Осреднение нестационарных уравнений с сильно изменяющимися коэффициентами

ОГЛАВЛЕНИЕ
Введение
Глава 1. Общие принципы построения асимптотических разложений решений уравнений с: периодическими быстроосииллирующими коэффициентами §1.1. Алгоритм построения асимптотических разложении решений эллиптических уравнений §1.2. Эллиптические уравнения дивергентного вида произвольного порядка §1.3. Примеры Глава 2. Осреднение параболических уравнений с сильно изменяющимися коэффициентами §2.1. Постановка задачи. Теоремы об оценках §2.2. Вспомогательные леммы §2.3. Доказательство теорем 2.1 - 2.3 §2.4. Доказательство следствий 2.1 - 2.3 Глава 3. Осреднение системы уравнений теории упругости с сильно изменяющимися коэффициентами §3.1. Постановка задачи. Теоремы об оценках §3.2. Вспомогательные леммы §3.3. Построение начальных членов асимптотики §3.4. Доказательство теорем 3.1 -3.8 Глава 4. Осреднение нестационарной системы Стокса в перфорированной области
§4.1. Постановка задачи. Теоремы о сходимости решений §4.2. Вспомогательные леммы §4.3. Доказательство теорем 4.1 - 4.7 Глава 5. Осреднение системы уравнений акустики в перфорированной области
§5.1. Постановка задачи. Теоремы о сходимости решений §5.2. Вспомогательные леммы §5.3. Доказательство теорем 5.1 - 5.4 Список литературы
ВВЕДЕНИЕ
Настоящая работа посвящена математическому исследованию дифференциальных уравнений в частных производных с сильно изменяющимися быстроосциллирующими коэффициентами. Такие уравнения описывают разнообразные физические процессы в микронеоднород-ных средах. Под такими средами обычно понимают среды, состоящие из многократно чередующихся объемов веществ с сильно различающимися физическими свойствами. Примером таких сред могут служить композиционные материалы, используемые в различных областях науки и техники. При математическом описании микронеоднородных сред, как правило, предполагается наличие у таких сред некоторой упорядоченной структуры. Предполагается также, что е, масштаб неоднородности среды, имеет малый порядок по сравнению с характерным размером области, занимаемой рассматриваемой средой.
Коэффициенты исследуемых уравнений задаются функциями вида а(х/е)у описывающими локальные характеристики микронеоднородных сред. В соответствии с предположениями об упорядоченности функция а(у) может быть периодической, квазипериодической или принадлежать другому определенному классу. При малом € такие коэффициенты являются быстроосциллирующими, что чрезвычайно усложняет практический расчет характеристик микронеоднородных сред. По этой причине возникает естественная математическая задала исследования асимптотических по е свойств решений таких уравнений.
За последние четверть века такой асимптотический анализ был проведен для определенных классов эллиптических уравнений в частных производных и соответствующих нестационарных аналогов таких уравнений. Оказалось, что для рассмотренных классов решения подходящих краевых задач для уравнения с: быстроосциллирующими коэффициентами сходятся в соответствующем пространстве При £ — > О к решению однозначно определенной краевой задачи для уравнения с постоянными коэффициентами. Такие уравнения с постоянными коэффициентами описывают ’’осредненные” или ’’эффективные” свойства
3
ВВЕДЕНИЕ
4
микронеоднороднои среды и поэтому называются осредненными или усредненными уравнениями.
Наиболее полные результаты в этом направлении получены для линейных уравнений и систем дивергентного вида с периодическими бы-строосциллирующими коэффициентами. Для таких уравнений второго порядка были построены асимптотические по е разложения решений и доказаны оценки близости между точным решением и полученным разложением. Главным слагаемым этого разложения являлось решение осредненного уравнения. Построение нескольких слагаемых такого разложения позволяет определить не только осредненные характеристики, но и микроструктуру полей в микронеоднороднои среде (например, полей напряжений или тепловых полей в композиционном материале). Это дает более полное представление о физических процессах, протекающих в микронеоднородных средах.
Вопрос о вычислении осредненных характеристик для уравнений в частных производных имеет давнюю историю и ставился еще в классических работах Пуассона, Максвелла, Рэлея, Фойгта, Рейсса. Аналогичный вопрос для обыкновенных дифференциальных уравнений ассоциируется с: методами нелинейной механики, развитыми в трудах Пуанкаре, Ван дер Поля. Крылова, Боголюбова, Митропольского и многих других исследователей. Первые строгие математические результаты для линейных уравнении в частных производных второго порядка дивергентного вида с периодическими быстрооспиллирующими коэффициентами были получены в работах [4,5,102,103,111].
В работах Н. С. Бахвалова [4,5] получены начальные члены асимптотических разложений и доказаны соответствующие опенки для эллиптических уравнений второго порядка дивергентного вида и их нестационарных аналогов - уравнений параболического и гиперболического типа. Результаты этих работ обобщены и систематизированы в книге Н. С. Бахвалова и Г. П. Панасенко [9]. Аналогичным вопросам для таких уравнений посвящены также работы А. Бенсуссана, Ж.-Л. Ли-онса и Г. Папаниколау [102,103], развернутое изложение этих работ и соответствующие обобщения приведены в книгах [104] и [129].
В отличии от работ [4,5], в которых при обосновании полученных разложений доказываются оценки разности между точным решением рассматриваемого уравнения и полученным разложением, в работах [102,103] доказывается только сходимость в соответствующем про-
ВВЕДЕНИЕ
5
странствс точного решения к главному слагаемому разложения - решению осредненного уравнения. В этом отношении результаты работ [4,5] ''точнее’’ результатов работ [102,103]. С другой стороны, при доказательстве только сходимости требуются более слабые условия регулярности начальных данных для рассматриваемого уравнения. Кроме того, результаты о сходимости были обобщены в книгах [104], [129] и на другие классы задач с быстроосциллирующими коэффициентами (вариационные неравенства, некоторые нелинейные уравнения), соответствующие оценки для которых пока не получены.
