Содержание
Введение....................................................................5
Глава 1. Интегральные уравнения и итерационные алгоритмы для диэлектрических и фотонно-кристаллических структур электродинамики 21
1.1. Гиперсингулярные интегральные уравнения для диэлектрических
структур...................................................................21
1.2. Интегральные и интегродифференциальные уравнения с понижением особенности на основе векгорных интегральных теорем.........................25
1.3.Сингулярные интегральные уравнения на основе выделения особенности .... 30
1.4. Интегральные уравнения для диэлектрических резонаторов.................31
1.4.1. Введение..........................................................31
1.4.2. Цилиндрический ДР..................................................32
1.4.3. Понижение особенности методом непосредственного интегрирования ... 34
1.4.4. Поля в дальней зоне................................................37
1.5.Инте1ральные уравнения для диэлектрических волноводных структур 38
1.6. Интегральные уравнения для фотонных кристаллов.........................39
1.6.1. Введение...........................................................39
1.6.2. Функция Грина и интегральные уравнения.............................40
1.7. Выводы.................................................................43
Глава 2. Итерационные методы решения шпчлродифференциальных уравнений электродинамики...................................................44
2.1. Итерационные решения для действительной функции........................44
действительного аргумента.....
2.1.1. Метод простой итерации.............................................44
2.1.2. Метод минимальных невязок..........................................45
2.1.3. Многопараметрические и многошаговые ММП............................47
2.1.4. Методы спуска......................................................48
2.1.5. Исследование сходимости............................................50
2.2. Итерации для комплексной функции комплексного аргумента................52
2.3. Системы нелинейных уравнений...........................................55
2.4. Операторные уравнения..................................................59
2
2.4.1. Задача на собственные значения линейного оператора..................61
2.4.2. Неоднородная задача для линейного оператора.........................64
2.5. Выводы..................................................................68
Глава 3. Электродинамические параметры диэлектрических резонаторов и волноводов на основе итерационных решений....................................69
3.1. Цилиндрический диэлектрический резонатор: итерационное решение интегрального уравнения......................................................70
3.2. Моды прямоугольного диэлектрического резонатора.........................77
3.2.1. Введение............................................................77
3.2.2. Объемные и объемно-поверхностные ИУ и ИДУ...........................79
3.2.3. Уравнения для ПДР...................................................84
3.2.4. Численные результаты................................................94
3.2.5. Выводы....................................................1.........96
3.3. Моды многослойного концентрического сферического резонатора.............97
3.3.1. Введение............................................................97
3.3.2. Модель многослойного КСР............................................98
3.3.3. Однородный КСР......................................................99
3.3.4. Характеристическое уравнение многослойного КСР.....................104
3.3.5. Стационарное возбуждение КСР радиальным диполем....................108
3.3.6. Выводы............................................................ 109
3.4. Моды прямоугольного и многослойных планарных диэлектрических волноводов................................................................. 110
3.4.1. Введение...........................................................110
3.4.2. Я-моды однородного ПДВ.............................................111
3.4.3. ЬМ-моды многослойного ПДВ..........................................120
3.4.4. Численные результаты для ЬМ- моды..................................123
3.5. Диэлектрические волноводы с полупроводниковыми слоями................. 126
3.6. Итерационный анализ дисперсии и потерь в плоскопараллельном волноводе с импедансными стенками.......................................... 135
3.6.1. Введение...........................................................135
3.6.2. Постановка задачи..................................................136
3.6.3. Численные результаты...............................................141
3
3.6.4. Выводы........................................................... 146
3.7. Нелинейное туннелирование электромагнитной волны через слой с кубической нелинейностью и насыщением диэлектрической проницаемости............................................................. 147
3.7.1. Введение..........................................................147
3.7.2. Постановка задачи, дифференциальные и интегральные уравнения 149
3.7.3. Численные результаты..............................................158
3.7.4. Выводы............................................................ 161
3.8. Выводы.............................................................. 164
Глава 4. Моделирование и гомогенизация фотонно-кристаллических
структур.................................................................. 167
4.1. Введение............................................................. 167
4.2. Дисперсионные уравнения периодических ФК с магнитодиэлектрическими
и металлическими включениями.............................................. 168
4.3. Гомогенизация и решение обратных задач для ФКС....................... 172
4.4. Фильтрующие структуры на основе квазипериодических ФК................ 178
4.5. Фотоно-кристаллические волноводы......................................181
4.5.1. Введение..........................................................181
4.5.2. Интегральные уравнения 2-D ФК.....................................182
4.5.3. Дисперсионные уравнения бесконечного 2-D ФК.......................187
4.5.4. Интегральные уравнения неограниченного ФКВ........................189
4.5.5. Интегральное уравнение ограниченного ФКВ......................... 191
4.5.6. Численные результаты..............................................195
4.6. Электрофизические свойства металлических ФК...........................197
4.6.1. Введение..........................................................197
4.6.2. Постановка задачи.................................................198
4.6.3. Одноосные и двухосные МФК с неконтактирующими проволочками ... 203
4.6.4. Численные результаты..............................................207
4.7. Выводы................................................................211
Заключение.................................................................213
Список использованных источников...........................................216
Приложение: Список аббревиатур и основные обозначения......................230
4
ВВЕДЕНИЕ
Актуальность. Диссертационная работа посвящена исследованию актуальных вопросов современной радиофизики и прикладной электродинамики от сверхвысокочастотного (СВЧ) диапазона до оптического диапазона включительно. В работе теоретически изучены важные аспекты физики диэлектрических структур: диэлектрических волноводов (ДВ) и диэлектрических резонаторов (ДР), включая структуры с линейными и нелинейными полупроводниковыми слоями, а также и свойства фотонных кристаллов (ФК), фотонно-кристаллических волноводов (ФКВ) и ФК структур (ФКС).
