ВВЕДЕНИЕ.............................................6
глава I. Концепция детерминированного хаоса и обратная задача теории колебаний в применении к геофизическим и гелиофизическим
экспериментальным временным рядам.
1.1 История проблемы. 19
1.1.1. Развитие математических представлений от Пуанкаре и Ляпунова до Такенса и Хаусдорфа..................... 19
1.1.2. Развитие физических представлений и простейших моделей. Атмосферной циркуляции (Лоренц). Конвекции в жидкости (Релей, Бенар). Земного магнитного динамо (Рикитаке). Солнечной активности (Гудзенко, Рузмайкин).Прямая и обратная задача динамики.............................22
1.2 Экспериментальные данные. 25
1.2.1 Солнечная активность: числа Вольфа..............26
1.2.2 Площадь солнечных пятен.........................26
1.2.3 Числа Вольфа, реконструированные по ряду Шоува (наблюдения полярных сияний с 11 века)......... 27
1.2.4 Ряды характеристик движения Солнца относительно центра масс Солнечной системы ..........................28
1.2.5 Ряды индексов геомагнитной активности: А А, Кр,.29
1.2.6 Геомагнитные пульсации..........................30
ГЛАВА И. Фрактальность и хаос в модельных и природных временных рядах: особенности
интерпретации.
2.1. Процедуры восстановления псевдофазового пространства из экспериментальных данных:
2.1.1 Вложение Такенса и дифференциальное вложение. Взаимосвязанность и свойства этих пространств.........32
2
2.1.2 Определение характеристического времени - оптимального
временного сдвига для исследуемых процессов.................34
2.2. Определение фрактальных размерностей. Влияние шума на фрактальную размерность модельных процессов. Вычисление фрактальных размерностей исследуемых временных рядов.
2.2.1. Понятие и примеры фрактальных структур...............38
2.2.2. Обобщенное определение фрактальной размерности 40
2.2.3. Анализ корреляционного интеграла чисел Вольфа........43
2.2.4. Сравнение корреляционных интегралов числа Вольфа и ряда, восстановленного по данным о наблюдениях полярных сияний 45
2.2.5. Анализ корреляционного интеграла Аа - индекса
геомагнитной активности........................................
.............47
Выводы......................................................49
2.3. Отображение и последовательность Пуанкаре и их интерпретация для исследуемых процессов.
2.3.1. Отображение Пуанкаре для наблюденных и реко}1струированных чисел Вольфа.......................50
2.3.2. Определение неподвижных точек отображения по экспериментальным данным...............................51
2.3.3. Последовательность Пуанкаре для реконструированного ряда чисел Вольфа и формулировка правила вековых тенденций..............................................54
2.3.4. Сравнение рядов на основе анализа последовательности Пуанкаре. Последовательность Пуанкаре для чисел Вольфа, Аа-
индекса, скорости изменения углового момента Солнца........55
Выводы.....................................................56
з
2.4. Максимальный показатель Ляпунова. Локальный и
глобальный показатель Ляпунова по экспериментальным данным.
2.4.1 Определения, постановка задачи, и основные свойства 60
2.4.2 Алгоритмы вычисления показателей Ляпунова по экспериментальным данным.............................63
2.4.3 Локальный максимальный показатель Ляпунова..........68
2.4.4 Выявление аномалий в экспериментальных данных.......73
2.4.5. Физический смысл полученных особенностей...........79
2.4.6 Возможность предсказания «фазовых катастроф» для чисел
Вольфа................................................... 82
Выводы................................................... 82
2.5. Время детерминированного поведения и горизонт предсказуемости солнечной активности.
2.5.1. Постановка задачи и терминология...................83
2.5.2.Расчет локальной предсказуемости чисел Вольфа.......88
Выводы....................................................91
ГЛАВА III. Реконструкция уравнений динамики для исследуемых геофизических временных рядов.
3.1. Модельные уравнения и методы аппроксимации, полиномиальная аппроксимация.
3.1.1. Постановка задачи............................92
3.1.2. Требования, предъявляемые временному ряду, при которых возможна корректная реконструкция. Длина ряда. Уровень шума. «Наблюдаемость» данной переменной - проблема индекс и физическая величина для исследуемых процессов. ..93
3.2 Построение модельного оператора.
4
3.2.1. Моделирование из физических аналогий, редукция уравнений прямой задачи по существующей модели, аппроксимация экспериментальных данных модельным оператором заданного
вида...............................................96
3.2.2 Полиномиальная аппроксимация, спектр коэффициентов, устойчивость процедуры восстановления к уровню шумов. Алгоритм и его апробация на тестовых системах...........98
3.3 Построение и анализ решений уравнений динамики для исследуемых процессов.
3.3.1 Тестирование алгоритлш реконструкции уравнений на данных записи геомагнитных пульсаций...............108
3.3.2 Реконструкция глобальных векторных полей для индексов Аа и IV.................................................114
Выводы.................................................117
3.4 Прогноз и эпигноз чисел Вольфа по построенным модельным системам уравнений.