Методы построения асимптотических разложений для некоторых задач механики микронеоднородных сред были предложены также в работах В. Л. Бердичевского [21] и Э. Санчее-Паленсии [145] и развиты далее в книгах [22] и [78]. В книге [78] приводятся также и некоторые утверждения о сходимости решений соответствующих уравнений.
Впервые доказательство теоремы о сходимости решений уравнения второго порядка с периодическими быстроосциллирующими коэффициентами, основанное на теории С-сходимости дифференциальных операторов в частных производных, было дано в работе Е. Де Джорджи и С. Спаньоло [111]. Общие результаты по С -сходимости дифференциальных операторов произвольного порядка дивергентного вида и второго порядка недивергентного вида получены в работах [36,38—40] и приведены в книге В. В. Жикова, С. М. Козлова и О. А. Олейник [37]. Для системы уравнений теории упругости такие результаты представлены в книге О. А. Олейник, Г. А. Иосифьяна и А. С. Шамаева [54]. В этих книгах приведены также доказательства соответствующих оценок точности для уравнений и систем второго порядка с периодическими быстроосциллирующими коэффициентами и рассмотрены некоторые спектральные задачи для таких уравнений.
Большинство отмеченных выше результатов получено для линейных уравнений и систем. Эти результаты нашли эффективное применение в механике композиционных материалов (см., например, [9,32,48,58]). Методы построения асимптотических разложений для некоторых нелинейных уравнений и систем предложены в работах [6,8,9,22,57,78]. Доказательство утверждений о сходимости решений таких уравнений, основанное на теории Г-сходимости для вариационных задач и теории двухмасштабной сходимости, даны в [37,104—106.151]. Однако, эти общие теории сходимости, развитые в работах [37,93,94,96,137,151], при-
ВВЕДЕНИЕ
б
менимы пока для доказательства сходимости решении достаточно узкого класса нелинейных уравнений в частных производных.
Вопросы вычисления осредненных характеристик для систем уравнений гидродинамики микронеоднородных сред с периодической структурой рассматривались в работах [7,11-14,112-115,123-126]. Аналогичным вопросам для стационарных задач фильтрации в периодических пористых средах посвящены работы [29.34,88,01,120,131,134,141]. Нестационарные задачи фильтрации в пористых средах рассматривались в работах [17,72,74,86,87,92,135,136,148,149]. Основным результатом этих работ является математический вывод и обоснование закона Дарси, экспериментально полученного и широко используемого в теории фильтрации. На квазипериодические и случайные пористые среды этот результат обобщен в работах [20,100,101,143,144].
В работах [62—64,95,107—11 ОД32,138—140,146] получены осредненные уравнения для систем уравнений гидродинамики суспензий и смесей жидкостей. Аналогичные уравнения для задач с малым объемом включений выведены в работах [89,90,127,147]. Первые математические результаты для задач с малым объемом включений представлены в книге В. А. Марченко и Е. Я. Хруслова [52]. Для системы уравнений теории упругости с периодическими коэффициентами и малой концентрацией одной из фаз аналогичные результаты получены в работах Н. С. Бахвалова, Г. П. Панасенко и М. Э. Эглит [10,16,18,19,98,99].
Начальные члены асимптотических разложений решений различных задач гидродинамики построены в книге Э. Санчес-Паленсии [78]. В этой же книге отмечено, что много вопросов в этой области остаются открытыми, в частности, сходимость решений таких задач и влияние дополнительных малых параметров, характеризующих различные физические величины (например, плотность и вязкость), на сходимость решений и вид осредненных уравнений. Аналогичные вопросы о влиянии дополнительных малых параметров на вид осредненных уравнений для задач диффузии и упругости ставились в книге Н. С. Бахвалова и Г. П. Панасенко [9]. Таким образом возникают естественные математические задачи исследования асимптотических по нескольким малым параметрам свойств решений таких уравнений и систем. Общие строго математические результаты в этом направлении практически отсутствовали п таким задачам диффузии, упругости и гидродинамики с несколькими малыми параметрами посвящена настоящая работа.
ВВЕДЕНИЕ 7
Проблема математического исследования асимптотического поведения решений некоторой задачи с малыми параметрами обычно разбивается условно на две части: построение формального асимптотического разложения и обоснование этого построенного разложения. В $ 1.1 первой главы данной работы описаны общие принципы построения формальных асимптотических разложений решений эллиптических уравнений с периодическими быстроосциллирующими коэффициентами. Эти принципы позволяют глубже понять общую картину получения осред-ненных уравнений и полезны при рассмотрении конкретных примеров. Для уравнений дивергентного вида произвольного порядка и для некоторых уравнений недивергентного вида построенные в §1.1 асимптотические разложения обосновываются в § 1.2 и § 1.3 первой главы.
Сформулированные в этой главе общие принципы использовались и для построения начальных слагаемых асимптотических разложений решений уравнений диффузии, упругости и гидродинамики с несколькими малыми параметрами. Теоремы, обосновывающие эти построения. доказаны в главах 2 - 5 настоящей работы. Следует также отметить, что все известные до сих пор примеры построения асимптотических разложений решений линейных эллиптических уравнений с периодическими быстроосциллирующими коэффициентами охватываются приведенным в §1.1 алгоритмом и обоснование этих построений можно перенести, например, из работ [9.37,54.78.104,129].