ФК (или электромагнитные кристаллы) - периодические и квазипериодическис структуры с диэлектрическими, магнитными, металлическими, полостными и полупроводниковыми включениями в основу -являются объектами передового направления современных исследований [1-16]. Они составляют наиболее обширно используемый класс искусственных сред -так называемых мстаматсриалов [1-6], применяемых от микроволнового до оптического диапазонов. Достоинство мстаматериалов в том, что их синтез и создание имеет цель получения веществ и устройств на их основе с новыми требуемыми электрофизическими и электродинамическими свойствами. Это выводит моделирование таких свойств на первое место по сравнению со сложным и дорогим экспериментом. Большинство работ и математических моделей для мегаматериалов в настоящее время, в том числе и для ФК, использует различные приближенные методы теоретического исследования (квазистатичсские, оптические и т.п.), поэтому большое значение имеет развитие строгих электродинамических подходов к их анализу. Актуальным в настоящее время является синтез электрофизических (электродинамических) свойств ФК, заключающийся в проведении гомогенизации. Она, по сути, является обратной задачей, решение которой требует построения моделей для прямой задачи -получения полей для большого разнообразия микроструктурированных или наноструктурированных ФК. В работе в качестве инструмента исследования использован метод интегральных уравнений (ИУ) и метод интщродифференциальных уравнений (ИДУ) с итерационными методами их решения. Важным является исследование свойств ФК и ФКВ при наличии потерь, для квазипериодических структур, при наличии нелинейности, с учетом материальной дисперсии реальных включений (металлов, полупроводников и т.п.) и для других случаев. Для всех задач ИУ и ИДУ являются весьма общими и удобными подходами к моделированию.
5
Различного рода диэлектрические, магнитодиэлектрические и металлодиэлектрические структуры широко используются в широком частотном диапазоне (вплоть до оптической области частот). Их применение и теоретические исследование началось еще с 40-х годов прошлого века. ДВ начали широко исследоваться еще с 60-х годов. Большой вклад здесь был сделан рядом отечественных и зарубежных ученых (Л.А. Вайнштейн, В.Ф. Взятышев, Б.З. Каценеленбаум, М.Е. Ильченко, А.Г. Свешников, A.C. Ильинский,
В.В. Шевченко, H.A. Хижняк, В.Н. Дмитриев, Е.В. Захаров, Е.Н. Васильев, Г.И. Веселов С.Б. Раевский, Д.А. Усанов, В.А. Неганов, Е.И. Нефедов, А.Т. Фиалковский, А.М. Jlcpep, В.Н. Мелсхин, А.Б. Маненков, В.Е. Любченко, А.Б. Самохин, Ф.Г. Басс, Ю. Швингер, Л. Левин, М. Адамс, Д. Маркузе, Дж. Мидвинтер и др.). Рядом научных школ для их моделирования были разработаны методы ИУ. Тем не менее, ряд вопросов здесь до конца не исследован. К ним, в частности, относятся: радиационные потери в ДР и ДВ; ДР и ДВ с неоднородными, анизотропными, бианизотропными средами; учет диссипации и материальной дисперсии в средах, включая и металлические структуры; влияние нелинейных свойств сред; вытекающие волны ДВ ниже отсечки, вытекающие волны ДВ при наличии потерь, активных или нелинейных слоев, ДВ со сложной структурой поперечного сечения. Развиваемые в работе подходы пригодны для исследования перечисленных вопросов, а ряд таких задач является объекгом исследования в диссертации.
Метаматсриалы (искусственные диэлектрики) изучались еще в 40-х годах прошлого века (JI. Левин). Однако широкое распространение их исследования приобрели с начала 90-х годов после ряда работ (Э. Яблонович и др.). Периодические метаматериалы (ФК) в общем случае бианизотропные. К настоящему времени имеется большое число публикаций по данной тематике (Джон Д. Джоаннопоулос, Джон Пендри, К. Сакода, В. Линделл, С.А. Третьяков, И.С. Нефедов, А.М. Желтиков, С.А. Никитов, Е.А. Виноградов и др.). Здесь актуальной является гомогенизация - задача определения эффективных материальных параметров мегаматериалов элекгродинамическими методами. Существенная часть таких задач является объектом исследования диссертации.
Итерационные методы решения операторных уравнений являются мощным инструментом в численных методах и весьма развиты [16-27]. В данной работе они используются и развиваются для ИУ и ИДУ, т.е. для интегродифференциальных операторов, включая и нелинейный случай. Для линейных задач электродинамики большой вклад в развитие итерационных методов внес А.Б. Самохин [16]. Эти результаты развиты для задач о возбуждении (дифракции волн). Однако
6
уже для задач на собственные значения спектральный параметр (волновое число или его обратное значение) входит в уравнения нелинейно. В диссертации получены алгоритмы, пригодные как для линейных задач на собственные значения с нелинейным вхождением спектрального параметра, так и для нелинейных задач с нелинейными по полю включениями магнитодиэлектрических структур.
Первой задачей, решаемой в диссертации, является выбор и развитие метода ИУ и ИДУ для исследуемых задач, в том числе для ФК, ФКВ, ДР и ДВ, а также развитие итерационных методов их исследования. Следует отметить, чтоИУ для исследования ДВ и ДР используются сравнительно редко [ 12—16,22— 26,28], что определяется достаточной трудоемкостью построения алгоритмов при сложной конфигурации. С другой стороны, ИУ позволяют рассчитывать структуры весьма точно и быстро, при этом основное их преимущество -корректный учет условия излучения - проявляемся для открытых структур. В последнее время в основном используют либо коммерческие пакеты на основе методов сеток и методов конечных элементов, либо развивают указанные методы для конкретных структур [29-31]. Поэтому развитие быстрых и точных алгоритмов исследования структур продолжает быть актуальной задачей.
