Эллиптические задачи в пространствах с асимптотиками и их приложения к построению самосопряженных расширений оператора Лапласа

2
СОДЕРЖАНИЕ
Введение................................................................. 6
Вводные замечания................................................... 6
Обзор литературы .................................................. 12
Содержание работы ................................................. 17
Глава 1. Разрешимость задач в пространствах с асимптотиками для пары 40
§1. Пространства с асимптотиками .................................. 40
§2. Задачи Соболева в пространствах с асимптотиками................ 42
§3. Построение алгебры операторных морфизмов ...................... 50
Глава 2. Разрешимость задач в пространствах с асимптотиками на стратифицированном многообразии, представляющем собой объединение двух пересекающихся плоскостей 53
§1. Пространства с асимптотиками для пары ■'•иГ'1) 53
§2. Задачи Соболева в пространствах с асимптотиками для пары
(/Г, Г“’ иГ-) ................................................... 55
§3. Построение ачгебры операторных морфизмов ...................... 74
Глава 3. Разрешимость задач в пространствах с асимптотиками па стратифицированном многообразии представляющем собой объединение плоскостей в общем положении 79
§1. Основные определения .......................................... 79
§2. Постановка задачи.............................................. 81
§3. Построение ачгебры операторных морфизмов ...................... 97
з
Глава 4. Эллиптические задачи на стратифицированных компактных многообразиях в пространствах с асимптотиками ................................................................... 99
§1. Построение регуляризатора задачи Соболева в пространствах с асимптотиками для пары М з X, где X - гладкое компактное подмногообразие ................................................... 99
§2. Задача Соболева в пространствах с асимптотиками для случая произвольного стратифицированного компактного многообразия без края, имеющего трансверсальные пересечения .................102
Глава 5. Примеры..........................................................109
Пример 1 ............................................................ 109
Пример 2 ............................................................111
Глава 6. Оператор Шредингера с потенциалом сосредоточенным на плоскости.......................................................114
§1. Построение сопряженного оператора ...............................114
§2. Условия симметрии ...............................................116
§3. Условия самосопряженности оператора А“гк ........................118
§4. Условия полуограниченности операторов А 0а,р к и Аа’р,к .........124
Глава 7. Построение самосопряженного расширения оператора Шредингера с потенциалом, сосредоточенным на пучке
плоскостей, имеющих нулевое пересечение...................................127
§1. Построение симметрических расширении оператора А / для случая
пучка состоящего из двух плоскостей имеющих нулевое пересечение .....129
§2. Необходимые и достаточные условия обратимости оператора А а.р.у.к
для пучка состоящего из двух плоскостей имеющих нулевое пересечение .133
§3. Полуограниченность оператора для случая пучка состоящего
из двух плоскостей имеющих нулевое пересечение ......................139
4
§4. Самосопряженность оператора Ааі)і.к для случая пучка состоящего
из двух плоскостей имеющих нулевое пересечение ............................141
£5. Построение самосопряженных расширений оператора А, в для случая пучка состоящего из двух плоскостей имеющих нулевое пересечение ..............................................................142
§6. Построение симметрических расширений оператора А, для пучка
состоящего из т плоскостей имеющих нулевое пересечение ...................146
§7. Необходимые и достаточные условия обратимости оператора л~ - Д;, у к для пучка состоящего из т плоскостей имеющих нулевое
пересечение .............................................................. 150
§8. Необходимые и достаточные условия полуограниченности и самосопряженности оператора Ар для пучка состоящего из т плоскостей
имеющих нулевое пересечение ..............................................152
§9. Самосопряженность оператора Ар кі для пучка состоящего из т
тоскостей имеющих нулевое пересечение .................................... 153
§10. Построение самосопряженных полуограниченных расширений оператора А, в І^іК2") для пучка состоящего из т плоскостей имеющих нулевое пересечение ..............................................154
Глава 8. Построение самосопряженного расширения оператора Шредингера с потенциалому сосредоточенным на пучке плоскостей, имеющих ненулевое пересечение........................................157
