2
ОГЛАВЛЕНИЕ
ВВЕДЕНИЕ............................................................5
1. КРАТКИЙ ОБЗОР РАЗВИТИЯ МЕТОДА КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ В
РАСЧЕТАХ ГЕОМЕТРИЧЕСКИ НЕЛИНЕЙНЫХ ОБОЛОЧЕК
ВРАЩЕНИЯ.............................................................12
2. РАСЧЕТ ОБОЛОЧЕК ВРАЩЕНИЯ В ЛИНЕЙНОЙ ПОСТАНОВКЕ...................25
2. 1. Основные геометрические соотношения оболочек вращения 25
2. 1. 1. Геометрические параметры оболочки вращения в исходном
состоянии.......................................................25
2. 1.2. Геометрические параметры оболочки вращения в деформируемом
состоянии.......................................................30
2. 1.3. Геометрические соотношения осесимметрично нагруженных
оболочек вращения...............................................39
2. 1.4. Физические соотношения упругих оболочек.................43
2. 2. Матрица жесткости осесимметричного конечного элемента
12x12...........................................................45
2. 2. 1. Матрица жесткости осесимметричного конечного элемента 12x12 при использовании интерполяции компонент вектора перемещения
как скалярных величин..........................................45
2. 2. 2. Матрица жесткости осесимметричного конечного элемента 12x12
при использовании векторной интерполяции полей перемещений......51
2. 2. 3. Пример расчета.........................................57
2. 3. Матрица жесткости четырехугольного элемента дискретизации
72x72...........................................................63
2. 3. 1. Матрица жесткости четырехугольного конечного элемента 12x72
при использовании скалярной интерполяции полей перемещений......63
2. 3. 2. Матрица жесткости четырехугольного конечного элемента 72 х 72
при использовании векторной интерполяции полей перемещений......73
2. 3. 3. Пример расчета.........................................77
2. 4. Выводы по второй главе....................................88
3
3. РАСЧЕТ ОБОЛОЧЕК ВРАЩЕНИЯ В ГЕОМЕТРИЧЕСКИ НЕЛИНЕЙНОЙ ПОСТАНОВКЕ ПРИ ИСПОЛЬЗОВАНИИ НЕЗАВИСИМОЙ ИНТЕРПОЛЯЦИОННОЙ ПРОЦЕДУРЫ...........................................89
3. 1. Основные соотношения геометрически нелинейных оболочек
вращения........................................................89
3. 2. Определение приращений деформаций на шаге нагружения 102
3.3. Суммарные деформации оболочек вращения за у шагов
нагружения.....................................................113
3. 4. Вариативное формирование матрицы упругости на (у т 1) - м шаге
нагружения.....................................................119
3.5. Формирование матрицы жесткости четырехугольного конечного
элемента 72x72 на (у + 1) - м шаге нагружения..................133
3. 6. Пример расчета...........................................136
3. 7. Выводы по третьей главе..................................141
4. РАСЧЕТ ОБОЛОЧЕК ВРАЩЕНИЯ В ГЕОМЕТРИЧЕСКИ НЕЛИНЕЙНОЙ ПОСТАНОВКЕ ПРИ ИСПОЛЬЗОВАНИИ ВЕКТОРНОЙ ИНТЕРПОЛЯЦИИ ПОЛЕЙ ПЕРЕМЕ1ЦЕНИЙ..................................................142
4. 1. Формирование матрицы жесткости четырехугольного конечного элемента 72x72 при использовании векторной интерполяции полей
перемещений....................................................142
4. 2. Пример расчета...........................................151
4. 3. Расчет осесимметричных оболочек вращения при использовании одномерного конечного элемента с векторной интерполяции полей
перемещений....................................................162
4. 3. 1. Основные соотношения геометрически нелинейных оболочек
вращения.......................................................162
4. 3. 2. Определение приращений деформаций на шаге нагружения 164
4. 3. 3. Суммарные деформации оболочек вращения за у шагов нагружения.....................................................170
4. 3. 4. Вариативное формирование матрицы упругости на (у + 1) - м шаге
при осесимметричном нагружении..............................175
4. 3. 5. Формирование матрицы жесткости одномерного конечного элемента 12x12 на (у + 1) - м шаге нагружения...............183
4. 4. Пример расчета........................................186
4. 5. Выводы по четвертой главе.............................191
ЗАКЛЮЧЕНИЕ......................................................192
ЛИТЕРАТУРА......................................................194
ПРИЛОЖЕНИЕ......................................................218
ВВЕДЕНИЕ
В условиях продолжающегося экономического кризиса приоритетным является использование надежных экономичных с точки зрения расхода материала строительных конструкций и промышленных сооружений. Этим требованиям отвечает применение оболочечных систем, и в частности, оболочек вращения, определение напряженно-деформированного состояния которых представляет собой достаточно сложный и трудоемкий процесс. Трудности нарастают в случае, когда возникает необходимость учитывать геометрическую нелинейность конструкции, поэтому совершенствование методов расчета таких систем является актуальной задачей и представляет большой практический интерес.
