СОДЕРЖАНИЕ.
ВВЕДЕНИЕ
ГЛАВА I. Вязкое симметрично-возмущенное течение Куэтта между двумя вращающимися цилиндрами.
§ 1. Постановка задачи. Основные определения. 9
§ 2. Асимптотика собственных значений линейного пучка. 18
§ з. Базисность Бари со скобками для собственных и
присоединенных функций задачи. 25
§ 4. Базисность Бари без скобок. 28
§ 5. Предельный случай. 31
§ 6. Связь задачи о течении жидкости между двумя цилиндрами
и конвекционном течении жидкости, подогреваемой снизу. 33
ГЛАВА II. Несимметрично-возмущенное течение невязкой несжимаемой жидкости между двумя вращающимися концентрическими бесконечными цилиндрами.
§ 1. Постановка задачи. 40
§ 2. Структура существенного спектра. 46
§ 3. Локализация дискретного спектра. 50
§ 4. Структуры дискретного спектра. 55
ГЛАВА III. О базисных свойствах системы корневых векторов оператора, близкого к самосопряженному в пространстве Понтрягина.
§ 1. Постановка задачи. 73
§ 2. Сходимость рядов по корневым векторам оператора,
близкого к самосопряженному в пространстве Понтрягина. 76
§ 3. Базисность Бари со скобками корневых векторов оператора
Ъ, отвечающего задаче о колебаниях вязкой капиллярной
жидкости. 79
Литература 82
2
ВВЕДЕНИЕ
В настоящей работе изучаются спектральные задачи, возникающие в гидродинамике. К наиболее важным и исследуемым относится вопрос о гидродинамической устойчивости: если
течение задано, устойчиво ли оно относительно бесконечно малых возмущений?
Предполагается, что для случая бесконечно малых возмущений уравнения можно линеаризовать, т.е. членами квадратичными и более высоких порядков относительно возмущений пренебрегают. Для линеаризованных уравнений можно ожидать, что будут существовать решения, зависящие экспоненциально от времени. Граничные условия для возмущений обычно однородны, и мы получаем задачу на собственные значения некоторого оператора, действующего в некотором функциональном пространстве. В зависимости от расположения собственных значений на комплексной плоскости решается вопрос об устойчивости решений.
Среди наиболее известных следует упомянуть задачу о течении вязкой несжимаемой жидкости между двумя бесконечными вращающимися концентрическими цилиндрами (течение Куэтта между двумя цилиндрами) и задачу о плоскопараллельном течении жидкости, приводящей к уравнению Орра-Зоммерфельда. Различными проблемами, связанными с устойчивостью решений этих и других задач занимались многие математики ([7]ЛЮ],[181Л19]Л32), [33]Л35]*[38] и др.).
Но относительно мало внимания было уделено базисным свойствам системы собственных и присоединенных функций
3
соответствующих задач. Этот вопрос представляет интерес не только с точки зрения спектральной теории. С ним тесно связаны исследования эволюционных задач с начальными данными. Кроме того, первый успешный анализ гидродинамической устойчивости для течения жидкости между цилиндрами, проведенный Дж.Тейлором [48], опирался на идею о возможности разложения решения в ряд по ортогональной системе функций. При этом вопрос о справедливости и свойствах этого разложения не решался.
Большим продвижением в данном направлении была работа И.Шенстеда [45]. Пользуясь классическими методами, для уравнения Орра-Зоммерфельда ему удалось показать полноту
собственных и присоединенных функций в классе с* [а,ь] -
дважды непрерывно-дифференцируемых функций, удовлетворяющих однородным граничным условиям на отрезке [а,Ь], где а и Ъ -границы плоскопараллельного течения жидкости. Отметим, что система собственных функций не была вычислена ни для одного конкретного течения. Даже более того, основные свойства системы собственных функций ни для какого течения не исследовались в достаточной степени.
Основываясь на работе М.А.Наймарка [28], Р.С.Ди Прима и Г.Хабетлер усилили результат И.Шенстеда, расширив предложенный
О
им класс функций до и£[а,ъ]. Кроме того, наряду с уравнением
Орра-Зоммерфельда, они рассмотрели течение Куэтта между двумя вращающимися цилиндрами. Для этой задачи ими показана полнота системы собственных и присоединенных функций в пространстве
о
у£((а,Ъ);/~г ) х \ ((а, Ь) ;У~г~ ). Вопрос о базисности так и
4
остался нерешенным.
Далее, следует отметить работу А.А.Шпаликова и С.Треттер [46], в которой изучались базисные свойства спектральных задач вида
N у(х) = X Р у(х),
1Г(у)=0, 3=1,2... ,п,
где пир- линейные дифференциальные операторы порядка п и р (п > р > 0), а и. - граничные условия порядка < п - 1. Ими
был выделен целый класс задач указанного типа, для которых верны теоремы полноты, минимальности и базисности в соответствующих пространствах. Применив свои результаты к уравнению Орра-Зоммерфельда, авторы доказали для системы собственных и присоединенных функций полноту в пространстве
W2so для 5=0,1,2,3,4, минимальность в \У2*и для Б=2,3,4 и базисность Рисса в и* , где яг® подпространство всех
Лт , и (£ Г и
функций у е ^, удовлетворяющих граничным условиям порядка <
5-1 .
Представляет интерес и "невязкий" аналог упомянутых задач. Особенность уравнений, описывающих течение идеальной жидкости, заключается в том, что у операторов, соответствующих им, появляется непрерывный спектр. В связи с этим возникает вопрос об описании этого спектра, что важно с точки зрения устойчивости. С точки зрения спектральной теории интерес представляет возможность разложения по обобщенным собственным функциям непрерывного спектра. Уравнение Орра-Зоммерфельда в случае идеальной жидкости превращается в известное уравнение
5
Релея. В работе С.А.Степина [331 для этого уравнения было дано описание непрерывного спектра, доказана теорема о локализации дискретного спектра и получено разложение по обобщенным собственным функциям непрерывного спектра.
Говоря о течении идеальной жидкости между двумя цилиндрами, следует упомянуть два случая. Рассмотрение только осесимметричных возмущений приводит к уравнению Штурма-Лиувилля, анализ которого позволил Дж.Л.Сайнджу [47] получить критерий Релея устойчивости течения жидкости. Рассмотрение несимметричных относительно вращения возмущений приводит к более сложной системе уравнений, в связи с чем такие течения изучались гораздо реже. В этом случае появляется более широкий непрерывный спектр, описание которого необходимо для решения вопросов устойчивости. Здесь следует отметить работу Дж.Эйзенфельда [43], в которой дается достаточно полный обзор возникающих в этой области проблем. Появившаяся в 1994г. работа Ф.В.Аткинсона, Х.Лангера, Р.Менникена и А.А.Шпаликова [40] позволяет дать точное описание существенного спектра операторов, возникающих в подобных задачах.
В первой главе настоящей работы изучается осесимметричное течение вязкой несжимаемой жидкости между двумя вращающимися концентрическими бесконечными цилиндрами (течение Куэтта). Наша цель заключается в доказательстве базисности Бари системы собственных и присоединенных функций в специально определенном пространстве. Основным в достижении этого результата является использование методов работ [2] и [26], позволяющих получать утверждения о базисных свойствах операторов, являющихся слабыми возмущениями самосопряженных
6
- Київ+380960830922