Содержание
- 2-
Введение............................................................4
Глава 1. Метод Миттаг-Леффлера.....................................10
§1. Теорема Коши о разложимости аналитической функции в ряд,
понятия элемента Вейсрштрасса и аналитического продолжения 11
§2. Теорема Рунге.................................................17
§3. Определение прямолинейной звезды..............................21
§4. Метод Миттаг-Леффлера.........................................23
§5. Мегод П. Пен леве.............................................26
§0. Приближение голоморфного решения задачи Коши в звезде
Миттаг-Леффлера и оценка погрешности приближения...............31
§7. Вычисление множителей сходимости..............................38
§8. Компькмерная реализация вычисления множителей сходимости 40
Глава 2. Аппроксимации Паде........................................48
§1. Аппроксимации Паде: основные определения и принципы
построения.....................................................48
§2. Сходимость аппроксимаций Паде.................................56
Глава 3. Эллиптические функции.....................................58
§1. Мероморфныс функции...........................................58
§2. Эллиптические функции.........................................61
§3. р(;г)-функция Вейерштрасса....................................66
§4. Новый подход к вычислению значений р(г)-функции...............76
Глава 4. Применение аналитических методов
к решению задач механики.................................81
§1. Задача о сферическом маятнике.................................81
-3-
§2. Уравнение Дуффинга
90
Заключение. Литература. Приложения
107
112
119
1. Количество членов в полиноме в зависимости от тг - номера полинома и v (120). 2. Численные значения множителей сходимости при и = 1 (123).
3. Численные значения множителей сходимости при и = 2 (138). 4. Численные значения множителей сходимости при v = 3 (146). 5. Численныезначения множителей сходимости при v = 4 (156). б. Численныезначения множителей сходимости при v = 5 (162). 7. Численные значения множителей сходимости при v = 6 (173). 8. Численные значения множителей сходимости при v = 7 (176). 9. Численные значения множителей сходимости при v = 8 (181). 10. Численные значения множителей сходимости при v = 9 (187). И. Численные значения множителей сходимости при v — 10 (195). 12. Численные значения множителей сходимости при I/ = И (205). 13. Численныезначения множителей сходимости при и = 12 (218). 14. Численные значения множителей сходимости при v = 13 (220). 15. Численные значения множителей сходимости при v — 14 (222). 16. Численные значения множителей сходимости при v = 15 (224). 17. Численные значения множителей сходимости при v = 16 (226). 18. Численные значения множителей сходимости при ^ = 17 (229). 19. Численные значения множителей сходимости при v = 18 (232). 20. Численные значения множителей сходимости при и = 19 (235). 21. Численные значения множителей сходимости при и = 20 (238). 22. Численные значения множителей сходимости при и = 29 (242). 23. Численные значения множителей сходимости при v = 30 (249). 24. Описание и листинги программ основной процедуры вычисления множителей сходимости и вспомогательных процедур (256). 25. Описание и листинги программы для численного построения полиномов (258). 26. Описание и листинги программ для численного решения уравнения Дуффинга методом Миттаг-Леффлера (260). 27. Описание и листинги программ для численного решения уравнения Дуффинга меюдом аппроксимаций Паде (262).
-4-
Введение
Данная работа основана на двух взаимосвязанных методах построения частных решений голоморфных систем дифференциальных уравнений: методе Миттаг-Леффлера и методе построения аппроксимаций Падс.
В основу исследований положены классические результаты основателей комплексного анализа: Вейерштрасса, Миттаг-Леффлера, Рунге, Паде, полученные в середине 19-го и начале 20-го веков, касающиеся приближения однозначных аналитических функций полиномами и рациональными функциями. Применением их результатов к меюдам построения решений дифференциальных уравнений в задачах механики занималось не одно поколение математиков, образованы целые школы. Однако, до сих пор, многие вопросы остались без ответа. Более того, привлекательные на первый взгляд, теоретические результаты, на практике при численной их реализации для исследования конкретных механических систем, столкнулись с такими компьютерными трудностями, что у многих вычислителей был потерян всякий интерес от безнадежности.
В области небесной механики в 60-х годах 20-го века в институте теоретической астрономии В.А. Брумберг пытался применить меюд Миттаг-Леффлера приближения полиномами к задаче трех тел, но па практике рассчитывая множители сходимости на вычислительной технике того времени столкнулся с большими трудностями, отказался от этой идеи, и вообще от этого метода [16].
В наше время метод приближения полиномами функций в своих звездах Миттаг-Леффлера встречается довольно редко в теоретических разработках как российских [47, 65, 71, 70], так и зарубежных [92, 93] ученых.
На метод построения аппроксимаций Паде первыми, обратившими внимание среди русских ученых, были московские математики A.A. Гончар и
С.П. Суегин [32, 33, 34] из института математики им. В.А. Стеклова. При их содействии и непосредственно под их руководством в 1986 году была переведена с английского языка и издана монография Дж. Бейкера, П. Грейвс-Морриса "Аппроксимации Падеп[9], которая вызвала интерес не только математиков, но и механиков, и физиков. Она до сих пор остается наиболее полной и содержательной монографией по мето/iy рациональных аппроксимаций - аппроксимаций Паде.
С развитием вычислительной техники и выходом монографии [9] метод аппроксимаций Паде находит все большее применение в теоретических и прак-
-5-
тических рабогах [1, 19, 20, 22, 23, 44, 51|.
Диапазон применения этих методов очень широк. Они могут быть использованы и в таких теоретических областях науки как теории функций комплексного переменного, математическом анализе, механике, так и при решении практических задач небесной механики, например, при решении одних из самых актуальных задач - сборки космического мусора и при расчете орбит искусственных спутников Земли. В физике могут быть использованы при исследовании механических систем, осуществляющих колебательные движения.
