Анализ дифференциальных операторов на многообразиях со слоением

Содержание
Введение 5
1 Предварительные сведения 30
1.1 Некоторые сведения из теории слоений.......................... 30
1.1.1 Слоения......................................................... 30
1.1.2 Голономия ...................................................... 31
1.1.3 Трансвереальные меры............................................ 32
1.1.4 Связности............................................ 34
1.1.5 Инфинитезимальные преобразования..................... 34
1.1.6 Римановы слоения..................................... 35
1.1.7 Дифференциальные операторы на многообразиях со слоением 37
1.1.8 Геометрические операторы на многообразиях со слоением 38
1.1.9 Группоид голономии ............................................. 39
1.1.10 Голономно эквивариантные векторные расслоения .... 42
1.1.11 Операторные алгебры слоения.................................... 43
1.2 Трансверсальное псевдодифференциальнос исчисление..................... 46
1.2.1 Классы Фт~°°(М,Т,Е).......................................... 46
1.2.2 Анизотропные пространства Соболева и классы р ... 51
1.2.3 Символическое исчисление в классах Фт-00..................... 57
1.2.4 Непрерывность символьного отображения........................ 62
1.2.5 Остаточный след.............................................. 64
2 Функциональное исчисление для касательно эллиптических операторов на многообразиях со слоением 68
2.1 Псевдодифференциальное функциональное исчисление ..................... 68
2.1.1 Комплексные степени.......................................... 69
2.1.2 Действие в пространствах Соболева............................ 72
2.1.3 Оператор вида /(А) как псевдодифференциалъный оператор 74
2.1.4 Случай финслеровых слоений................................... 76
2.2 Глобальные аспекты функционального исчисления......................... 78
2.2.1 Функциональное исчисление в С*-алгебрах ........................ 78
2.2.2 Совпадение спектров для аменабельных слоений................. 79
2.2.3 Свойство касательности операторов /(А)....................... 80
2.2.4 Глобальная регулярность касательпых ядер........................ 81
2.2.5 Функция распределения спектра для касательно эллиптических операторов 82
2.3 Поведение при больших временах послойного уравнения теплопроводности ..................................................... 83
2.3.1 Теорема Ходжа для касательно эллиптических комплексов 83
2.3.2 Доказательство теоремы 2.24..................................... 88
2.3.3 Приложения основной теоремы.............................. 97
3 Трансверсально эллиптические операторы на многообразиях ограниченной геометрии 101
31 Предварительные сведения о многообразиях ограниченной геометрии ............................................................101
3.2 б’-многообразия ограниченной геометрии..........................107
3.3 Действие операторов в пространствах Соболева....................114
3.4 Трансверсально эллиптические операторы......................124
3.5 Компактность, фредгольмовость и индекс......................128
3.6 Фупкция распределения спектра...............................133
3.7 Дзета-функция...................................................137
4 Трансверсально эллиптические операторы на многообразиях со слоением 150
ф 4.1 Определение и основные свойства................................150
4.2 Комплексные степени и дзета-функция.........................151
4.2.1 Построение комплексных степеней ......................151
4.2.2 О-след..............................................154
4.2.3 Мероморфное продолжение дзета-функции ..........157
4.3 Теорема Егорова..............................................158
4.4 Формула следов типа Дюйстермаата-Гийемина....................170
4.4.1 Предварительные сведения и основные результаты .... 170
4.4.2 Редукция к случаю, когда А эллиптичен...............174
4.4.3 Случай эллиптического оператора.....................174
4.4.4 Индексы Маслова.....................................180
4.5 Некоммутативная спектральная геометрия римановых слоений . 181
4.5.1 Спектральные тройки, ассоциированные с римановыми
слоениями...........................................181
4.5.2 Описание спектра размерностей..........................183
ф 4.5.3 Некоммутативный геодезический поток на многообразиях со слоением...............................................................187
5 Спектральные асимптотики для эллиптических операторов на многообразиях со слоением 191
5.1 Квазиклассические спектральные асимптотики...................191
5.1.1 Введение...............................................191
5.1.2 Параболическая полугруппа, порожденная оператором Аь 192
5.1.3 Асимптотика следа операторов параболической полугруппы ..........................................................196
5.1.4 Самосопряженный случай.................................200
5.2 Адиабатические пределы и спектральная геометрия слоений . . 202
5.2.1 Введение...............................................202
2
5.2.2 Оценки для геометрических операторов в адиабатическом
• пределе................................................203
5.2.3 Асимптотическая формула для функций оператора Лапласа .........................................................205
5.2.4 Формулировка в терминах послойных спектральных характеристик ...................................................209
5.2.5 Пределы собственных значений.............................210
6 Спектральные последовательности и малые собственные значения 212
6.1 Спектральные последовательности слоения........................212
6.1.1 Предварительные сведения о дифференциальной спектральной последовательности....................................212
6.1.2 Описание типа теории Ходжа члена Ег дифференциальной спектральной последовательности............................215
^ 6.1.3 С2 спектральная последовательность.......................222
6.1.4 Ь2 спектральная последовательность римановых слоений 224
6.2 Ь2 спектральная последовательность и малые собственные значения ..............................................................231
6.2.1 Основные результаты......................................231
6.2.2 Функция распределения спектра............................232
6.2.3 Разложение спектральных последовательностей в прямую сумму..........................................................233
6.2.4 • Доказательство теоремы 6.34 .......................... 238
6.3 Асимптотики собственных форм...................................241
6.3.1 Вложенная последовательность пространств теории Ходжа242
6.3.2 Характеризация пространств Нк в терминах дифференциала и кодифференциала де Рама................................245
6.3.3 Лапласиан в адиабатическом пределе и его оценки .... 255
6.3.4 Доказательство основного результата о сходимости соб-
• ственных форм...........................................257
6.4 Спектральная последовательность и малые собственные значения для римановых слоений...........................................259
6.5 Другие последовательности вложенных пространств................261
7 Обобщенные числа Бетти и формула типа Лефшеца 265
7.1 Обобщенные числа Бетти.........................................265
7.1.1 Определение обобщенных чисел Бетти.......................265
7.1.2. Существование и простейшие свойства обобщенных чисел Бетти......................................................266
7.2 Обобщенная эйлерова характеристика и эйлерова характеристика по Конну ........................................................271
7.2.1 Формулировка основного результата........................271
3
7.2.2 Обобщенная эйлерова характеристика и послойный оператор теплопроводности ............................273
7.2.3 Описание касательных ядер.............................275
7.2.4 Доказательство теоремы 7.4............................278
7.3 Формула следов Лефшеца .....................................281
7.4 Теоремы об обращении в нуль.................................284
Заключение 285
Список литературы 287
Введение
Теория слоений берет свое пачало в качественной теории обыкновенных дифференциальных уравнений и геометрической теории уравнений в частных производных первого порядка. Общее понятие слоения было введено в середине 40-х годов Эресманном и Рибом. С того времени появилось огромное количество работ, посвященных различным аспектам теории многообразий со слоением. Прежде всего, это относится к исследованию топологических, геометрических и динамических свойств слоений (см., например, монографии (50, 51, 75, 104, 106, 107, 114, 127]).
Понятие слоения можно рассматривать как обобщение понятия динамической системы с многомерным временем, при котором акцент делается на тра-екторном разбиении, задаваемом орбитами динамической системы. Например, орбиты локально свободного действия группы Ли на многообразии определяют слоение. В общем случае каждый слой слоения не имеет такой жесткой однородной структуры, какую имеют орбиты действия группы Ли. Тем не менее, каждый слой слоения на компактном многообразии имеет каноническую равномерную структуру. Скажем, если выбрать риманову метрику на компактном многообразии со слоением, то каждый слой является полным ри-мановым многообразием ограниченной геометрии относительно индуцированной римановой метрики. Более того, любые две римановы метрики на слое, которые индуцированы римановыми метриками на объемлющем многообразии, квазиизометричны.