В частном случае оператора сдвига, рассматриваемого как псевдо-дифференциальный оператор, предложенный в §1.1 алгоритм построения асимптотических разложении приводит к разложению Тейлора гладких функций. Кроме того, ограничение этого алгоритма построения асимптотических разложений на обыкновенные дифференциальные уравнения с периодическими возмущениями совпадает с методом Крылова, Боголюбова и Митропольского. Теоремы, обосновывающие этот метод, достаточно хорошо известны и приведены, например, в работах [26,81].
Алгоритм построения начальных членов асимптотического разложения решений уравнения с периодическими быстроосциллирующими коэффициентами хорошо известен для следующего примера.
Пусть для п ^ 2 заданы ограниченная область П С П&п с гладкой (класса С°°) границей и гладкая функция f £ Со°(П). Определим функцию и как решение задачи Дирихле для уравнения дивергентного
ВВЕДЕНИЕ
8
видя второго порядка:
дь. (alf.dk и) = / в О, и = 0 на <90. (0.1)
зависящей от малого положительного параметра £ следующим образом.
Для /г, к = 1,..., п коэффициенты этого уравнения имеют вид а\к — анк(х/£), где а^(у) являются Апериодическими ограниченными (почти всюду) функциями на Еп. Здесь и далее <9/„. обозначают соответствующие частные производные по Апериодичность функции означает периодичность этой функции с периодом 1 по каждому к = 1,..., п, и принято соглашение о суммировании по повторяющимся индексам Н и к от 1 до п. Предполагается также, что для коэффициентов уравнения (0.1) выполнены условия симметрии а^(у) = акь(у) и равномерной эллиптичности:
где Со и Сх заданные положительные постоянные и У" = (0,1)п обозначает ячейку периодичности.
Пусть для р=1,...,п функции ЛтР(у) являются Апериодическими решениями уравнений:
которые принято называть задачами на ячейке. Определим для = 1,.... п постоянные апр равенствами
Известно [9,104]. что постоянные а(,р образуют положительно опре-деленную матрицу и поэтому однозначно определено решение V задачи Дирихле для осредненного уравнения с постоянными коэффициентами:
Основным результатом работ [9,37,54,78,104,1*29] для задачи (0.1) при малых Е являются оценки
Со && ^ аі,.к(у)£ь£к < Сі ддя у Є V и (£ь... ,£„) € К“, (0.2)
/' с)
Nl>) = I (аПр(у) + «<7*.■(.'/) Щу)) */• (0-4)
ді, (аі,к 9к у ) = / в О, V = 0 на <9П. (0.5)
(0.6)
ВВЕДЕНИЕ
9
где постоянная С не зависит от є и «і = V + є Агк{х/є) обозначает два слагаемых асимптотического разложения решения задачи (0.1). Можно построить и следующие слагаемые этого разложения, но это не улучшает оценки (0.6), что связано с краевыми эффектами в задаче (0.1) вблизи границы д£1.
Таким образом, решение задачи (0.1) для уравнения с быстроосцил-лирующими коэффициентами достаточно хорошо приближается при малых є решением задачи (0.5) для уравнения с постоянными коэффициентами. Однако, возникли определенные трудности при обобщении методов построения и обоснования асимптотических разложений решений задачи (0.1) на задачу Дирихле для уравнения второго порядка:
ди (аьк(х/є)дки) + є~1ак(х/є)дки + є~2а0(х/є)и =
(0.7)
= / в П, и = 0 на дії.
Частные случаи задачи (0.7) для 1-периодических функций ан.к(у), о>к(у),^о{у) при /і,к = 1,... ,п рассматривались в работах [40,59,104,129]. В этих же работах ставился вопрос об исследовании асимптотических свойств решений задачи (0.7) в общем случае. Формулируемые в §1.1 первой главы общие принципы построения асимптотических разложений проясняют причины возникновения этих трудностей и дают возможность построит асимптотику решений задачи (0.7). Конкретные примеры построения и обоснования таких асимптотических разложений приведены в §1.3 первой главы.
В §1.1 настоящей работы рассматриваются аналоги задач (0.1) и (0.7) для дифференциальных операторов произвольного порядка с эллиптической главной частью и периодическими быстроосциллирую-щими коэффициентами. Конкретный вид таких задач определяется следующим образом.
Пусть для п ^ 2 заданы четное целое т ^ 0, ограниченная область ІЇ С Ш:п с гладкой (класса С°°) границей и гладкая финитная функция / Є Со°(П). Будем обозначать через а = (аь... ,а„) мультииндексы с целочисленными неотрицательными компонентами с |а | = с\к и В* = В"1... В%п, где Вк = г“1 дк для к = 1,..., п и г = \/=Т. Определим функцию и как решение задачи Дирихле для дифференциального
ВВЕДЕНИЕ
10
уравнения в частных производных порядка т:
Ре(х/е, Вх)и{х) = а(х/е) }{х) в П, д*и{х) — 0 на дП.
Ре(х/е,Вх)и(х) = £~т ^ еааа(х/е)П%и(х), (0*$)
|ог|^т
где с является малым положительным параметром, .5 = 0,..., т/2 — 1, £а = е!а1 и ди обозначает производную по нормали и к границе сЮ.
Для каждого а с |а| ^ т коэффициенты ап(у) и а(у) уравнения (0.1) являются гладкими Апериодическими функциями класса С°°(Ш.п). Предполагается, что для главной части дифференциального оператора Ре задачи fO.cS) выполнено условие эллиптичности:
Е а<*(у) ^ 0 для У € и £ е \ °> (о 9)
|а|=т
где 1... для £ = (£],..., £п) £ . Предполагается также,
что для достаточно малого фиксированного в однозначно определенное решение задачи (0.8) существует и принадлежит пространству Собо-лева Я0п,/2(П).
