Сечения многозначных отображений

- 2 -
СОДЕРЖАНИЕ
Стр.
Введете . .. 4
Терминологические замечания ............................ ... 20
Глава I. 'Сечения многозначных отображений в пространства,
являщиеся обобщениями метрических.................................................................... 21
§ I.I. Непрерывные сечения многозначных отображений в пространства, являщиеся обобщениями метрических .... 22
§1.2. Сечения первого класса многозначных отображений в
пространства, являщиеся обобщениями метрических . . 27 .
§1.3. Конечнозначные и бикошактнозначные сечения многозначных отображений^ пространства, являщиеся обобщениями метрических..............................-............ 43
§ 1.4. Непрерывные сечения на всвду плотных подмножествах для многозначных отображений в пространства, являющиеся обобщениями метрических .................................. 56
§ 1.5. О точках непрерывности полунепрерывных многозначных
отображений......................................................................................... 60
Глава 2. Сечения Многозначных отображений в упорядоченные
пространства....................................................................................... 64
§ 2.1. Непрерывные сечения многозначных отображений в упорядоченные пространства ........................................ 64
§ 2.2. Сечения первого класса многозначных отображений в
упорядоченные пространства ............................................................................. 67
§2.3. Конечнозначные сечения многозначных отображений в
упорядоченные пространства............................................................................ 73
Глава 3. Сечения многозначных'отображений в разреженные
пространства........................................................................................ 76
§ 3.1. Непрерывные сечения многозначных отображений в разреженные пространства .......................................... 76
- 3 -
Стр.
§ 3.2. Сечения первого класса многозначных отображений в
разреженные пространства ................................. 81
§3.3. Конечнозначные и бикомпактнозначные сечения многозначных отображений в разреженные пространства ... 87
§ 3.4. Непрерывные сечения на всвду плотных подмножествах для многозначных отображений в разреженные пространства ....................................................... 95
Глава 4. Непрерывные сечения многозначных отображений, определенных на экстремально несвязных пространствах, и бикомпактнозначные сечения многозначных
отображений в полные по Чеху пространства .............. 97
§ 4.1. Непрерывные однозначные сечения, полунепрерывные
бикомпактнозначные сечения и следствия ................... 97
§ 4.2. Полунепрерывные бикомпактнозначные сечения на всвду
плотных подмножествах.....................................101
Цитированная литература ......................................... 103
- 4 -
Введение
Необходимость рассмотрения многозначных отображений возникает при изучении различных задач теории и практики. Во многих математических ситуациях возникает вопрос о существовании сечения
, так называется, вооб-X .У , такое, что от контекста, в котором возникла задача, требуется найти сечение, удовлетворяющее тем или иным ограничениям, например, непрерывное однозначное, измеримое однозначное, полунепрерывное сверху или снизу с конечными или бикомпактными образами, непрерывное однозначное на всвду плотном подмножестве.
Задача о существовании сечений содержит как частные случаи следующие задачи: а) задача о продолжении отображений, б) задача об униформизации множеств, в) задача о существовании явного решения неявных функций.
Важнейшим примером многозначного отображения является отображение, обратное к однозначному отображению. Отсвда каждой теореме о существовании сечения многозначного отображения соответствует теорема об однозначном отображении, которая, например, в случае существования непрерывного сечения утверждает, что непрерывное отображение является гомеоморфизмом на некотором подмножестве. Следовательно, теория сечений многозначных отображений может .быть применена к вопросу о сохранении свойств топологических пространств при непрерывных отображениях, что является одной из основных задач общей топологии.
Первая глава диссертации посвящена исследованию вопроса о существовании сечений многозначных отображений в пространства, являющиеся обобщениями метрических. Начало теории непрерывных сечений
многозначного отображения Р из X вУ ще говоря, многозначное отображение Г из $xcFx для всех хеХ . В зависимости
- О -
для многозначных отображений в метрические пространства положено
в трудах Э. Майкла [29], [зо]. В работах М.М. Чобана [14] , [15] был предложен ряд новых результатов в этом направлении. Р. Эн-гелькинг [17] и М.М. Чобан [14] рассмотрели сечения первого класса. В работе К. Куратовского и Рыль-Нарджевского [2?] исследовались борелевские сечения многозначных отображений. Полунепрерывные компактнозначные сечения многозначных отображений впервые были рассмотрены в работе Э. Майкла [31], затем существенное продвижение в этом направлении было сделано М.М. Чобаном в работах [14] , [16] и С. Недевым в работе [Зб].
В диссертации разработан новый метод построения сечений многозначных отображений, заключающийся в том, что сечение получается в виде пересечения семейства многозначных отображений. За счет этого ряд результатов о существовании сечений многозначных отображений в метрические пространства удалось перенести на пространства с -диагональю.
Приступим к краткому изложению результатов первой главы, состоящей из пяти параграфов. Введем необходимые обозначения и определения. у
Через А(Х) (соответственной > КХ),С(Х),К(Х)Э
ехр*Х) будет обозначаться пространство всех (соответственно замкнутых, замкнутых линделефовых, бикомпактных, конечных, мощности не большей 71 ) непустых подмножеств топологического пространства X в топологии Виеториса.