Другим интсреспым объектом, связанным со слоением, является множество слоев слоения. Это множество, вообще говоря, является очень сингулярным пространством, и его изучение связано с изучением трансверсальной структруры слоений. Для исследования подобного рода объектов А. Конн в (58] дал определения С’-алгебры и алгебры фон Неймана, ассоциированных со слоением. Идея Конна, лежащая в основе некоммутативной геометрии, состоит в том, что эти операторные алгебры можно рассматривать как аналоги алгебр непрерывных и соответственно измеримых функций на пространстве слоев слоения. Установленная таким образом связь между слоениями и некоммутативными операторными алгебрами позволила применить методы теории операторных алгебр и некоммутативной геометрии к исследованию геометрических и динамических свойств слоений и, в свою очередь, построить новые интересные примеры С*-алгебр и алгебр фон Неймана.
На многообразиях со слоением имеются естественные примеры геометрических дифференциальных операторов. Прежде всего, это — послойный оператор сигнатуры и послойный оператор Лапласа, задаваемые римановой метрикой на слоях, которые являются примерами касательно эллиптических операторов. Изучение свойств касательно эллиптических операторов на многообразиях со слоением является далеким обобщением теории дифференциальных операторов со случайными и почти-периодическими коэффициентами вКп,а
5
также тесно связано со спектральной теорией динамических систем (в частности, с некоммутативным временем).
Другими примерами геометрических дифференциальных операторов па многообразиях со слоением являются трансверсальный оператор сигнатуры О и и трансверсальный оператор Лапласа Ан, задаваемые римановой метрикой на объемлющем многообразии, которые, являются примерами трансверсально эллиптических операторов. В случае, когда слоение имеет голоном-но инвариантную трансверсальную риманову структуру, т.е. является рима-новым, множество М/Т слоев слоения можно в некотором смысле рассматривать как сингулярпое риманово многообразие, а операторы Он и Ан как аналоги эллиптических операторов на этом многообразии. Можно поставить естественный и очень интересный вопрос об исследовании спектральной геометрии пространства М/Т и ее связи с трансверсальной геометрией слоения. В частности, это имеет непосредственное отношение к спектральной геометрии фрактальных множеств, актуальной и быстро развивающейся области современной математики. Идея описания сингулярных геометрических объектов, исходя из спектральных свойств естественных операторов на данных объектах, лежит в основе некоммутативной дифференциальной геометрии А. Конна. Пример пространства слоев слоения и связанные с ним спектральные тройки, ассоциированные с трансверсально эллиптическими операторами, является одним из фундаментальных примеров в некоммутативной геометрии. Исследование свойств трансверсально эллиптических операторов на многообразиях со слоением позволяет заложить основы некоммутативной геометрии слоений и ее приложений к исследованию трансверсальной геометрии слоений.
Основной целью данной работы является разработка аналитических методов исследования дифференциальных и псевдодифференциальных операторов на многообразиях со слоением и приложения этих методов к изучению топологических и геометрических свойств слоений (то есть, другими словами, разработка основ аналитического подхода к изучению многообразий со слоением). Прежде всего, это относится к исследованию свойств касательно эллиптических и трансверсально эллиптических операторов, а также к изучению их взаимосвязей со свойствами эллиптических операторов на объемлющем многообразии.
Перейдем к подробному изложению данной работы по главам. Глава 1 носит вспомогательный характер. В разделе 1.1 приведепа сводка необходимых сведений из теории слоений. В разделе 1.2 мы вводим алгебру Ф*,-00(М,^Г) трансверсальных псевдодифференциальных операторов на многообразии со слоением (М,Т). Эту алгебру естественно рассматривать (с точки зрения некоммутативной геометрии) как аналог алгебры псевдодифференциальных операторов на замкнутом многообразии для пространства слоев М/Т. Неформально говоря, оператор А 6 Фт,"°°(М, Т) — это непрерывный линейный оператор в С°°(М), который яаляется псевдодифференциальным оператором порядка т в направлениях, трансверсальных к слоению, сглаживающим опера-
тором вдоль слоев. Затем мы вводим шкалу анизотропных пространств Соболева Н*,к(М,7) и ассоциированную с ней алгебру псевдодиффсрснциальных операторов 7). При к € N пространство Нв,к(МуТ) можно описать
как множество всех таких и (= Х>'(М), что Аи принадлежит пространству Соболева Н*(М) для любого послойного дифференциального оператора А порядка к. Изучены основные свойства данных объектов.
Глава 2 посвящена исследованию касательно эллиптических операторов на многообразиях со слоением. Дифференциальный оператор на компактном многообразии со слоением (М,7) называется касательно эллиптическим оператором, если его можно ограничить на слои слоения, причем ограничения на слои являются эллиптическими операторами вдоль слоев. Изучение касательно эллиптических операторов было начато А. Конном (58) в контексте некоммутативной теории интегрирования. А. Конн рассматривал касательно эллиптические операторы как семейства эллиптических операторов вдоль слоев (т.е. как случайные операторы на многообразии со слоением, или, другими словами, в послойном представлении). В данной главе мы, прежде все-14), интересуемся спектральными свойствами касательно эллиптических операторов, рассматриваемых как дифференциальные операторы на объемлющем многообразии М (другими словами, в глобальном представлении). Мы также исследуем взаимосвязи различных спектральных характеристик касательно эллиптических операторов в глобальном представлении с их спектральными характеристиками в послойном представлении и с инвариантами слоения 7.
Отметим, что некоторые из результатов данной главы являются улучшением результатов, полученных ранее для касательных операторов Дирака (см., например, [115, 67, 87, 32, 88] и приведенные там ссылки). Метод этих работ использует рассуждения, основанные на конечной скорости распространения для решений гиперболических уравнений, и, поэтому, применим только к касательно эллиптическим дифференциальным операторам первого порядка. В отличие от приведенных выше работ, разработанные нами методы применимы к касательно эллиптическим операторам произвольного порядка.
Раздел 2.1 посвящен псевдодифференциальному функциональному исчислению для касательно эллиптических операторов в глобальном представлении. Точпее, в этом разделе приведена конструкция операторов вида /(А) для касательно эллиптического оператора А и различных классов функций / на вещественной прямой, исследованы свойства непрерывности операторов вида /(А) в пространствах Нв,к(М,7) и дано описание этих операторов как псевдодифференциальных операторов класса Фт(^), который является естественным пополнением класса Фт(7) послойных псевдодифференциальных операторов.
Напомним, что функция / на К принадлежит классу 59(К), ^ 6 Ш, если для любого натурального ] существует такая постоянная > 0, что
|/0>«1 < с,( 1 + |«|)<Ч < € я.
Далее, скажем, что фупкция / на Н принадлежит классу 5*(К, \У), д е К,
W > О, если / продолжается до такой голоморфной функции в полосе {z Є С : |Im z\ < W}, что для любого tj Є R с |7?| < W функция /(• 4- irj) принадлежит S*(R), и все ее полунормы в Sff(R) равномерно ограничены на компактных множествах, содержащихся в интервале \г)\ < W.
Теорема 2.11. Пусть А — 'касательно эллиптический дифференциальный оператор на М порядка т с положительным касательным, главным символом. Тогда для любого s € R существуют такие постоянные W > 0 и с > 0, что для любой фгункции / на вещественной оси, такой, что функция g(t) = f(tm - с), t € R, принадлежит пространству S*(R, W), оператор f(A) = g{{A 4- c)1/m) определяет непрерывное отображение
f(A) : -4 Н‘'к~ч(М,Т)
для любого к Є R. Более того, существует такая постоянная с > 0, что, для любой функции f па вещественной прямой, такой, что функция g(t) = f(tm - с), t Є R, принадлежит классу Sq(R,4-oo), оператор f(A) принадлежит классу ^(F).
Эта теорема значительно улучшает результат Роу [115, Proposition 4.1), утверждающий, что, если функция / на вещественной прямой продолжается до целой функции на комплексной плоскости, причем для любого компактного подмножества К С R функции {я f(x+iy): у Є К} образуют ограниченное подмножество в пространстве Шварца S(R), то оператор f(D?) определяет непрерывное отображение в пространстве С°°[М, 5), где Dp обозначает послойный оператор Дирака, действующий в пространстве сечений спинорного расслоения S.