В данной работе предлагается обоснование и компьютерная реализация метода равномерной аппроксимации полиномами голоморфных функций (или их ветвей в случае многозначности) в своих звездах Миттаг-Леффлера, при этом, в случае мероморфиых функций, а именно такими являются эллиптические функции, дополнительно строятся аппроксимации Паде для вычислений значений функций в точках, попадающих в тень звезды.
Исходным пунктом рассматриваемых алгоритмов является задание исследуемой функции элементом Вейерштрасса:
00
ео : /(-г) = ап(г - го)". Для V* : |г - г0\ < р, (1)
п=О
где
- коэффициенты Тейлора, р - радиус сходимости ряда (1).
Используя метод Миттаг-Леффлера, можно функцию /(г), голоморфную в некоторой области П2 С Е (Е - расширенная комплексная плоскость), в своей звезде разложить в ряд но полиномам
00
/(*) = £/(»)(*)> (3)
п=0
где
/(п)М = /4")а0 + А <*1(* -*&) + ..• + ~ *0р. (4)
Здесь п - номер полинома, п = 0,1,2,...; величины р$п - так называемые множители сходимости, определяемые номером полинома и тп + 1 - количеством слагаемых в п-ом полиноме, тп = (*/ 4- 1)п — 1, V = 1,2,..числа аШп - коэффициенты ряда Тейлора.
-б-
Приэюм ряд полиномов (3) равномерно сходи'іся внутри звезды Миттаг-Леффлера элемента ео, задающего значения функции /(г).
Как только функция (1) выходит за пределы звезды Мипаг-Леффлера, т.е. функция (1) попадает в тень звезды, для вычисления ее значений предлагав гея использовать метод аппроксимации Паде. Аппроксимация Паде - это рациональная дробь вида:
[L/M] =
do + d\z + d>2Z^ +. • • + diz*
(5)
bo 4- biz -I- b2z2 +... + ЬмzM 9 где коэффициенты числителя d„ i = 0,1,2, и знаменателя к =
0,1,2, определяются через коэффициенты разложения (2) в ряд ис-
ходной функции (1), заданной элементом Вейерштрасса. С помощью определителей знаменателя
Q\l'M\z) =
dL-M+l аь-м+2 •• CLL+i
dL-M+2 aL-м+з O.U2
dL-l O.L ■■ O-L+M-l
аь OL+1 •• 1L+M
zM zm- 1 .. 1
и числителя
р\ЧЩ{г) =
строится дробь Паде
0-L-M+1 a.L-n+2 • dL+l
O-L-M+2 O-L-U+3 ■ OjO+2
aL-\ aL • dL+M-1
dL (IL+1 • aL+J\j
L-M L-A/+1 L
E a,rw+I E a,zM+‘~l . . 12aiZl
1=0 i=0 Ї=0
[L/M] =
p[L/M\
0\ци Г
Путем оптимального подбора числителя и знаменателя, аппроксимации Паде позволяют обходить встречающиеся особые точки функции /(г), окружая их малыми ^-окрестностями.
- 7-
Вышеназванные методы предлагается применять для вычисления эллиптических функций, используя тог факт, что любую эллиптическую функцию можно предо шить через р(г)-функцию Вейерштрасса, которая в свою очередь удовлетворяет нелинейному дифференциальному уравнению первого порядка
И*)]2 = 4[р(г)]3 - ®р(г) - qh
где 92> 9з ~ инварианты, удовлетворяющие условию <£> “ 27ф 0.
Для решения этого дифференциального уравнения построен аналитический алгоритм, в основе которого лежат методы Миттаг-Лсффлера и аппроксимации Паде.
На модельном примере - задаче о сферическом маятнике показано, как можно уйти от традиционных методов вычисления р(г)-функции Вейерштрасса через ряды и, воспользовавшись меюдами Миттаг-Леффлера и Паде, получить решение.
На другом модельном примере - уравнении Дуффинга строится общий алгоритм решения с помощью метода Миттаг-Леффлера и аппроксимаций Паде, который реализуется аналитически и численно, а затем проводится анализ полученных численных результатов.
В результате проделанной работы получены следующие результаты:
• На основе построенного аналитического алгоритма получена новая оценка погрешности метода Миттаг-Леффлера.
• Построен алгоритм нахождения множителей сходимости, впервые получены численные значения множителей сходимости для конечного числа слагаемых в аппроксимирующих полиномах.
• Разработай новый алгоритм вычисления р(г)-функции Вейерштрасса.
• Предложен новый алгоритм решении задачи о сферическом маятнике, основанный на методах Миттаг-Леффлера и аппроксимаций Паде, в аналитическом виде.
• Построено приближение решения уравнения Дуффинга меюдами Миттаг-Леффлера и аппроксимаций Паде как аналитическое, так и численное.
Работа состоит из четырех глав. Каждая глава предваряется кратким введением и разделена на параграфы. Формулы нумеруются в пределах главы:
- 8-
первая цифра означает номер главы, вторая - параграфа и далее непосредственно сам порядковый номер.