Второй из решаемых задач является исследование затухающих колебаний с учетом излучения в цилиндрическом ДР (ЦДР) и прямоугольном ДР (ПДР), а также квазисобственных волн в многослойных ДВ и ДВ с прямоугольной конфигурацией во всем частотном диапазоне (в том числе ниже частоты отсечки), при наличии потерь, активных и нелинейных слоев. Здесь следует отметить, что ЦДР исследовались приближенно [7] и на основе ИУ методом возбуждений [32], НДР - только приближенной и в основном без учета радиационного излучения [33— 43]. Моды ДВ исследованы выше отсечки. Выло исследование при приближении к частоте отсечки сверху (Л.Г. Рожнев, А.Б. Манснков). Примененный в диссертации итерационный метод решения дисперсионного уравнения (ДУ) позволил получить дисперсию во всем частотном диапазоне. В работе введена новая классификация мод для линейных структур и исследованы волны в нелинейных структурах.
Третьей решаемой в работе задачей является исследование ФКВ, включая получение потерь для вытекающих мод, на основе нового полученного в работе ИУ. Следует заметить, что ФК и ФКВ исследуются в основном с использованием метода плоских волн, метода изочастот, метода сверхрсшетки и численно с использованием коммерческих программ.
7
Четвертой решаемой в диссертации задачей является гомогенизация и исследование электрофизических (электродинамических) свойств ФК. Развиваются три метода гомогенизации: на основе усреднения полей - решений ИУ и вычисления дипольных (мультипольных) моментов, усредненных по ячейке периодичности; на основе усреднения дисперсионных зависимостей по углам распространения волн на основе решения задач дифракции падения плоской волны на конечную пластину ФК или полубесконечную ФК структуру при различных углах (т.с. путем усреднения по углам падения). В последнем случае ФК имеет квазипсриодическую структуру (КПС), поэтому указанный подход является более строгим при использовании полученных гомогенных параметров в задачах дифракции. Частотный диапазон его применения в принципе не ограничен, как и частотный диапазон гомогенных свойств при использовании строгих дисперсионных зависимостей, тогда как введение усредненных по ячейке дипольных моментов и усредненных полей предполагает использование длин волн существенно больших, чем максимальный период ячейки. К этой же задаче примыкает исследование свойств квазинериодических структур, включая и структуры с потерями и нелинейностями. Численные результаты в диссертации получены для металлических и диэлектрических ФК. Численные результаты получены для одноосных металлических и диэлектрических ФК, а гомогенизация проведена на основе вычисления замедления п с использованием соотношения е__(к0Ук) = п2 =к2/к0, при этом в полосе запирания (Ьапс^ар) волновой вектор к мнимый. Из поставленных задач следуют цели работы.
Цели работы:
1. Теоретическое исследование свойств (излучаемых мод) ДР
цилиндрической и прямоугольной конфигураций и разработка методов итерационного решения соответствующих ИУ и ИДУ.
2. Теоретическое исследование собственных и квазисобственных
(комплексных) мод планарных ДВ и ДВ с прямоугольной конфигурацией, включая вытекание ниже частот отсечки, и разработка методов итерационного решения соответствующих ИУ и ИДУ.
3. Теоретическое исследование волн в ДВ с нелинейными
и полупроводниковыми слоями итерационными методами с целью управления их свойствами.
4. Исследование волн и определение их затухания в фотонно-
кристаллическом волноводе методом интегрального уравнения.
8
5. Гомогенизация и исследование свойств металлических фотонных кристаллов с различной конфигурацией и построение моделей для диэлектрических фотонных кристаллов.
Научная новизна работы:
1. Для краевых задач электродинамики предложена новая модификация метода минимальных невязок с замораживанием на предыдущем шаге, заключающаяся в том, что линеаризация нелинейного операторного уравнения или функционала осуществлена с использованием значения нелинейного члена в невязке на предыдущем шаге итерации.
2. На основе интефирования методом рядов предложено новое решение задачи дифракции и туннелирования плоской электромагнитной волны через слой с сильно нелинейными свойствами, включая случаи наличия отрицательной действительной части диэлектрической проницаемости (ДП), насыщения и потерь, демонстрирующее возможность ограничения мощности волны.
3. Впервые итерационным алгоритмом на основе метода ИУ решены задачи для излучаемых мод ЦДР и 11ДР, причем последняя структура строго исследована впервые. Предложена новая классификация мод ЦДР и ПДР, основанная на симметрии и введении комплексных индексов.
4. Впервые итерационным алгоритмом с использованием аналитического ДУ и метода ИУ исследованы вытекающие (квазисобственные) моды ДВ и металлодиэлектрических волноводов ниже частот отсечки. Впервые строго в электродинамическом подходе произведено исследование волн ДВ с нелинейными слоями, включая низкочастотную область.
5. Впервые исследованы вытекающие моды и потери в ФКВ на основе предложенного нового ИУ для соответствующей квазипериодической структуры.
6. Впервые исследованы одномерные квазинериодическис активные и диссипативные ФК на основе метода матриц передачи и одномерного ИУ.
