Содержание
1 Введение
3
2 Основные определения - 6
3 О топологической структуре интегрируемых гамильтоновых систем, близких к данной 10
4 Вырожденные окружности общего вида 24
5 Теоремы об глобальной устойчивости топологической структуры 41
6 Построение канонических координат в окрестности особой точки интегрируемой гамильтоновой системы 43
7 Простые гиперболические особенности пуассоновых действий 51
8 Комбинаторный комплекс Г 55
9 Алгебраическое задание комплексов Г 57
1 Введение
При изучении топологии интегрируемых гамильтоновых систем одним из основных инструментов является исследование особенностей, возникающих у рассматриваемой системы. Данная работа посвящена изучению общих свойств особых траекторий и точек интегрируемых гамильтоновых систем.
В этой работе нас будут интересовать два естественных класса возмущений. Первый класс возмущений - это когда возмущается и гамильтониан и дополнительный интеграл, при условии, что возмущенный интеграл является интегралом возмущенной системы. Этот класс возмущений называется возмущениями в сильной метрике. Можно сказать, что возмущения в сильной метрике, это фактически возмущения пуассонова действия.
Второй класс возмущений, это возмущения, которые затрагивают только гамильтониан, при условии, что возмущенная система является интегрируемой. Близость интеграла возмущенной системы и интеграла исходной системы не предусматривается. Такие возмущения называются возмущениями в слабой метрике. Фактически, эти возмущения являются ограничениям обычного понятия возмущения системы на множество гамильтонианов, допускающих дополнительный независимый интеграл.
Работа состоит из нескольких частей. В первой части изучается поведение топологической структуры при возмущении в слабой метрике. Основной результат этой части состоит в том, что несмотря на то, что интегрируемые гамильтоновы системы при возмущении в слабой метрике не являются структурно устойчивыми ни в каком смысле, тем не менее, топологическая структура возмущенной системы "помнит" топологическую структуру исходной системы, являясь в некотором смысле усложнением последней. Кроме того, в этой части приведен пример возмущения, возникновения при котором возникает замкнутая траектория с отрицательными мультипликаторами.
Конкретные примеры интегрируемых гамильтоновых систем показывают, что при изменении значения гамильтониана, топологическая структура системы на изоэнергетической поверхности ф/, может меняться. Это изменение связано с появлением, видоизменением сингулярных слоев слоения Лиувилля и происходит "скачком" на уровне
3
энергии, который может и не быть критическим, а содержать, например, вырожденную окружность. Учитывая топологическую устойчивость невырожденных окружностей, мы приходим к выводу, что вырожденные окружности нельзя убрать малым шевелением системы со всего симплектического многообразия.
Вопрос об изучении неботтовских (вырожденных) особенностей был поднят А.Т. Фоменко и B.C. Матвеевым в [9], где было дано определение ручного интеграла и ручных особенностей. Основной результат, полученный для ручных систем заключался в том, что класс изоэнсргетических многообразий интегрируемых гамильтоновых систем не расширяется при замене невырожденных интегралов на более широкий класс ручных интегралов. Вопрос о вырожденных окружностях по-видимому впервые в явном виде затрагивался в [17] А.В.Болсиновым, а в [11] О.Е. Орел была получена топологическая классификация систем в окрестности минимаксной вырожденной окружности.
Мы же поставим этот вопрос несколько иначе. Мы будем изучать топологически устойчивые вырожденные окружности, которые не исчезают при малом возмущении гамильтониана и интеграла, и топология системы в их окрестности не меняется при этом возмущении. В [8] Лерман Л.М. и Уманский Я.Л. предъявили один тип топологически устойчивой вырожденной окружности. Мы предъявим бесконечную серию таких окружностей, изучим топологию систем в их окрестности, докажем их топологическую устойчивость и при дополнительном условии покажем, что остальные вырожденные особенности устранимы.
Вырожденные окружности общего вида тесным образом связаны с семействами общего положения эквивариантных функций от двух переменных, где инвариантность естественным образом возникает в связи с приведением первых членов системы к нормальной форме Бирк-гофа.
В качестве приложения полученных результатов, а также результатов об устойчивости невырожденных особенностей мы сформулируем теорему об устойчивости топологической структуры на симплектиче-ском многообразии. При условии, что все вырожденные окружности общего вида, а также если интегрируемая система удовлетворяет условию, аналогичному условию простоты для функций Морса, то при до-
4
статочно малом возмущении этой системы в сильной метрике возмущенная система останется топологически эквивалентной кевозмущен-ной системе. Строгая формулировка и доказательство этой теоремы содержится в параграфе о.
Третья часть работы посвящена изучению поведения систем в окрестности невырожденных точек. Доказывается теорема о приведении аналитической системы к нормальной форме в окрестности невырожденной точки. Этот факт является следствием результатов, полученных Х.Ито о сходимости нормализующей последовательности для интегрируемых комплексно-аналитических систем. Аналогичный по духу результат получен также Л.Х. ЭлиассономрО]' для гладких систем, однако имеющиеся работы вызывают некоторые вопросы. Данный результат важен для изучения топологической структуры из-за того, что из него следует то, что системы в окрестности невырожденной точки топологически эквивалентны, если неподвижные точки имеют один и тот же тип, то есть число эллиптических, гиперболический компонент и компонент типа фокус-фокус одинаково. В частности, в окрестности полностью гиперболических точек системы локально топологически эквивалентны. Тем не менее, системы в окрестности сингулярного слоя, содержащего гиперболическую точку могут быть топологически неэквивалентными. Например, сами сингулярные слои могут быть различными. В третьей части исследуется структура систем с окрестности сингулярного слоя, содержащего одну гиперболическую точку. Доказывается теорема о том, что сингулярный слой определяет топологию системы в своей окрестности. Приводится классификация таких слоев для систем с тремя степенями свободы. Кроме того, показано, что классификация сингулярных слоев для многих степеней свободы в некотором смысле сводится к классификации для случая трех степеней свободы.
Автор выражает искреннюю признательность своим руководителям А.Т. Фоменко и A.B. Волсинову за постановку задач, интерес к работе и поддержку. Автор также благодарен Р.Кушману, Л.М. Лер-ману за полезные замечания.
5
2 Основные определения
Все объекты ниже, если ото не оговорено особо, будут считаться класса С°°. Пусть (М4,ш) — четырехмерное симплектическое многообразие, Н : М4 —> R — гамильтониан. Соответствующее гамильтоново векторное поле sgrad Н определяется из условия
u>(sgrad Я, £) = £(#)
для любого вектора £ € ТХМА.
Предположим, что соответствующая гамильтонова система v = sgrad Н интегрируема по Лиувиллю. Это подразумевает существование дополнительного независимого интеграла F.
Наличие дополнительного интеграла означает, что задано пуассоно-во действие плоскости R2. Элемент (£i,£2) С R2 соответствует действию днм о дРм, где gc,t обозначает сдвиг вдоль векторного поля sgrad G для функции G. Среди всех интегралов особую роль играю периодические интегралы.
Определение 1 Интеграл F называется периодическим, если все интегральные траектории векторного поля sgradF замкнуты и не тривиальны.
Периодический интеграл, вообще говоря, может и не существовать глобально.
Определение 2 Отображение р : М4 —► R2, определяемое по правилу
/*(*) = (Я(a), F(x)) е R2
называется отображение^н момента.
В дальнейшем мы будем считать, что для любого г € R2, множество р~1(г) компактно.
Определение 3 Критическим множеством К С МА называется множество критических точек отображения момента р:
К = {х 6 МЛ | rank(dpx) < 2}.
6
- Київ+380960830922