В случае, когда слоение является римановым, теорема 2.11 имеет следующее уточнение.
Теорема 2.15. Предположим, что слоение Т риманово и А — формально самосопряженный касательно эллиптический дифференциальный оператор на М порядка т с положительным касательным главным символом. Тогда для любого s Є R существует такая постоянная с > 0, что для любой функции / на вещественной оси, такой, что функция g(t) = f{tm - с), t Є R, принадлежит пространству Sq(R), оператор f(A) принадлежит классу Ф9(^) и, в частности, определяет непрерывное отображение
{(А) : Н'*{М,Т) -+ Т)
для любых s € R и k € R.
Раздел 2.2 содержит различные результаты, относящиеся к исследованию взаимосвязей операторов типа функции от касательно эллиптического оператора в глобальном представлении с их послойными аналогами и глобального поведения ядер этих операторов в послойном представлении. Всюду в этом
разделе мы предполагаем, что слоение Т имеет голопомно инвариантную меру. В разделе 2.2.1 развивается подход к функциональному исчислению для касательно эллиптических операторов, основанный на теории С-алгебр. Обозначим через С* (С?) и С*(С) полную и редуцированную С*-алгебры группоида голопомии С слоения Т. Имеется естественное представление С*-алгебры С* (С!) в пространстве Ь2(М) (глобальное представление), которое в случае, когда слоение имеет голономно инвариантную меру, является *-представлением. Образ С*-алгебры С*(С) в этом представлении обозпачим через Сим№)' А™ любого х € М пусть С?1 обозначает накрытие голономии слоя, проходящего через точку х. На (7* имеется выделенный класс положительных гладких плотпостей, задаваемый равномерной структурой слоя. Этот класс корректно определяет гильбертово пространство Ь2(СХ) квадратично интегрируемых функций на Сх. Имеется естественное представление алгебры С*(С) в пространстве £2(б?*), обозначаемое через Их (послойное представление).
Для касательно эллиптического оператора А на М будем обозначать через Ах соответствующий равномерно эллиптический оператор, действующий в пространстве С£°(СХ).
Теорема 2.17. Пусть А — формшъно самосопряженный касательно эллиптический оператор порядка т. > 0 с положительным касательным главным символом. Тогда оператор /(Л) принадлежит алгебре Сд*((7) для любой функции / € Сь{Щ, и для любого х € М справедливо соотношение
пт = на,),
где л : С^(С) -> С*(С) — естественная проекция.
В разделе 2.2.2, используя результаты раздела 2.2.1 и теорию С-алгебр, получены результаты, относящиеся к так называемой задаче о совпадении спектров. Скажем, что слоение Т аменабелъпо, если естественная проекция 7г : СдД(7) -» С*(С) инъективна (и, следовательно, является изоморфизмом). Некоторые достаточные условия аменабельности слоения Т можно найти в [70]. Например, слоение аменабельно, если все его слои имеют субэкспоненци-альный рост.
Теорема 2.18. Пусть А — касательно эллиптический оператор порядка т >
0.
(1) Спектр ом {Л) оператора А в пространстве Ь2(М) содержит его послойный спектр _________________
а?{А) = : х 6
где сг(Ах) — спектр оператора Ах в Ь2((?*).
(2) Если слоение Т аменабельно, то Ом{А) совпадает с о^(А).
Данный подход к задаче о совпадении спектров, использующий методы теории С*-алгсбр, был предложен в работе [42] для эллиптических дифференциальных операторов, ассоциированных с динамической системой (Л,Н,а) (см. также [41]).
Назовем оператор Р : С°°(М) —у С°°(М) касательным оператором, если существует такое семейство операторов {Рх : C^°(GX) —У C^°(GX) : х € М}, что следующая диаграмма коммутативна:
где отображение я* : С°°(М) —У С^°(СХ) задается ограничением функции из С°°(М) на слой Ьх, проходящий через точку х, с последующим подъемом ее до голономно инвариантной функции на £х при помощи накрытия голономии 5 : (7х -у Ьх (С£°(£х) обозначает пространство Фреше С°°-ограниченных гладких функций на как многообразии ограниченной геометрии [96]).
Другими словами, оператор Р называется касательным, если он допускает ограничения на слои слоения Т. В этом случае, Рх есть ограничение оператора Р на Ьх (точнее, на Сх). Заметим также, что любой касательно эллиптический оператор А является касательным оператором, и его ограничения на слои совпадают с операторами Ах.
В разделе 2.2.3 обсуждаются условия на функцию /, при которых функция /(А) от касательно эллиптического оператора А на М является касательным оператором.
Теорема 2.19. Пусть А — касательно эллиптический дифференциальный оператор на М порядка т с положительным касательным главным символом. Тогда существуют такие постоянные V/ > 0 и с > 0, что, для любой функции / на вещественной оси, такой, что функция д{і) = /(£ш — с), Ь 6 К, принадлежит пространству 59(К, И7), оператор /(Л) является касательным оператором на М, и его ограничение на слой, проходящий через точку х, совпадает с /(Ах).
Раздел 2.2.4 содержит результаты об измеримости касательных ядер операторов /(А) для касательно эллиптического оператора А. Таким образом, мы рассматриваем оператор /(Л) как семейство {/(Л*) Є £(£2(<7Х)) : х Є М} операторов вдоль слоев. Семейство ядер Шварца операторов /(Лх) определяет обобщенную функцию к/щ на С, которую мы и называем касательным ядром оператора /(Л).
Теорема 2.21. Пусть / — ограниченная борелевская функция на Н, удовлетворяющая оценке
C~(GX) -^-У Cf(G*)f
|/(А)|<С,(1 + |А|)-'"\ А € К,
10
при некотором в > р = АхтГ с постоянной Св > 0, не зависящей от X. Тогда касательное ядро А:дд) оператора /(А) является ограниченной, послойно гладкой, измеримой функцией на <7, удовлетворяющей оценке
7^0 Лей
Лея
где С > 0 не зависит от /.
В работе (88) доказано, что касательное ядро Л/(д) оператора /(Д) является измеримой послойно гладкой функцией в случае, когда Д — послойный лапласиан, / — ограниченная борелевская функция, являющаяся поточечным пределом равномерно ограниченных гладких функций с равномерно компактным носителем.
Наконец, раздел 2.2.5 посвящен доказательству существования и простейшим свойствам функции распределения спектра касательно эллиптических операторов. Для послойного лапласиана аналогичные результаты получены в
Раздел 2.3 посвящен изучению поведения решений послойного уравнения теплопроводности на римановом слоении при больших временах. Будем обозначать через П(М) (или просто П) алгебру дифференциальных форм на М. Зафиксируем риманову метрику на М. На О имеется естественная биградуировка, задаваемая формулой
Дифференциал и кодифференциал де Рама имеют разложения в сумму биод-нородных компонент
где <і0,і — касательный дифференциал де Рама, который является касательно эллиптическим оператором первого порядка и не зависит от выбора ри-мановой метрики, ёцц — трансверсальный дифференциал де Рама, который является трансверсально эллиптическим оператором первого порядка, д2-\ — дифференциальный оператор нулевого порядка. Послойный оператор Лапласа До = ^о,і^о,-1 + <5о.-і^о,і является существенно самосопряженным оператором в £2П = £2(М,Т*М). Обозначим через П ортогональный проектор на ядро оператора Д0 в = Ь2(М,ТЩМ).
Риманова метрика на М называется расслоенноподобной, если ее транс-версальная часть голономно инвариантна. Эквивалентно, можно сказать, что расстояние между слоями относительно расслоенноподобной метрики локально постоянно. Если расслоенноподобная метрика существует, то слоение наг зывается римановым.
(88).