7. Предложены новые методы гомогенизации ФК на основе решения обратной задачи методом наименьших квадратов для дисперсии волн в кристалле и в гомогенной модельной среде, а также на основе определения замедления по дисперсии и через эффективные материальные параметры гомогенной среды.
8. Впервые получены элекгрофизические параметры - тензоры эффективной диэлектрической проницаемости ряда штыревых проволочных конфигураций металлических ФК строгим электродинамическим методом.
9
Научно-практическая значимость работы. Результаты, полученные в настоящей работе, представляют существенный практический интерес для проектирования и расчета устройств на основе ДР, ДВ, ФК, включая управляемые структуры с диссипативными, активными и нелинейными свойствами, а также при создании метаматериалов с заданными свойствами. Они, в частности, могут быть использованы при анализе распространения и туннелирования импульсов в фильтрующих конечных ФК структурах и ДВ, в отрезках волноводов с нелинейными свойствами, при решении задач о возбуждении отрытых структур (ДВ, ДР и ФКВ), фотонно-кристаллических резонаторов.
Отдельный практический интерес представляют следующие результаты:
1. Разработанная в работе модификация метода минимальных невязок с замораживанием на предыдущем шаге позволяет анализировать методом ИУ сильно нелинейные структуры при хорошей сходимости.
2. Разработанные методы решения задач дифракции и туннелирования электромагнитных волн на основе решения нелинейного волнового уравнения прямыми методами высокого порядка при итерационном подходе к минимизации невязок дают возможность исследовать сильно нелинейные структуры при высокой сходимости алгоритма.
3. Проведенное исследование спектра комплексных излучаемых волн в ДР и комплексных мод ДВ позволяет решать задачи о возбуждении открытых структур на основе ДР и ДВ, а также о распространении импульсов через конечные и бесконечные структуры ДВ, в ме галлодиэлектрических волноводах и в ФКВ.
4. Развитые в работе подходы к гомогенизации ФК и методы их анализа дают возможность моделировать структуры с заданными электрофизическими (электродинамическими) свойствами.
Достоверность результатов. Достоверность результатов работы основана на использовании строгих электродинамических моделей анализа, основанных на уравнениях Максвелла, и сходящихся алгоритмов их решения. Достоверность части численных результатов подтверждена их совпадением и сравнением с аналогичными как теоретическими, так и экспериментальными результатами других авторов.
10
Защищаемые положения и результаты (положения и результаты, выносимые на защиту):
1. Модификация метода минимальных невязок с замораживанием на предыдущем шаге в сочетании с начальным применением метода спуска приводит к увеличению скорости сходимости решения нелинейных операторных уравнений и к уменьшению числа итераций.
2. При туннелировании плоской электромагнитной волны через диссипативный слой с нелинейными свойствами диэлектрической проницаемости, определяемыми насыщением ее отрицательной реальной части имеет место эффект ограничения мощности прошедшей волны.
3. Среди нескольких низших мод открытых цилиндрических и прямоугольных ДР есть моды как с высокой, так и с низкой радиационными добротностями, при этом индексы мод комплексные в том смысле, что вычисляемые по формулам экранированных резонаторов с их использованием частоты должны быть комплексными, а вдоль осей координат в объеме резонаторов не укладываются целые числа полуволновых вариаций полей.
4. Моды открытых ДВ без потерь, моды ФКВ и волноводов типа канал в диэлектрике с многослойной и импедансной оболочками демонстрируют следующие особенности: выше частоты осечки волна медленная при импедансе канала меньше импеданса оболочки (среды) и быстрая в противном случае; при переходе частоты через отсечку и дальнейшем ее уменьшении замедление сначала резко уменьшается, а затем начинает возрастать, волна становится медленной с близким к 900 углом вытекания и растущими обратно пропорционально частоте потерями; быстрые моды волноводов типа полый канал в диэлектрике и полых ФКВ с уменьшением частоты переходят в медленные волны, практически полностью вытекающие в оболочку.
5. Результаты решения дисперсионного уравнения для вытекающих волн ФКВ на основе интегрального уравнения, демонстрирующие резонансный характеру затухания основной моды с чередованием минимумов и максимумов и уменьшение средних потерь с ростом частоты.
6. Гомогенизация на основе определения дисперсии для одноосных идеально проводящих проволочных штыревых металлических ФК дает положительные компоненты тензора диэлектрической проницаемости в зоне пропускания, которые для ряда компонент становятся отрицательными в зоне непропускания, причем при переходе через эту зону волна из медленной превращается в быструю, а затем опять становится медленной.
11
Публикации. По теме диссертации было опубликовано 26 печатных работ, в том числе 7 статей в рецензируемых российских журналах, рекомендованных ВАК, 18 статей в сборниках международных конференций, периодических между народи f,IX и российских изданиях, реферируемых сборниках научных работ.
I. Статьи в рецензируемых журналах, рекомендованных ВАК:
1. Давидович М.В., Стефюк Ю.В., Шиловский П.А. Металлические проволочные фотонные кристаллы. Анализ электрофизических свойств // ЖТФ. 2012. Т. 82. Вып. 3. С. 7-14.
2. Давидович М.В., Стефюк Ю.В. Итерационные методы и алгоритмы для интегральных уравнений диэлектрических резонаторов // Известия ВУЗов. Радиофизика. 2010. Т. 53. № 4. С. 1-14.
3. Давидович М.В., Стефюк Ю.В. Интегральные уравнения для фотоннокристаллических волноводов // Оптика и спектроскопия. 2010. Т. 109. № 4.
С.643-655.
4. Давидович М.В., Стефюк Ю.В. Нелинейное прохождение электромагнитной волны через слой с квадратичной и дробно-полиномиальной зависимостями диэлектрической проницаемости // ПНД. 2010. Т. 18. № 3. С. 160-177.
