
Заметим, что вообще; говоря на представление (16) необходимо наложить условия симметрии, определяемые выбором конкретного мультипольного магнитного элемента. В приложении В к данной главе приведены необходимые условия и соотношения между коэффициентами ад. для основных магнитных элементов ( диполей, квадру-полей и т.п. ). В данном разделе рассмотрим общий случай, то есть никаких дополнительных условий на ф кроме уравнения (10) накладывать не будем. Подставляя (16) в (10). получим следующее дифференциальное рекуррентное соотношение между коэффициентами ад:
о!'ік 4- кНа'ік-1 — Мі а!ік-\ 4- а»+2к + <Чк+г4-4-(ЗА; 4- 1)/ш;ь+і 4- к(3к — 1 )Л2ад 4- к(к — 1)2Л.3«і*5_і4-
4-3fcAa,'+2fc-i 4- 3k(k — l)&2a£+2fr-2 4- к(к — 1)(А; — 2)/г3а^.2л~з = 0. (17)
-fCI-
Очевидно, что разрешить (17) можно только, если некоторые ау, задать a priori. Для того, чтобы сделать это, запишем соотношения (14) используя разложение (16)
, Оф ^ ж1'»* , Оу ^ х'</
дх~ ,hoa'k+>fc! ’ " " ду - ,hoai+lki'- kV
. _ д± _ 1 v , *V
Os 1 + hx .“д 'k »! k\
Замечание 2. ( Карта поля 1 ). Здесь следует более подробно остановиться на характере априорной информации о внешних генерируемых магнитными элементами полях. Существующие датчики позволяют с той или иной степенью точности "строить” так называемые карты поля. Последние представляют собой последовательность двумерных или одномерных таблиц разности потенциалов, соответствующих различным сечениям вдоль электрической оси исследуемого элемента. Подобные карты позволяют при использовании соответствующих приближенных формул аппроксимировать значения компонент поля и его производных до некоторою порядка как функции независимой переменной з. При этом аппроксимация указанных величин в каждом сечении производится независимо, а зависимость от з определяется с помощью тех или иных алгоритмов приближения ( смотри главу 5). А
Итак, согласно замечанию выделим следующие коэффициенты
«ц(«) = ~—^г *-■, «««(•) = М0,0,*), (19)
= ooi(*)*=M0,0,*), (20)
о'оо(*) = МО,0,«). (21)
Отметим, что величины, определяемые соотношениями (19), в литературе называются нормальными силами мультитюльных полей, а величины, определяемые соотношениями (20) — ’ косыми" (skew) силами мультипольных полей. Выбор в качестве базисных коэффицентов, указанных в (19-21), позволяет рассматривать дифференциальное рекуррентное соотношение (17) как алгебраическое. Более того, для определения оставшихся коэффициентов мы получаем бесконечномерную систему неоднородных линейных алгебраических уравнений. При этом нетрудно заметить, что при определенном упорядочивании искомых коэффициентов система имеет треугольный вид с ненулевыми диагональными коэффициентами, откуда следует, что существует единственное решение указанной системы. В приложении С к данной главе приведены выражения для некоторых начальных коэффициентов и дано краткое описание REDUCE программы, обеспечивающей их вычисления в символьном виде.
(18)
'/Cö
4°. Вычисление компонент векторного потенциала А . Для определения компонент вектора А: {А}х = ах, {A}w = а,„ {А}„ = а, - воспользуемся разложениями
^ хг ук 00 ж* ук
<*х{хіy,s) ~ а*лг+і7Г7ї’ а'Ах->У'0) ~ а^н-і7Гьї’
і,к=0 *• *,fc=0 *• Л*
00 ж’ «fc
= і "ifc+iTTTT* (22)
t.fc=0 г> /С-
Подставляя (22) в (15) и используя (18), получим
<*ik-ы 4- = а*і+1 к - (аікУ + kha’i+1Л_1?
4- khai+lk-i = (aSt) — aifc+i “ (23)
(a,-*) — a?*+1 — af+lfc -f- — ef+lfc-1.