Асимптотическое разложение решения задачи (0.8) определяется в §1.1 в виде асимптотической суммы:
I
К =23 ^ (Е **». (*/£) «?* (*)) - (ою)
—О ОМ
где р и / обозначают целые числа с 1)0 и {08} является некоторым конечным множеством мультииндексов.
Для определения составляющих этой асимптотической суммы используется следующее разложение оператора Ре(х/£,ВХ) задачи (0.8):
реи\, = ^23^ Е ъ(^. (*/*)«?•(*)) =
*=° <А> (0.11)
= ^-МЕЕ( Е£/?[Р'\у,Оу)М1{У)}Д*«Л(*)//3!)
*=0 {Л} !Жт
ВВЕДЕНИЕ
11
при у = х/s, где учтена обобщенная формула Лейбница и через Р)3 = P\(y,Dy) обозначен дифференциальный оператор порядка т— |/?|, соответствующий символу Рг(х/ё,0 = р.(х/е, £) При 6=1 II £ £ Мп.
Функции н^5(.т) и 1-лериодические функции д- {у) в разложении (0.10) естественно выбрать так чтобы уравнение
Pc(x/e,Dx)ulp(x) = a(x/e)f(x) в Q (0.12)
выполнялось с наибольшей точностью по малому параметру г.
В простейшем случае обратимости оператора P(y)Dv), рассматриваемого как дифференциальный оператор на 1-периодических функциях. для выполнения (0.12) достаточно выбрать р = т и приравнять коэффициенты при одинаковых степенях £ к нулю. Тогда, в соответствии с (0.11), получаем равенства
У] [Р(У) Dy) Nj>k(y)] и$’(х) = a(y)f(x),
Ш (0.13)
Е №(»)]«?'(*)+ Е Z [PVNtMD^M/pl = 0.
Ш (АШ=1
Для выполнения первого из этих равенств достаточно выбрать
{А)} = {0}, ио(х) = f(x) и определить гладкую функцию Nffty) как
] -периодическое решение уравнения
P{y,Dy)N°(y) = п(у), (0.14)
которое естественно назвать задачей на ячейке. Для выполнения второго равенства из (0.13) достаточно выбрать {р1} = {,в = (А,.. •, вп) ’• \Р\ — 1}, U)1 (х) = D'/.] f(x)/fh I и определить для каждого ft £ {в\} гладкую функцию N/(y) как 1-периодическое решение уравнения
Р(у, Dy) Nl0(y) = -Р0К(у). (0.15)
Аналогично определяются другие составляющие разложения (0.10) и построение завершается индукцией по s.
ВВЕДЕНИЕ
12
Таким образом, построенное асимптотическое разложение
и‘р = e™N*(xje) f(x) + е"*1 X] Nfe/є) D? f(x)/f}\ +... (0Л6)
101= J
удовлетворяет граничным условиям из (0.8) и удовлетворяет уравнению (0.12) с точностью до 0(є/+1), где 0( •) вычисляется, например, в норме пространства С'°(П).
В общем случае оператор P(y,Dv), рассматриваемый на I-периодических функциях, является фредгольмовым и приведенное построение разложения (0.10) несколько усложняется. Прежде всего, в качестве 1-периодических функции Л%(?)) из (0.10) следует выбрать образующие ядра оператора P(y,Dy). Тогда, приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях є в (0.12) к нулю, получаем осредненные уравнения С ПОСТОЯННЫМИ коэффициентами ДЛЯ функций (х) из условий разрешимости соответствующих задач на ячейках (типа задач (0.14) и (0.15)). Дальнейшим подробностям этих построений и посвящен §1.1.
В § 1.2 алгоритм построения асимптотических разложений из §1.1 применен к эллиптическим уравнениям дивергентного вида с периодическими быстроосциллирующими коэффициентами. Для построенного асимптотического разложения доказаны оценки точности, аналогичные оценкам (0.6). Для точной формулировки этих оценок понадобятся некоторые дополнительные обозначения.
Для заданного целого г > 0 определим функцию и как решение задачи Дирихле для дифференциального уравнения в частных производных дивергентного вида порядка 2г :
Щ (aay(x/s)D2 и(х)) = а(х/є) f(x) в П,
Н,|7|=г (0.17)
at и(х) — 0 на Ш для s = 0,..., г — 1,
где є является малым положительным параметром и использованы обозначения, введенные для задачи (0.8). Предполагается, что коэффициенты сіау(у) и а (у) уравнения (0.17) являются 1-периодическими функциями класса C°°(Rn). Предполагается также, что для дифференциального оператора Рє задачи (0.17) выполнено условие эллиптичности:
Y, «о-уЫГГ > со иг для у € R" я *6Rn, (0 18)
|а|,|7|=г
ПВЕДЕНИЕ
13
где с0 заданная положительная постоянная.
Пусть функции Лгя(?/) являются 1-перподпческимн решениями уравнений:
Р(У, &у) М/*(у) = а*ЖУ) ПРИ 1^1 = Г1
М=г
где через Р(у,Г>у) обозначен оператор Р€ задачи (0.17) при е = 1. Определим для мультииндексов а и р постоянные Ла0 равенствами
А„р = ( ап0 + У] } при |а| = \(1\ - г.
\х\=Г
Известно [37,104], что постоянные Аар удовлетворяют условию эллиптичности (0.18) и поэтому однозначно определено достаточно гладкое решение V задачи Дирихле для осредненного уравнения с постоянными коэффициентами:
£ = <«>/(*) в п,
\*Ш\=г (0.19)
д* ь(х) = 0 на дП для 5 = 0,..., г — 1.
Решение этой задачи определяет главное слагаемое разложения (0.10) для решения задачи (0.17). В § 1.2 построены и дальнейшие слагаемые разложения (0.10), что позволило доказать следующее утверждение.