д — ^од + ^і,о + &,-ь д — <5о,-і + <5-1,0 + <^-2,1
Теорема 2.23. Пусть 7 — риманово слоение на замкнутом многообразии М, снабженное расслоенноподобной метрикой. Тогда П определяет непрерывный оператор на О., имеет место послойное разложение Ходжа
О = кег До 0 іш До = (кег ф)д П кег <5о,-і) 0 іш <іод © іш <5о,-ь
и соответствие (<, а)»-> с~*Доа- определяет непрерывное отображение (0,оо]х
О -> а
Обозначим через (^(^г) = С°°(М,Т'7),др) послойный комплекс де Рама слоения 7. Его когомологии называются послойными когомологиями слоения 7 и будут обозначаться через Н(7). Более тою, (0(7),д?) есть топологический комплекс относительно С°° топологии, и Н(7) — топологическое векторное пространство в индуцированной топологии. Мы будем рассматривать факторпространство пространства Н(7) по замыканию тривиального пространства, которое называется редуцированными послойными когомологиями слоения 7 и обозначается через Н(7):
71(7) = кег дт/тй&.
Пусть Дд обозначает послойный оператор Лапласа, Ар = дрбр -4- брбр, и '4(7) пространство гладких послойных гармонических форм: '4(7) = кег Д^-. Согласно теореме 2.23 включение '4(7) С кегбр индуцирует изоморфизм
п(7) Д Я(Т),
обратный к которому индуцируется ортогональным проектором П : кег^ —> П(7).
Приведенные результаты имеют естественное обобщение на случай нетривиальных коэффициентов. Рассмотрим векторное расслоение V, снабженное плоской римановой связностью вдоль слоев слоения 7. и послойный комплекс де Рама (0(7, V) = С°°(М,Т*7 ® У),(1р) с коэффициентами в этом расслоении. Обозначим через Н(7, У) редуцированные послойные когомологии с коэффициентами в У. Пусть Ар = дрбр + брдр. Обозначим через П ортогональный проектор в пространстве Ь20(7, У) = Ь2(М,Т*7 ® У) на ядро оператора Ар в Ь20(7, У).
Теорема 2.42. Пусть 7 — риманово слоение на замкнутом многообразии М и У — любое риманово векторное расслоение, наделенное плоской римановой связностью вдоль слоев слоения 7. Зафиксируем любую расслоенноподобпую римапову метрику вдоль слоев, гладкую па М. Тогда П определяет непрерывный оператор на 0(7, У), имеет место послойное разложение Ходжа
П(^,У) = кег Д^фігп Дд = (кег др П кег б?) 0 іш др 0 іш 6? ,
и соответствие (*, а) определяет непрерывное отображение [0, оо]х
0(7, V) 0,(7, V). Таким образом, Н(7,У) можно отождествить канонически с кег Ар, и, если 7 ориентировано, то послойный *-оператор Ходжа на кег А? индуцирует изоморфизм 7Г (7, У) = 'НР "(7, V').
Если применить теорему 2.42 в случае, когда коэффициенты принадлежат симметрической тензорной степени 52((TM/T'Jr)*), то получится следующее утверждение, которое дает решение задачи, предложенной Э. Масиасом (см. [34, section “Open Problems”, Problem 4.12]).
Теорема 2.43. Пусть Т — риманово слоение на замкнутом многообразии М. Тогда пространство расслоеююподобных метрик на М по отношении к С°° топологии является деформационным ретрактом пространства всех ри-мановых метрик на М.
Из теоремы 2.42 также вытекает следующее утверждение, частично обобщающее результаты работы [32].
Теорема 2.45. Пусть Т — риманово слоение па замкнутом многообразии М, и V — любое риманово векторное расслоение, наделенное плоской связностью вдоль слоев слоения Т. Зафиксируем риманову метрику вдоль слоев, гладкую на М. Если на некотором слое существует нетривиальная интегрирушая гармоническая r-форма с коэффициентами в V, то пространство ГГ(7\ V)n ker Ajr бесконечномерно.
Как указано в [32], можно применить теорему 2.45 для построения примеров римановых слоений на замкнутых римановых многообразиях с плотными слоями и бесконечномерным пространством гладких послойных гармонических форм.
В главе 3 мы переходим к изучению свойств трансверсально эллиптических операторов. Понятие трансверсально эллиптического оператора было введено Атьей и Зингером в работах [37, 125]. Атья и Зингер построили теорию индекса трансверсально эллиптических операторов, которая является примером теории индекса для нефредгольмовых операторов. В работе [37] под трансверсально эллиптическим оператором понимается такой псев-додифференциальный оператор А, действующий в пространстве гладких сечений векторного G-расслоения Е на компактном G-многообразии X (G — компактная группа Ли), который коммутирует с действием группы G и эллиптичен в направлениях, нормальных к G-орбитам на X. При определении индекса трансверсально эллиптических операторов Атья и Зингер следовали конструкции Хариш-Чандры обобщенных характеров представлений полупро-стых групп Ли. Хорошо известно, что представление Т(д) группы G в гильбертовом пространстве L2(X,E) L2-сечений расслоения Е стандартным образом продолжается до представления групповой алгебры L1(G, dg) и, более того, до представления L1-скрещенного произведения Ll{G)C(X)). В частности, любая функция у? € C£°(G х X) определяет ограниченный линейный оператор Те(<р) в Ь2(Х,Е). Индекс трансверсально эллиптического оператора А есть обобщенная функция indG>4 € £>'(G), значение которой на пробной функции у? G C£°(G) задается формулой
(indc А, <р) — tr -РкегдТМ^РкегЛ “ tr ЛкегД*7д(^)Лк«гЛ*»
где Ркегл и РкетА‘ ~ ортогональные проекторы в Ь2(Х, Е) на КегЛ и Кет А* соответственно. Данное определение основывается на аналитической теореме, утверждающей, что оператор РкыАТвМРкетА является ядерным для любого трансверсально эллиптического оператора А и для любой функции </? € С£°(<7). Эту теорему можно рассматривать как аналог теоремы о фредголь-мовости эллиптического оператора на компактном многообразии без края. Результаты работы [37] можно переформулировать на языке Я'-тсории, как это сделано в работе [90], где построен индекс трансверсально эллиптического оператора как элемент группы К°(С*(С,С(Х))) = КК(С‘(С,С(Х)), С) (здесь С*(0,С(Х)) обозначает С*-скрещенное произведение алгебры С{Х) непрерывных функций на X на группу С относительно естественного действия группы С на С(Х)).
В работе [28] был установлен аналог факта о дискретности спектра эллиптических дифференциальных операторов на замкнутом многообразии и доказано существование функции распределения спектра для формально самосопряженных трансверсально эллиптических операторов. Наконец, в работе [17] определена формальная дзета-функция трансверсально эллиптического оператора на компактном С-многообразии и построено мероморфное продолжение С-функции на всю комплексную плоскость.
Доказательства упомянутых выше результатов опираются на теорию представлений компактных групп Ли и существенно используют условие (2-инвариантности операторов и компактность группы (7. В обзоре [125] Зингер описал доказательство существования индекса трансверсально эллиптических операторов для произвольной (не обязательно компактной) группы <7, принадлежащее Хермандеру. Заметим также, что индекс операторов, трансверсально эллиптических по отношению к слоению на компактном многообразии, изучался в [59, 89].
Идею Хермандера очень грубо можно описать следующим образом. Поскольку трансверсально эллиптический оператор А эллиптичен в направлениях, нормальных к орбитам действия группы, то для любой достаточно регулярной функции /, скажем, из пространства Шварца, оператор }(А) является сглаживающим в направлениях, нормальных к орбитам действия группы. С другой стороны, для любой функции у € С|°((7 х X) оператор Тв(ф) является сглаживающим в направлениях, касательным к орбитам действия группы. Поэтому, естественно ожидать (и это, на самом деле, действительно так), что оператор Те(р)/(А) является сглаживающим оператором, и, следовательно, ядерным оператором в Ь2(Х, Е). Чтобы сделать эти рассуждения более строгими, Хермандер использовал понятие волнового фронта обобщенной функции и его элементарные свойства (см. подробное изложение в [108]).