Исследуя систему рекуррентных соотношений (23) для определения а*к, а?к, а*к, нетрудно видеть, что она не является полной, то есть нам не хватает указанных соотношений для определения искомых коэффициентов. Для того, чтобы обойти эту неполноту, необходимо воспользоваться упомянутым выше условием калибровки
А = А + grad /,
где J - произвольная ( достаточно гладкая ) функция. Применяя используемую нами идеологию разложения функций в степенные ряды, получим
*> г1' 30 д.* £0 * fc
а«= Е аь= Е 5* = Е *1^. (24)
і,к—О h" і,к=0 1• і,к=0 1•
Подставляя (24) в (22), получим дополнительные соотношения следующей) вида
аік = ®?fc + /tfc+ь aü — «ifc 4 /і+ifc, + khagik_j = 4- khä*^ -f /Vn*- (25)
Так как функция / ( а тем самым и /,& ) произвольна, то выберем ее из условий
affc = ®ік 4" /*fc+i = Oi = äf0 4- /і+і о = 0, «до = ®оо 4" / оо* (20)
При удовлетворении этих условий система определяющих соотношений (23) становится полной и принимает вид
Oik+i + khaik = aj+lfc - (a?*)' + kha8i+lk^
<H+ik + khdi+ik-i = -«ot+i - (к + 1 )haaik, (27)
а’ік = a?*+i 4- khavik.
A. J
В приложении В приведены выражения для а?к, а\к, полученные с помощью Reduce программы. Из приведенных там выражений следует, что в случае а'оо = 0, h = const и постоянной силе мультиполей у вектор-потенциала А отлична от нуля только последняя компонента, то есть
Так как у реальных магнитов имеет место некоторое распределение силы мультиполя вдоль электрической оси, то вблизи краев магнитов производные по Л 6}гдут уже отличны от нуля, h = h(s) ф const и а'оо Ф 0. В этом случае вектор А принимает вид
В указанных выражениях индекс ’’id” соответствует ''идеальному” (ideal) элементу, индекс ”fr” - неидеальному, обладающему спадом паля на краях ( fringing fields ).
зовать некоторые определения, выделяющие из широкого класса элементов с произвольными полями, элементы, обладающие в некотором смысле идеальными" свойствами.
Определение 1 Под идеальным магнитным мулътиполъпым магнитом наинизше-го порядка будем пони.нать многополюсный магнит с постоянной (не зависящей от в ) силой, компоненты вектора магнитной индукции В (или векторного потенциала А ) содержат только наинизшие члены разложения, которые допускаются симметрией рассматриваемого элемента.
Замечание 3. Аналогичное определение можно дать и для “идеального" соленоида. Однако приведенные выше соотношения необходимо пересмотреть. Выражения для В к А в случае соленоидалыюго ноля приводятся в пункте б . А
5.1 Однородный дипольный магнит (bending magnet):
А = (0, 0, A\d )'.
л = (0, а1;, А? + а>; )-.
5°. Идеальные мультиполи. Для дальнейшего изложения нам удобно исполь-
Ьх = «01, Ьу — «10, Ь9 — 0.
(2В)
5.2. Квадруполь.
bx = ду, Ьу = дх, Ья = 0.
(29)
5.3. ’’Косой” ( »ке™ ) квадруполь.
ах — (іу = 0, (ія —
Ь = -п*кеюх Ь = — їлЛеиЧ/ /, - о ял*сш = І
2 ’ у 2 9 ’ * \<9з 0у) ]*=*=0'
5.4. Секступоль.
(ЗО)
П ° ( 3 П 2\ ^ І
ах = ау = 0, а, = --[х -3 ху ) , а=—|х=у=0,
Ьх = аху, 6У = ^ (ж2 - у2) , 6, = 0. (31)
5.5. Октуполь.
„ № ( 4 /»22 4\ 9^1)у -
ах = а?/ = 0, а, = — (ж - 6х // + у ) , /у = -^1*^,
= £У(у2 - Зх2), &у =-^х(ж2 - Зу2), Ь9 = 0. (32)
5.6. Синхротронний магнит.