Теорема 1.1. Пусть и является решением задачи (0.17) и V -решение задачи (0.19). Тогда
4 “ У II ^ Сб,
где постоянная С не зависит от е.
Задача (0.17) рассматривалась в работах [37,38,104]. В этих работах доказана сильная сходимость при £ 0 решения задачи (0.17) к
решению задачи (0.19) в пространстве Т'“(П). Таким образом, оценка теоремы 1.1 уточняет результаты этих работ, гарантируя соответствующую скорость сходимости при £ -» 0. Оценки такого типа являются существенными при численном нахождении решений задачи (0.17).
ВВЕДЕНИЕ
14
В §1.3 алгоритм построения асимптотических разложений из §1.1 применен к некоторым модельным эллиптическим уравнениям с периодическими быстроосциллирующими коэффициентами. Для построенных асимптотических разложении доказаны оценки точности, обосновывающие эти разложения.
Пусть для п = 2 функция и является решением задачи Дирихле для уравнения второго порядка:
-Л г/. + е~1аПх1е) 3* и -Ь е“2ао(х/е) и =
(0.20)
= а(х/е) / в £2, и = 0 на #£2,
где А обозначает оператор Лапласа и использованы обозначения, введенные для задачи (0.8). Предполагается, что для к = 0,1,2 коэффициенты а^(у) н а(у) уравнения (0.20) являются Апериодическими функциями класса С°°(К2), удовлетворяющими условиям:
дукак(у) < <"о и Со < Оо(у) для у 6 М2, (0.21)
где со заданная положительная постоянная. Таким образом, задача (0.20) является частным случаем задачи (0.7).
Асимптотическое разложение решения задачи (0.20) определяется равенством (0.16). В этом равенстве, например, функция Аг§(у) определяется как Апериодические решение уравнения
~ауК(у) + ак{у)дУкК(у) + «оЫ-^оЫ = а(у).
В силу предположения (0.21) достаточно гладкое решение 1УЦ(у) этого уравнения определено однозначно. В §1.3 построены дальнейшие слагаемые разложения (0.10) и доказано следующее утверждение.
Теорема 1.2. Пусть и является решением задачи (0.20) и выполнены неравенства (0.21). Тогда
II и - Л\Г0°(х/е)/(ж) ||^2(П) < Се3,
где постоянная С не зависит от е.
Пусть для п — 2 функция и является решением задачи Дирихле для уравнения второго порядка:
— А и 4- е~1Ьо(х/е) и — а(х/с)}' в £2, и = 0 на Ш,
(0/22)
ВВЕДЕНИЕ
15
где использованы обозначения, введенные для задачи (0.8). Предполагается, что коэффициент Ь0(у) уравнения (0.22) является 1-перио-дической функцией класса С°°(К2), удовлетворяющей условию:
со ^ Ь0(у) для у е И2, (0.23)
где с0 заданная положительная постоянная.
В § 1.3 построено разложение (0.10) для решения задачи (0.22) и доказано следующее утверждение.
Теорема 1.3. Пусть и является решением задачи (0.22) и выполнено неравенство (0.23). гГогда
I! « - ^ («)(М"7 ||*.(й, < Се’
где постоянная С не зависит от е.
Задача (0.22) рассматривалась в работе [104] при условии, что (Ьо) — 0. В этой работе доказана сильная сходимость в Ь2(С1) при е 0 решения задачи (0.22) к решению однородной задачи Дирихле для осредненного уравнения второго порядка. В этой же работе отмечено предположение о невозможности получения осредненного уравнения второго порядка для задачи (0.22) в случае <М#0. Таким образом, оценка теоремы 1.3 подтверждает это предположение, поскольку в условиях этой теоремы (Ьо ) ф 0 и осредненное уравнение для задачи (0.22) имеет нулевой порядок.
В § 1.3 построено разложение (0.10) и для недивергентных уравнений второго порядка. Определим для п ^ 2 функцию и как решение задачи Дирихле для уравнения второго порядка:
«л.к{х/е) д,Л и = а(х/е) / в П,
гх = 0 на <90, ( '
где использованы обозначения, введенные для задачи (0.8). Предполагается, что для й, к = 1,...,п коэффициенты аьь(у) и а (у) уравнения (0.24) являются 1-периодическими функциями класса С°°(КП), удовлетворяющими условию эллиптичности (0.2).
Пусть функция М(у) является 1-периодическим решением уравнения
дУкдУ1,{акк(у) М{у)) = 0.
ВВЕДЕНИЕ
16
Известно [37], [104], что решение этого уравнения, удовлетворяющее условиям (М) = 1 и М > 0, определено однозначно. Следовательно, однозначно определено достаточно гладкое решение V задачи Дирихле для осредненного уравнения с постоянными коэффициентами:
(аккМ)д11дку{х) = (aM)f{x) в П,
V = 0 на Ш. (0'25)
Решение этой задачи определяет главное слагаемое разложения (0.10) для решения задачи (0.24). В § 1.3 построены и дальнейшие слагаемые разложения (0.10), что позволило доказать следующее утверждение.
Теорема 1.4. Пусть и является решением задачи (0.24) и г) '-решение задачи (0.25). Тогда
п ~ у 11с'°($7) ^ ^ е» где постоянная С не зависит от е. .
Задача (0.24) рассматривалась в работах [37,39,104,129]. В этих работах доказана сильная сходимость при е —» 0 решения задачи (0.24) к решению задачи (0.25) в пространстве Т2(П). Таким образом, оценка теоремы 1.4 уточняет результаты этих работ, гарантируя соответствующую скорость сходимости при £ -» 0.