§1. Построение симметрического расширения оператора А,для пучка
состоящего из двух плоскостей имеющих ненулевое пересечение ...............159
§2. Необходимые и достаточные условия обратимости оператора X Аа(іуЛ для пучка состоящего из двух плоскостей имеющих ненулевое
пересечение .............................................................. 160
§3. Полуограниченность оператора Аа^ у к для случая пучка состоящего
5
из двух плоскостей имеющих, ненулевое пересечение ...................... 169
§4. Построение самосопряженных расширений оператора А,в L2(R'"% ) для случая пучка состоящего из двух плоскостей, имеющих ненулевое
пересечение ............................................................169
§5. Построение самосопряженного расширения оператора Лапласа с областью определения состоящей из функций обращающихся в ноль в окрестности пучка состоящего из т плоскостей, имеющих ненулевое
пересечение ........................................................... 175
§6. Построение самосопряженных полуограниченных расширений оператора ALe 1^{Я"*' )для пучка состоящего из т плоскостей, имеющих ненулевое пересечение .........................................181
Глава 9. Самосопряженность в существенном операторов
Д*>", Afl>yjkt Л%„, ....................................................... 183
§1. Самосопряженность в существенном оператора Аарк
при условии р> 0 ...................................................... 183
§2. Самосопряженнось в существенном операторов Ар vku Ак p,.v
при неотрицательных значениях к.........................................185
Литература....................................................................189
6
ВВЕДЕНИЕ
Одним из важнейших направлений теории дифференциальных уравнений является исследование поведения их решений в окрестностях особых точек. Типичные примеры таких задач - это исследования решений дифференциальных уравнений на многообразиях с особенностями ([1], [2], [3]), дифференциальных уравнений с вырожденными коэффициентами [4], так называемых задач Соболева [3], и многие другие задачи.
ВВОДНЫЕ ЗАМЕЧАНИЯ.
При исследовании асимптотик решений дифференциальных уравнений в окрестности особых точек возникают следующие задачи.
1. Определение вида асимптотического разложения решения в окрестности особой точки.
Наиболее распространенный пример вида асимптотического разложения - конор-мальные асимптотики. Они возникают, например, при изучении эллиптических однородных уравнений на многообразиях с конической особенностью. Такого рода задачи были рассмотрены, к примеру, в работах [2], [5]. В работе [2] рассматривается общая краевая задача для областей, граница которых имеет конечное число особых конических точек. В этой работе показано, что в окрестности особой точки решения представимы как суммы выражений вида
г-52»)1п'г. (1)
у-О
Здесь (г,со) - полярные координаты, со - угловая переменная конуса, г - расстояние до особой точки, 0,(0)) - бесконечно дифференцируемые функции. Похожий вид
£ г*5>,(*,®)1п'г (2)
1=9 у-0
имеют асимптотики решений эллиптических дифференциальных уравнений в случае, когда конические особенности лежат на некотором гладком многообразии ([1], [5]), а также при изучении задач Соболева [6], заданных на паре (М,Х), где М - гладкое многообразие, а X-его подмногообразие. В этом случае через (г,со) обозначаются полярные
7
координаты в пространстве трансвсрсальном к подмногообразию X, через х обозначены локальные координаты наЛ', а через ар(х,со) - гладкие функции, 5,-целые числа.
В работах [7], [16], [28] также приведены примеры задач на многообразиях с особенностями (конических и угловых типов), решения которых в окрестностях особых точек имеют конормальные асимптотики видов (1), (2).
2. Определение коэффициентов асимптотического разложения конкретных решений.
При этом вид асимптотики решения дифференциального уравнения уже определен, и требуется, зная асимптотику правой части уравнения и тин особенности многообразия, найти функции ал(х,со), которые являются коэффициентами в асимптотическом
разложении решения.
Одним из методов решения этой задачи является использование так называемых пространств с асимптотиками. Этот метод заключается в том, что мы ищем решение в классе функций имеющих специальный тип асимптотического разложения вблизи особых точек или некоторых многообразий, то есть в так называемых функциональных пространствах с асимптотиками. В качестве примеров функций, принадлежащих функциональным пространствам с асимптотиками, можно рассмотреть представления (1) и (2). Заметим, что другими примерами видов асимптотического разложения являются ресургентные разложения в окрестностях особых точек многообразий типов клювов (см. напр. [14], [15]). В данной работе этот тип особенностей рассматриваться не будет.