Ях = а„ = 0, а, = - І (а0 + а10® - аоіу) + ^9 (у2 - ж2) ,
*>* = яоі + ду, Ь„ = а10 + ух, 6, = 0. (33)
Заметим, что в отличие от предыдущих примеров в (2.33) мы оставили не только
наинизшие ( по степеням х, у ) члены, но и следующие за ними. Это связано со
спецификой данного конкретного мультиполя ( он несколько ’'неидеален'” ).
6°. Соленоидальное поле. Известно, что соленоидальное поле обладает круговой симметрией, что существеннно упрощает уравнения Максвелла при переходе к цилиндрической системе координат. Действительно, уравнения Максвелла для В
<ііу В = 0, гоЬ В = 0 принимают соответственно следующий вид ( г2 = х1 + у2 ):
о>л-
Ризложение в ряд для компонент вектора индукции магнитного поля будут иметь следующий вид
Подставляя (32) в (31), получим определяющую систему для коэффициентов
Из (35) видно, что, если продольное поле ( вдоль оси ) известно, то можно вычислить
В соответствии с предыдущим пунктом, введем понятие идеального соленоида, как соленоида, у которого поле и потенциал задаются следующими соотношениями
рической информации о полях в виде набора карт поля с целью вычисления поля и его производных на оси элемента как функций независимой переменной 8. Однако, карты поля могут быть использованы и для получения информации о паразитных составляющих, то есть таких полях, которые не присущи данному ‘ идеальному" типу магнитного элемента. В частности, поле квадрупольной линзы может содержать и члены, ответственные за октупольные компоненты. Их присутствие может быть вызвано определенными особенностями в изготовлении данной конкретной линзы. Однако, наличие такого рода мультипольних ( паразитных ) составляющих поля при определенной ситуации может быть использовано и для коррекции исследуемой
(35)
*=0
к-0
2(к + 1)а2*+1 + а2к = 0, 2(/г + 1)«2*+2 — л'гк+і — 0? к >0.
(36)
и все остальные коэффициенты. Обозначим ао(з) = Ь,(0.0,8). Тогда можно записать
А--0
(37)
к=О
И соответственно компоненты вектор-иотенциала А принимают вид
(38)
Ьх = ахх, Ьу = агу, 6, = а0?
(39)
Оу
Замечание 4.(Карта поля 2). Выше уже упоминалось об использовании эмпи-
OX. '
системы. Некоторые вопросы, связанные с таким подходом, будут рассмотрены в главе 5. А
7°. Ондуляторы и вигглеры. Интенсивное использование синхротронного излучения. генерируемого заряженными частицами ( электронами ) в накопительных кольцах ( storage rings ), привело к необходимости создания специальных структур, обеспечивающих резкое изменение внешнего поля, вызывающего согласно уравнениям Максвелла испускание синхротронного (тормозного) излучения. Основными элементами. предназначенными для генерации синхротронного излучения, являются так называемые вигглеры (wigglcrs ) и ондуляторы ( undulators ). Основное их предназначение - увеличение потока и яркости синхротронного излучения. Основой их конструкции служат два ряда магнитов, которые создают чередующиеся по знаку магнитные поля, направленные перпендикулярно электронному пучку. Знакопеременные магнитные ноля заставляют его “качаться" вверх-вниз (или из стороны в сторону ). В результате внутри устройства электроны движутся по синусоиде. Применяются также спиральные ондуляторы ( helix undulators ), в которых поле создастся спиральными обмотками с током, и электроны в результате действия такого поля движутся по спирали. Разница между вигглерами и ондуляторами заключается в величине углового отклонения, вызываемого одним магнитом. В вигглере этот угол велик по сравнению с естественной расходимостью испускаемого излучения, непрерывный спектр которого близок к спектру излучения от поворотного магнита с той же напряженностью поля (смотри Рис.1).
Л
Однако, вигглер имеет большие поток и яркость излучения. В ондуляторе угловое отклонение, вызываемое одним магнитом меньше или близко к естественной расходимости излучения. Уже существуют ондуляторы, в которых пучок совершает сотни осцилляций, обеспечивая тем самым высокое качество потока излучения. Однако при конструировании вставок, содержа-„ р.. щих вигглеры или ондуляторы, в циклических
структурах необходимо заботиться об обеспечении (с той или иной точностью ) сохранения необходимых качеств периодической структуры кольца ускорителя.