Оболочки вращения при эксплуатации постоянно испытывают воздействие внутренних и внешних нагрузок, а также других элементов конструкций. При этом возникают локальные напряжения, которые могут стать причиной разрушения конструкции или отдельной ее части, что может привести к непоправимым последствиям.
Расчеты на прочность и их постоянное совершенствование чрезвычайно важны для машиностроения, судостроения, авиации и космической техники. Используемые при этом сосуды, патрубки, купола, переходники, сочленение различных конструкций, работающих под постоянным гидростатическим давлением или испытывающим распределенную нагрузку, должны рассчитываться для определения опасных элементов конструкций и предотвращения их разрушения. Особенно трудные задачи возникают при наложении ряда различных факторов. Примером такой задачи может стать расчет на прочность газопровода «Голубой поток» между Россией и Турцией, проложенного но дну Черного моря. Учесть давление на глубине моря на протяжении 396 км с разветвлениями и переходниками при общей протяженности 1213 км - это возможно только с помощью современных методов расчета оболочек. Поэтому в данной работе ставится задача
6
дальнейшего развития численных методов расчета оболочек, которая является весьма актуальной для механики деформируемого твердого тела.
На протяжении последних семидесяти лет была создана общая теория упругих тонких оболочек. Важную роль при этом сыграли российские ученые [22, 28, 32, 33, 34, 35, 44, 47, 48, 62, 93, 94, 99, 122, 128, 1401. При решении поставленных задач получаются достаточно сложные системы уравнений, описывающие процесс деформирования оболочки, поэтому наиболее применимыми ранее являлись приближенные и упрощающие методы [68, 147, 150] решения прикладных задач. В настоящее время с развитием и постоянным повышением производительности компьютерной техники, а также появлением большого количества прикладных программ, все больше используют численные методы расчета оболочек вращения [1, 3, 7, 10, 27, 51].
Наиболее значимым и чаще всего применяемым на практике для расчета тонких оболочек, является МКЭ - метод конечных элементов [17, 38, 51, 57, 61, 96, 124, 131, 132, 133, 135, 136, 137, 143]. Ключевая идея метода при анализе поведения конструкций заключается в следующем: сплошная среда
(конструкция в целом) моделируется путем разбиения ее на конечные элементы, взаимодействующие в конечном числе узловых точек [131], и в дальнейшем описываются с помощью полиномов Эрмита и Лагранжа. В результате минимизации функционала потенциальной энергии и решения системы уравнений, определяются перемещения и напряжения в указанной области.
Метод конечных элементов обеспечивает получение решений на основе единой методики. В сравнении с другими численными методами, МКЭ обладает рядом преимуществ:
- полная автоматизации процесса формирования матриц жесткости отдельных элементов и всей конструкции при помощи компьютерных программ и решения системы линейных уравнений любого порядка;
7
- возможностью составления алгоритмов расчета, позволяющих изменением исходных данных изменять различные граничные условия и характер внешней нагрузки оболочечной конструкции;
- возможностью учитывать физическую и геометрическую нелинейность оболочки, а также влияние температурных деформаций, которые возникают в процессе эксплуатации объектов [15, 124, 135].
Целью диссертационной работы является :
- создание математических моделей высокоточных элементов дискретизации, позволяющих повысить точность конечно-элементных решений при определении напряженно-деформированного состояния оболочек вращения в линейной и геометрически нелинейной постановках.