В главе 1 рассматривался метод Митгаг-Леффлера - аналитический метод построения приближений решения задачи Коши для систем дифференциальных уравнений, искомая функция которых задана элементом Вейер-штрасса в своей звезде 1\1иттаг-Леффлера. В начале главы напоминаются основные понятия и определения теории функций комплексного переменного, теорема Коши о разложимости аналитической функции в степенной ряд, понятия аналитического продолжения и элемента Вейерштрасса, теоремы об аналитическом продолжении и монодромии. Далее приводится теорема Рун-ге, на основании которой возможно построение последовательности полиномов, равномерно сходящейся к значению функции внутри некоторой области. Вводится понятие звезды и тени звезды функции. Подробно рассмотрен метод (алгоритм) Мштаг-Леффлера, в основе которого лежит теорема Рун-ге, приближения функции, заданной своим элементом Вейерштрасса в своей звезде, рядом полиномов. Приводится один из методов построения последовательности полиномов - метод Пенлеве. Далее рассказывается как можно применить метод Миттаг-Леффлера к решению систем обыкновенных дифференциальных уравнений, используя метод Коши-Липшица в модификации Пиконе. Выводится оценка погрешности приближения, представляющая один из основных результатов работы. Главная трудность, связанная с применением алгоритма Миттаг-Леффлера, заключается в вычислении так называемых множителей сходимости. Предлагаегся способ вычисления множителей сходимости как аналитический, так и численный, представляющий основной результат работы. В заключении первой главы проводится анализ проведенных вычислений множителей сходимости на компьютере, указаны трудности вычислений, связанные с компьютерной реализацией разработанного алгоритма.
Глава 2 описывает метод построения аппроксимаций Паде. В начале главы дается определение аппроксимации Паде, рассказывается об основных принципах построения аппроксимации Паде, напоминаются понятия определителя Ганксля, таблицы Паде, С-таблицы. Приводится теорема Паде о существовании аппроксимаций Паде, модернизированная Бейкером. Из теории сходимости аппроксимаций Паде ириводяюя основные теоремы: Монтессу, Поммереике и теорема Зшша-Юстина для диагональных аппроксимаций.
Глава 3 посвящена эллиптическим функциям. В начале главы напоминаются определение мероморфных функций и их свойства, приводятся примеры
-9-
мероморфных функций и теорема Миттаг-Леффлсра. Рассказывается о периодических мероморфнмх функциях: однопериодической и двоякоиериодической (эллиптической) и их свойствах, причем большое внимание уделяется эллиптическим функциям. Подробно разъясняются понятия параллелограмма периодов и решетки параллелограммов. Рассматривается р(г)-фуикция Вей-ерптграсса, ее свойства и традиционные методы определения р(г)-функции. Сле,дуя одному из основных свойств эллиптических функций: любую эллиптическую функцию можно представить в конечном виде через $э(,г)-функцию Вейерштрасса, в данной работе предлагаем алгоритм для вычисления р(г)-функции Вейерштрасса, основанный на методах 1\1иттаг-Леффлера и аппроксимации Падс.
Глава 4 представляет собой приложение описанных выше методов в задачах механики. Рассматриваются модельные примеры: задача о сферическом маятнике и уравнение Дуффинга. В задаче о сферическом маятнике строится р(г)-функция Вейерштрасса и решение с помощью алгоритма, основанного на меюдах Миггаг-Леффлера и аппроксимации Паде в аналитическом виде. При решении уравнение Дуффинга, в первую очередь, уделено внимание важной и сложной задаче численного анализа - построению ряда Тейлора. Используя метод Миттаг-Леффлера, строится ряд полиномов, равномерно сходящийся к решению уравнения Дуффинга. Проводится анализ численных расчетов применения метода Миттаг-Леффлера к построению приближения решения уравнения Дуффинга. Далее для решения уравнения Дуффинга строятся аппроксимации Паде, проводится численный анализ полученных результатов. В заключении проводится анализ компьютерной реализации по-егроения аппроксимации Паде на модельном примере - уравнении Дуффинга и сравнение численных результатов с методом Миттаг-Леффлера.
В приложениях приводятся численные значения множителей сходимости и листинги программ с описанием.
-10-
Глава 1. Метод Миттаг-Леффлера
В этой главе излагается аналитический метод построения приближений решения задачи Коши для систем дифференциальных уравнений, искомая функция которых задана элементом Вейерштрасса в своей звезде Миттаг-Леффлера.
В начале главы в §1 напоминаются основные понятия теории функций комплексного переменного и важнейшая в теории функций комплексного переменного теорема Коши о разложимости аналитической функции в степенной ряд, понятия элемента Вейерштрасса и аналитического продолжения, приводятся теорема об аналитическом продолжении элемента Вейерштрасса и теорема о монодромии, говорящая что функция, определяемая элементом Вейерштрасса, и построенная аналитическим продолжением заданного элемента Вейерштрасса, однозначна.
В §2 напоминаются теорема Рунге, следствие, вытекающее из нее, и усиленная теорема Рунге, на основании коюрых возможно построение последовательности полиномов, равномерно сходящейся к значению функции внутри некоторой области.
В §3 вводится понятие звезды и тени звезды функции, заданной своим элементом Вейерштрасса.
В §4 излагается метод Миттаг-Леффлера построения последовательности полиномов функции, заданной своим элементом Вейерштрасса.
В §5 приводится один из методов построения последовательности полиномов - метод Пенлеве.
В §6 рассказывается как можно применить метод Миттаг-Леффлера к решению систем обыкновенных дифференциальных уравнений, выводится оценка погрешности приближения.
Основная трудность алгоритма Миттаг-Леффлера состоит в вычислении множителей сходимости. В §7 приводится алгоритм нахождения множителей сходимости.
В заключении главы в §8 приводится анализ численных результатов полученных множителей сходимости, указаны трудности вычислений на компьютере.
-11 -
§ 1. Теорема Коши о разложимости аналитической функции в ряд, понятия элемента Вейерштрасса и аналитического продолжения
Пусть Е - произвольное множество точек комплексной плоскости.
Определение 1. Точка го называется предельной для множества Е, если любая окрестность точки го содсроютп бесконечное множество точек, принадлежащих Е.