Заметим, что метод определения коэффициентов асимптотического разложения, в некотором роде, аналогичен методу неопределенных коэффициентов в применении к обыкновенным дифференциальным уравнениям со специальными правыми частями. Для иллюстрации этой аналогии воспользуемся примером, приведенным в работе [8]. А именно, рассмотрим обыкновенное дифференциальное уравнение
Рт{х~)и = /{Х), (3)
сЫ
где Рт(р) = атрт+...+а1р+а0 - полином по переменной/?, х е /?', а функция Дх) имеет следующий специальный вид
/(*)-*•&( 1пх). (4)
Здесь Qn - произвольный полином степени п. 11ространство функций такого вида будем обозначать через Рпа. Заметим, что Рпа является примером функционального про-
8
странства с асимптотиками. Будем искать решение уравнения (3) так же в виде (4).
Очевидно, что оператор Рт(х—) может быть рассмотрен как линейный оператор дей-
ах
ствующий в л-мерных пространствах:
(5)
ах
Выбрав базис в функциональном пространстве Рям, оператор *м(х^) можно записать в матричной форме. Выберем базис е, такой, что
еі(х) - х“~г7~ >к = 0,...,п.
А •
Очевидно, что матрица линейного оператора РЛх—~) в этом базисе будет иметь вид
сіх
'Рт(е) * • • • * '
О Рт(а) ... *
,0 0 ... Рт(а1
Ясно, что если Ря(а) * 0, то оператор (5) является изоморфизмом. Отсюда следует, что
в этом случае уравнение (3) имеет единственное решение в функциональном пространстве Рпа. Этот случай называется нерезонансным. Пели же Рт(а) = 0 (резонансный случай), го задача (3) будет иметь ненулевые ядро и коядро. Более точно, размерности ядра и коядра оператора (5) равны та, где ти - кратность корня а многочлена Рт(р). Следовательно, для того, чтобы обнулить ядро оператора, соответствующего задаче (3), к уравнению надо добавить та дополнительных условий, а для обнуления коядра полученной задачи надо наложить условия на правую часть уравнения (3), то есть на функцию Дх). Все эти дополнительные условия будут гарантировать однозначную разрешимость полученной задачи.
Задачи в функциональных пространствах с асимптотиками возникают также в приложениях теории дифференциальных уравнений к задачам квантовой механики, а именно, в теории близкодействия при изучении уравнения Шредингера с потенциалом нулевого радиуса. Дело в том, что описание потенциалов нулевого радиуса, как было показано в работах [9], [10], проводится с помощью построения самосопряженных
9
расширений оператора Лапласа с начальной областью определения состоящей из достаточно гладких функций, обращающихся в ноль в некоторой окрестности пучка плоскостей. Как было показано в этих работах (см. также [11], [33]), область его определения состоит из функций лежащих в пространствах с асимптотиками. Іїоясним сказанное на простом примере.
Аналогично работе [9], рассмотрим оператор Д„ с областью определения Ол
£>Лі = {«(*) є #2(/?')|м = 0в окрестности х=0}>
и на ней совпадающий с оператором Лапласа. Очевидно, что этот оператор является симметрическим и обладает самосопряженными расширениями. К примеру, одним из его самосопряженных расширений является оператор Лапласа с областью определения Н2(Л3). Но есть и другие самосопряженные расширения. В работе [8] отмечается, что все они описывают некоторую квантомеханическую ситуацию. Самосопряженное расширение, упомянутое выше, соответствует свободной одномерной частице, а остальные самосопряженные расширения описывают квантовую частицу в потенциальном поле, сосредоточенном в начале координат (поле нулевого радиуса). Можно описать все эти самосопряженные расширения. Легко показать (см., наир. [11]), что область определения оператора сопряженного к Д0 имеет вид
= М*) - е Г~ + г/о(*)> “о(х) єН2(Я3)}, где С - произвольная константа. Заметим, что представляет собой пространство с
асимптотиками, поскольку его элементы являются суммой особой компоненты е~г—
г
(асимптотики) и гладкой компоненты м0(дг), принадлежащей пространству И2(К3). Оператор Д0* действует на функции, принадлежащие своей области определения, следующим образом
(Д„- - IX«-'-+4,00) = (Д -і КМ,
г
то есть совпадает с оператором Лапласа в классическом смысле. Легко найти все симметрические расширения оператора Д0 и описать их в терминах локатьных граничных условий. Все эти расширения описываются однопараметрическим семейством симмет-
10
ричсских операторов Д*а, получаемым путем сужения области определения оператора
Д* . А именно, сузим £>. с помощью введения дополнительных условий
^ 0 0
^.о={М(х)еЛд.е|С + ш/о(0) = 0}.