5. Давидович М.В., Стефюк Ю.В. Волны плоскопараллельного волновода типа «канал с многослойными стенками» // Известия ВУЗов. Радиофизика. 2010. Т. 53. № 1. С. 31-40.
6. Альтшулер Е.Ю., Давидович М.В., Стефюк Ю.В. LM-волны полупроводниково-диэлектрического плоскослоистого волновода с диссипативными и активными слоями // РЭ. 2010. Т. 55. № 1. С. 25-32.
7. Давидович М.В., Стефюк Ю.В. Моды многослойного концентрического сферического резонатора // Физика волновых процессов и радиотехнические системы. 2009. № 4. С. 18-27.
II. Статьи в других реферируемых периодических изданиях, сборниках
и в трудах международных научных конференций:
8. Давидович М.В., Стефюк Ю.В. Интегральные уравнения фотоннокристаллических волноводов // Известия Саратовского университет. Новая серия. 2009. Серия Физика. Т. 9. В. 1. С. 2-17.
9. Davidovich M.V., Bushucv N.A, Stephuk J.V. Dispersion of open hélix // Modeling in Applied Electromagnetics and Electronics . Saratov University Press. 2011. Issue 10. P. 47-56.
12
10. Davidovich M.V., Stephuk J.V., Shilovsky PA. Metallic wire photonic crystals: analysis of electrophysical properties I I Modeling in Applied Electromagnetics and Electronics. Saratov University Press. 2011. Issue 10. P. 79-92.
11.Давидович M.B., Савин A.II., Стефюк Ю.В. Металлические фотонные кристаллы: анализ электрофизических свойств // Труды 21-й
Международной Крымской конференций СВЧ-техника
и телекоммуникационные технологии (CriMiKo’2011). Севастополь, Украина. 2011. Р. 289-290. ISBN 978-966-335-355-5. IEEE Catalog Number: CFP11788-PRT.
12. Давидович M.B., Стефюк IO.В., Шиловский П.А., Явчуновская С.В. Материальные параметры металлических проволочных фотонных кристаллов // Излучение и рассеяние электромагнитных волн ИРЭМВ-2011. Труды конференции, Таганрог, ТРТУ. 2011. С. 246-250.
13.Davidovich M.V., Stephuk J.V. Modes of rectangular and plane-parallel waveguides with impedance walls // Mathematical Methods in Electromagnetic Theory. Proceedings of 13-th International Conference (MMET’2010), September 6 - 8, 2010. Kiev, Ukraine. 978-1-4244-8860-5/НШ6.00 © 2010 IEEE. 4 P.
14. Davidovich M.V., Stephuk J.V. Iteration methods for analysis of dielectric waveguides and resonators // Mathematical Methods in Electromagnetic Theory. Proceedings of 13-th International Conference (MMET), September 6 - 8, 2010. Kiev, Ukraine. 978-l-4244-8860-5/10/$26.00 © 2010 IEEE. 4 P.
15. Давидович M.B., Савин A.H., Стефюк Ю.В. Гомогенизация периодических метаматсриалов в виде проволочных включений // Излучение и рассеяние электромагнитных волн ИРЭМВ-2009. Труды конференции, Таганрог, ТРТУ. 2009. С.370-375.
16. Давидович М.В., Савин А.Н., Стефюк Ю.В. Прямой метод высокого порядка интегрирования нелинейного неоднородного одномерного уравнения Гельмгольца // Излучение и рассеяние электромагнитных волн ИРЭМВ-2009. Труды конференции, Таганрог, ТРТУ. 2009. С. 331-335.
17. Davidovich M.V., Stephuk J.V., Shilin I.V. Waves in active and dissipative flat-layered periodic and pseudo-periodic structures // Proc. of SPIE. 2007. V. 6537. P. 65370F-65370K.
18. Davidovich M.V., Stephuk J.V. H- and LM- modes of rectangular and square section dielectric waveguides // Modeling in Applied Electromagnetics and Electronics. Saratov University Press. 2009. Issue 9. P. 13-25.
19. Davidovich M.V., J.V. Stephuk., Yu.S. Myasoedov. New approach for pulses in structures with dispersive nonlinear inhomogcncous media // Modeling in Applied
13
Electromagnetics and Electronics. Saratov University Press. 2007. Issue 8. P. 9-21.
20. Davidovich M.V., Stcphuk J.V. Homogenization of periodic mctamaterials // Mathematical Methods in Electromagnetic Theory. Proceedings of 12-th International Conference (MMET’2008). Odessa, Ukraine. 2008. P. 527-529.
21. Davidovich M.V., J.V. Stephuk. Homogenization of periodic wire and dielectric metamaterials // 2008 International Workshop on Metamaterials, Meta08. Nov. 9-12, Nanjing, China. 2008. P. 251-254.
22. Davidovich M.V., J.V. Stephuk. H-modes of rectangular dielectric waveguide // Proceedings of International conference Actual Problems of Electron Devices Engineering (APEDE'2008). 2008. SSTU. P. 308-312.
23. Davidovich M.V., J.V. Stcphuk. Integral and integrodiffercntial equations for quasipcriodic structures // Proceedings of International conference Actual Problems of Electron Devices Engineering (APEDE-2008). 2008. SSTU. P. 312-316.
24. Davidovich M.V., J.V. Stephuk. Homogenization of periodic artificial media // Modeling in Applied Electromagnetics and Electronics. Saratov University Press. 2007. Issue 8. P. 67-75.