Определение 2. Множество Е называется связным, если при любом его разбиении на два непустых подмнооюества Е\ и Е2 без общих точек, по крайней мере, одно из этих множеств содержит предельную точку для другого множества.
В качестве примера связного множества можно привести пустое множество и множество, состоящее из одной ючки. Примером несвязного множества может служить любое множество, образованное точками конечного числа замкнутых множеств ^п, попарно не имеющих общих точек.
Определение 3. Множество Е называется открытым, если для каждой его точки существует окрестность, все точки которой такоюе при-надлеоюат Е.
Примером открытого множества может служить множество всех точек на плоскости, множество всех точек, лежащих внутри круга. Пустое множество также относится к открытым.
Определение 4. Открытое и связное множество называется областью.
Относительно каждой комплексной функции г = /(£) действительного переменного £, определенной и непрерывной па некотором сегменте а < 2 < /? (х = х(1), у = */(£))> говорят, что она определяет или задает непрерывную кривую (линию) в плоскости г.
Значения функции называют при этом точками кривой, а совокупность всех значений функции - множеством точек кривой или просто кривой.
Если начальная и конечная точки кривой совпадают, то кривая называется замкнутой.
Действительную переменную £ называют обычно параметром, а равенство г = /(£) - параметрическим уравнением или просто уравнением кривой.
Определение 5. Одна и та же точка г, соответствующая различным значениям параметра, из которых по крайне мере одно отлично от крайних его значений, называется кратной точкой кривой.
-12-
Определение 6. Кривая, не имеющая кратных точек, называется жор-дановой.
Определение 7. Функция f(z) комплексного переменного z называется аналитической в области G С Е, ccjiu она может быть представлена в виде сходящегося степенного ряда в окрестности любой точки zq € G:
00
f{z) = ]Га„(г-г0)'\ \z — zq\ < p, (1.1.1)
»=0
где p - радиус сходимости степенного ряда.
Теорема Коши о разложимости аналитической функции в степенной ряд [60]. Пусть f(z) - функция, однозначная и аналитическая в
области G, Zq - произвольная (конечная) точка области G и Д - рассто-
яние от zq до границы этой области1. Тогда существует степенной ряд, расположенный по степеням z — zq, сходящийся в круге К: \z — zq\ < Д и представляющий в этом круге функцию f(z):
00
f(z) = Y^a"iz - *o)n. (1.1.2)
n-0
Зіа теорема имеет огромное значение в теории функций комплексного переменного. Она показывает, что функция f(z) комплексного переменного z Є G, голоморфная (дифференцируемая) в некоторой области G, может быть представлена степенным рядом, расположенным по степеням z — zq в окрестности любой ТОЧКИ Zo € G.
Из доказательства теоремы Коши для коэффициентов ряда (1.1.2) имеем оценки Коши:
М
ы<—, п = 1,2,3,..., где М{р)= шах \f(z)\,
Р \z-zq\=p
где 0 < \z - г0| < р < А.
Пусть f(z) и <p(z) - две функции, однозначные и аналитические, принадлежащие соответственно областям G,D расширенной плоскости2 Е.
Определение 8. Функции f(z) и ip(z) называются непосредственными аналитическими продоло/сепиями одна в другую в том случае, когда выполнены два условия:
'Заметим, что граница области G может сбодиться к единственной бесконечно удаленной точке. В этом сл>чае А следует считать ранным бесконечности.
2Под расширенной плоскостью Е понимается комплексная плоскость, к которой присоединена бесконечно удаленная точка г = ос.
-13-
1) области С и О имеют по крайней мерс одну общую точку;
2) существует область д, содерэ/сащаяся как в области С, так и области О, во всех точках которой /(г) = р(г).
Определение 9. Функции }{г) иф(х) называются аналитическими продолжениями одна в другую, если существует конечное число областей Со = й, ..., Сп = О и о каждой из них по аналитической функции /0(2) = /(2),
• ••> /71(2) = <р(2), таких, что /*(2) является непосредственным продолжением Д_ 1(2) (& = 1,2,..., п).
Определение 10. Назовем совокупность области С н однозначной и аналитической в ней функции /(2) элементом {С,/(2)}, пр?/ эт<ш область С назовем областью элемента. Систему элементов
{^о, /о(*)},..., {С„, /71(2)},
где /*(2) есть непосредственное продолжение /*-1(2), /;= 1,2,..., л, будем называть цепью элементов, соединяющей {Со,/0(2)} и {Сп,/п(2)}.
Отношение аналитического продолжения между элементами обладает следующими свойствами:
1) рефшексивпосты каждый элемент является аналитическим продолжением самого себя;
2) симметричность: если элемент {В, <р} есть продолжение элемента {О, /}, то и элемент {С?,/} есть продолжение элемента {Д<р};
3) транзитивность: если элемент {£>, ф) есть продолжение элемента {б, /}, а элемент {Е, ф] - продолжение элемента { Д <р}, то элемент {Е, ф} есть продолжение элемента {С,/}.
Рассмотрим множество всех возможных элементов, т.е. всех областей расширенной плоскости и всех однозначных и аналитических функций в соответствующих областях. Разбиваем их на классы, относя в один и тот же класс два элемента тогда и только тогда, когда они служат продолжением друг друга. Очевидно, что каждый элемент попадет в некоторый класс, причем каждый элемент {С,/} некоторого класса К будет полностью характеризовать этот класс в том смысле, что любой элемент {Д<£>} попадет в К, если он является продолжением элемента {С, /}, и не попадет в него в противном случае.
Определение 11. Будем говорить, что каждый из указанных классов определяет полную аналитическую функцию Е(г), причем различные классы определяют различные полные аналитические функции.