Таким образом, мы получили однопараметрическое семейство симметрических операторов д; = Д0* . Это семейство содержит все симметрические расширения опера-
•»*!
гора Д0.
Простейший способ исследовать эти операторы на самосопряженность состоит в изучении их резольвенты, то есть оператора (Д*в -1) 1. Этот оператор является разре-
шающим оператором для следующей задачи.
г--»'"" (6)
С + аио(0) = О
(Д+и0(х)) = /(х)
где /(*) е12(/?>). Сравнение в означает, что уравнение (6) выполняется везде, кроме начала координат. Можно показать, что задача (6) однозначно разрешима при любой функции /(*) (/?л). Отсюда следует, что операторы Д‘„ являются самосопряжен-
ными расширениями оператора Д0, кроме того, все его самосопряженные расширения описываются этим однопараметрическим семейством. Легко показать, что необходимым и достаточным условием полуограниченности сверху оператора Д*„ является неотрицательность константы а.
Задача (6) является простейшим примером эллиптической задачи типа Соболева в пространствах с асимптотиками, а граничное условие в этой задаче является естественным граничным условием в пространствах с асимптотиками (заметим, что обычные граничные условия не могут здесь быть использованы, так как функции вида
е~г — + и0(х) не допускает сужения в начало координат). г
Теперь от задачи (6) перейдем к более общей задаче
/-1 1-1
здесь, так же как и в задаче (6) сравнение означает, что уравнение выполняется везде
кроме начала координат, Н(*,-/—) - некоторый эллиптический дифференциальный
&
п
оператор порядка т, /0(х) є Н*~а(Кк), /(<у) е//,'т(5*",> принадлежат функциональному пространству Соболева, состоящему из достаточно гладких функций, таких, что
»-1
Будем искать решение этой задачи, такое, что м0(х) є //'(/?*), ы,(<а) є Я*(5*Ясно, что в обеих частях уравнения (7) имеется два типа слагаемых. Первый тип - функции, которые принадлежат пространству //‘"'"(Я*), второй - те слагаемые, которые этому пространству не принадлежат. Приравнивая друг другу члены первого типа и второго типа при одинаковых степенях г, получим систему уравнений для функций и,((о),і = 0,...,п вида
Ч(*Г 7о(*Г
гн * * * и,(а>)
0 ІЇІ * * ЛІ • = ‘
,0 о • о • Уип(м)''
А •
где через III обозначены дифференциальные операторы порядка т. Здесь, в отличие от случая обыкновенных дифференциальных уравнений, на главной диагонали матрицы стоят не полиномы, а дифференциальные операторы, и так как искомые функции лежат в бесконечномерных пространствах, то эти операторы могут, вообще говоря, иметь бесконечномерные ядро и коядро. Поэтому, кроме написанного выше сравнения, задаются еще граничные условия (в данном случае в точке) и так называемые когра-ничные условия, которые обеспечивают конечномерность коядра полученной задачи. Понятие кограничных операторов было введено в работах [12], [13].