В главе 3 мы развиваем идею Хермандера, используя технику микроло-кального анализа и теорию исевдодифференциальных операторов. Развитая в этой главе аналитическая техника позволяет доказать существование и простейшие свойства спектральных инвариантов трансверсально эллиптических
операторов при значительно более общих предположениях, чем это было сделано в цитированных выше работах.
Мы рассматриваем многообразие ограниченной геометрии X (вообще говоря, некомпактное) и произвольную группу Ли С?. Мы пе предполагаем, что действие группы С на X изометрично. Вместо этого предполагается, что инфинитезимальные генераторы действия С°°-ограничены (в этом случае X называется С-многообразием ограниченной геометрии). Мы рассматриваем псевдоднфференциальные операторы на X, которые равномерно (в некотором смысле) эллиптичны в направлениях, нормальных к С-орбитам на X. Эти операторы являются аналогами (равномерно) эллиптических операторов на пространстве орбит ЛТ/С7. Наконец, мы не предполагаем, что рассматриваемые трансверсально эллиптические операторы коммутируют с действием * группы. Если совсем опустить условие С-инвариантности операторов, то получится очень широкий класс операторов (что легко увидеть, например, в случае, когда X — однородное С-лространство). Поэтому, в каждом конкретном случае накладываются дополнительные ограничения на рассматриваемые операторы, которые можно рассматривать как ослабленные условия типа инвариантности (см. более точные утверждения ниже в каждом конкретном случае).
В разделе 3.1 приведены необходимые сведения о многообразиях ограниченной геометрии. В частности, следуя работе [96], мы напоминаем определения и основные свойства пространств Соболева и классов псевдодифферен-циальных операторов с ограниченными символами на многообразиях ограниченной геометрии. В разделе 3.2 мы даем определение С-многообразия ограниченной геометрии и вводим некоторые связанные с ним понятия.
Для простоты изложения во введении мы приведем формулировки основных результатов, ограничившись случаем, когда X — компактное многообразие. Тем самым, мы будем предполагать, что X — компактное С-многообразие и Е — эрмитово векторное Ст-расслоение на X. Мы будем также предполагать, что действие группы С на X сохраняет гладкую положительную плотность д и действие группы С в слоях расслоения Е сохраняет эрмитову структуру на Е. Обозначим через Т£Х С множество конормалей к орбитам действия группы С на X.
Разделы 3.3 и 3.4 содержат основные технические результаты данной главы. Прежде всего, доказывается аналог теоремы о действии псевдодиффе-ренциальных операторов в пространствах Соболева (теорема 3.16) и аналог неравенства Гординга в рассматриваемом случае (теорема 3.18). В разделе
3.4 мы вводим понятие трансверсально эллиптического оператора и описываем конструкцию параметрикса, т.е. такого оператора, который обратен к трансверсально эллиптическому оператору по модулю операторов, сглаживающих в направлении конормального расслоения Т£Х. Из существования параметрикса и теоремы 3.16 стандартным образом следует аналог теоремы об эллиптической регулярности для трансверсально эллиптических операто-
ров (предложение 3.22). Наконец, мы устанавливаем существенную самосопряженность формально самосопряженного трансверсально эллиптического оператора, коммутирующего с действием группы по модулю операторов нулевого порядка. Результаты, полученные в разделах 3.3 и 3.4, полностью аналогичны соответствующим результатам стандартной теории псевдодифференциальных операторов (например, см. (26]) с той только разницей, что в нашем случае необходимо использовать “срезку” (дополнительно сглаживание вдоль орбит действия группы) при помощи оператора 7я(<р).
В разделе 3.5 установлен аналог теоремы о компактности псевдодифферен-циальных операторов отрицательного порядка. Для оператора Р є Ф® ДЛГ, Е) будем понимать под <jq{Р) представитель класса в факторпространстве
S°^{TX, Horn(n'E))/S;^im(T'X, Яот(ГЕ)), задаваемого его главным символом.
Теорема 3.26. Пусть Р € Ф^(Х, Е) — такой оператор, что
limsup 1Ы^)МН = 0.
ІИ-Н оо,і/ЄТ£Х
Тогда для любого € C£°(G х X) операторы Те{ч>)Р и РТЕ{<р) являются компактными операторами в Ь2(Х,Е).
Затем мы строим фредгольмов модуль над алгеброй C*(G,C(X))) ассоциированный с трансверсально эллиптическим оператором с инвариантным трансверсальным главным символом, и доказываем инвариантность соответствующего класса в K°(C*(G, С(Х))) при гомотопиях трансверсального главного символа (под трансверсальным главным символом оператора Р мы понимаем ограничение его главного символа на множество TqX конормалей к орбитам действия группы G на X). Из результатов данного раздела легко получается определение индекса трансверсально эллиптического оператора как обобщенной функции на G х X (см. [59]).
Раздел 3.6 посвящен изучению свойств функции распределения спектра трансверсально эллиптических операторов. Прежде всего, для любого самосопряженного трансверсально эллиптическою оператора порядка т > 0 доказано существование функции распределения спектра как обобщенной функции на G х X.
Теорема 3.32. Пусть А € £?),т > 0, — существенно самосопря-
женный трансверсально эллиптический оператор. Для любого А > 0 обозначим через Е* спектральные проекторы оператора А, соответствующие интервалам (О, А] (соответственно, (—А, 0)/ Тогда для любой функции є С£°(С хХ) и для любого А > 0 оператор Е*(у) = TE(<p)Ef является ядерним оператором в Ь2(Х,Е).
Для операторов с положительным трансверсальным главным символом справедливо более сильное утверждение (установленное нами только в случае, когда X компактно).
Теорема 3.33. Пусть А € Ф™Л(Х, Е) — существенно самосопряженный трансверсально эллиптический оператор порядка гп > 0, перестановочный с действием группы Є. Предположим, что существует коническая окрестность и множества Т&Х и постоянная С > 0, такие, что в любой системе коордишт полный символ оператора А удовлетворяет условию Яса(х,^) ^ СКГ при больших £, (я,£) € и. Для любого Л > 0 обозначим через Е\ спектральный проектор оператора А, соответствующий интервалу (—оо, А]. Тогда для любой функции <р Є С£°(<? х X) и для любого Л € К оператор Е\(<р) — Тв(ф)Еа является ядерным оператором в Ь2(Х, Е).
Заметим, что условие существенной самосопряженности оператора А в теоремах 3.32 и 3.33 играет роль ослабленного условия инвариантности, о чем уже говорилось выше. Тем самым, корректно определены функции распределения спектра оператора А на соответствующих интервалах как обобщенные функции на С х X по формулам
(^)(Л)^)=1г£;д±Ы, геС?[СхХ),
№(Л), *>) = и Ех(<р), ч> € С?{0 X X).
Для функций ЛГ^(А) и Л^о(А) установлены аналоги свойств целочисленно-сти и монотонности обычной функции распределения собственных значений. Спектр оператора А, для которого функция ІУС(А) корректно определена, совпадает с множеством точек роста этой функции. Аналогичное описание спектра можно дать, используя функции ^(А). Если X и Є компактны, то обобщенные функции распределения спектра, введенные в [28), получаются из наших ограничением на пространство С£°((7), которое вложено в С£°((7 х X) как пространство функций <р(д,х) € С£°((7 х X), не зависящих от х Є X.
В разделе 3.7 мы изучаем свойства дзета-функции трансверсально эллиптического оператора с трансверсальным главным символом, удовлетворяющим стандартному условию эллиптичности с параметром. Следует заметить, что из условия эллиптичности с параметром для трансверсального главного символа, вообще говоря, не следует обратимость операторов вида А - А и стандартная оценка для резольвенты типа ||(А-А)-1|| < С/|А| при больших А, как это имеет место для эллиптических операторов. Поэтому, в данном разделе мы дополнительно предполагаем справедливость последнего утверждения (данное условие можно рассматривать как условие типа инвариантности оператора). При этих условиях на оператор А, используя технику, разработанную в разделах 3.3 и 3.4, мы строим комплексные степени Аг оператора А и доказываем, что оператор Тв{<р)А* является ядерным оператором для любой функций <р Є С%°(0 х X) и любого г с достаточно большой по абсолютной
величине, отрицательной вещественной частью. Это позволяет нам дать определение дзета-функции Cg(-z) 6 V{G х X) оператора А по формуле
<&(*Ы = trЫч>)А\ <р € C?(G X X).