- 14 -
Определение 12. Элемент {С,/} 6 К будем называть элшентом функции Р(г) или однозначной ветвью функции Р(г) в области С. Значения элементов функции Дг) будем называть значениями этой функции. Класс К определяет функцию Р[г).
Пусть Р(г) - полная аналитическая функция и М - множество всех точек, принадлежащим областям элементов этой функции. Очевидно, это множество непустое, так как класс К, определяющий Р{г), не пустой. Множество М является открытым, так как если го 6Е М, то го есть точка некоторой области С, входящей в элемент {С, /}, и потому существует окрестность точки 2о, принадлежащая С, а следовательно и М. Наконец, М - связное множество. В самом деле, пусть го и г1 - две различные точки из М. Пусть го 6 Со, где {Со,/о} € К, и г' £ С, {С',/'} € К; но определению класса К должна существовать цепь, соединяющая {Со,/о} и {С',/'}:
{Со,/о{Сп,/п} = {С',/'}.
Так как и {(?*,/*} являются непосредственными продолже-
ниями друг друга, то С*_1 и С^ должны иметь общие точки.
Пусть & - общая точка областей йи-г и Си и 7* - непрерывная кривая, принадлежащая С^. и соединяющая Оь с &+1, к = 1,2,..., п -1. Тогда, соединяя еще 20 с в области С о и (п сг'в области Сп непрерывными кривыми 70 и 7„, получим непрерывную кривую 7 = Чо^Ъ^-• *^7п (при пробеге которой конец каждой дуги 7/;, к < п принимается за начало следующей дуги 7&+1), принадлежащую М и соединяющую го с 2/3. Итак, мы показали, что М есть область.
Определение 13. Область М называется областью существования полной аналитической функции Р(г).
Заметим, что не существует ни одного элемента функции Р(г)) который был бы определен в точке, не принадлежащей области М.
Определение 14. Элемент { Д у?} назовем подчиненным элементу {С, /}, если й ей и (р(г) = /(г), г £ О и обозначать это {Ду?} С {С,/}.
Очевидно, если {Д <р} С {С, у?}, то эти элементы являются непосредственными продолжениями друг друга. Поэтому каждый класс К, определяющий полную аналитическую функцию, должен содержать наряду с некоторым элементом {С,/} также и все элементы, подчиненные {С,/}.
Заметим, что если некоторый элемент {Ду?} является непосредственным продолжением элемента {С,/} и О С С, то {Д у?} С {С,/}, так как суще-
3Более того в качестве 7 может быть Быбрана конечная ломанная
— 15 —
ствует область д С D С G, в которой f(z) = ip(z) и, следовательно, в силу теоремы единственности f(z) = <p(z) но всех точках области D.
Пусть область G есть круг \z - zq\ < г или внешность круга \z\ > г. Функция f(z) аналитическая в этой области представляедся в виде суммы сходящегося ряда
00 00 /(*) = ^ an(z — 20)” соответственно /(г) = ^
п=0 п=0
В каждом из этих случаев элемент {G,/} полностью характеризуется заданием степенного ряда и указанием радиуса г того круга, внутри или вне которого рассматривается сумма одного ряда.
Определение 15. Элементы {(?,/} назовем круговыми, в дальнейшем элементами Вейерштпрасса.
Покажем, что, пользуясь одними круговыми элементами, можно ввести понятие полной аналитической функции.
Пусдъ К - класс всех возможных элементов, определяющих полную аналитическую функцию <p(z), а к - его подкласс, состоящий из одних только круговых элементов. Этот подкласс единственным образом определяет весь класс К, и следовательно, определяет ту же самую полную аналитическую функцию. Это нужно понимать не только в том абстрактном смысле, что задание к позволяет решить относительно любого элемента, принадлежит ли он к классу К D к или не принадлежит, по и в том смысле, что каждый некруговой элемент из К (т.е. каждая однозначная ветвь функции ip{z) в некоторой области G) может быть представлен посредством элементов из к.
В самом деле, разложение этой ветви в степенные ряды в окрестностях различных точек области G будут круговыми элементами из к. Представляя G в виде предела последовательности возрастающих областей {С?»} и замечая, что каждое из замкнутых множеств Gi, G2\Gi, ..., Gll+i\G„,..., в совокупности покрывающих G, может быть, в свою очередь, покрыто конечным числом кругов, принадлежащих G, найдем, что для представления данной ветви достаточно не более чем счетного множества круговых элементов. На основании всего выше сказанного, при определении полной аналитической функции можно рассматривать только одни круговые элементы.
Пусть L: z = А(£), а < t < (J- непрерывная кривая и е: f(z) = Y,nLoan(z~ z0)n, \z - zo\ < r - круговой элемент Вейерштрасса с центром в начальной точке zo = А(а) данной кривой.
Предположим, что для некоторого значения параметра г, а < т < 0,
-16-
можно указать конечное число промежуточных значений парамегра і:
п=0
так, что при этом будут выполнены следующие условии:
1) е0 = е;
2) е;+] есть непосредственное продолжение е_;, ^ = 0,..., А: — 1;
3) центр элемента е3 есть точка г3 = А(<;) кривой Ь, j = 0,...,к]
4) каждая дуга Ь3 < £ < покрывается кругами элементов е3 и е;+1,
При этих условиях мы будем говорить, что элемент е аналитически продолжается вдоль дуги £[Л|Т] кривой Ь и что цепь элементов ео,..., е* осуществляет аналитическое продолжение вдоль указанной дуги.
Элемент е' = е& будем называть результатом продолжения элемента е вдоль этой дуги.