Целью данной работы является исследование подобных задач. А именно: будут рассмотрены задачи вида
//(х,-/-^)м(х) = /(х) вне Ь, (8)
ас
д
где Я(х,~/—) - эллиптический дифференциачьный оператор, через /, обозначено Ос
стратифицированное многообразие, которое является объединением конечного числа трансверсачьно пересекающихся многообразий, а функции и(х) и Дх) лежат в соогвет-
12
сгвуюших пространствах с асимптотиками. Задачи такого типа мы будем называть задачами Соболева в пространствах с асимптотиками (более точные определения будут даны ниже). Заметим, что впервые этот термин был введен в работе |8].
Основной целью диссертации является построение теории эллиптических задач Соболева в пространствах с асимптотиками, то есть в пространствах функций, имеющих определенный тип асимптотического разложения вблизи некоторых многообразий. В работе отдельно рассмотрены случаи гладких и стратифицированных многообразий. В качестве стратифицированных многообразий берутся множества, представляющие собой объединение конечного числа трансверсально пересекающихся плоскостей или объединение трансверсально пересекающихся гладких компактных многообразий без края.
ОБЗОР ЛИТЕРАТУРЫ.
Понятие функционального пространства с асимптотиками было введено в работе [1] при исследовании эллиптических задач на многообразиях с особенностями. Однако, задачи в пространствах с асимптотиками рассматривались и ранее во многих работах. Например, в работе [2] рассматривается общая краевая задача для эллиптических уравнений на многообразиях с угловыми и коническими особенностями. А именно, рассматривается эллиптическое дифференциальное уравнение
1(ху-/-~)и(х) = /(х), дх
где I - многочлен степени 21 от оператора — с бесконечно гладкими коэффициен-
дх
та.ми. Задача ставится внутри области С, граница которой является бесконечно гладкой поверхностью вне любой окрестности начала координат, а в начале координат имеет особую точку конического типа. На границе задано I граничных условий вида
ядя.-'^ми^и,=/ 1
В работе исследуется асимптотическое поведение решения соответствующей задачи н окрестности особой точки в пространстве Соболева \У* и показано, что при условии.
13
что функции f и (р, имеют асимптотическое представление вида (1), решение будет иметь асимптотическое поведение тог о же вида.
В работе [28] также рассматривается задача для эллиптического уравнения в области С с границей, имеющей угловую особенность, то есть уравнение Ьи = /, где Ь -эллиптический дифференциальный оператор второго порядка с гладкими коэффициентами. Это уравнение выполнено внутри области С, а на границе области функция/обращается в ноль. В работе показано, что если функция / принадлежит соответствующему пространству Соболева с весом, то решение принадлежит пространству с асимптотиками.
В работе [16] исследуется однородная эллиптическая задача на компактном многообразии имеющем изолированные конические особенности. В статье показано, что решения этой задачи в специальных весовых пространствах Соболева имеют асимптотическое представление вида (1).
Кроме того, во многих других работах, посвященных изучению эллиптических дифференциальных уравнений на многообразиях с особенностями, рассматриваются задачи в пространствах с асимптотиками ([5], [7], [14], [16], [29] и др.).
Еще один класс задач, где возникает необходимость решать задачи в функциональных пространствах с асимптотиками - это задачи Соболева. В отличие от классических краевых задач, где граничные условия задаются только на крае многообразия, в задачах Соболева граничные условия задаются на некоторых подмногообразиях не являющихся краем. Впервые задача такого типа была рассмотрена С. Л. Соболевым в работах [17], [18]. В этих работах рассматривается однородное полигармоническое уравнение порядка 2т, которое задано внутри ограниченной области Ос/?" с границей Д2 = (^)г7*'0, где «2*0 - кусочно-гладкие поверхности коразмерности у не имеющие
V
общих точек. Требуется решить это уравнение в функциональном пространстве IV"(О.) при условии выполнения соответствующих граничных условий, заданных на подмногообразиях д'О.. С помощью вариационных методов С. Л. Соболев доказал теорему существования и единственности при выполнении достаточных условий на правые части граничных условий. Далее Слободецкий с помощью построенной им теории дробных производных [19] сформулировал необходимые и достаточные условия
14
однозначной разрешимости полученной задачи. Затем Б. Ю. Стернин в работе [201 исследовал задачи Соболева в общей постановке. В этой работе исследованы асимптотики решений соответствующих задач Соболева в окрестности граничного подмногообразия и показано, что они имеют вид (2), иными словами, принадлежат пространству с асимптотиками. Дальнейшее развитие теория задач Соболева получила в работах 121], [22], [23], и завершающей в этой серии работ можно считать работу [3]. В ней строится общая теория задач Соболева соответствующих парс (ХМ), где X -гладкое многообразие, а М - его гладкое подмногообразие. В работе строится алгебра операторов ассоциированная с гладким вложением г.Х -» М . Для эллиптических элементов этой алгебры доказывается теорема конечности и показано, что она содержит соответствующие разрешающие морфизмы задач Соболева.