Как в работе [17], можно построить параметрикс трансверсально эллиптического оператора А, рассматриваемого как оператора с параметром, и при помощи этой конструкцию определить формальные комплексные степени В^ и формальную ^-функцию ^мт(г) € V'(G х X) оператора А по формуле
(Cfo™(2), V) = tr Ыч>)Вм, <р € С?(G X X).
В данном разделе доказано, что построенная нами ^-функция £a(z) отличается на целую функцию от формальной С-функций. В частности, этот факт позволяет установить связь между формальной (^-функцией и спектром оператора А, оставшуюся открытой в работе [17], и при помощи результатов этой работы доказать существование мероморфного продолжения С-функции Сс(2) на всю комплексную плоскость.
Общие методы исследования трансверсально эллиптических операторов на многообразиях, наделенных действием некомпактной группы Ли, развитые в главе 3, и трансверсальное псевдодиффсренциальное исчисление на многообразиях со слоением, изложенное в разделе 1.2, позволяют нам дать более точное описание свойств трансверсально эллиптических операторов на компактных многообразиях со слоением, что сделано в главе 4. Прежде всего, в разделе 4.2 мы уточняется результат о мероморфном продолжении дзета-функции трансверсально эллиптических операторов.
Напомним, что трансверсальный главный символ оператора А € Фт(М, Е) на многообразии со слоением (М, Т) есть ограничение его главного символа на конормальное расслоение N'T к слоению Т.
Теорема 4.14. Пусть (М,Т) — компактное многообразие со слоением, Е — эрмитово векторное расслоение на М, А € ФШ(М, Е) — трансверсально эллиптический псевдодифференциалъный оператор с положительным транс-версальным главным символом. Предположим, что оператор А, рассматриваемый как неограниченный оператор в гильбертовом пространстве L2{M, Е), существенно самосопряжен на исходной области определения С°°(М,Е), и его замыкание является обратимым и положительно определенным оператором. Для любого Q € 'Ф1'"00(М,Т,Е), I G Ъ, функция z tr (QA~X) голоморфна при Ее 2 > (I + q)/m (q = codim Т) и допускает (единственное) мероморфное продолжение на С с не более чем простыми полюсами в точках zk = к/т с целыми к < I + q. Ее вычет в точке z = 2* равен
res tr [QA-‘) = qr{QA-klm).
Z-Zk
В этой теореме г обозначает сингулярный след (след типа Гийемина-Вод-зицкого) на алгебре Ф*’“°°(М, Т, Е), построенный в разделе 1.2.5.
Основным результатом раздела 4.3 является версия теоремы Егорова для трансверсально эллиптических операторов на компактных многообразиях со слоением (теорема 4.25). Классическая теорема Егорова (7] является одним из фундаментальных результатов микролокального анализа, связывающим квантовую эволюцию псевдодифференциальных операторов с классической динамикой главных символов. Напомним формулировку этой теоремы. Пусть Р — положительный самосопряженный псевдодифференциальный оператор первого порядка на компактном многообразии М с положительным главным символом р. Пусть /4 — бихарактеристический поток оператора Р, т.е., гамильтонов поток на Т'М, задаваемый гамильтонианом р. Теорема Егорова утверждает, что для любого псевдодифференциального оператора А нулевого порядка с главным символом а £ 5°(Т*М \ 0) оператор А{Ь) — еирАе~ир является псевдодифференциальным оператором порядка 0. Главный символ а* € 5°(Т’*М \0) этого оператора задается формулой
*(*,0 = <*(/<(*> О), (*,«€Т*М\ 0.
Теперь рассмотрим компактное многообразие со слоением (М, Т) и формально самосопряженный трансверсально эллиптический пседодифференци-альный оператор I) первого порядка в Ь2(М), имеющий голономно инвариантный трансверсальный главный символ. По спектрапьной теореме оператор (И) = (I + Х)2)1/2 определяет сильно непрерывную группу огра-
ниченных операторов в Ь2(М). Рассмотрим однопараметрическую группу Ф* ♦-автоморфизмов алгебры £(Ь2(М)), определяемую по формуле
Фе(Т) = Т 6 С{Ь2{М)).
Теорема 4.25 утверждает, что для любого К 6 Фт,“°°(М, .Т7) существует такой оператор К(Ь) € Фт,-°°(М,Т)> что семейство ФДК) — К{1)^ € К, есть гладкое семейство операторов, сглаживающих в шкале пространств, задаваемой оператором (О). Более того, если в дополнение субглавный символ оператор £> равен нулю, то можно описать главный символ оператора К(1). Он получается из главного символа оператора К при помощи действия транс-версального бихарактеристического потока, определяемого трансверсальным главным символом оператора X).
Основной целью раздела 4.4 является обобщение формулы следов Дюй-стермаата-Гийемина на случай трансверсально эллиптических операторов на компактном многообразии со слоением. Сначала, напомним вкратце содержание классической формулы.
Пусть Р - положительный самосопряженный эллиптический псевдодифференциальный оператор первою порядка на замкнутом многообразии М. Для любой функции / € С?°(Н) оператор 0Т/ = / /^)еиРсИ является ядер-ным оператором, и отображение в : / и-» ЬгС// является обобщенной функцией на К. Согласно теореме Колин де Вердье и Шазарена [57, 52], особенности
функции в содержатся в множестве периодов замкнутых траекторий биха-рактеристического потока ft. Более того, Дюйстермаат и Гийемин показали [68], что, в предположении, что бихарактеристический поток является чистым, можно выписать асимптотическое разложение для функции 9 вблизи данного периода замкнутой бихарактеристики. Формула для главного члена этого асимптотического разложения и есть упоминавшаяся выше формула следов Дюйстермаата-Гийемина. Она включает в себя геометрию бихарактеристиче-ского потока в виде отображения Пуанкаре и индексов Маслова и является далеко идущим обобщением классической формулы Пуассона и формулы следов Сельберга на гиперболических пространствах.
В разделе 4.4 мы доказываем формулу следов типа Дюйстермаата-Гий-емина для оператора Р = у/А, где А - положительный самосопряженный трансверсально эллиптический псевдодифференциальный оператор второго порядка с положительным, голономно инвариантным трансверсальным главным символом на компактном многообразии со слоением (М,Р). Рассмотрим обобщенную функции вк € 2)'(R), задаваемую формулой
(0к, /> = tr R(k) I f(t)eupdt, f S Cf(R),
где к £ C™(G, \TG\^2) — фиксированная произвольная плотность и R(k) — соответствующий касательный оператор в Ь2(М). Формула типа Дюйстермаата-Гийемина (см. Теорему 4.35; в силу громоздкости формулировки мы не приводим ее во введении) дает описание особенностей функции 0к при естественных дополнительных условиях на трансверсальный бихарактеристический поток.
Если рассматривать оператор Р как эллиптический оператор первого порядка на сингулярном пространстве 1MJT слоев слоения Т, то формула следов, установленная в этом разделе, является примером формулы следов для эллиптических операторов на сингулярных пространствах. Эта формула будет полезна при дальнейшем изучении общей формулы следов в некоммутативной геометрии (см., например, [62, 76] по поводу некоммутативной формулы следов). Следует также отметить, что формулу следов, установленную в разделе 4.4, можно рассматривать как относительную версию формулы следов Дюйстермаата - Гийемина.