3.4.1. Задача сверхдолгосрочного прогноза солнечной активности.............................................117
3.4.2 Числа Вольфа и 11-летний цикл солнечной активности (расчет)...............................................120
3.4.3 Числа Вольфа, ряд Шоува и вековой цикл солнечной активности (расчет)................................121
Выводы.................................................127
ЗАКЛЮЧЕНИЕ.............................................128
ЛИТЕРАТУРА.............................................130
ПРИЛОЖЕНИЕ.............................................143
5
ВВЕДЕНИЕ
Настоящая работа посвящена исследованиям глобальных гелиогеофизических индексов в рамках концепции детерминированного хаоса с целыо получения дополнительной информации о физике процессов, описываемой данными индексами, а также с целью определения их локальной предсказуемости при построении оптимальной прогностической модели.
Актуальность темы. В настоящее время наблюдается значительное повышение интереса как к чисто теоретическим и модельным исследованиям хаотических процессов, так и к приложениям разработанного математического формализма и терминологии к различного рода физическим процессам и явлениям. Все длинные временные ряды (часто индексы), накопленные в солнечной физике, геофизике, метеорологии, климатологии, весьма сложны с точки зрения физики, определяющей данные процессы и, соответственно, с точки зрения их предсказания, или определения степени взаимосвязанности тех или иных процессов. Детальное моделирование физических процессов, имеющих на выходе сравнительно простой временной ряд, требует как развития громоздкого математического аппарата так и огромных вычислительных мощностей. Таковы метеопроцессы нижней атмосферы, таковы и процессы в солнечной, космической и околоземной плазме. В то же время, описание этих рядов в терминах сравнительно простых низкоразмерных систем нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений позволяет часто без детализации конкретных физических процессов получить ряд количественных характеристик (инвариантов динамики). Эти характеристики, некоторые из которых можно получить непосредственно из временного ряда наблюдаемой переменной (ряд
6
может быть даже одномерным) могут нести независимую информацию о динамике, а следовательно, и о физике процесса, о возможной его управляемости, и, главное, о его предсказуемости. Важно также решение задачи реконструкции глобального векторного поля, которое может позволить построить статистически оправданные предсказательные модели в терминах обыкновенных дифференциальных уравнений даже для сравнительно коротких, слабозашумленных природных квазипериодических временных рядов. В настоящее время, когда для рассматриваемых процессов уже произведены оценки фрактальных характеристик и инвариантов динамики, представляет особенный интерес дальнейшая детализация этих оценок: например, рассмотрение распределения локального показателя Ляпунова над фазовой плоскостью. Представляет интерес сравнение этих характеристик для связанных процессов (временных рядов), а также рассмотрение проблемы наличия или отсутствия синхронизации процессов при помощи классических методов исследования многомерной динамики, таких как построение
отображения и последовательности Пуанкаре.
Смысл представляемой работы заключается в применении развитой сравнительно недавно математической концепции детерминированного хаоса к анализу таких известных в геофизике временных рядов как индексы солнечной и геомагнитной активностей с целью получения дополнительной информации о динамике и физике процессов, выраженных в этих индексах. Также в работе используются и другие природные ряды, в частности
геомагнитные пульсации, с целью наглядной апробации
используемых численных алгоритмов на хорошем
экспериментальном материале.
7
Физико-математическая концепция и терминология, в рамках которых производится описание и анализ экспериментального материала в настоящей работе, исторически берут начало из трех фундаментальных направлений.
Первое направление вытекает из физических и математических работ Пуанкаре, обнаружившего перемешиваемосгь фазовых траекторий в задаче трех тел, и давшего новое истолкование природы случайных процессов. К истокам этого направления можно отнести и математические работы Ляпунова по анализу нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений. В целом, развитие этого направления привело к представлению о том, что в природе существуют случайные процессы, которые описываются дифференциальными уравнениями с постоянными коэффициентами. Таким образом, в результате эволюции жесткого детерминированного правила может получиться существенно случайный процесс. Постепенно развитие идей Пуанкаре приводит к представлению о том, что большинство физических систем являются открытыми, и большинство процессов являются лишь приближенно периодическими. Строго периодических процессов не бывает, и случайность является нормой не только для квантовых, но и для макропроцессов - такую мысль можно найти в работах Фейнмана, Борна, Пригожина и других известных исследователей.
Второе направление основывается на сравнительно современных работах по фрактальной геометрии Мандельброта, Хаусдорфа и др. Эти работы постулируют существование кривых, поверхностей и объёмов дробных размерностей, которые нельзя описать заданием аналитической функции, но которые являются результатом действия сравнительно простого алгебраического отображения. Помимо чисто математических объектов таковыми
8
оказались береговые линии, объёмы, в которых залегают горные породы, облака, снежинки, деревья, и г.д. В результате опять - таки можно сказать, что фрактальный объект для природы является скорее правилом, чем исключением.
