Оглавление
ВВЕДЕНИЕ
1 Сингулярно возмущенные включения параболического типа 17
1.1 Задача Коши для сингулярно возмущенных квазилинейных включений в банаховом пространстве . . 17
1.2 Задача о периодических по времени решениях сингулярно возмущенных квазилинейных включений в гильбертовом пространстве........................... 39
2 Принцип усреднения для сингулярно возмущенных абстрактных параболических включений, содержащих гистерезисные нелинейности 53
2.1 Задача о периодических решениях сингулярно возмущенных абстрактных параболических уравнений
с гистерсзисными нелинейностями................ 53
2.2 Задача о периодических решениях сингулярно возмущенных абстрактных параболических включений
с гистерезисными нелинейностями................. 92
2
ВВЕДЕНИЕ
В последнее время интенсивно развивается теория полулинейных систем дифференциальных уравнений и включений в банаховом пространстве. Дифференциальные уравнения и включения такого вида естественным образом возникают в общей теории управляемых систем (см. [25], [26], [27], [28], [30], [4], [43], [44], [18], [46], [47], [48], [24]), в задачах управления переносом тепла ([30], [4], [34], [46]), теории препятствий ([33]), при изучении гибридных систем с проскальзыванием ([31]), в теории управления передаточными линиями ([32]), в общей теории уравнений в частных производных ([49]) и других областях.
Поскольку решения различных задач для систем, описываемых дифференциальными уравнениями и включениями, зачастую полностью определяются неподвижными точками некоторого однозначного или многозначного отображения, вопрос о существовании решений таких задач эквивалентен вопросу о разрешимости нелинейных операторных уравнений или включений. В зависимости от свойств соответствующего отображения, для доказательства теорем существования могут быть применены различные принципы неподвижной точки. Так, для случая операторных уравнений, самыми известными являются восходящий к С. Банаху принцип сжатых отображений, различные обобщения принципа Шаудера, А.Н. Тихонова и принцип ненулевого вращения, опирающийся на построенную Ж. Лере и Ю. Шаудером и развитую М.А. Красносельским (см.[21],[20]) теорию вращения (теорию топологической степени) . Эти методы могут быть использованы также для исследования зависимости решений операторных уравнений от параметра (см. [21],[20]).
Различные обобщения теории вращения на многозначный случай (теория вращения многозначных вполне непрерывных векторных полей с выпуклыми образами , теория относительной топологической степени многозначных векторных полей, теория вращения многозначных векторных полей с обобщенными Лз-образами ) были получены М.А. Красносельским [21], Ю.Г. Борисовичем, Б.Д. Гельманом; В.В. Обуховским, А.Д. Мышкисом [2](см. также [45]).
3
Топологические методы применялись при исследовании операторных
ч
уравнений и включений с параметрами в работах М.А. Красносельского,
В.В. Обуховского, М.И. Каменского, П. Нистри, Р. 2есса. Так, М.А. Красносельским был сформулирован следующий общий принцип непрерывной зависимости решений операторных уравнений от параметра.
Пусть Е — банахово пространство, .Р : Е х [0,1] —> Е — вполне непрерывный оператор. Предположим, что существует единственное решение х* уравнения
х = F(ж, 0), (1)
причем тс?(Р(*, 0), х9) ф 0. Тогда при достаточно малых е > 0 множество решений Хе уравнения х = Р(х,е) непусто, причем многозначное отображение е »-> Хе непрерывно при е = 0.
Данный принцип переносится на случай, когда решения уравнения (1) принадлежат некоторому открытому (или относительно открытому ) в Е ограниченному множеству II, такому что отображение I — F(•, 0) имеет на границе V отличное от нуля вращение (относительное вращение)(см. [2]), а также на случай, когда ^ — многозначное вполне непрерывное выпуклозначное отображение (см.[21]) и на случай, когда — многозначный уплотняющий оператор с обобщенными -образами (см. [45]). При этом имеет место иолунепрерывность сверху отображения е ь-> ХЕ. Аналогичные теоремы для слабо вполне непрерывных операторов были получены Ю.Г. Борисовичем.
Естественной областью для приложений данного принципа являются различные интегральные и дифференциальные уравнения (или включения) с параметрами. Однако, в некоторых случаях вхождения параметра, после перехода к операторному уравнению (соответственно, включению), непрерывность (соответственно, полунепрерывность сверху) соответствующего оператора по параметру не имеет места и потому непустозначность и непрерывность ( соответственно, полунепрерывность сверху) отображения е н-» Хе не может быть получена как следствие одной из таких теорем.
Основными примерами таких уравнений (включений) являются так называемые сингулярно возмущенные дифференциальные уравнения (диф-
4
ференциальные включения). В диссертации рассматриваются два вида систем дифференциальных уравнений (включений), в которые параметр е входит таким образом, что соответствующие интегральные операторы не будут непрерывными (полунепрерывными сверху) по этому параметру.