В §1.3 построено разложение (0.10) и для эллиптических уравнений с постоянными коэффициентами. Определим для п ^ 2 функцию и как решение задачи Дирихле для уравнения с постоянными коэффициентами порядка тп :
ап П^и(х) — а(х/б)/(х) в П,
М^т (0.26)
д* и(х) = 0 на <9П для 5 = 0,..., т/2 - 1,
где использованы обозначения, введенные для задачи (0.8), и а(у) является 1-периодической функцией класса С°°(ЕП). Предполагается, что для главной части дифференциального оператора Ре задачи (0.26) выполнено условие эллиптичности (0.9). Предполагается также, что однозначно определенное решение задачи (0.26) существует и удовлетворяет неравенству
и
Н”'(П) ^ ^ || а/ ||/Д(Я)
ВВЕДЕНИЕ
17
с постоянной С не зависящей от е.
В рассматриваемом случае однозначно определено достаточно гладкое решение V задачи Дирихле для оередненного уравнения с постоянными коэффициентами:
и в §1.3 доказано следующее утверждение.
Теорема 1.5. Пусть и является решением задачи (0.26) и V - решение задачи (0.27). Тогда
где постоянная С не зависит от е.
Приведенная оценка теоремы 1.5 подтверждает естественность построения асимптотических разложений (0.10). В соответствии с (0.27)
для получения осреднением задачи для эллиптического уравнения с постоянными коэффициентами следует вычислить среднее от правой части этого уравнения по ’’быстроосциллирующим” переменным. Про-
стейшим одномерным эллиптическим оператором является оператор дифференцирования и приведенный рецепт приводит к ”усредненной” задаче метода Боголюбова-Митропольского для такого оператора с периодическими возмущениями.
Во второй главе рассматриваются нестационарные параболические уравнения с коэффициентами, зависящими от двух малых положительных параметров ей. о. Параметр мелкомасштабно сти е задает период коэффициентов таких уравнений, а параметр контрастности о характеризует отношение минимального и максимального значений коэффициентов проводимости. Начально-краевые задачи для этих уравнений моделирует диффузию в среде с включениями, имеющими малую проводимость и расположенными периодическим образом с периодом е. Предполагается, что при е —> 0 выполнены соотношение о -» 0 и одно
У" апО*у(х) = (а)/(х) в П.
(0.27)
д'1 у(х) = 0 на дО для = 0,... ,га/2 - 1
| ?/. — V
из следующих трех условии:
сг/е2 —> оо, а/е2 -» д, а/е~ —^ 0,
(0.28)
(0.29)
(0.30)
ВВЕДЕНИЕ
18
где 0 заданная положительная постоянная.
Пусть для п > 2 заданы ограниченная область П С К." с гладкой (класса С°°) границей, положительное Т, финитные в Г2 и гладкие функции /, д € С'о°([0,Т] х 12) и гс Е С£° (Г2). Определим функцию и как решение начально-краевой задачи:
т£и\ — сНу А*(V« + аеи + Ьед) + к*V?/. = ге/ в 12 х (О, Т),
, ‘ (0.31)
и = 0 на д!2 х (0.Т), И*=о = п) в
зависящей от двух малых положительных параметров £ и <7, следующим образом.
Пусть Г\ являетс я 1-периодическим открытым связным подмножеством Мп с границей класса С2, .Го = П£”\Г1 является (не обязательно связным) множеством с границей класса С2 и Ге = еРу = {бд:,а* = (я?!,... ухп) Е Р\ }. Здесь и далее 1-периодичность множества означает периодичность характеристической функции этого множества с периодом 1 по каждому Хь, к = 1,... , п. Таким образом, У = (0.1)п является ячейкой периодичности и множества Рх, То вполне определяются множествами У\ = У ПРу и У0 = У ПГо. Предполагается, что эти множества имеют положительные меры Лебега в Еп. Кроме того, отождествляя противоположные грани У, множества У\ и Уо можно также рассматривать как подмногообразия тора с общей границей (класса С1):
д\\ = ду0 = 5.
Матричнозначная функция А? и вектор-функция кУ в (0.31) зависят от е и а:
А* = А] (х/е), К = *1 («А) * Я! = Й П Г£,
4£ = стАо(х/е), А£ = ок^(х/е) в Г2§ = Г2\12{.
Предполагается, что компоненты матричнозначных функций .41 (/у), /1о(?у) и вектор-функций Л: 1 (у/), А;о (у) являются Апериодическими ограниченными функциями на Г1 и Го соответственно. Кроме того, А\(у) н Ао(?у) симметричны и равномерно эллиптичны:
«К12 ^ (А1ЫСО ^ Р\^\2, ЮЫ1 < 7 для у 6 Уг и £ е Еп,
«|с|2 < (ЛЫ СО < /? 102! 1Ы?/)1 < 7 для 6 Уо И (6 к”,
ВВЕДЕНИЕ
10
где ог,Д и 7 заданные положительные постоянные и (•,•) обозначает скалярное произведение векторов из Мп. Функции те? гг и вектор-функшш ае и Ь£ в (0.31) зависят от е:
где гп$(у),г8{у) и компоненты ав(у)уЬ$(у) являются 1-периодическими ограниченными функциями на 7% для .9 = 0,1. Кроме того, тщ (у) и г По (у) отделены от нуля.
Основные результаты второй главы составляют теоремы о предельном поведении решений задачи (0.31) при е 0 в предположении, что выполнены соотношение <т —> 0 и одно из условий (0.28)-(0.30). Для точной формулировки этих теорем понадобятся некоторые дополнительные обозначения.
Пусть вектор-функция N1 (у) является 1-периодическим решением задачи Неймана на У\:
где V внешняя нормаль к границе У]. Определим матрицу А с постоянными компонентами равенством
Известно [9], [37], что матрица А положительно определена и удовлетворяет неравенствам (0.32) с теми же постоянными а и /3.