Соответственно поставлены следующие основные задачи исследования:
- разработать на шаге нагружения вариативные соотношения между приращениями компонент тензора напряжений и приращениями компонент тензора деформаций;
- выполнить сопоставительный анализ конечно-элементных решений, полученных при использовании элементов дискретизации, скомпонованный на основе независимой интерполяционной процедуры с решениями, полученными с помощью конечных элементов с векторной интерполяционной процедурой;
- уточнить и дополнить функционал Лагранжа на шаге нагружения с учетом суммарной невязки, накопленной за предыдущие шаги нагружения;
- разработать математические модели матрицы жесткости одномерного конечного элемента для расчета осесиммметрично нагруженных оболочек вращения и матрицы жесткости четырехугольного конечного элемента для расчета произвольно нагруженных оболочек вращения при использовании векторной интерполяции полей перемещений в линейной и геометрически нелинейной постановках.
Научная новизна диссертационной работы заключается в следующем:
8
1. Разработаны на шаге нагружения новые вариативные соотношения между приращениями компонент тензора напряжений и приращениями компонент тензора деформаций.
2. На шаге нагружения разработана и реализована в алгоритмах векторная интерполяционная процедура, выражающая вектор перемещения и его приращение внутренней точки конечного элемента через узловые значения векторов перемещений и их приращений.
3. В функционале Лагранжа выполнен учет суммарной невязки, накопленной за предыдущие шаги нагружения, что позволяет получать уточненное решение.
4. Разработаны новые математические модели формирования матриц жесткостей на шаге нагружения одномерного элемента для расчета осесимметрично нагруженной оболочки вращения и фрагмента срединной поверхности произвольно нагруженной оболочки в виде криволинейного четырехугольника при различных способах интерполяции перемещений.
Методы исследования. Поставленная цель достигается использованием методов векторного и тензорного анализа, дифференциальной геометрии, механики сплошной среды, вариационного исчисления, теории тонких оболочек, теории аппроксимации функций и численного метода конечных элементов.
В качестве объектов исследования выбраны тонкие оболочки вращения.
Практическая ценность диссертационной работы заключается в том, что разработанные конечные элементы могут быть использованы в программных комплексах для определения НДС осесимметрично и произвольно нагруженных оболочек вращения в геометрически нелинейной постановке. Результаты диссертационной работы оформлены в виде пакета прикладных программ по расчету на прочность конструкций из оболочек, который может быть использован в научно-исследовательских и проектноконструкторских организациях, занимающимися проектированием, строительством и эксплуатацией оболочечных конструкций. Использование разработанных алгоритмов позволяет выполнять уточненный расчет на
9
прочность и жесткость конструкций из оболочек, что обеспечивает их надежную работу.
Основные научные положения, выносимые на защиту:
- математическая модель формирования матрицы жесткости четырехугольного конечного элемента с вариативной компоновкой матрицы упругости на шаге нагружения при учете суммарной невязки;
- математическая модель формирования матрицы жесткости одномерного конечного элемента с векторной интерполяцией полей перемещений для расчета осесимметично нагруженных оболочек вращения в геометрически нелинейной постановке;
- математическая модель формирования на шаге нагружения матрицы жесткости конечного элемента в виде произвольно ориентированного на срединной поверхности криволинейного четырехугольника с векторной интерполяцией полей перемещений.
Достоверность результатов диссертационной работы основана на корректной математической постановке решаемых задач и подтверждается сопоставлением результатов решения тестовых примеров, полученных с помощью разработанных алгоритмов с результатами, полученными аналитическим путем, результатами исследований других авторов, и решениями, полученными с помощью программного комплекса АЫЗУБ. Анализ сходимости вычислительного процесса при решении геометрически нелинейных задач выполнялся варьированием количества дискретных элементов рассчитываемых конструкций и числа шагов нагружения.
Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, списка использованной литературы (190 наименований) и приложения, изложена на 220 страницах машинописного текста, содержит 28 рисунков, 2 гистограммы, и 15 таблиц.
Во введении дается обоснование актуальности проводимых исследований на основе анализа работ по теме диссертации, сформулированы цели и задачи исследования, а также практическая ценность работы.
ч
10
В первой главе изложен краткий обзор и анализ работ, посвященных исследованию напряженно-деформированного состояния оболочек вращения на основе метода конечных элементов.
