Оглавление
Введение
л
1 Смешанная задача с третьим и первым краевыми условиями
1.1 Постановка смешанной задачи......................................
1.2 Решение задачи возбуждения.......................................
1.3 Приложение полученного результата к задаче граничного управлении
2 Смешанная задача со вторым и третьим краевыми условиями
2.1 Постановка задачи................................................
2.2 Решение задачи возбуждения.......................................
3 Оптимизация граничного управления при закрепленном конце
3.1 Постановка задачи граничного управления..........................
3.2 Проведение оптимизации...........................................
3.3 Решение интегрального уравнения..................................
3.4 Доказательство единственности оптимального управления............
А Граничное управление при упругом закреплении Литература
3
11
11
13
18
21
21
23
30
30
33
40
42
45
56
2
Введение
Главным предметом изучения в настоящей диссертационной работе является задача граничного управления для волнового уравнения с одной пространственной переменной
««(ж, 0 = 0. (1)
Уравнение (1) представляет интерес, так как оно является математической моделью большого числа волновых процессов, встречающихся в самых разных физических явлениях: механические колебания в упругих струнах и кристаллах кварца, колебания в радиотехнических устройствах, перемещение сечений каната в судовых спускоподъемных операциях и др. В приложениях возникают задачи, когда желательно генерировать колебания заданных частот, или же наоборот, переводить изучаемую систему в состояние полного покоя. В связи с этим большую актуальность приобретаютзадачи о граничном управлении процессом колебаний, которые описываются волновым уравнением.
Исследованию решений задач граничного управления и их оптимизации посвящены работы многих математиков (см..например, [1] - (34]). Основной целью является изучение условий, при которых процесс колебаний струны под воздействием некоторого граничного управления может быть переведен из одного состояния, характеризуемого начальным смещением и-начальной скоростью точек струны, в наперед заданное финальное состояние. В математическом плане такие задачи граничного управления формулируются в терминах краевых задач для волнового уравнения (1) и более общих гиперболических уравнений.
Во многих работах доказывается существование определенного промежутка времени, который, следуя общепринятой терминологии, мы будем называть критическим (Ткрит)- Было показано (см., например, (18],[ 19],(21 ]), что если промежуток времени, за который производится управление, не превосходит Ткрит. то задача граничного управления не имеет решения для произвольных начальных и финальных условий. При промежутках времени строго больших Ткрит. существует бесконечно много решений задачи граничного управления при любых начальных и финальных функциях. Для уравнения (I) было установлено, что Ткрит = 21 в случае граничного управления на одном конце струны и Ткрит = I » случае управления на двух концах.
Одним из первых задачу об управлении колебаниями в форме смешанных задач для волнового уравнения рассмотрел в цикле своих работ Ж.Л. Лионе ((1 ], [2]). В работе [ 1 ] данная задача изучалась в цилиндре П х (0,Т) с начальными условиями
ц(а;,0) = ¥?(ж), щ(х, 0) = ф(х), в& (2)
3
и граничными условиями
и(.М)=М0> в Г х (О,Т). (3)
Начальные и граничные условия были взяты из следующих классов: гр{х) е
Н~1(П), /л(1) € L2[0,T], a u(x,t) являлось слабо обобщенным решением. Задача заключалась в нахождении такой функции ц(Ь) е L2[0,T], для которой в классах Ь2 и Я-1 выполня-
лись бы равенства
и{хуТ) = 0; щ(х/Г) — 0, вП, (4)
где u(x,t) - решение задачи (1) - (3) с граничным условием Лионсом была доказана неединственность решения сформулированной задачи при промежутках времени Т > 2Я(^) 1 Разработанный Лионсом метод (Hilbert uniqueness method) позволил изучить проблему существования граничного управления исследуемой задачи не только в одномерном, но и в многомерном случае.
В дальнейшем HUM-метод Лионса был обобщен его учениками и последователями (см., например, [3] - [б]) на случаи квазилинейного волнового уравнения, однородного транспортного уравнения, неавтономных гиперболических систем и др.
В статье Ф.П. Васильева [7) была предложена трактовка основ теории двойственности в линейных задачах управления и наблюдения. Его совместные с учениками работы ((8), (9]) посвящены конструктивному решению задач о граничном управлении процессом колебаний. В этих статьях были построены эффективные численные алгоритмы нахождения искомого граничного управления. Работа [8] основана на использовании конечномерной аппроксимации задачи граничного управления, а работа [9] использует метод Фурье.
А.З. Ишмухаметовым в работе [10] была изучена задача приведения однородного стержня в состояние как можно более близкое к заданному за промежуток времени Т. Рассматриваются условия, когда левый конец стержня закреплен, правый свободен, а управление производится внешней поперечной нагрузкой и начальным состоянием.
Отметим также, что близкими вопросами теории граничного управления с использованием формулы Даламбера и разложения в тригонометрический ряд Фурье еще ранее занимались
А.Г.Бутковский, А.И.Егоров и Л.Д. Акуленко (см.,например, работы [11]- [14]).