Обычно эта проблема разрешается с помощью понятия динамической апертуры. Ниже, в главе б будут рассмотрены некоторые вопросы, связанные с этой проблемой. В данном разделе мы рассмотрим основные формулы для магнитных полей, создаваемых в таких устройствах. Общая идеология генерации полей в вигглерах и ондуляторах одинакова и ноля могут быть описаны формулами [181]
А
А\
bo sin(ks) cosli(kxx) sinh(kas),
03“
Ьо со&(к$) 8тЬ(/гха:) 8шЬ(&,д),
(40)
Ьу = />0со8(^л)со8Ь(/гхж)со8Ь(/гв.ч), к2 = к2х + к2 =
Здесь Л - период ондулятора, кх выражает зависимость от конечной длины ширины полюсов в х направлении. Его значение может быть выбрано феноменологически, то есть в соответствии с экспериментальными эффектами, наблюдаемыми в пучке. По аналогии с мультипольными элементами можно также ввести понятие идеального ' ондулятора, для которого выполняется условие
приведены выражения для компонент вектора магнитной индукции В и векторного потенциала А вплоть до членов 9 -го порядка. При этом в коэффициенты разложения входят выбранные нами компоненты поля и их производные, вычисленные; на электрической оси элемента. Поскольку эти элементы определяют внешнее поле, то целесообразно именно их выбрать в качестве управления, обеспечивающего желаемую динамику частиц. Заметим, что физическая природа указанных функций позволяет ввести два вектора управляющих воздействий: вектор управляющих параметров ( не являющихся функциями переменной 5 ) и вектор управляющих функций. Например, в системе, состоящей из квадрупольных линз,в качестве управления может быть рассмотрен градиент поля <?(з) = дЬу(0,0, .*)/$$. Однако, можно несколько по-иному интерпретировать эту функцию. Пусть <7* - номинальное значение градиента в к-ой линзе, тогда {*(*) = д(*)/0к ~ нормированная на единицу функция, которую в случае одиночного элемента будем называть функцией формы. При таком подходе мы получаем вектор управляющих параметров С? = (</ь • - -, и вектор управляющих функций и(я) = (^1 (л),.. . ,£т(-з)), описывающих форму функций, характеризующих распределение градиента вдоль оси системы. В частности, некоторые дь могут быть и нулевыми, что соответствует свободному (дрейфовому ) промежутку. Тогда & -характеризует только длину этого участка. В главах 3 и 5 описан подобный подход более детально сформулированы основные достоинства соответствующей формализации управляющего ноля с точки зрения оптимального управления и теории нелинейного программирования.
Реальный ондулятор соответствует условию кх ф 0.
8°. Выбор управляющих функций. В предыдущих разделах и в приложениях
^7 *
1.3. Гамильтонов формализм
Как известно, гамильтонов формализм является доминирующим в физике пучков. В данной работе он рассматривается как альтернативный к описанию па языке обыкновенных дифференциальных уравнений произвольной природы. Приводятся основные соотношения для вычисления канонически сопряженных переменных в криволинейных системах координат, необходимые для описания эволюции пучков частиц. Приводимые подробно соотношения являются основой для реализации алгоритмов по вычислению разложений гамильтониана по фазовым переменным [5, 9]. Примеры соответствующих разложений для конкретных примеров управляющих элементов вычислены с привлечением кодов компьютерной алгебры. В приложении к параграфу приводятся вкратце методы сведения негамильтоновых систем к гамильтоновых.