Во второй главе на основе уравнения механики сплошной среды изложена процедура получения основных геометрических соотношений тонких оболочек вращения в линейной постановке с использованием гипотезы прямых нормалей. Показана эффективность применения одномерного конечного элемента при решении задач, связанных с определением НДС осесимметрично нагруженных оболочек. Показано, что при расчете непологих оболочек следует использовать элементы дискретизации, матрицы жесткости которых скомпонованы на основе векторного способа интерполяции перемещений. Выполнен сравнительный анализ конечно-элементных решений, полученных при использовании векторной интерполяционной процедуры с решениями, полученными на основе программного комплекса АЫЯУ8.
В третьей главе получены основные соотношения оболочек вращения в геометрически нелинейной постановке. Разработан алгоритм формирования матрицы жесткости четырехугольного конечного элемента на шаге нагружения с вариативной компоновкой матрицы упругости. Усовершенствован конечноэлементный алгоритм расчета геометрически нелинейных оболочек путем учета суммарной невязки, накопленной за предыдущие шаги нагружения.
В четвертой главе изложен алгоритм расчета оболочек вращения в геометрически нелинейной постановке при использовании векторной интерполяции полей перемещений. Для расчета осесиммметрично нагруженных оболочек вращения предложен линейный конечный элемент в виде фрагмента меридиана срединной поверхности. В качестве узловых неизвестных выбираются матрицы-строки, элементами которых являются шаговые векторы перемещений узловых точек линейного конечного элемента и их первые, и вторые производные в локальной и глобальной системах координат. Сравнение конечно-элементных решений по разработанному алгоритму с решениями, полученными на основе программного комплекса
АЫ5У5, позволяет сделать вывод о предпочтительности разработанного алгоритма при расчете оболочек вращения со значительными градиентами кривизн срединной поверхности. Также разработан алгоритм формирования матрицы жесткости четырехугольного конечного элемента. В качестве узловых неизвестных выбираются матрицы-строки, элементами которых являются шаговые векторы перемещений узловых точек четырехугольного конечного элемента и их первые, и вторые производные в локальной и глобальной системах координат. Показана высокая эффективность векторной интерполяционной процедуры, позволяющей в неявном виде учитывать жесткие смещения геометрически нелинейной оболочки вращения на примере расчета оболочки, допускающей жесткие смещения под действием заданной нагрузки.
Диссертационная работа выполнена в соответствии с тематическим планом научно-исследовательских работ Волгоградского государственного аграрного университета.
12
1. КРАТКИЙ ОБЗОР РАЗВИТИЯ МЕТОДА КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ В РАСЧЕТАХ ГЕОМЕТРИЧЕСКИ НЕЛИНЕЙНЫХ ОБОЛОЧЕК ВРАЩЕНИЯ
Метод конечных элементов (МКЭ) — численный метод решения задач прикладной механики. Метод широко используется для решения задач механики деформируемого твёрдого тела, теплообмена, гидродинамики и электродинамики.
С точки зрения вычислительной математики, идея метода конечных элементов заключается в том, что минимизация функционала вариационной задачи осуществляется на совокупности функций, каждая из которых определена на своей подобласти, для численного анализа системы позволяет рассматривать его как одну из конкретных ветвей диакоптики — общего метода исследования систем путём их расчленения.
Возникновение метода конечных элементов связано с решением задач космических исследований в пятидесятых годах прошлого столетия (идея МКЭ была разработана советскими учёными ещё в 1936 году, но из-за неразвитости вычислительной техники метод не получил развития). Этот метод возник из строительной механики и теории упругости, а уже затем было получено его математическое обоснование. Существенный толчок в своём развитии МКЭ получил в 1963 году после того, как было доказано то, что его можно рассматривать как один из вариантов распространённого в строительной механике метода Рэлея — Ритца, который путём минимизации потенциальной энергии сводит задачу к системе линейных уравнений равновесия. После того, как была установлена связь МКЭ с процедурой минимизации, он стал применяться к задачам, описываемым уравнениями Лапласа или Пуассона. Область применения МКЭ значительно расширилась, когда было установлено (в 1968 году), что уравнения, определяющие элементы в задачах, могут быть легко получены с помощью вариантов метода взвешенных невязок, таких как метод Галёркина или метод наименьших квадратов. Это сыграло важную роль в
13
теоретическом обосновании МКЭ, так как позволило применять его при решении многих типов задач.
С развитием вычислительных средств возможности метода постоянно расширяются, также расширяется и класс решаемых задач. Практически все современные расчёты на прочность проводят, используя метод конечных элементов. В частности, метод конечных элементов нашел самое широкое применение при исследовании напряженно-деформированного состояния оболочечных конструкций.