В первой главе диссертации рассматриваются вопросы существования и зависимости от малого параметра е решений начальной и периодической задач сингулярно возмущенных систем полулинейных абстрактных параболических включений с многозначными нелинейностями и однозначной линейной частью, порождающей аналитическую полугруппу. Предположение о подчиненности неограниченных однозначных и многозначных нелинейностей дробным степеням линейной части позволяет применить для построения соответствующих операторов метод дробных степеней, изложенный, например, в [22],[20].
В п. 1.1 рассматривается задача Коши для сингулярно возмущенной системы полулинейных дифференциальных включений в банаховом пространстве
x'(t) + Ax(t) g ^i(t,x(t)) + bn{x(t))y(t) ey’{t) + By(t) g V>2(<, x(t)) + b2i{x(t))y(t) + 6222/M . 4 € [0, d\ ,
x(0) = x0, 2/(0) = 2/0, (3)
где e — малый положительный параметр, —А и —В — производящие операторы аналитических полугрупп е~м и e~Bt, действующих в сепарабельных банаховых пространствах Е\ и J572, пространство Е2 удовлетворяет свойству Радона-Никодима (см. [35]). Операторы А~1 и В“1 предполагаются вполне непрерывными. Такие условия на операторы Аи В позволяют установить компактность (при каждом фиксированном е) соответствующих интегральных операторов.
В системе (2)-(3) то 6 D(A)} уо 6 D(B), ,i = 1,2, — многозначные отображения, 612,621» ^22“ однозначные операторы. Операторы bij действуют из Е\ в L(E2lEi), i,j = 1,2, i ^ j, 622 G L(E2yE2). Через L(E2yEi) обозначено пространство линейных ограниченных операторов, действующих из Е2 В Е{.
5
Предполагается, что многозначные отображения ^, г = 1,2, подчинены дробным степеням оператора А, т.е. при некотором а € (0,1) отображения ^,(£,Л-а-) полунепрерывны сверху при почти всех t € [0,4 При е = 0 рассматривается включение смешанного типа
Г x\t) 4- Ax(t) е x(t)) + bi2(x(t))y(t)
\ Dy(t) e fa (t, x(t)) 4- b2i(x(t))y(t) 4- b22y(t) ,
x(0) = x0 . (5)
Под решением задачи (2)-(3) на отрезке [0, d\, следуя [29], понимаются обобщенные решения (х£,у£)} которые являются непрерывными функциями, заданными на [0,d] со значениями, соответственно в Е\ и E2i удовлетворяющими включениям
*e(t) € {0i(<) : gi(t) =e~Atx0+ [ e-A^~3)[fi(s)^-bl2(x€(s))y€(s)]ds}y (6)
J о
SfeM e { 92(t) : rf)=e_i\+i f «'iSM[/2(s) +
£ J 0
4- 4- 6222/f(S)] (?)
где fi e L°°(Ei) fi(t) ne' x£(t)), t e [0 ,4
Под решением вырожденной задачи (4)-(5) на отрезке [0,4 понимаются обобщенные решения (х°,у°), которые являются непрерывными функциями, заданными на [0, с/] со значениями, соответственно в Е\ и Е2> удовлетворяющими включениям
x°(t) e {si(t) : 31 (г) = е~А‘х0 + [ e~M‘~s)[fi{s) + 6i2(i°(s))ÿ°(s)] ds ,
J о
Si 6 L°°{Ei), fi(s) e ipi(s,x°(s)) для п.в. s € [0,d]} , (8)
y°(t) e Ы0 : So№ = ^ Vo(<) + ЫЛ<))У°(<) + W«] ■ fo G L^iEï), Soit) e lfe(t,*°(i)) ДЛЯ п в- < e [0, <f]} , t G [0,d\ . (9)
6
Обозначим через Z(є), є > 0, множестю решений системы (6)-(7), а через £(0) — множество решений системы (8)-(9).
В работе указаны условия, при которых для системы (2)-(3) мы можем получить аналог классической теоремы А.Н.Тихонова о предельном переходе (см., например, [7]). А.Н. Тихоновым было установлено существование и единственность при малых є решения сингулярно возмущенной системы дифференциальных уравнений вида
^ = І(х,у,і),
= Р(х,у,Ь), і Є [0,<і]. (10)
х(0) = х0, 5/(0) = 5/о (11)
Кроме того, было показано, что для любого 8 Є (0, (£\ решение (хЄі ує) системы (Ю)-(П) равномерно на [0, <і] х [£, с£] сходится при є ->• 0 к решению
вырожденной системы.