1°. Основные понятия. Практически все консервативные физические процессы могут быть описаны в терминах ' подходящего" гамильтониана, " действующего” в четномерном фазовом пространстве с некоторой заданной симплектической структурой. Динамика исследуемого процесса задается однопараметрической группой сим-плектических диффеоморфизмов ( смотри, например. [1. 35, 114]), обеспечивающих сохранение симплектической структуры фазового пространства. Известно, что такого рода группу задает гамильтоновоо векторное поле и сама группа ( совместно с фазовым пространством ) называется гамильтоновым фазовым потоком. Известно также утверждение Пуассона о существовании целого ряда интегральных инвариантов. сохраняемых гамильтоновым фазовым потоком [35]. Частным случаем этого утверждения является теорема Лиувилля о сохранении фазового объема. Огромное значение гамильтонов формализм имеет для приближенных методов теории возмущений, качественного описания эволюции сложных систем и т.п. Использование симплектической структуры фазового пространства обладает преимуществом при обеспечении свойств симметрии и каких-либо других важных свойств по сравнению с другими эквивалентными математическими формализмами. При численном моделировании эволюции динамической системы обеспечение желаемых консервативных свойств должно быть гарантировано теми алгоритмами, которые положены в основу такого моделирования. Огромное значение в связи с этим приобретают симплокти-ческие разностные схемы, которые базируются на различного рода генерирующих функциях (смотри, например, [185,186, 219-222, 225, 254, 307. 331, 334, 349]). Известно, что симплектическая структура на многообразии задается замкнутой невырожденной дифференциальной 2-формой и фазовые пространства механоподобных систем имеют естественные симплектические структуры (смотри, например [58, 114]). Га-милътоновые векторные поля на симплсктичсском многообразии образуют алгебру Ли относительно скобок Пуассона. Прежде, чем перейти к построению функции Гамильтона (гамильтониана) для интересующих нас динамических систем, следует отметить, что в случае негамильтоновых динамических систем, возможно осуществить процесс гамильтони зации и тем самым можно применять развитые в рамках гамильтонова формализма методы. В приложении Л к данной главе рассмотрены варианты процессов гамильтонизации. в частности, метод удвоения числа переменных.
- O'J'
2°. Функция Гамильтона для заряженной частицы в электромагнитном
поле. Известно [92] , что релятивистский Лагранжиан для заряженной частицы с
зарядом <7 и массой покоя т0 в электромагнитном поло имеет вид
т0с (-> -ь\
где <ру ~Х - скалярный и векторный потенциалы электрического и магнитного полей соответственно ( смотри §1.2 ). С помощью преобразования Лежандра перейдем от функции Лагранжа С к функции Гамильтона 9{ :
Н = ?-?-С, ^ = (2)
где = дС/д^?. Таким образом, функция Гамильтона имеет вид
1/2
> , (3)
П = ЯЧ>(Х, t) + с | [Р - U(X, t))’ + тУ
где А — А, X — 1гутлР=^~ векторы канонических координат и импульсов соответственно ( смотри замечание к §1.1) .
В §1.1 мы ввели системы криволинейных координат и записали уравнения движения в этих системах. Проделаем аналогичные преобразования с целью получения гамильтониана, описывающего движение частиц в такого рода системах. В качестве основного примера рассмотрим случай опорной кривой Г, лежащей на поверхности, определяемой геодезической кривизной /гв, нормальной кривизной hu и кручением /с. Остальные системы координат являются частными случаями этого примера. Используя введенные здесь обозначения и обозначения §1.1, запишем
dX — filjdz3 i k-,
где
ц\ = 1 - xhg - yhn, /4 = A = 0, ц\ = -«y,
A = 1, A - o, A = A = 0, A = (4)
Xх = s, x2 = ж, x3 = y.