Отсюда следует, что цепь еп,еп_1, ...,е1,ео осуществляет продолжение элемента еп вдоль той же дуги, проходимой в противоположном направлении, причем результатом продолжения оказывается исходный элемент ео-
Заметим, что каждое вообще аналитическое продолжение можно рассматривать как продолжение вдоль некоторой кривой. А именно, если элемент е' есть продолжение элемента ео и ео, е\, ..., е* = с' - цепь элементов, связывающих ео с е', то, соединяя прямолинейными отрезками центры кругов каждой пары соседних элементов, получим ломанную Л, вдоль которой заданная цепь осуществляет аналитическое продолжение элемента ео.
Теорема [61]. Пусть цепь элементов ео, еп = е' осугцествляет
продолжение элемента ео вдоль непрерывной кривой Ь: г = А(£), а < I < (3 и пусть V: г = о! < \! < /3' - также непрерывная кривая, имеющая общие начало го и конец г' с Ь и такая, что для некоторого подразделения сегмента [а',/?']
= а < < ... < = т
и для каждого из них круговой элемент
00
-17-
каэ/сдая точка г' = д(^), исключая начальную и конечную точки кривой V, является общей для кругов элементов е3-\ и е3 и каждая дуга | кривой II заключается в круге элемента е;, У = 0,1,..., п.
При этих условиях элемент ео можно продолжить вдоль V и результатом продолжения останется тот же элемент е'.
Теорема о монодромии [61]. Если некоторый элемент ео аналитически продолжаем вдоль любой непрерывной кривой, принадлеэюащей данной односвязной области б, то функция /{г), определяемая в этой области всеми элементами, получаемыми при указанных продолэ/сепиях, однозначна.
§ 2. Теорема Рунге
Прежде чем сформулировать теорему Руиге, напомним некоторые определения.
Пусть Е - произвольное бесконечное множество точек, каждая точка которого является предельной для Е4.
Определение. Функцию /(г), определенную и однозначную на Е, будем называть локально-аналитической на Е) если для каждой точки го £ Е существует степенной ряд ” го)П и окрестность I!о такие, что
во всех точках Е, припадлеэюащих Vо, функция ф{г) представляется в виде суммы ряда
оо
/(*) = ]£«»(* л=0
Замечание. В случае, когда Е - область, понятие локальноаналитической функции совпадает с понятием функции, однозначной и аналитической в области.
Пример. Рассмотрим разбиение плоскости на квадраты К1, ..., КП)
...со сторонами, параллельными координатным осям и равными по длине единице. Пусть Е представляет совокупность внутренних точек всех этих
о
квадратов. Полагая /(г) = гп для г €Кп, получим функцию, локальноаналитическую на £?, которую нельзя считать полной аналитической функ-
° д °
цией на £*, т.к. для точек гп ЕКп= ЫКп и гт ЕКт> тфп не существует
аналитического продолжения /(г). Именно поэтому понятие полной аналити-
А А
ческой функции введено лишь для областей в Е (иод Е понимается расширенная комплексная плоскость). В общем случае, для произвольных открытых множеств из Е, оно оказывается некорректным.
*Е - плотное в себе множество
-18-
Пусть Е = Р - произвольное открытое множество. Если оно связно, то ^ является областью. Если же оно несвязно, то Е состоит из конечного или счетного множества областей, попарно не имеющих общих гючск.
Рассмотрим разбиение плоскости на равные квадраты К\, ...уКпу...
со сторонами, параллельными координатным осям, такое, что начало координат служит вершиной одного из квадратов. Выделим лишь те квадраты Кп С Р вместе с восемью квадратами, непосредственно к ним прилегающим. Точки, лежащие внутри выделенных квадратов, точки сторон, общих для двух квадратов этого рода, и вершины, общие для четырех квадратов, образуют открытое множество F/ такое, что Р' С Р.
Пусть длина стороны квадрата разбиения равна ^7. обозначим через Рп пересечение множества Р' с квадратом -Зп < х < 3”, —Зп < у < Зп.
Множество Рп - ограниченное открытое такое, что Рп С Граница множества Я, состоит из конечного числа замкнутых жордановых спрямляемых кривых, каждая из которых образована конечным числом прямолинейных отрезков и очевидно, выполняются следующие свойства:
1) Рп вместе с границей лежит внутри Рп+\\
2) для каждого ограниченного замкнутого множества ^ С можно найти такое положительное число Аг(^), что при п > N(1?) Р С Рп»
Будем говорить, что {Рп} есть возрастающая последовательность открытых мноэ/ссств, приближающих Р.
Пусть /(г) - локально-аналитическая функция на Обозначая границу множества Рт через Гт, т = 1,2,..., будем иметь для г Е Рт:
Интеграл по Гот+1 следует понимать как сумму интегралов, распространенных на отдельные замкнутые жордановы спрямляемые кривые, из которых
а аналогичные интегралы, по границам остальных компонент Рт+\, равны нулю. Складывая их вместе, получаем (1.2.1).