К третьему направлению можно отнести связующие геометрию и динамику работы Уитни, Мане, Такенса и др., постулирующие возможность реконструкции п-мерной динамики из одной наблюдаемой. При этом реконструированное пространство вложения аналогично обобщенному фазовому пространству и полностью описывает динамику данной наблюдаемой посредством траектории, как правило, обладающей фрактальными свойствами.
Развитие этих направлений на современном уровне дает основу нескольким развивающимся научным направлениям. Это, в частности, теория катастроф, синергетика, и динамический хаос -направления, хотя и независимые, но во многом пересекающиеся. Так, во многом благодаря развитию синергетики, выявилось наличие ряда физических моделей, сводимым к системам нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений, обнаруживающих в решениях динамический хаос, т.е. такие свойства, как чувствительная зависимость от начальных данных, перемешиваемость траекторий, и дробную размерность множества, которое заполняет траектория решения (странного атграктора). К таким моделям можно отнести, например, известный аттрактор Лоренца - систему, описывающую конвекцию в слое приземной атмосферы, динамо Рикитаке - систему, описывающую на качественном уровне генерацию геомагнитного поля, в частности его инверсии; наконец, система уравнений солнечного динамо, которую получали различные авторы посредством редукции
9
уравнений МГД по процедуре, использованной Лоренцем, и множество других моделей.
Третье (синтетическое) фундаментальное направление позволило разрабатывать обратную задачу в концепции динамического хаоса, которую часто называют задачей реконструкции глобального векторного поля. Это задача поиска уравнений, аппроксимирующих экспериментальные данные наилучшим образом, которая является одной из основных задач настоящей работы.
Основной проблемой в рассматриваемом подходе является отыскание сравнительно простой системы нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений, определяющих динамику процесса с очень большим, или даже с бесконечным числом степеней свободы. Такие широко используемые ряды, как числа Вольфа, геомагнитные индексы, весьма сложны как для модельного, так и для статистического описания. И в настоящее время еще выходят работы, где одни и те же ряды могут описываться и как чисто случайные, с применением теории вероятностей, и как п - периодические - результат наложения большого числа гармоник. Один из возможных путей к получению более полного знания - это описание в терминах систем нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений, которое дает принципиальную возможность сочетать достоинства обоих подходов, и выявлять новую качественную и количественную информацию о физических и динамических свойствах процесса, описываемого данным временным рядом.
ю
Целью настоящей работы является
• Определение величин фрактальных характеристик гелиогеофизических индексов, и их физического смысла в конкретных случаях.
• Определение степени достоверности возможных прогнозов в зависимости от точности исходных данных и точности модельного оператора.
• Привлечение динамических характеристик к определению степени взаимосвязанности рассматриваемых физических процессов.
• Построение модельной системы нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений в восстановленном трехмерном фазовом пространстве для исследуемых временных рядов.
• Её апробация как возможной прогностической модели.
На защиту выносятся следующие положения:
1. Посредством анализа атласа локального максимального показателя Ляпунова выявлено наличие протяженного максимума этой величины в районе окончания ветви спада Солнечной активности. Этот максимум интерпретируется как область основной потери динамической памяти системы. Предложена физическая интерпретация механизма возникновения этой аномалии, указаны коррелирующие с ней по времени физические явления на Солнце.
2. Количественно определены пределы предсказуемости Солнечной активности, выраженной среднегодовыми числами Вольфа. Среднее время детерминированного поведения этого ряда порядка 11 лет. Построен график локальных изменений времени предсказуемости, определена зависимость времени
п
предсказуемости от фазы цикла и от суммарной погрешности значений ряда и модельного оператора.
3. Построена нелинейная динамическая модель солнечной активности на основе ряда Вольфа с 1700г., и восстановленного ряда Вольфа с 1100г. в комбинации с вековым циклом активности как независимой переменной. Проанализирована возможность использования моделей для амплитудного сверхдолгосрочного прогноза среднегодовых чисел Вольфа. По результатам анализа качества предсказания амплитуды второго максимума для 9-22 циклов, предложено использовать последнюю модель для сверхдолгосрочного прогноза солнечной активности.
4. Посредством сравнительного анализа отображений Пуанкаре для рядов Аа - индекса, индекса Вольфа и ряда скорости изменения углового момента Солнца, выявлена идентичность структур отображения максимумов для рядов Аа и \У, и коренное отличие их от структуры отображения для ряда скорости изменения углового момента Солнца при его движении относительно центра масс Солнечной системы. Этот факт говорит о том, что прямая динамическая связь между этими рядами на временах больших одного периода отсутствует, несмотря на значительную корреляцию отдельных циклов.
Научная новизна:
^ Разработан алгоритм вычисления локального максимального показателя Ляпунова из временного ряда
^ Обнаружена и интерпретирована аномалия в фазовом пространстве солнечного цикла, определённая количественно локальным максимальным показателем Ляпунова.
^ Определена предсказуемость солнечного цикла в зависимости от точности экспериментальных данных и ошибки модельного
12
- Київ+380960830922