25. Давидович M.B., Шилин И.В. Стефюк Ю.В. Волны в активных и диссипативных плоскослоистых периодических и квазипериодических одномерных фотонных кристаллах // Проблемы оптической физики. Материалы 10-й международной школы по оптике, лазерной физике и биофизике. Саратов: изд-во «Новый ветер». 2007. С. 150-153.
III. тезисы докладов международных школ и семинаров:
26. Давидович М.В., Стефюк Ю.В. Итерационные методы и алгоритмы для интегральных уравнений диэлектрических резонаторов и волноводов // Материалы XIX международной зимней школы-семинара по электронике сверхвысоких частот и радиофизике. 2009. Саратов: Издательский центр «РАТА». С. 36.
Работа выполнена в ФГБОУ ВПО «Саратовский государственный университет имени Н.Г. Чернышевского» (г. Саратов, Россия).
Личный вклад автора: лично автором произведена основная часть расчетов и интерпретирована значительная часть полученных в работе результатов. Постановка задач и разработка алгоритмов проводилась совместно с научным руководителем.
14
Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, 4-х глав, заключения, списка использованных источников и приложения - списка обозначений и аббревиатур. Работа изложена на 229 страницах машинописного текста и содержит 52 рисунка и 4 таблицы. Список использованных источников содержит 209 наименований.
ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ
Первая глава посвящена обзору методов интегральных и интегродифференциальных уравнений электродинамики
для металлодиэлектрических структур, а также формулировке ряда новых форм таких уравнений.
В п. 1.1 дано краткое введение в проблему и сформулированы гиперсингулярные объемные и объемно-поверхностные интегральные уравнения, а также основные модели структур на их основе. В п. 1.2 получены интегральные и интегродифференциальные уравнения с понижением особенности на основе векгорных интегральных теорем. Приведены результаты для связанных ИУ и ИДУ относительно обоих полей, а также и для электрического и магнитного поля, полученные переносом операторов дифференцирования с координат точки наблюдения истока на координаты точки истока. Использованы теоремы о дивергенции (Гаусса), о роторе и о ірадиенте. Предложен метод преобразования уравнений на основе теоремы Гельмгольца и представления искомых векторов с помощью векгорных и скалярных потенциалов. Ряд полученных ИДУ нагружен поверхностными интегралами, полученными в результате преобразований. В п. 1.3 рассмотрены сингулярные интегральные уравнения на основе выделения особенности, не наїруженньїс поверхностными интегралами. П. 1.4 посвящен интегральным и интегродифференциальным уравнениям для диэлектрических резонаторов. В. п. 1.4.1 изложено введение в проблему. П. 1.4.2 посвящен анализу мод и резонансных частот цилиндрического диэлектрического резонатора. Рассмотрены уравнения для основной азимутально симметричной моды Нш и произвольных мод. Сформулированы итерационные подходы для одновременного определения резонансных частот и распределения полей. В п. 1.4.3 предложен метод понижения порядка сингулярности (особенности ядра) интегрального уравнения диэлектрического резонатора путем интегрирования по точке наблюдения. Метод удобен для резонаторов с координатными границами, в частности для прямоугольного диэлектрического резонатора. В п. 1.4.4 рассмотрены поля в дальней зоне и диаграмма направленности (излучения)
15
произвольного диэлектрического резонатора. П. 1.5 посвящен интегральным и интщродифференциальным уравнениям для диэлектрических волноводных структур. Путем введения экспоненциальной зависимости от продольной координатт,I объемное трехмерное ИУ преобразовано в двумерное И У в плоскости поперечного сечения волновода. Далее это ИУ изложенные выше методами преобразуется к ИУ и ИДУ, которые могут быть нагружены контурными интегралами. П. 1.6 посвящен интегральным и интегродиффсрснциальным уравнениям для фотонных кристаллов. В. п. 1.6.1 дано введение в проблему. В п. 1.6.2 рассмотрены скалярные и векторные функции Г рина (ФГ) периодически расположенных и сфазированных источников (периодические ФГ) для фотонных кристаллов и фотонно-кристаллических структур. Приведены соответствующие интегральные и интегро-дифференциальные уравнения для различного рода периодических и квазипериодических включений (диэлектрических, магнитодиэлектрических, металлических, полостей) в основу. В п. 1.7 содержатся краткие выводы но главе 1.
Во второй главе дан обзор итерационных методов и изложены итерационные методы и алгоритмы для решения задач электродинамики. П. 2.1 является обзорным и излагает итерационные решения для действительной функции действительного аргумента. В п. 2.1.1 изложен метод простой итерации. В п. 2.1.2 излагается метод минимальных невязок и дается его модификация для решения нелинейных задач. Суть метода заключается в линеаризации путем замораживания значений на предыдущем шаге итерации, что позволяет получить явный вид параметра итерации. В н. 2.1.3 изложены многопараметрические и многошаговые методы минимальных невязок. В п. 2.1.4 рассмотрены итерационные методы спуска. Параграф 2.1.5 посвящен исследованию сходимости. Исследование выполнено для случая выполнения условия сжимающих отображений, т.е. при достижении условия сходимости итераций. П. 2.2. посвящен итерациям для комплексной функции комплексного аргумента. Результаты предыдущих разделов здесь обобщены для комплексного случая. В и. 2.3 рассмотрены общие системы нелинейных уравнений, решаемые итерационными методами. Для указанных систем обобщены результаты предыдущих разделов. П. 2.4 посвящен операторным уравнениям в банаховых пространствах и связанным с ними функционалам. Рассмотрены пространства со скалярным произведением (пространства Гильберта) и итерационные методы решения операторных уравнений в них. В п. 2.4.1 формулируется решение задачи на- собственные значения линейного оператора в виде одновременных итераций для однородного операторного уравнения и соответствующего функционала. В п. 2.4.2 рассмотрены
16
итерационные решения неоднородной задача для линейного оператора. В п. 2.5 приведены краткие выводы по главе 2.