Проблема получения аналогичных теорем для сингулярно возмущенных систем дифференциальных включений исследовалась в целом ряде работ (см. [10], [29], [40], [36], [37], [38]). В [38] для сингулярно возмущенных линейных управляемых систем с правой частью вида £) = А(І)г + В(і)иу где А(Ь) и В[Ь) — матрицы, а и — компактное множество, был получен следующий интересный результат. При каждом фиксированном і € (0, с/] существует множество V*, такое что хаусдорфово расстояние между множествами {у = Є 2(є)} и V* стремится к нулю при є -> 0, причем
множество V*, как правило, шире множества {у = г(ї),г Є ^(0)}. Данный результат показывает, что отображение є 2(є), вообще говоря, не является полунепрерывным сверху при є = 0 в метрике С[0, с/] х С[8,с(\. даже в линейном и конечномерном случае, т.е. полный аналог теоремы Тихонова для включений не может быть получен. Эта трудность может быть, однако, преодолена за счет удачного выбора топологии. В [37] была рассмотрена сходимость в С([0, с/], Я”) по переменной х и слабая сходимость в Ь2([0 ,({\1Кт) попеременной у. В [29] для случая бесконечномерных банаховых пространств рассматривалась равномерная сходимость по переменной х и слабая сходимость в Ь1([(),</]) по переменной у.
А. Дончевым, Ц. Дончевым и И. Славовым [36] был предложен другой вариант теорем о предельном переходе для сингулярно возмущенных систем дифференциальных включений. В работе [36] было приведено подмножество Zl{e) множества Z(e)^ такое что отображение е —> ZL{s) непустозначно и полунепрерывно сверху при е = 0+ в метрике теорем А.Н. Тихонова.
В диссертационной работе найдено подмножество Z^,^e) для случая бесконечномерных банаховых пространств. Это множество определяется следующим образом: при е > О
Z[J(e) = {(х,у) е Z(e) : х, у удовлетворяют условию Гельдера на [ОД]
и [5(е),й], соответственно, с показателем 0(1 — а) и константой Ь] , где <5(е) — некоторая функция, удовлетворяющая условиям:
<5(е) —У 0 при £ —У 0 и <5(е) >
О
а — степень оператора А, которой подчинены нелинейности, 0 — произвольное число из интервала (0,1), а С — некоторая константа, определяемая свойствами правой части системы (2)-(3); при е = 0
^£,(0) = {(х,2/)б£(0) : х,у удовлетворяет условию Гельдера на [0,</]
с показателем 0(1 — 0') и константой Ь} .
Сформулированы условия, при которых для достаточно больших Ь отображение е —У Zl{e) непустозначно и полунепрерывно сверху при £ = 0 в С([0,с/],.Ец) х С([6,(1]1Е2), где 6 — любое число из интервала (0, с^].
В п.1.2 диссертации рассматривается задача о периодических по времени решениях для сингулярно возмущенной системы полулинейных диф>-ференциальных включений в гильбертовом пространстве
Г х'(1) + Л,х(() е -01 («, х(«)) + б12(х(<))у(<)
I «У(0 + Му{*) е 0г(<, ж(<)) + г>21(х(<))у(<) + б22у(0 , < е [о,т].
8
где —А\ и — А2 - производящие операторы аналитических полугрупп еГАхЬ и е_Л2*, действующих в гильбертовых пространствах Е\ и Е2, А\— самосопряженный оператор, е— малый положительный параметр. Операторы и А.21 предполагаются вполне непрерывными, многозначные отображения (г = 1,2) являются Т-периодическими по времени, 612,621,622“ однозначные операторы. Предполагается, что операторы 6у действуют из Е\ в Ь(Е2,Е$, г,у = 1,2, г ф у, 622 €
Предполагается, что при некотором /3 Е (0,1/2) многозначные отображения -0,- ,г = 1,2, подчинены дробным степеням А| .
При е = 0 рассматривается включение смешанного типа
ж'(*) + Ахх(г) Е ^(*, а?(0) + ^
А2у&) е ^2^, х(*)) + Ьы{х(г))у{г) + б22у(<).
{
Под Т-периодическими решениями системы (12), следуя [41], понимаются обобщенные решения (х£,у£)1 которые являются непрерывными периодическими функциями, заданными на [0, оо) со значениями соответственно в Е\ и Е2> удовлетворяющими включениям
Хс €{31: 31(0= / 1>0,
^ -оо
Л е 1г(£,1), /1(5) 6 -01 («. ®с(«)) для п.в. я 6 [0,Т]}, (14)
Ус е { 32 : 32(0 = 7 [ е_«/,2(‘‘*)[/2(в) + Ь21(х£(«))зе(в) +
5 «/-00
+ &22У£(«)]<&, < > 0,/2 е 1г(£2), /2(л) 6 02(в,аг£(«))
для п.в. 5 Е [0,Т]}. (15)
Под Т- периодическими решениями системы (13) понимаются обобщенные решения (х°,у0), которые являются непрерывными периодическими функциями, заданными на [0, оо) со значениями соответственно в Е\ и Е2, удовлетворяющими включениям
Х° е {Э1 : 31(1) = / е-Л1(‘_а)[/1(5) + 612(х0(5))з0(в)]с&, < > 0,
/1 € ЬЦЕу), /,(<) в М*, *°М) для П.В. 5 е [0, Т]}, (16)
9
- Київ+380960830922