Третьим типом задач в пространствах с ассимптотиками, как уже говорилось выше, являются задачи возникающие в квантовой механике при изучении потенциалов нулевого радиуса. В работе [8] впервые была отмечена возможность применения задач Соболева в пространствах с асимптотиками для изучения уравнения Шредингера с потенциалом нулевого радиуса.
Первые упоминания о необходимости рассмотрения теории потенциала нулевого радиуса были сделаны в работах [24], [25]. Затем в работе [26] был построен ряд моделей, описывающих системы с точечным взаимодействием (см. также [27]). В работе Г.С. Данилова [30] построена модель, которой соответствует семейство самосопряженных расширений, состоящее из неполуограниченных операторов. Это означает, что в системе возможен коллапс “падение на центр”, что делает модель, предложенную в работе [30] неприменимой к физическим приложениям. Заметим, что впервые возможность возникновения явления коллапса в моделях систем с точечным взаимодействием была отмечена в работе [31].
Благодаря результатам, полученным в статьях Р. А. Минлоса и Л. Д. Фаддеева [9], [10], работа по изучению потенциалов нулевого радиуса получила дальнейшее развитие. В этих работах было показано, что описание соответствующих потенциалов можно получить как самосопряженные расширения оператора Лапласа с начальной областью определения состоящих из функций, обращающихся в ноль в окрестности некоторых стратифицированных многообразий. В работе [10] сгроятся самосопряженные расши-
15
рения оператора Д0, совпадающего с оператором Лапласа на множестве быстро убывающих достаточно гладких функций, обращающихся в ноль в окрестности пучка шестимерных плоскостей, имеющих трехмерное пересечение в /? \ В этой работе строятся все самосопряженные расширения оператора Д0 в подпространстве ^(Я9) состоящем из симметрических функций, при этом используется теория расширений полуограни-ченных операторов Фридрихса (см. например [32|). Далее изучается одно из полученных самосопряженных расширений. Это расширение содержится среди расширений полученных Даниловым, и как говорилось выше не является полуограниченным. Но в работе высказано предположение, что среди всех самосопряженных расширений оператора Д0 найдутся и полуограниченные самосопряженные расширения, задающиеся локальными операторами. В работе [33] исследуется та же задача, что и в работе [10], но в отличие от последней самосопряженные расширения оператора Д0 строятся в подпространстве /^, которое состоит из антисимметрических функций. В этом подпространстве строится самосопряженное расширение оператора Д0, которое является полуограниченным и задается с помощью некоторых интегральных операторов, которые не являются локальными. В работе [33} строятся полуограниченные самосопряженные расширения оператора Д0 во всем пространстве Ь2, но полущенные операторы также не задаются с помощью локальных операторов. Заметим, что особый интерес представляют собой именно самосопряженные расширения, которые получаются путем сужения области определения с помощью локальных граничных условий, заданных на каждой из плоскостей. Именно этот случай был рассмотрен в работе [35], иными словами, в этой работе рассматривается расширение оператора Д0, получаемое путем сужения области определения оператора Д’о с помощью граничных условий Скорнякова-Тер-Мартиросяна. В работе показано, что полущенный оператор в соответствующих инвариантных подпространствах пространства /,2(/?‘;) является симметрическим, но не самосопряженным, однако, у него существуют полуограниченные самосопряженные расширения.