Из теоремы Витали [60] вытекает, что для Уе > 0 можно найти для (1.2.1) такую интегральную сумму 5(т+1)(.г) = 5^т+1^(г,е), чтобы для всех точек г
(1.2.1)
состоит Гт+1. Если точка 2 Е Рт, то она лежит внутри одной компоненты Рт+\, границу которой обозначим 7. Тогда интеграл
7
-19-
множества Рт выполнялось бы неравенство:
|/(2)-5(т+1)(г,е)| <е. (1.2.2)
Построим для (1.2.1) сходящуюся к нему последовательность интегральных сумм:
1 V" Л&) ип
2т , Ск~ 2 к=1 ^
где ^ и £% - начальная и конечная точки дуги сг* 6 Гт+1. Вообще говоря, £{.' совпадает с ££.+1, но это условие нарушается, когда <т* и <т*+1 принадлежат различным кривым, составляющим Гт+1, т.к. Гт+1 можег быть и несвязным множеством. Для равномерной сходимости на Рт последовательности интегральных сумм достаточно, по теореме Витали [60], чтобы эта последовательность была равномерно ограничены внутри Рт+\. Это действительно так, ибо для любого замкнутого множества Р С /^+1 имеем:
1 \Г' fit к) (еЧ
Л»— 1
Мт 41
“2 n6(F)m+U П~
где Мт+1 = тах|/(2)| на Гт+1, &(Р) - расстояние от F до Гт+\ и Ьт+\ -длина Гш+1. Поэтому для каждого е > 0 можно найти такое N(e)) что при п > N{e) каждая из рассматриваемых интегральных сумм может быть взята в качестве S(rn+1) в неравенстве (1.2.2).
Если положить е = ет, ет -> 0 при т -> оо, получим последовательность рациональных функций S(m+1)(z) = 5im+1)(z,em+i), равномерно сходящуюся к f(z) на каждом замкнутом множестве F*, к = 1,2,..., т.е. равномерно сходящуюся к f(z) внутри F. Тем самым, мы доказали следующую теорему.
Теорема [60]. Для любого открытого мнооюества F и для любой однозначной функции f{z), локально-аналитической на F, существует последовательность рациональных функций Rn{z) = S(n+1)(2), равномерно сходя-щаяся к f(z) внутри F.
Лемма [60]. Пусть Р - ограниченное замкнутое множество и£ - точка вне Р. Пусть R(z) - рациональная функция, имеющая единственный полюс в
R(z) - —
n[Z) (*-£)*’
степень многочлена P(z) не больше к. Если точка т/ припадлеэюит той Dice области д, смежной с Р, которой принадлеоюит и точка то для любого
-20-
є > 0 можно построить рациональную функцию R{z):
ад = тЩг,
[z - rj)k
степень Р(г) не больше к, такую, что
R(z) - Я(*)
<є, ze F.
Теорема Рунге [60]. Пусть F есть (конечная или счетная) совокупность односвязных областей, попарно не имеющих общих точек и не содержащая точку оо. Для каждой функции f(z), однозначной и локально-аналитической на F, можно построить последовательность многочленов {Pn{z)}} равномерно сходящуюся к f(z) внутри F.
Из доказательства теоремы Рунге вытекает следующее следствие.
Следствие [60]. Пусть Р - ограниченное совершенной мпооюество, дополнение к которому G, относительно расширенной плоскости, связно, т.е. является областью. Тогда для любой функции f(z) однозначной и локально-аналитической па Р, и для любого е > 0 существует многочлен Q(z) такой, что
|/(г) - Q(z)| < є, г € Р.
Основываясь на приведенном выше следствии, можно сформулировать усиление теоремы Рунге.
Теорема Рунге (усиленная) [60]. Пусть F - открытое мпооюество, не содержащее точки оо и представляющее объединение односвязпых областей без общих точек. Пусть Р, не имеющее общих точек с F, - ограниченное совершенное множество, дополнение к которому связно, т.е. является областью. Если f(z) - функция, однозначная и локально-аналитическая на F, и ip(z) - функция, однозначная и локально-аналитическая па Р, то молено построить последовательность многочленов, сходящуюся к f[z) на F и к (p(z) на Р, причем сходимость равномерна на каждом множестве F U Р, где F - какое-либо замкнутое ограниченное мпооюество, содероюащееся в F.
Совершенное множество - замкнутое множество, не имеющее изолированных точек, тс. совпадающее с множеством всех своих предельных точек.
-21 -
§ 3. Определение прямолинейной звезды
Пусть ео - круговой элемент Вейерштрасса в точке го. Из точки го выходят прямолинейные лучи. Построим продолжение данного элемента ео с центром в точке го по этим прямолинейным лучам. Очевидно, что на каждом луче существует начальная часть, вдоль которой продолжение возможно. Длина ее не меньше, чем радиус элемента ео- Если посредством продолжения элемента ео вдоль данного луча нельзя достичь произвольной точки этого луча, начиная от го, то на луче должна иметься точка ги отличная от го, такая, что продолжение элемента ео возможно вдоль отрезка луча, начиная от го, до любой точки интервала (го, г\), и невозможно вдоль всего сегмента [го, г\\.
Рис. 1. К определению звезды и тени звезды.
Определение. Отметим па каоюдом луче, выходящем из го, соответствующую точку г\, полагая г\ = со, если продолоюепис возмоо/спо вдоль всего луча, и рассмотрим множество точек, прииадлеоюащих всем воз-М0Э1С11ЫМ полуинтервалам (го,г\). Это множество называется прямолинейной звездой элемента ео и обозначается 8е0 (см. рис. 1).
Оно содержит все 'ючки плоскости, которых можно достичь, аналитически продолжая элемент ео вдоль всевозможных прямолинейных отрезков с общим началом в точке го-
Определение. Множество 0 = Е \ 5С0 назовем тенью звезды
А
Очевидно, 0 - замкнуто в Е и может иметь положительную меру.
-22-
Покажем, что 5ео ость область. В самом деле, 2о - внутренняя точка множества 5ео, так как весь круг элемента ео содержится в 5Со. Если возьмем г 1 ф ло и г\ Е 5ео> то но теореме об аналитическом продолжении элемента [61] (см. §1 этой главы), точка г\ обладает такой окрестностью £/, что элемент со можно аналитически продолжать вдоль любого отрезка [2о,£], где £ Е II. Следовательно, (/ С ^ и 5ео есть открыюе множество. Связность множества 5ео непосредственно вытекает из того, что любые две точки, принадлежащие 5ео, могут быть соединены посредством ломаной кривой. Например, точки г\ Е 5ео, 22 Е 5^ могут быть соединены в 5ео посредством ломаной, состоящей ИЗ двух отрезков [21, 2о] И [20,22].