Здесь мы воспользовались соотношением
(w) = (м?)‘ О*})
где значок означает транспонирование. Следует отмстить, что в отличие от gik величина А не является тензором. Компоненты скорости 1? = V = dX/dt принимают с учетом (4) следующий вид
2* L dxx . ч
(5)
Учитывая равенства 7 = (1 — У2/с2) 1?2 , V2 = д&ухик и подставляя (5) в (1), получим
£ = _тоС^1__№_^ +_Лл__<№ (6)
Вычисляя частную производную £ по хк, получим выражение для компоненты обобщенного импульса р*:
(1х3 а
Рк = ю*79гк-дГ + - А/4- (7)
Так как У, = т0с27 + уу?, то с учетом (7), получим
Н = <№ + с{&* ^р' - (р* - + т2с2| . (8)
В случае плоской кривой без кручения (Лг, = 0, к ~ 0, /гр — —Л ) имеем ц\ =
(1 + /гж), = р| = 1, /** = О, * / 1. Используя приведенные в §1.1 соотношения,
получим
р, = 7715(1 + Нх)2 + (1 4- Лж)-л„ рх=тх + -Ах, р*=ту + -Ау,
с с с
и гамильтониан (8) принимает вид ( смотри, например. [211] )
*. №+4*, (Л - ку+(Л -14+- и)’}‘Л о
Выражения для компонент вектора обобщенного импульса в общем случае принимают вид (р, = рь рх = р2, ру = р3 )
р, = 7П5 [(1 - кдх - 11п)2 + к2 (ж2 у2)) + (1 - Ь.уХ - /гму) -Л„4-
+тк (жу - уж) - - (жЛу + уАх), с
рТ = тж + - Ах - к (тпз + у, ру = ту + - « (те + ж, (10)
3°. Длина дуги з кривой Г в качестве независимой переменной. Выше мы использовали в качестве независимой переменной время I. Однако, как уже обсуждалось ранее, в физике пучков в качестве независимой переменной более предпочтительной является длина дуги з, измеряемая вдоль опорной кривой Г. Обычно переход к новой независимой переменной осуществляется исходя из принципа Гамильтона (смотри, например, [59, 315) ):
от*
Sx%) = 8х%) = 0, 6р%) = Sp%) = О,
ft(ti) = 6ЦЬ) = 0, і = 1.2,3.
Уравнения (12) могут быть переписаны с помощью соотношения сIt = (dt/ds)ds = = t'ds:
a j ds - уА = о, (12)
«і ' '
&e*(*i) = Sx\s2) = 0, 8р*{зі) = 8рг(з2) = О,
&s(si) = <fo(s2) = 0, і = 1,2,3.
Так как ж1 = 5, то dxl/ds = 1, следовательно (13) можно переписать следующим образом
S j ds j - Ht'\ =8 j ds jp, + -Ц-0, a = 2.3. (13)
*1 ^ ' '
Из (14) следует, что, если ввести обозначения
Іі = -р., ж® = Xа, /Г = pa, if = Є, р, = -К.
то можно записать
*2
£ J ds {жрх + уРу + 5(-Н) + = 0, (14)
«і
<£ж(.$і) = <fy(*i) = £S($i) = 0, 8х(з2) = <?у(а2) = ^(^2) = 0,
Spx(si) = £ft,(*i) = £(-ft)(s,) = 0,<)px(.s2) = Spv(s2) = 8(—H)(s2) = 0,
откуда уравнения движения относительно уже новой переменной з могут быть получены с помощью уравнений Лагранжа-Эйлера из вариационной задачи (15) ( значок 'в дальнейшем оставим только у функции Гамильтона ):
, он , он , он
х = —, у = —, t =
дРх' * дру' д(-ну
. дп < -у пгл
*• = = -•ж- (15)
Чтобы получить выражение для "К. разрешим (8) относительно переменной и = р1 — Ри«2 + 2иди, (р° - -с4Ак) + 9га (р" - 2^) + (/ - V>) +
оо
, 2„2 № Яф) Л
+т0с ~2-----------------= 0, (16)
а, /3 = 2,3, М = 1.2,3.
Разрешая (17), получим
с «711
(?:» (р° - *ЛАкУ ~ 9МР° ~ ~ - ™§с2 + (Н- де)2 /с2)
1/2
.<711
Так как р„ = рх = </„•/>> = рцр1 + £1ара, то
Р* = |<7и/^Л> + д1а (2рп - ±
± (;" - %г^)2 - <Ыр“ - - \№) - ™У + -с-2—-) ' • (17)
Заметим, что в равенстве (18) необходимо из двух знаков выбрать ”+”. В частном случае кд = -Л, к„ = л*. = 0 получим
я = -р, = -(1 + /«)-А,-
О
1/2
(18)
-(1 + м{ —е#- - т?с2 - (р. - ?А*)2 - (р„ - ^„)2} ,
что совпадает с известным выражением ( смотри, например, [205]).
Таким образом, функция Ч выступает в качестве новой функции Гамильтона Ч =
3) и канонически сопряженными являются пары (х,рх), [у.ру)У (£, ~Ч).