В разделе 4.5 полученные выше результаты применяются для исследования некоммутативной геометрии римановых слоений (в смысле А. Конна). Прежде всего, мы строим спектральные тройки ассоциированные
с трансверсально эллиптическими операторами на компактном многообразии со слоением (М, Т). Они имеют следующий вид:
1. А — алгебра C|°(G), где G обозначает группоид голономии слоения;
2. 'Н — гильбертово пространство Ь2(М,Е) квадратично интегрируемых сечений голономно эквивариантного эрмитова векторного расслоения Е, на котором алгебра А действует посредством естественного ♦-представления Не\
3. й — такой самосопряженный трансверсально эллиптический оператор первого порядка с голономно инвариантным трансверсальным главным символом, что оператор Э2 самосопряжен и имеет скалярный главный символ.
Теорема 4.37. Для любого замкнутого многообразия со слоением (М, Т) описанная выше тройка (А,НуО) является конечномерной спектральной тройкой.
В контексте некоммутативной дифференциальной геометрии трансверсально эллиптические операторы на многообразиях со слоением появились в (59|. В этой работе доказано, что любой трансверсально эллиптический оператор нулевого порядка с голономно инвариантным трансверсальным главным символом определяет конечномерный фредгольмов модуль над алгеброй С“(С) (см. также [60, 89]). Теорема 4.37 распространяет этот результат на случай трансверсально эллиптических операторов первого порядка.
Затем мы даем описание спектра размерностей (см. [63]) спектральных троек, ассоциированных с римановыми слоениями.
Теорема 4.41. Спектральная тройка (А,71,0), описанная в теореме 4-37, имеет простой дискретный спектр размерностей Эф содержащийся в множестве {ц € N : V < я}, <? = сосИт.?7.
Наконец, используя теорему 4.25, мы даем частичное описание некоммутативного геодезического потока, задаваемого данными спектральными тройками (см. теорему 4.49).
Глава 5 посвящена изучению спектральных асимптотик для эллиптических операторов на многообразиях со слоением, зависящих от малого параметра б > 0, которые при /г —► 0 вырождаются в трансверсальном направлении таким образом, что в пределе получается касательно эллиптический оператор.
Простейший пример такой задачи рассмотрен в разделе 5.1. Рассмотрим гладкое замкнутое многообразие со слоением {М,Т). Предположим, что Т имеет голономно инвариантную меру о, задаваемую положительной гладкой плотностью на гладких трансверсалях. Зафиксируем гладкое семейство Л = {А*, : Ь 6 У/?} гладких положительных плотностей на слоях слоения Т. Комбинируя и и А, получим гладкую положительную плотность дх на М.
Пусть А — касательно эллиптический оператор порядка р > 0. Предположим, что
1. А формально самосопряжен в 1?{М,<1т).
2. Касательный главный символ оператора А положителен.
Пусть В — классический псевдодифференциальный оператор порядка т > 0 на М. Предположим, что
1. В формально самосопряжен в Ь2(М,с1х).
2. Главный символ оператора В положителен, если р < т, и трансверсаль-* ный главный символ оператора В положителен, если д > т.
Рассмотрим пссвдодифференциальный оператор
Л„ = А + НтВ
на М, зависящий от параметра /і > 0. При сделанных выше предположениях, для любого достаточно малого Н > 0, оператор Л/, является формально самосопряженным псевдодифференциальным оператором на М с положительным главным символом в любой системе координат, который эллиптичен, если д < т, и гипоэллиптичен, если д > т. Таким образом, Ан определяет самосопряженный полуограниченный снизу оператор в Ь2(МДх) с дискретным спектром.
Основным результатом раздела 5.1 является асимптотическая формула ^ для функции, распределения спектра Лгь(А) оператора Л/, при И -* 0 при сле-
дующем дополнительном предположении:
трансверсальный главный символ аа оператора В голопомно инвариантен.
Прежде чем сформулировать основную теорему, введем некоторые вспомогательные понятия. Пусть е(7,Д),7 € О, А € К, обозначает касательное ядро спектрального проектора касательпо эллиптического оператора А, соответствующего полуоси (—оо, А) (см. раздел 2.2.5), и е(х, А),х € М, А € К — его ограничение на М. Согласно теореме 2.21, функция е(х, А) является ограниченной измеримой функцией на М при фиксированном А 6 К.
Трансверсальная плотность V определяет положительную плотность их на NIТ для любого х Є М. Введем функцию V € С°°(М)} значение которой в точке х € М равно объему множества всех таких (х,ц) Є N*7^, что ств(х,т?) <
1.
И Теорема 5.1. Для любого А € К имеет место асимптотическая формула:
УУа(А) = Л-»У (/ (А - г)«/т<іге(х,т)') У(х)<Ь + о(Н->), А -> 0,
где обозначает коразмерность слоения Т.
Локально данная задача является асимптотической спектральной задачей для (гипо)эллиптического оператора Ль в случае, когда его главный символ содержит малый параметр К только в коэффициентах, стоящих перед производными по отношению к некоторой выбранной группе переменных. Точнее, оператор ЛЛ есть псевдодифференциальный оператор в Кп = Кр х К4 вида
т
А/, = /і*о3 (х, у, РХ1НРУ), ібЕр,
1-і
*
22
Такой оператор можно рассматривать как Л-псевдодифференциальный оператор по переменной у е Rq с операториозначиым символом. Асимптотическая формула для функции распределения спектра оператора такого вида в Rn была получена Левендорским в [13) (см. также (99)) и Балазар-Конлин в [44] при помощи техники псевдодифференциальных операторов с операторнозначными символами. Глобально оператор А/, не имеет такой хорошей структуры, и не вполне ясно, применима ли в данном случае техника псевдодифференциальных операторов с операторными символами. Данная асимптотическая задача является полулокальной в том смысле, что она локализуется только в направлениях, трансверсальным к слоям слоения. Сложность при исследовании этой проблемы связана с достаточно сложной глобальной структурой слоения.
Спектральные задачи данного типа имеют много приложений в различных областях механики и квантовой физики (см., например, теорию оболочек [2, 12), физику анизотропных сред (14), квантовую механику кристаллов [8), приближение Борна-Оппенгеймера в молекулярной физике [93]), и исследовалось многими авторами (см., например, [2, 15, 99, 1, 100, 93] и имеющиеся там ссылки). Мы применяем результаты раздела 5.1 к асимптотическим задачам в спектральной геометрии слоений. Именно, в разделе 5.2 результаты раздела 5.1 применяются для изучения асимптотического поведения спектра оператора Лапласа на компактном многообразии, снабженном римановым слоением, в адиабатическом пределе.
Пусть (М, F)— замкнутое многообразие со слоением, dim М = n, dimF = p,p+q = п, наделенное римановой метрикой дм- Предположим, что слоение Т риманово, и метрика дм расслоенноподобна. Пусть F = ТТ — интегрируемое распределение p-плоскостей в ТАГ, и Я = Fx — ортогональное дополнение к F. Тем самым, имеем разложение расслоения ТМ в прямую сумму ТМ = F0H и соответствующее разложение метрики дм = 9f + <?//• Определим однопараметрическое семейство дь метрик на М по формуле
* 9h — 9F + h~2gH, 0 < h < 1.
То, что мы называем адиабатическим пределом, есть “предел ” римановых многообразий (M,9h) при h 10. Заметим, что при hi 0 локальные слои слоения в любой расслоенной карте бесконечно удаляются друг от друга. В таком виде адиабатический предел был введен Э. Виттеном в [129) для римановых расслоений над окружностью. Виттен исследовал адиабатический предел эта-инвариантов оператора Дирака в связи с рассмотрением гравитационных аномалий в теории струн. Это исследование было продолжено в работах [46], [47) и |54) и обобщалось на общий случай римановых расслоений в [45) и J64).
Для любого h > 0 рассмотрим оператор Лапласа на дифференциальных формах, определенный метрикой <?/,:
= d'gsd +
*
23
где (і : С°°(Л/, АкТ*М) —» С°°(М,Лк+1ТйМ) — дифференциал де Рама, с1*н — оператор, сопряженный к оператору 4 относительно гильбертовой структуры на С°°(М,ЛТ*М), индуцированной метрикой дн. Оператор ДРл является самосопряженным, эллиптическим дифференциальным оператором с положительно определенным, скалярным главным символом в гильбертовом пространстве Ь7{М,\Т* М, д^). Основным результатом раздела 5.2 является асимптотическая формула для функции распределения собственных значений Дгл(А) оператора Дл при /г —> 0.