Покажем, что 5ео есть односвязная область. Допустим, что внутри замкнутой жордановой кривой 7 € 5ео находится точка £ ^ 8ео. Проведем через точку £ луч из 2о. Луч этот пресечет кривую 7 в точке 2] такой, чю £ Е [20,21], но по определению множества 5^ 01 резок [20,21] содержится в этой области, и значит, £ £ [20,21] содержится в ней вопреки допущению. Следовательно, прямолинейная звезда 5е„ есть односвязная область.
Пусть 5^ - прямолинейная звезда элемента ео. Выше мы показали, что 5Со
есть односвязиая область. Пусть 21 ф 20 и 21 Е 3Со и е\ — элемент с центром
00
2], представляемый рядом ^2 ап{^ — 2\)п} полученный продолжением элементно
ча ео вдоль прямолинейного отрезка [20,21]. Положим /(21) = ао и определим /(2) как однозначную функцию во всей области 5ео. Покажем, что эта функция /(2) является аналитической в данной области. Для точки 21 существует окрестность и) принадлежащая 5ео, такая, что для любой точки £ Е V продолжение элемента ео вдоль ломанной 20^21 приводит к тому же элементу в\.
Отсюда следует, что продолжение элемента в1 вдоль отрезка [21,£] приводит
00
к тому же элементу е с центром £: ап(г-£)п , что и продолжение элемен-
тно
та ео вдоль отрезка [20,$]. Но если окрестность £/, а следовательно и точка £, принадлежит кругу сходимости элемента 61, то результатом продолжения элемента е\ вдоль [21,$] должен служить элемент с центром £, подчиненный в\. Следовательно, е есть элемент, подчиненный ей и значение /(£) = ао
свободного члена ряда, представляющего элемент е, совпадает со значением
00
ряда ^2 аЛг ~ *\)п в точке 2 = £. Следовательно, мы доказали, что
п=0
00
т=
п=0
-23-
во всех точках некоюрой окрестности точки z\ £ Seo, откуда и вытекает аналитичность функции f(z) в этой окрестности и далее в силу того, что z\ - произвольная точка области, - во всей области 5ео .
Итак, продолжая элемент ео по всем возможным лучам, выходящим из ^о, мы получаем в результате однозначную аналитическую функцию /(г) в звезде 5Со данного элемента.
§4. Метод Миттаг-Леффлера
Покажем, как функцию f(z) можно представить в виде суммы ряда многочленов, равномерно сходящегося внутри звезды 5ео.°
Пусть F - ограниченное замкнуюе множество точек из 5Со- Потребуем, чтобы для каждой точки z 6 F тому же множеству F принадлежали также все точки прямолинейного отрезка [20,2]. Этому требованию можно удовлетворить, пополняя первоначально заданное множество точками всевозможных прямолинейных отрезков, соединяющих ТОЧКИ ИЗ F С 20, где Zq — центр элемента ео-
Пусть L - замкнутая жорданова спрямляемая кривая, принадлежащая Seo и содержащая внутри F. Такую кривую всегда можно найти, используя возрастающую последовательность односвязных областей, построенных из квадратов и приближающих Seo изнутри. В качестве L можно взять границу одной из таких областей.
Для любой точки z Е F функцию f(z) можно представить интегралом Коши
,м - 1 ff(m 1 f 1 f(m rim ГГ-2Й/ьЛЗ'-fT^- (1АЦ
L L 5 ^
Рассмотрим множество точек £7(F, L), коюрое опишет точка
2-20
с >
? ~*0
если 2 будет пробегать все множество F, а £ - всю кривую L. Покажем, что это - ограниченное и замкнутое множество.
В самом деле, если 5 > 0 - расстояние от точки zq до кривой L, а
М ^ sup \z - 2о|,
zeF
6 Последовательность <^п: -> Е сходится равномерно ннутри 101 да и только тогда, когда для V
компакта К С 5<0 у?„ сходится равномерно на К.
-24 -
то
И ä £
Если tr - предельная точка для
- 20
*п =
2q
то, переходя к подпоследовательностям, можем потребовать, чтобы zn и £п сходились. В силу замкнутости множеств F и L имеем:
lim zn = z' Е F, lim £r, = E L,
n->00 n->00
откуда
t' = lim fn = lim ^ ^ e £(F, L),
я-»о0 ti—boo - ZQ - 2o
т.е. рассматриваемое множество также замкнуто и не содержит ни одного положительного числа и > 1. Эго вытекает из того, что
< =
может принимать действительно положительные значения только тогда, когда 2 и £ лежат на одном луче, выходящем из точки zq. Новэюм случае точка f, не принадлежащая F, не может находиться между zq и 2, и следовательно,
Рассмотрим функцию
v(f) = jzrt (L4-2)
в одиосвязной области G, границей которой служит часть действительной оси: и > 1, v = 0. Так как функция ip(t) является однозначной и аналитической в области G, то она по теореме Рунге (см. §2 этой главы) может быть
разложена в ряд многочленов, равномерно сходящийся внутри G:
1 00
j—7 = Е Р"W. we РМ = № + ^ + • • • + /4",’Л- (1-4-3)
п=0
Заменяя здесь t на и замечая, что точка при 2 Е F и f £ L заключается в ограниченном и замкнутом множестве точек E(F, L), принадлежащем
- Київ+380960830922