Пусть функции Мп(у), N1,(11) являются 1 -периодическими решениями задач Неймана на У'!:
те = т$(х/г), ге = ге(х/е) в П®, а£ = п„(х/е), Ье = Ьй(х/е) в П®,
- сИу„ (А, У ,,N1) = <Ну„ Ах в Уь -(A^'VyNl,v) = {Аии) на 5,
А = (А, + А]У„АГ1)1 = (Ах + А1Ъу^)с1у.
- сНу^Ах У„АГа) = сИуДАхах) в У, -(АхУуАГ«,!/) = (Аха,,1/) на 5, -сНу!/(А1У,/Лг(,) = (Нуу(Ахг>х) в Ух — (АхУуЛГь,1/) = (Ахб),!/) на 5.
ВВЕДЕНИЕ
20
Введем обозначения
М = <т0)о + (т1)1 = / г/г0 йу 4- / т{ (1у,
./Уо -/у,
а = Л”1 (Л]а 1 + Л1V?,Лга)х, Ь = А~1 (Л 1 {>1 4* А1VАг/,}х,
А = {/ч + А,*1 У!/АГ1)1 Т &Л = (&1 У2/ЛГа)1,
А:6 = А = (г0)о + (не-
определим функцию V как решение начально-краевой задачи для о сродненного уравнения с постоянными коэффициентами:
Мь[ — сПу Л(Уг; + аи + 6(7) + /V У?; + А:аг'+
+А:/,(7 = А/ в х (0,Т), (0.33)
у = 0 на дО, х (0,Т), г?|/=0 = ю в
Теорема 2.1. Пусть выполнено условие (0.28). Предположим, что и является решением задачи (0.31) и V - решение задачи (0.33). Тогда
max о <t<r
Н2»(п)^ С(£ + а + £2/а),
где постоянная С не зависит от £ па.
Пусть функции Q(t,y) и P(t, у) являются 1-периодическими решениями начально-краевых задач на У0:
mo Q't-V diVj,(j40Vw Q)=0 в Yn х (0, оо),
<3 = 0 на У1 х (0,оо), <5|г=0 = 1 ъ *о,
mo P't — 0 «liv„(i4oVJ/Р) = 0 в У0 х (0.оо).
Р = 0 на Уг х (0,оо), Р|г=0 = г0/т0 в У0.
Введем обозначения
Mi = (mi),, Af0(t) = (m0 )0, Q* = Q(t,x/s),
Ri = (ri)l, F0(t) = (m0P/)o, Pe=P(t,x/e),
ВВЕДЕНИЕ
21
(здесь, например, <2(£,г/) продолжена как 1-периодическая функция на Еп, тогда <2« обозначает ограничение этого продолжения при у = х/е на П) и определим функцию V как решение начально-краевой задачи для осредненного уравнения:
М[у{ - Л/о * (и{) - (Ну Л(VII + (IV + Ьд) + /\ Уц + каъ%+
+кьд = Лі / - До * / в Ох (О, Т), (0.34)
V = 0 на с)П х (0, X), г'|г=о ” ги в її-
где * обозначает свертку по і.
Теорема 2.2. Пусть выполнено условие (0.29), /,д Є Со°((0,Т) х Г2)
и гс = 0. Предположим. что гг является решением задачи (0.31) и
у - решение задачи (0.34). Тогда.
0<кт II “ _ - р* * / + <у£ * К) ||1,(П)<С'(£+ч/о:+р-<т/е2|),
где постоянная С не зависит от є по.
Пусть Хі и Хо обозначают характеристические функции областей П* и По соответственно. Определим функцию V как решение начальнокраевой задачи для осредненного уравнения с постоянными коэффициентами:
М\у[ — сііV А(Уг; -Ь (IV 4- Ьд) 4- К\?у + каь+
+кьд = в Пх (0,Г), (0.35)
V = 0 на ОСІ х (0,Т), Иг=о = ги в П.
Теорема 2.3. Пусть выполнено условие (0.30), т0,г0 Є С’2(/о), А0 £ С2(іро)лхп я 5Хо € С3. Предположим, что гг является решением задачи (0.31) п V - решение задачи (0.35). Тогда
тах о <г^Г
V. - Х\ V - Хо V) - Хо р-о/тоХ / /<*
./о
^ СГ (£ -Ь \/^ 4" /с)5
,0
Ь2(П) ^
где интеграл обозначает первообразную по t и постоянная С не зависит от е и о.
Проверяется, что в условиях теорем 2.1-2.3 достаточно гладкие решения осредненных задач (0.33), (0.34), (0.35) существуют и определены однозначно. Гладкость и финитность /, </, ю (и равенство ги — 0
ВВЕДЕНИЕ
22
из условий теоремы 2.2) используются в доказательстве именно этого утверждения о решениях осредненных задач. Это утверждение для задач (0.33) и (0.35) хорошо известно [47], поскольку при сделанных предположениях на исходные данные выполнены условия согласования произвольного порядка. Это утверждение для задачи (0.34) выводится в §2.2 из результатов работы [119], в которой была доказана разрешимость задачи (0.34) в пространстве #А(0, Т; Ь2(П)) П Ь2Щ(С1)).