Большой цикл работ, выполненный В.А. Ильиным и продолженный его учениками, опубликованный в 1999 - 2008 годы, связан с решением задач управления процессом колебаний в терминах обобщенного решения смешанных задач сначала из класса W%(Qr).а потом и из класса Wl(QT)\ здесь через QT обозначен прямоугольник [0 < х < /] х [0 < t < Г]. Эти
'Под Л(П) понимается диаметр области П
4
классы были впервые введены В.Л. Ильиным в работах [15], [18]. Так класс И/21(фт) определяется как2 множество функций и(х,£), непрерывных в прямоугольнике С^т и имеющих в нем обе обобщенные производные «хОМ)» каждая из которых не только принадлежит
классу Т2(С?г), но и принадлежит классу Т2[0, £) Аля всех Ь € [0,7'] и классу ^[О.Т] для всех х € [0,/]. Принадлежность решения этому классу позволяет точно сформулировать требования гладкости, накладываемые на начальные, финальные и граничные условия. В работах
В.А. Ильина решалась задача управления процессом, описываемым волновым уравнением (1) и различными граничными условиями Дирихле и Неймана, переводящими струну из произвольного начального состояния (2) в произвольное финальное состояние
и(х,Т) = <р(х) щ{х,Т) = гр(х), 0 ^ х ^ /, (5)
где ф(х) е Ж*1 [ОД т}>{х) € Ь2[0,1\. При этом отдельно исследовались случаи управления на двух концах и управление на одном конце.
В работах [15]- [22] был подробно изучен случай малых промежутков времени Т : 0 < Т ^ Ткрит- Сначала в работах В.А. Ильина [15] и [16] для управления смещением на двух концах и для управления смещением на одном конце при закрепленном втором были установлены конструктивно проверяемые необходимые и достаточные условия для существования единственного решения из класса задачи граничного управления, при выполнении кото-
рых это решение выписывалось в явном виде, а также была конструктивно доказана неединственность (континуальность) решения данных задач при промежутках времени Т строго больших, чем Ткрит- Затем в работах [17], [20] - [22] эти результаты были перенесены на случай задач с другими граничными условиями. В свете этих результатов особую актуальность приобретают задачи оптимизации, которые позволили бы выделить из бесконечного числа решений то, которое минимизирует граничную энергию струны. Поэтому, в дальнейших работах В.А. Ильина и С.И. Моисеева (см., например, [23] - [29]) был сформулировал критерий оптимальности, основанный на минимизации соответствующего интеграла граничной энергии при наличии условий связи, вытекающих из выполнения начальных и финальных условий и условия согласования начальных и финальных смещений. Была доказана единственность оптимального решения, удовлетворяющего этому критерию. Это решение предъявлялось в явном виде для промежутков времени Т кратных 21 или 4/.
Для решения аналогичных задач при произвольных (больших Ткрит) промежутках времени техники развитой в работах [23] - [29] оказалось недостаточно, поэтому потребовалась ее существенная модификация. В.А. Ильиным и Е.И. Моисеевым был разработан новый метод
2Класс №£((?т) определяется аналогично см. [15]
(см., например, [30] - [35]), основанный на сведении рассматриваемой задачи оптимизации к другой задаче, содержащей произвольную постоянную в минимизируемом интеграле и не содержащей условия согласования начальных и финальных условий.
В задачах оптимизации с одним закрепленным концом ([30], [31 ]) было доказано, что если вместо функции, доставляющей минимум интегралу граничной энергии
т т
J[p'(t)]2dl или J [fi(t)]2dt}
о о
искать функцию, минимизирующую интеграл с подынтегральным выражением, возведенным в произвольную степень р
т т
J |д'(0РД или IИОГЛ,
о о
то при всех р ^ 1 оптимальные граничные управления будут иметь тот же аналитический вид, что и при р — 2.
Г.Д. Чебакаури (см. [36]) при 0 < Т < 7крит рассмотрел случай, когда начальные и финальные функции не удовлетворяют необходимым условиям существования граничного управления, полученным в работе [21]. Он нашел в явном виде финальные функции fi*(x)yip.(x), наименее отклоняющиеся в метрике W£[0,/] х /^[OJ] от желаемого, но недостижимого фи-
ж.
нального состояния <р(х),ф(х).
Отметим, что во всех вышеуказанных работах решались задачи граничного управления, основанные на смешанных задачах с краевыми условиями первого и второго родов. Процессы с условиями третьего рода также изучались некоторыми авторами. Назовем работы В.В. Тихомирова [37],[38], Л.Н. Знаменской [39], A.C. Дудки на (в печати). В перечисленных работах исследование проводилось лишь для промежутков времени Т, не превосходящих Ткрит» когда решение задачи граничного управления не более, чем единственно3. Отметим также работу Ф.О. Найдюка и В.Л.Прядиева [40], в которой изучалась смешанная задача для волнового уравнения ( 1 ) с однородными граничными условиями
u(0,0 = 0, ux(l,t) + hu(l,t) = 0, £>0 и следующими начальными условиями
и(х,0) = <р{х), ut{x, 0) = 0, 0 ^ х ^ /.
3В работе В.В. Тихомирова [38] кроме того была доказана неединственность решения задачи граничного управления смещением на левом конце струны при упруго закрепленном правом конце для промежутков времени Т > Ткрит •
6
- Київ+380960830922