Третья глава содержит результаты определения электродинамических параметров диэлектрических резонаторов и волноводов на основе итерационного решения интегральных и интегродифференциальных уравнений.
П. 3.1 содержит результаты моделирования цилиндрического диэлектрического резонатора путем итерационного решение интегральною уравнения. Рассмотрены основная Нш и первые высшие моды. Показано, что индексы мод не целые и, вообще говоря, комплексные. Предложена классификация мод. П. 3.2 посвящен анализу мод прямоугольного диэлектрического резонатора. В п. 3.2.1 рассмотрено введение в проблему. В п. 3.2.2 приведены объемные и объемно-поверхностные ИУ и ИДУ. В п. 3.2.3 получено уравнения для прямоугольного диэлектрического резонатора, основанное
па тригонометрическом представлении объемных распределений поля. Указанное уравнение позволяет существенно уменьшить порядок задачи по сравнению с метолом конечных элементов для объемного интегрального уравнения. В п. 3.2.4 приведены численные результаты для прямоугольного диэлектрического резонатора, дана классификация его мод на основе симметрии. Показано. Что, наряду с высокодобротными модами, существуют моды низкого порядка с малыми добротностями. П. 3.2.5 содержит краткие выводы по параграфу 3.2. П. 3.3 содержит результаты по моделированию и модам многослойного концентрического сферического резонатора. Указанный резонатор хорошо соответствует модели Земля-ионосфера. В п. 3.3.1 обосновано и дано введение в проблему. В п. 3.3.2 построена модель многослойного магнитодиэлекгрического многослойного концентрического сферического резонатора с использованием метода матриц передачи. П. 3.3.3 как частный случай рассматривает однородный диэлектрический сферический резонатор, производится сравнение с известными результатами. В п. 3.3.4 приведено характеристическое уравнения многослойного концентрического сферического резонатора и получены его решения итерационными мегодами. В частности, определены резонансные частоты и добротности первых резонансов Шумана для системы Земля-ионосфера. В п. 3.3.5 дана стационарная теория возбуждения многослойного концентрического
17
сферического резонатора радиальным диполем. П. 3.3.6 содержит краткие выводы по параграфу 3.3. П. 3.4 посвящен анализу мод прямоугольного и многослойных планарных диэлектрических волноводов. Использованы интефаяьные уравнения диэлектрических волноводов в сочетании с методами сшивания и матриц передачи слоистых структур. В п. 3.4.1 содержится введение в проблему и обосновывается важность решаемых задач. В п. 3.4.2 методом ИУ анализируются //-моды однородного ПДВ. Обнаружены перескоки с оной дисперсионной ветви на другую при итерационном решении. В указанных областях перескоков использованы методы поиска комплексных корней. Найдены решения вблизи частотных отсечек. В п. 3.4.3 па основе дисперсионных уравнений строятся итерационные алгоритмы и анализируются ЬМ - моды многослойного ПДВ. Алгоритмы позволяют определять дисперсию во всем частотном диапазоне. В п. 3.4.4 приведены численные результаты для основной ЬМ- моды и высших мод. Волны ЬМ„ с номерами п > 0 ниже частоты отсечки становятся быстрыми вытекающими, но на очень низких частотах замедление и потери на вытекание начинают расти, угол вытекания стремится к л72, а волна становится медленной. В п. 3.5 приведены результаты для многослойных диэлектрических волноводов с полупроводниковыми слоями. Полупроводниковый слой моделировался как диэлектрик с плазмой носителей зарядов (электронов и дырок). Исследовано влияние плазменных частот и частот столкновений на дисперсионные свойства. Рассчитаны дисперсионные характеристики во всем диапазоне, включая и сверхнизкие частоты, где наблюдается переход от быстрой вытекающей волны к медленной с более сильным вытеканием. П. 3.6 посвящен итерационному анализу мод, дисперсии и потерь в плоскопараплсльном волноводе типа полый канал с многослойной оболочкой или с импедансными стенками. Указанные структуры имеют важное значение и широкое применение. В частности, рассмотрены квазипериодические (фотонно-кристаллические) оболочки. В п. 3.6.1 содержится введение в проблему и обоснование значимости решаемых задач. В п. 3.6.2 содержится постановка задач и приведены алгоритмы решения. ГТ. 3.6.3 содержит полученные численные результаты. В частности, анализируется дисперсия в плоскопараллельном волноводе с неидеальными стенками ниже частоты отсечки, а также в волноводе с многослойной оболочкой, включая
18
квазипсриодический случай. В п. 3.6.4 содержатся краткие выводы по п. 3.6. П. 3.7 посвящен моделированию нелинейного туннелирования электромагнитной волны через слой с кубической нелинейностью и насыщением диэлектрической проницаемости. Указанная задача соответствует прохождению сильной электромагнитной волны через нелинейный плазменный слой полупроводника. Рассмотрены феноменологические зависимости диэлектрической проницаемости от квадрата модуля поля с кубической (керровской) нелинейностью и нелинейностью с насыщением в сильном поле. При этом насыщения достигает плазменная частота (концентрация носителей). В п. 3.7.1 содержится введение в проблему и обосновывается ее актуальность. В п. 3.7.2 содержится постановка задачи, приводятся дифференциальные и интегральные уравнения, а также развиваются новые методы интегрирования дифференциальных уравнений и решения интегральных уравнений. Интегрирование основано на интерполяции интеграла с применением метода рядов и получения формул высокого порядка. В п. 3.7.3 приводятся численные результаты и их сравнение с известными методами. Показана возможность ограничения мощности сильной электромагнитной волны при ее туннелировании через слой с насыщением диэлектрической проницаемости. П. 3.7.4 содержит краткие выводы по п. 3.7. В п. 3.8 содержатся выводы по п. 3.8.