Для построения начальных членов асимптотического разложения решения задачи (0.31) используются методы главы 1. Это построение заключается в последовательном разрешении некоторых периодических задач на ячейке, условия разрешимости которых приводят к осред-ненным задачам (0.33), (0.34) или (0.35) в зависимости от выполнения одного из условий (0.28)-(0.30). В §2.3 приводятся явные формулы для начальных членов асимптотики, построенные как и в §3.3 третьей главы. После этого доказательство теорем 2.1-2.3 проводится энергетическими методами. При этом учитывается гладкость решений осредненных задач и некоторая регулярность решений задач на ячейке, в доказательстве которой используется гладкость (класса С1) границы 5. Кроме того, в случае выполнения условия (0.30) эту асимптотику необходимо “подправить" погранслойными добавками, экспоненциально убывающими внутрь включений. Эти добавки строятся в §2.3 по схеме метода Вишика-Люстерника. Для задач осреднения эта схема реализована в работе [63]. Гладкость коэффициентов и границы включений из условий теоремы 2.3 используется при построении этих погранслойных добавок. В реальных задачах встречающихся на практике коэффициенты ту, шо,Л|, Ао, к\,... как правило постоянны, так что гладкость коэффициентов не слишком существенна.
Воппогы осреднения стационарного варианта задачи (0.31) рассматривались в работах [9], [15] и [56]. Задача (0.31), в случае когда о — е2 и некоторых отличных чем здесь предположениях, рассматривалась в работах [83] п [119], в которых были анонсированы утверждения о сходимости решений в соответствующих пространствах.
Отметим также, что с помощью использования подходящих аппроксимаций исходных данных, из теорем 2.1-2.3 выводятся утверждения о сходимости решений задачи (0.31) при более слабых предположениях на /, г/ и го. Точнее, в обозначениях из теорем 2.1-2.3 выполнены следующие утверждения о сходимости решений.
ВВЕДЕНИЕ
23
Следствие 2.1. Пусть выполнено условие (0.28) п /, д € Ь2 (0,Т; Х~(Г2)), го 6 Ь2(П) в задаче (0.31). Предположим, что п. является решением задачи (0.31) п V - решение задачи (0.33). Тогда
И1'“" 11£-(0,Г-.Л*(П»->° Щ)П П
Следствие 2.2. Пусть выполнено условие (0.29) и /, «гу 6 Ь1 (0,Т; £"(П)), V) = 0 в задаче (0.31). Предположим, что и является решением задачи (0.31) и V - решение задачи (0.34). Тогда при £—> 0 п а —> О выполнены следующие соотношения
II и “ У ^
- V - Р£ * / + * (^) И^оо^од
и
II и
Следствие 2.3. Пусть выполнено условие (0.30), то, 7'о € С2(*о), Ао 6 С2(ЯЬ)яхп, <9*о € С3 я /,д 6 12(0,Т; Г2(П)), ш € *2(П) л задаче (0.31). Предположим, что г1 является решением задачи (0.31) и V - решение задачи (0.35). Тогда
II М - XI V - Хо - Хо (го/'«о)е / /Л
./о
При 6 —> 0 II (7 —^ 0.
В реальных задачах встречающихся на практике имеются разнообразные асимптотические соотношения между коэффициентами задачи (0.31). Некоторые из этих соотношений приведены в работах [97], [117] и отличаются от принятых здесь. В работе [97] рассмотрена задача (0.31), в случае когда а = £2, к% = 0 и коэффициенты «о(у) и Ьц(у) умножены на £~1. При этих предположениях в [97] доказана сходимость решений задачи (0.31) к решению осредненной задачи в пространстве £2(0,Т;7/2(П)). Однако, осредненная задача в [97] определяется через решение “двухмасштабной задачи на ячейке”, зависящей от х 6 П как от параметра.
ВВЕДЕНИЕ
24
Доказательства теорем 2.1-2.3 и следствий 2.1-2.3 даны в §2.3 и § 2.4. Несколько вспомогательных лемм, используемых в этих доказательствах, приведены в §2.2.
В третьей главе рассматривается нестационарная система уравнений линеаризованной теории упругости с коэффициентами, зависящими от двух малых положительных параметров е и о. Параметр мелкомасштабности е задает период коэффициентов этой системы, а параметр контрастности о характеризует отношение минимального и максимального модулей упругости. Начально-краевая задача для такой системы уравнений моделирует в линейном приближении упругое поведение микронеоднородной среды (композита) с порами, заполненными легкодеформируемым материалом и расположенными периодическим образом с периодом е. Предполагается, что при е -4 0 выполнены соотношение о —> 0 и одно из трех условий (0.28)-(0.30).
Пусть для 7i ^ 2 заданы ограниченная область П С Мп с гладкой (класса С°°) границей, положительное 7\ финитные в П и гладкие вектор-функции /,</* е С'о°([0, Т) х П)п и w0,wi £ С™(П)п. где к = 1,..., л. Определим вектор-функцию 7/. = (ui,..., ип) как решение начально-краевой задачи для нестационарной системы уравнений линеаризованной теории упругости:
•»‘«mi* ,о.зб)
7 = 0 = W° В «1|е=0 = Wl В U ~ ^ На ^ Х
U
зависящей от двух малых положительных параметров е и а, следующим образом.
Пусть Р\ п Е) являются открытыми 1 - п ер и о д и ч е с ки ми подмножествами 1РГ с границами класса С2, ГI П Г2 = 0? Г) = 1&П\(Г1 и Г2) является множеством с границей класса С2 и Г* = = {ех, х =
(#ь...,жя) € .Г*} для $ = 0,1,2. Таким образом, У = (0.1 )п является ячейкой периодичности, и множества .Го, Т\, Г2 вполне определяются множествами Уо = У П Г0, У\ — У П 1;\ и У2 = У П Г>. Предполагается, что эти множества имеют положительные меры Лебега в ШГ и множества У\ и У2 связны. Кроме того, отождествляя противоположные грани У, множества Уо, У\ и 12 можно также рассматривать как подмногообразия тора с общими границами (класса С'2):
= дУг = дУ0\дУ2 и 52 = 0У2 = ОУ^дУ^