Первым понятие конечных элементов впервые употребил Тёрнер [188]. При исследовании с помощью МКЭ конструкция, например, оболочка вращения, разбивается на множество элементов простейшей геометрической формы. С развитием науки и техники в период с 60-е но 90-е годы прошлого века на основе уравнений различных теорий оболочек и трехмерных уравнений теории упругости, было предложено и описано более ста конечных элементов оболочек. Они могут быть одномерными [16, 61], двумерными, например, треугольник [76, 87, 101], различные виды четырехугольников [11, 14, 74, 88], а также трехмерными и занимать в пространстве некоторый объём, например, тетраэдр, конус, восьмиузловой объёмный конечный элемент [54] и другие. Все эти элементы конечные, поскольку имеют определенные линейные размеры, а также соединены между собой в узловых точках. Для этих элементов численным методом МКЭ составляют системы уравнений, решения которых описывают напряженно-деформированное состояние всей конструкции в целом.
В работе [104] приведены постановка и алгоритм численно решения задач теории подкрепленных оболочек с учетом дискретного размещения ребер в геометрически нелинейной постановке в рамках теории оболочек и стержней типа Тимошенко. Предложено использование конечно-разностных схем, которые основаны на применении аппроксимаций Ричардсона. Результаты расчетов представлены для случая подкрепленных цилиндрических оболочек.
14
Полученные численные данные позволяют судить об эффективности предложенной методики.
Задачи оптимизации для оболочек с учетом эффекта «запирания» решаются в [169] при использовании метода конечных элементов.
В случае пространственных конструкций типа сетчатых и спирально армированных оболочек в [113] требуется учитывать физическую и геометрическую нелинейность, одновременное действие силовых нагрузок и неравномерного нагрева. Пакет программ для исследования такого рода конструкций обеспечивает геометрическое моделирование с возможностью выбора сетки конечных элементов.
В [130] изложены методы математического моделирования мягких оболочек и конструкций, содержащих оболочки, основанные на вариационных подходах.
В [141] излагаются подходы для построения эффективных аппроксимирующих функций обобщенных деформаций и перемещений при конечно-элементном анализе напряжено-деформированного состояния несущих слоев и слоев заполнителя трехслойных неосесимметричных цилиндрических оболочек.
В монографии [143] отражено современное состояние проблемы, представлена наиболее общая классификация соединений пересекающихся оболочек, приведены результаты исследования напряженного состояния и концентрации напряжений в соединениях пересекающихся оболочек различной геометрической формы.
Соотношения нелинейной теории оболочек типа Тимошенко при малых деформациях и неограниченных углах поворота используются в [139] для решения задачи о начальном закритическом поведении цилиндрических оболочек при осесиммстрическом выпучивании.
В [50] излагается подход к решению задачи о напряженно-деформированном состоянии прямоугольных в плане пологих оболочек
15
переменной толщины в неклассической постановке на основе уточненной модели прямолинейного элемента.
В рамках теории больших деформаций, в [8] разработана постановка задачи о пространственном изгибе полого цилиндра, нагруженного внутренним давлением. Материал цилиндра предполагается несжимаемым и трансверсально изотропным с криволинейной осью упругой симметрии. Далее решается задача нелинейной теории упругости с помощью системы дифференциальных уравнений.
Монография [17] представляет собой критическое изложение как самих методов конечных элементов, так и их приложений в механике твердых тел, гидромеханике, теории фильтрации и теории теплопередачи. После предварительной информации о построении математических моделей приводятся формулировки как линейных, так и нелинейных задач. Метод конечных элементов представлен в книге в качестве альтернативы методу конечных разностей, причем приводятся обоснованные данные о преимуществах МКЭ. Описываются различные версии метода конечных элементов, большое внимание уделяется численному интегрированию соответствующих уравнений, как с помощью точных, так и приближенных методов. Весь материал представляется с таким расчетом, чтобы результаты могли быть применены для автоматического проектирования машин и приборов с помощью компьютеров.