Обозначим через Д^ : С°°(М,ЛТ*М) -> С°°(М, АТШМ) касательный оператор Лапласа: А? = Луй? + (здесь сі? обозначает касательный дифференциал де Рама). Пусть И?(Х) — фупкция распределения спектра касательно эллиптического оператора А?, введенная в разделе 2.2.5.
Теорема 5.17. Пусть (М,Т) — римапово слоение, наделенное расслоеннопо-добной риманоеой метрикой дм. Имеет место следующая асимптотическая формула для функции А^(А):
МХ) = Ь~"г|^2)Ті) I-1(А “ Т),'Ч^ЛТ) + Н й
Нами также установлена асимптотическая формула для следа оператора /(Дл) для любой функции / Є С'с(К) (см. Теоремы 5.24 и 5.30). Данную задачу можно рассматривать как задачу о квазиклассических спектральных асимптотиках для эллиптических операторов на сингулярном многообразии М/Т слоев слоения Т. Использование языка некоммутивной геометрии позволяет записать асимптотическую формулу для следа оператора /(Д/,) в форме, полностью аналогичной квазиклассической формуле Вейля для следа функций от оператора Шредингера на компактном многообразии (см. теорему 5.24).
В работе [103] Маззео и Мельроуз обнаружили новые свойства адиабатических пределов для римановых расслоений. Они установили связь адиабатических пределов со свойствами спектральной последовательности Лере. Можно сказать, что использование адиабатических пределов позволяет установить аналог теории Ходжа для спектральной последовательности Лере, т.е. дать описание ее членов в терминах спектра оператора Лапласа на римано-вом расслоении по аналогии с тем, как классическая теория Ходжа дает описание когомологий компактного многообразия в терминах спектра оператора Лапласа (точнее, его нулевых мод). Результаты Маззео и Мельроуза были развиты в работе [64] и далее Форманом в работе [72]. В |72] адиабатические пределы изучались в очень общей постановке, связанной с произвольной парой трансверсальных распределений. Тем не менее, самые интересные аналитические результаты этой работы доказаны только для слоений, удовлетворяющих очень ограничительным условиям, а, именно, для римановых слоений, все слои которых компактны. Идеи работ [103] и [72] также применялись для изучения адиабатических пределов на контактных многообразиях {73, 118].
Целью главы 6 является распространение результатов Формана на случай произвольного риманова слоения на компактном многообразии. Для общего С°°-слоения Т на М роль (дифференцируемой версии) спектральной последовательности Лере играет так называемая дифференциальная спектральная последовательность (Ek, dk), сходящаяся к когомологиям де Рама многообразия М. Определение последовательности (Ek,dk) дается при помощи той же самой фильтрации комплекса де Рама (П,</) многообразия М, как и в случае расслоения: дифференциальная форма ш степени г имеет степень фильтрации > к, если ее значение на любом наборе векторов, г — & + 1 из которых касаются слоев слоения, равно нулю; то есть, грубо говоря, со имеет трансверсальную степень > к. С°° топология на Q индуцирует структуру топологического векторного пространства на каждом члене Ек дифференциальной спектральной последовательности слоения, относительно которой оператор dk непрерывен. В данном случае (в отличие от случая римановых расслоений, изучавшегося ранее) сложной проблемой является тот факт, что пространства Ек могут быть нехаусдорфовыми (85). Тем самым, имеет смысл рассматривать подкомплекс, задаваемый замыканием тривиального подпространства, б* С Ек, а также факторкомплекс Ек = Ek/J)k.
Дифференциальная спектральная последовательность слоения обладает некоторыми хорошими свойствами для римановых слоений. Как показано в главе 6 (см. также (102)), для римановых слоений член Ек является хаусдорфо-вым конечномерным пространством при к > 2, и Н(0i) = 0. Поэтому Ек = Ек при к > 2.
Обозначим как и выше через A9h оператор Лапласа на дифференциальных формах, определяемый метрикой дн- Пусть 0 < Xq(H) < A[(h) < А$(Л) < ■ ■ • обозначает его спектр на Пг с учетом кратности. Хорошо известно, что собственные значения оператора Лапласа на дифференциальных формах изменяются непрерывно при непрерывных возмущениях метрики (53), и, тем самым, “ветви” собственных значений A*(h) зависят непрерывно (более того, даже аналитически) от параметра h > 0. Мы будем рассматривать только те “ветви" АЦЛ), которые стремятся к нулю при h 4- 0; грубо говоря, “малые” собственные значения.
Теорема 6.69. Для любого риманова слоения на замкнутом римановом многообразии
dim£[ = # {» | X'(h)€0(h2) при
dim-E; =Л {i I АЦЛ) € О (h2k) при Л|0}, к >2.
В этой главе также исследован вопрос о поведении собственных форм оператора , соответствующих малым собственным значениям (это исследование используется при доказательстве теоремы 6.69, но, несомненно, представляет собой самостоятельный интерес). Предположим, что слоение Т риманово, и метрика дм является расслоенноподобной. Используя естественный изоморфизм Эн гильбертовых пространств L2(M, АТ*М, дн) и Ь2(М, \Т* М,д) (см.
(5.20)), можно перенести наши рассмотрения в фиксированное гильбертово пространство L?[M, ЛТ*М, <7) = L2Q. Оператор Адн переходит при этом в оператор Да = ©лДр^О^1. Для простоты обозначений положим тп\ = dim Е[, и mrk = dimEfc для любого к = 2,3, ...,оо. В теореме 6.70 доказывается, что собственные подпространства оператора Да, соответствующие “малым” собственным значениям, сходятся при ft 1 0, и их предел задается вложенной последовательностью биградуированных подпространств (определение которых приведепо в разделе 6.3.1)
П Э Пх Э Пг Э Пг Э • • О ft«, .
Точнее, для каждого h > 0 рассмотрим вложенную последовательность градуированных подпространств
П D ЩН) Э H2(h) Э H3(h) Э • • О H^h) ,
где Hrk(h) есть подпространство, порожденное собственными формами оператора Да, соответствующими собственным значениям A 1(h) с i < mj; в частности, Hkih) — 'H0o{h) = кегДд при достаточно больших к. Положим также Пк( 0) = Пк.
Теорема 6.70. Для любого римапова слоения на замкнутом многообразии, снабженном расслоенноподобной метрикой, и при любом к = 2,3,..., оо, соответствие h i-> /Hrk(h) определяет непрерывное отображение из (0, оо) в пространство конечномерных линейных подпространств пространства L2Q,r для любого г > 0. Если dim Е[ < оо, то это утверждение верно также при Ь 1.
В разделе 6.5 построены примеры слоений, для которых отображение Л »-»
'Hrk(h), определенное в теореме 6.70, не является С°°-отображением из (0,оо) в пространство конечномерных линейных подпространств пространства L2fir.
Глава 7 посвящена изучению редуцированных послойных когомологий транзитивных слоений коразмерности один. Используя послойную теорию Ходжа и методы теории индекса трансверсально эллиптических операторов, мы даем определение размерности послойных когомологий (послойных чисел Бетти) как обобщенных функций на вещественной прямой и доказываем формулу для соответствующей эйлеровой характеристики, которая может рассматриваться как простейший пример теоремы об индексе для трансверсально эллиптических операторов относительно некомпактной группы Ли.
Пусть М — замкнутое многообразие и Т — гладкое слоение на М коразмерности один. Слоение Т называется транзитивным, если существует векторное поле X на М, которое трансверсально к слоям, т.е. ТХМ = RA(i) 0 ТХТ для любого х € А/, и соответствующий поток Xt : М —► М, t е R, отображает каждый слой слоения Т в (возможно, другой) слой. В этом случае орбиты потока Xt, t 6 R, невырождены и трансверсальны к слоям.