В случае магнитооптических систем ( и без учета собственного заряда ) <р = О, тогда из определения Ч можно записать
Ч = тс2 = £,
где £ - полная энергия частицы. Введем относительное изменение энергии г/ = (£ — £о)/£о (€о ~ энергия равновесной частицы ) и переменную а = —с1, тогда переходя к Ч = сН!£ъ , можно записать канонические уравнения в виде
, дЧ ч дЧ . с Х~дрх,Рх~ дх'Рх~£оР‘
OZJ
у' —
дп
дру
дП л с ,
<Эу' рУ~ еРу,(Г ~ дт/ ’
Ц = -
В частности, гамильтониан (19) примет вид
W = -(1 + М- >и-
ОН
Ост
(19)
-(1 + М {(1 +,)* -(=£)*- (а - f^)* - (а - 1а„)
1/2
(20)
Заметим, что величина £(.$) с изменением $ неограниченно растет и поэтому неудобна для использования. Введем переменную а = а + л — я — сЦз), которая описывает отклонение в некоторый момент положения в от фиктивной частицы, движущейся'* со скоростью света. Для получения окончательного вида сделаем соответствующие замены в (20) и (21):
, дП ч дП Х ~ дрх’ Рх ~ дхУ
У =
дН
дру'
Ру =
сm ду ’
(21)
а =
ЬП
дт)'
V =
дп
да
У = Ч-
и
Н= -(1+/гх)^Л,+ со
+(i+*?){i - (1+к*)
i -
(Рх jk^x) {Ру £о^и) 1
(1+7?):
т0с
1/2
.(22)
Так как (mo(?/So) -С 1, то в дальнейшем можно опустить соответствующий член в (23). Итак, канонические уравнения (22) с функцией Гамильтона (23) определяют нелинейные уравнения для так называемых синхротронно-бетатронных колебаний.
Замечание 1. Из классической теоретической механики ( смотри, например, ’59]) известно, что преобразования, аналогичные вышеприведенным, могут быть осуществлении с помощью производящих функций. Тем самым обеспечивается их каноничность. В частности, при переходе от уравнений (20) к (21) можно воспользоваться производящей функцией вида
*3(Рх,Ру* У, X, Г, а; в) = -рхХ - pyY - arj + sp + f(s),
где X = x, Y = у is. f(s) - произвольная функция необходимой степени гладкости. Тогда
0F3 я л <9F3
а = —г—, откуда а = а - s, р = dp
да
—, откуда р = 17,
‘4U~
и положив f(s) = 5, получаем уравнения (22) и гамильтониан (23). 6
Замечание 2. Так как рх — ({/£0АХ = тс/£0ух ( аналогично для у -компоненты), то можно воспользоваться тем условием, что кинетическая энергия поперечного движения пренебрежимо мала по сравнению с кинетической продольного движения, то есть имеет место условие тпсг>х/£о «С 1 и тсуу/£о < 1 . В этом случае первое слагаемое в гамильтониане, содержащее квадратный корень может быть преобразовано с помощью разложения
к=2
(2fe-3)!!t_ 1 1, 5
(2fc)ü 2 8 81
Замечание 3. Из канонических уравнений (22) следует в случае Нд = —Л, Нп = к = 0 следующие уравнения для <т, ж, у :

2 Ч 1/2
(23)
2
1/2
Откуда следует известное соотношение
й-' = 1-{(1 + Л*)2 + *'2 + »/,}1/2.
Итак, приведенные выше гамильтонианы и соответствующие канонические уравнения записаны в канонически сопряженных координатах, описывающих отклонения от некоторой опорной кривой, и соответствующих импульсов. Следует отметить, что переменная s и рл соответственно могут быть заменены на Т = s — s0, рт = Р в ~ P°t, где индекс "(Г означает, что соответствующая величина вычисляется на опорной кривой. Д
Замечание 4. Приведенные выше гамильтонианы можно обобщить на случай пространственной кривой с двумя кривизнами Ux и hy. В этом случае формулы Фрсне из §1.1 могут быть записаны в виде ( при к = 0)
dis . * -ï d i 2 , dis , /0/1ч
— = -hxt2-hyl>, = (24)