Вопросы определения НДС неоднородных нелинейно-вязкоупругих оболочек с учетом перечного сдвига изучались в [19]. При этом рассматривались тонкие неоднородные пологие оболочки с постоянной толщиной, из материала, подчиняющегося закономерностям нелинейной вязкоупругости по Арутюняну. Оболочка нагружалась равномерно распределенной нагрузкой, нормальной к срединной поверхности. В результате получены значения перемещений и напряжений, а также изучено влияние неоднородности и нелинейной вязкоупругости на НДС конструкции по сравнению с результатами, полученными по классической теории оболочек.
16
Замкнутые призматические оболочки средней длины рассматриваются в [102] и [103]. Оболочка находится под действием произвольных крутящих и изгибающих нагрузок (распределенных и сосредоточенных) и усилена стрингерами, которые воспринимаются как нормальные напряжения. Исследовано влияние на НДС оболочки геометрической и физической нелинейности в зависимости от схем нагружения и геометрических параметров оболочки.
Задача об определении формы пологой оболочки со срединной поверхностью переноса рассматривается в [110], в которой внешняя нагрузка вызывает чистомоментное НДС. В [109] рассматривается задача выбора такой толщины пологой оболочки переноса, в которой заданная внешняя нагрузка и температурное иоле приводит только к безмоменному НДС.
НДС сферической оболочки средней толщины с отверстием в окрестности полюса в геометрически нелинейной постановке исследуется в [125]. Исследование основано на посгроении ортогональной линейной системы координат на срединной поверхности, представляющей собой двусвязную область, а также на сведении исходной нелинейной краевой задачи к последовательности линейных одномерных, итерирование которых проводится численным методом.
Определение НДС в тонкой оболочке вращения под действием следящей нагрузки на произвольном интервале изменения радиальной координаты, в общем случае, не включающем начало координат, рассмотрено в [100]. Учитывается обжатие материала и неравенство нулю вектора напряжений в направлении нормали к срединной поверхности оболочки. Получено приближенное аналитическое решение задачи в виде разложение в ряды по начальной радиальной координате характеристик НДС.
Как свидетельствуют численные расчеты в [97] и [98], неучет геометрической нелинейности задачи приводит к завышению наибольшей интенсивности деформаций в 1,294 раза. В случае учета и физической, и геометрической нелинейности задачи расчетная нагрузка увеличивается в 1,4
17
раза. Таким образом, выявлен большой резерв повышения величины расчетной несущей способности нелинейно-упругой оболочки, связанный с учетом геометрической нелинейности задачи.
Основные соотношения теории элементов конструкций изложены в [52], где приведена численная реализация в задачах с исследованием на деформирование, устойчивость и колебания оболочечных конструкций, а также используются стандартные алгоритмы расчета на прочность оболочечных конструкций с многосвязными узлами.
Подход для получения эффективных функций формы на основе аппроксимации обобщенных деформаций и алгоритм для построения эффективных конечно-элементных моделей для уточненного исследования НДС трехслойных оболочек с учетом их особенностей, в том числе изменения параметров НДС по толщине слоя заполнителя, предлагается в [10].
Тестовый пример решения статической краевой задачи механики осесимметричного деформирования кольцевого аппарата из-за воздействия на него внутреннего избыточного давления и изменения температуры тела приведен в [21]. Применяется программа расчета методом конечных элементов НДС оболочечных конструкций.
Методом конечных элементов определено НДС обол очечной конструкции, лежащей на опорах ложементного вида, при воздействии нормативных нагрузок разного вида в [59].
Геометрически нелинейная формулировка (на основе гипотезы Кирхгофа-Лява) треугольного конечного элемента тонкой оболочки рассматривается в [101]. Описаны деформации элемента при конечных искривлениях его срединной поверхности.
Па примере создания конечно-элементной модели корпуса хвостового винта перспективного вертолета в [111], показаны особенности моделирования оболочечных конструкций сложной геометрии.
С использованием классической теории тонких оболочек получены аппроксимационные выражения для деформаций и искривлений малого
18
элемента оболочки произвольной формы при любых перемещениях и поворотах в [106]. Для принятой модели конечного элемента получено точное выражение первой и второй вариаций потенциальной энергии, используемые в итерационном процессе решения.
Для расчета произвольно нагруженной оболочки вращения в [54] разработан восьмиузловой объёмный конечный элемент с неизвестными перемещениями и напряжениями в узлах. Интерполяция полей перемещений и напряжений осуществлялась с использованием трилинейных функций. Для формирования модифицированной матрицы жесткости использован функционал Рейсснера.