Глава 4 посвящение моделированию и гомогенизации фотоннокристаллических структур. Использован подход на основе периодических ФГ и ИДУ. Рассмотрены также квазипериодические структуры, в том числе плоскослоистые и фотонно-кристаллические волноводы. В п. 4.1 содержится введение в проблему фотонно-кристаллических структур и их гомогенизацию. В п. 4.2 изложены методы построения дисперсионных уравнений периодических ФК с магнитодиэлсктричсскими и металлическими включениями. П. 4.3 содержит описание методов гомогенизации и решения обратных задач для фотонно-кристаллических структур (ФКС). В п. 4.4 рассмотрены и численно исследованы фильтрующие структуры на основе квазипериодических ФК. П. 4.5 содержит результаты по фотоно-кристаллическим волноводам разной конфигурации. Рассмотрены дефекты в 2-0 ФК, структуры с планарной оболочкой и 2-0 ФК с конечной квазипсриодической оболочкой. П. 4.5.1 дает введение в проблему. В п. 4.5.2 получено новое интегральные уравнения 2-0 ФК. В п. 4.5.3 выведено дисперсионные уравнения бесконечного 2-0 ФК, включая случай наличия
19
волнового канала вдоль одной из осей. В и. 4.5.4 получен новый вид интегрального уравнения для ФКВ с неограниченной квазипериодической оболочкой. В п. 4.5.5 приведено интегральное уравнение ограниченного ФКВ, основанное на обычной ФГ. В п. 4.5.6 получены численные результаты для ФКВ, демонстрирующие резонансный полосовой характер погонных потерь на вытекание и постоянных распространения в зависимости от частоты в широком частотном интервале. Результаты получены путем итерационного решения дисперсионного уравнения. П. 4.6 посвящен электродинамическому анализу электрофизических свойств металлических ФК. В п. 4.6.1 содержится введение и обоснование важности исследования металлических ФК. П. 4.6.2 содержит постановку задачи для проволочных металлических ФК в виде прямых проволочных включений. Рассматривается также общая задача о включениях произвольной формы. П. 4.6.3 содержит постановку задачи для одноосные и двухосные МФК с нскоитактирующими проволочками конечной длины и большой (бесконечной) длины (в случае 2-D ФК). В п. 4.6.4 приведены численные результаты для дисперсии (зонной структуры) рассмотренных металлических ФК и получены тензоры их диэлектрической проницаемости. Использован метод гомогенизации Fia основе вычисления дипольного момента и путем сравнения дисперсии с дисперсией в гомогенной среде. Показана возможность наличия отрицательной компоненты тензора диэлектрической проницаемости в зоне непропускания при идеальной проводимости проволочек. В п. 4.7 содержаться выводы по главе 4.
В заключении сформулированы основные выводы настоящей работы, основные полученные результаты, подводится итог проведенных исследований.
20
ГЛАВА 1. ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ И ИТЕРАЦИОННЫЕ АЛГОРИТМЫ ДЛЯ ДИЭЛЕКТРИЧЕСКИХ И ФОТОННОКРИСТАЛЛИЧЕСКИХ СТРУКТУР ЭЛЕКТРОДИНАМИКИ
(Материалы опубликованы в работах автора [15,23-27, 206])
В данной главе дан обзор литературы и приведены основные типы ИУ и ИДУ, используемые при моделировании диэлектрических и фотонно-кристаллических структур. Кратко приведены также основные итерационные алгоритмы, используемые в численных методах, дана сводка основных результатов для них.
В работе рассматриваются в основном гармонические во времени (монохроматические) поля и соответствующие уравнения Максвелла с зависимостью ехр(/<»/), которую далее опускаем. Описание диэлектрических, магнитных, металлических и полупроводниковых структур на основе ИУ и ИДУ наиболее удобно на основе введения функций Грина (ФГ), хотя имеют место и другие подходы, например, с использованием леммы Лоренца, формул Стрэттона-Чу и других интегральных теорем электродинамики [ 16,32,41—43,44—46]. В электродинамике используют разные ФГ (функции источников). Для источников - плотностей токов в свободном прос транстве известна скалярная ФГ
О’(г) = (4л-|г|)~'ехр(-у7г0|г|), дающая электрический и магнитный вектор-потенциалы в истокообразном виде [47]:
Соотношение (1.1.1) определяет потенциалы как сторонних токов (первичных источников), так и для вторичных источников - токов поляризации и токов проводимости, наводимых на проводящих поверхностях и в проводящих средах полями. Проводимость сред приводит к их частотной дисперсии, как и дисперсия означает проводимость, что далее подразумевается в виде зависимостей е(со), //(со) для диэлектрической и магнитной проницаемостей. Проводимость означает наличие свободных зарядов и описывается соответствующей комплексной частью диэлектрической проницаемости (формулой Друде), аналогично описанию плазмы. Плотности токов поляризации имеют вид Ур(со)= ]со£0(е(со)-\)к((о),
Л”'(<у) = усо//0(//(со)-1)Н(со). Далее круговую частоту будем опускать и вводить
1.1. Гиперсингулярные интегральные уравнения для диэлектрических структур
(1.1.1)
21
- Київ+380960830922