Пусть РООсДШ . Тогда отображение £; Р(Х называется сечением пространства Р(Х) , если ЯВ)еВ бого
Вер(Х)
. Сечение пространства 2*
(экспоненциальным) сечением пространства X •
Подмножество А пространства У с (7^ -диагональю называется полным относительно счетной последовательности [г^тгсА)}
для лю-называется также
- 6 -
открытых покрытий V * такой, что для лю(^ого
*еУ. , если для любой невозрастающей последовательности {А
121
neN} замкнутых в V множеств, для которой АплАф.<£ я А* содержится в некотором элементе ^,71^/V , пересечение Г\^ (Ап П пА )фф . Обозначим через CML(Y) пространство непустых полных подмножеств пространства Y с Gr -диагональю, пусть
также LCML(Y) = L(Y) fiCML(Y) •
В первом параграфе исследуются непрерывные сечения.
Теорема I.I.I. Пусть Y - нульмерный (в смысле dim ) паракомпакт с Gg -диагональю, F= X—CML(V)- непрерывно. Тогда F имеет непрерывное сечение.
Утверждение теореглы эквивалентно тому, что CML(Y) име-. ет непрерывное сечение. Эта теорема обобщает теорему М.М. Чобана ( [14]. Следствие 2.2), доказанную им для нульмерного полного метрического пространства Y •
Теорема I.I.3. Пусть X - нульмерно, Y - паракокпакт с
Gg -диагональю, F:X-CML(Y) - непрерывно. Тогда F
имеет непрерывное сечение.
Эта теорема обобщает теорему М.М. Чобана ( [14]. Теорема 3.4), доказанную им для полного метрического пространства Y .
Теорема I.I.5. Пусть X - сильно паракомпактно, Y - индуктивно нульмерное (в смысле LTict ) пространство с Gg -диагональю, FX-CML(Y) - непрерывно. Тогда Р" имеет непрерывное сечение.
Эта теорема нова и для метрического пространства Y • Напомним, что пространство Y точечно совершенно, если каждая точка Y является Gg-множеством.
Теорема I.I.7. Пусть X - Fff -разреженный паракомпакт, Y -регулярное точечно совершенное пространство, Г'* X->С( Y)“ непрерывно. Тогда F* имеет непрерывное сечение.
- 7 -
Эта теорема является аналогом для непрерывных отображений теоремы Б.А. Пасынкова, утверждающей, что полунепрерывное снизу замкнутозначное отображение -разреженного паракомпакта в пространство с первой аксиомой счетности имеет непрерывное сечение.
Теорема 1.1.2. Пусть X - регулярно и имеет непрерывное сечение. Тогда д _ бэровское пространство наследственно по замкнутым множествам.
Во втором параграфе рассматриваются оечения первого класса.
Теорема 1.2.1. Пусть X - полное муровское пространство.
Тогда X имеет сечение первого класса.
/
Эта теорема, являющаяся одним из основных результатов диссертации, обобщает теорему М.М. Чобана ( [14]. Теорема 3.1), доказанную им для полного метрического пространства. Следующая теорема также обобщает указанную теорему Чобана.
Теорема 1.2.2. Пусть V - нормальное полукружевное пространство, Р:Х-СМКУ) - непрерывно. Тогда Г имеет сечение первого класса.
Если отображение бикомпактнозначно, то можно ослабить ограничения на V .
Теорема 1.2.4. Пусть V - совершенно нормальное субпара-компактное пространство с 0^ -диагональю, Г-.Х->С(У) - не-прерывно. Тогда |~" имеет сечение первого класса.
Следующие две теоремы показывают, что полнота не является необходимым условием существования сечения первого класса.
Теорема 1.2.5. Пусть X - О"-компактное метрическое пространство. Тогда X имеет сечение первого класса.
.'Теорема 1.2.6. Пусть X - счетное Т* -пространство с первой аксиомой счетности. Тогда X имеет сечение первого класса.
Построен пример счетного регулярного пространства, не имеющего сечения первого класса.
- 8 -
Теорема 1.2.8. Пусть Х-Х -пространство, имеющее сече-няе первого класса. Тогда X ~ совершенно.
В теореме 1.2.3 совершенность можно перенести с пространства V на пространство X ♦
Теорема 1.2.9. Пусть X - совершенно, У - паракомпакт с & -диагональю, Г : X—*СМНУ)- непрерывно. Тогда Р име-
О
ет сечение первого класса♦
Следующая теорема обобщает теоремы М.М. Чобана ( [14]. Теоремы 5.3 и 5.1), доказанные им для полного метрического пространства у.
Теорема 1.2.13. Пусть X - паракомпакт (совершенно, субпа-ракомпактно), У - совершенно нормальное пространство с Сг^ -диагональю, Г'Х —СНКУ)- полунепрерывно снизу. Тогда р имеет сечение первого класса.
Следующая теорема обобщает теорему, доказанную Р. Энгель-кингом ( [17] . Замечание 2) и М.М. Чобаном ([14]. Теорема 5.2) для метрического пространства.
Теорема 1.2.15. Пусть X “ совершенно, У - совершенно нормальное субпаракомпактное пространство с Сг -диагональю, Г-Х—С(У)- полунепрерывно снизу. Тогда р имеет сечение первого класса.
Построен пример, показывающий существенность компактнознач-ности отображения'р в приведенной теореме.
Теорема 1.2.17. Пусть X - полукружевное (совершенное, ш.т ^ , т.е. удовлетворяющее условию Шанина наследственно по
замкнутым множествам) пространство, У - чешуйчатое пространство с &£ -диагональю, Р-Х-ЧСМКУ) - полунепрерывно сверху. Тогда р имеет сечение первого класса.
Эта теорема нова и для метрического пространства 'V •