Расчеты главных и эквивалентных напряжений методом конечных элементов в программных комплексах ПРИМА и АЫ8УБ приведены в [65]. Анализ полученных численных результатов по этим программам и методами теории упругости подтвердил правомерность использования обоих комплексов при исследовании НДС массивных тел сложной конструкции.
Задачи, посвященные совместной оптимизации формы и распределения вдоль меридиана толщины безмоментных оболочек вращения под действием осесимметричных нагрузок при учете ограничений по прочности оболочки и по объёму её полости, рассматриваются в [16].
В [6] разработана методика, позволяющая исследовать историю изменения осесимметричного упругопластичного НДС однослойных и многослойных оболочек вращения с учетом повреждаемости материалов при ползучести и высокотемпературной коррозии, а также оценивать их несущую способность и долговечность.
Математические модели механики деформирования оболочек для исследования концентрации напряжений в местах локального воздействия, краевых заделок, скачков жесткости и изломов геометрии путем решения дифференциальных уравнений с помощью вычислительной техники, используются в [30, 31].
19
Сравнительный анализ НДС ветвящихся оболочек вращения на основе МКЭ приведен в [76]. Рассматриваются два варианта вектора узловых варьируемых параметров на примере расчета оболочечной конструкции, состоящей из цилиндра с двумя примыкающими к нему конусами.
В [77] излагается алгоритм расчета оболочек вращения с ветвящимся меридианом на основе МКЭ. Используется четырехугольный конечный элемент, узловыми варьируемыми параметрами которого выбираются компоненты вектора перемещения, их первые и вторые производные по криволинейным координатам.
Для расчета осесимметричной нагруженной оболочки вращения на основе соотношений теории упругости в криволинейной системе координат в [56] разработан конечный элемент четырехугольной формы, узловыми неизвестными которого являются перемещения и напряжения. Для формирования матрицы деформирования конечного элемента использован функционал Рейсснера. Перемещения и напряжения точки, расположенной внутри конечного элемента, аппроксимировались через узловые неизвестные билинейными соотношениями.
Численная модель расчета НДС оболочки в [92] строится на основании соотношений трехмерной линейной теории упругости без допущений из теории оболочек. В основу численной реализации модели положен принцип минимума функционала полной потенциальной энергии деформации упругой системы в форме Лагранжа.
Неклассическая нелинейная система дифференциальных уравнений осесимметричного изгиба упругой ортотропной композитной оболочки вращения составлена во [2]. На её основе решена задача начального разрушения цилиндрической оболочки.
Применение численного метода квадратур к интегрированию дифференциальных уравнений изгиба оболочек вращения переменной толщины при осесимметричном нафужении рассматривается в [5].
20
Задача о НДС пологих прямоугольных в плане оболочек, толщина которых может изменяться в одном или двух координатных направлениях при определенных видах закрепления их сторон под действием равномерного нормального давления рассматривается в [49].
Для расчета тонких оболочек на основе МКЭ в [71] использовалась теория упругости трехмерного тела без ограничительных гипотез и разработанный на их основе шестигранный восьмиузловой конечный элемент для конструкций со ступенчатым изменением толщины оболочек. За узловые неизвестные конечного элемента выбирались компоненты вектора перемещений и их производные.
Алгоритм расчета конструкций из сочлененных оболочек вращения при упругопластическом состоянии материала на основе МКЭ с применением четырехугольного конечного элемента и теории пластического течения в сочетании с шаговой процедурой нагружения изложен в [90].
НДС реальной железобетонной оболочки с использованием конечноэлементного комплекса ЫАЗТЯАЫ было исследовано в [142]. Результаты конечно-элементного анализа перемещений и внутренних усилий реальной оболочки, показали возможность существенных расхождений с решениями, полученными на основе уравнений Власова В. 3.
Геометрически нелинейная конечно-элементная формулировка задачи для тонкой оболочки, основанная на стандартных Лагранжевых базисных функциях и не учитывающая вращательных степеней свободы, представлена в [174].
Конструкция, состоящая из цилиндра и примыкающих к нему конических оболочек, была рассчитана в [89]. На основании расчетов, выполненных в двух вариантах, был сделан вывод об эффективности алгоритма с использованием хордового модуля диаграммы деформирования, по сравнению с соотношениями теорией пластического течения.
- Київ+380960830922