В работах [36], [37], [38], [39] применяется друтой подход к построению самосопряженных полуограниченных расширений оператора Лапласа, отвечающих потенциалу нулевого радиуса. Этот подход основан на выходе из в более широкое пространство, которое является прямой суммой £2 и еще какого-либо гильбертового про-
16
странства. Так в работе Ю. Г. Шодина [36] самосопряженные расширения соответствующего оператора строятся не в £,(/?’), а в пространстве где сНтС = 1.
Затем аналогичная модель была рассмотрена Л. Э. Томасом в работе [37] и с некоторым уточнением асимптотического разложения функции, описывающей точечное взаимодействие частиц, в работе Ю. Г. Шодина [38].
Другой подход к построению полуограннченного трехчастичного гамильтониана был предложен в работах Б. С. Павлова [39], [40]. В этих работах строятся самосопряженные расширения с выходом в произвольное дополнительное гильбертово пространство. Это пространство соответствует пространству внутренних степеней свободы сталкивающихся частиц. Описание полученных гамильтонианов в этих работах, (см. также [41]), проводится в терминах дефектных подпространств исходного симметрического оператора. Аналогичный подход применяется также и в работах [42], [43], [44], [45]. В этих работах описание гамильтонианов приводится в терминах операторных матриц или граничных условий. Как было отмечено в работе [11], смысл выхода в более широкое гильбертово пространство заключается в получении более “мягких” граничных условий, чем граничные условия Скорнякова-Тер-Мартиросяна. Этот подход несколько упрощает построение полуограниченных самосопряженных расширений соответствующих операторов, но при этом приходится отказаться от первоначальной постановки задачи в Л, сформулированной в работе [10].
Как уже говорилось выше, особый интерес представляет построение самосопряженного расширения оператора Д0 в I, или его инвариантных подпространствах, получаемое путем сужения области определения оператора Д*о с помощью локальных граничных условий, то есть условий, связывающих значения функций в точках. Примером таких условий являются условия Скорнякова-Тер-Мартиросяна, но эти условия позволяют получить только симметрическое расширение. Но проведя некоторое обобщение этих условий, то есть заменив константы, входящие в них, на определенные дифференциальные операторы, можно получить полуограниченные самосопряженные расширения. Это сделано в работах [47], [48], при этом возникает необходимость решать дифференциальные уравнения в пространствах с асимптотиками.
Так как решения всех трех типов задач, о которых говорилось выше, лежат в пространствах с ассимптотиками, то возникает необходимость построения теории эллип-
17
тичности в этих пространствах, то есть изучения задач типа (8) в пространствах с ас-симптотиками. Эта задача для пары (Х,1), где X и I - гладкие компактные многообразия без края, £ - подмногообразие многообразия X, была решена в работе [8]. Иными словами, в этой работе строится теория задач Соболева в пространствах с ассимптоти-ками для пары (Х,Ь), а также дается определение функциональных пространств с асимптотиками соответствующих паре (X, /.), формулируются достаточные условия эллиптичности задач типа Соболева в пространствах с асимптотиками, описана алгебра операторных морфизмов, которая содержит разрешающие операторы полученных задач. Далее возникает необходимость: во первых перенести полученные результаты на пару (/?'’,/?"■*), что позволяет строить самосопряженные расширения оператора Лапласа с начальной областью определения, состоящей из функций, обращающихся в ноль в окрестности плоскости Л"-1' (это было сделано в работах [49], [50]), и во вторых, что является задачей значительно более сложной, построить теорию задач типа Соболева в пространствах с асимптотиками для пары (X, У), где У - стратифицированное многообразие.
В работе [51] была предпринята попытка построения теории эллиптических задач Соболева в пространствах с асимптотиками для случая стратифицированного многообразия, аналогично тому, как это сделано в работе [8] для случая гладкого многообразия. Но постановки задач в этой работе не являлись достаточно общими и скорее могли быть рассмотрены как модельные, а полученные результаты не могли быть применены к практически интересным задачам, таким как построение резольвенты оператора, соответствующего многочастичной задаче. Затем в работах [52], [53] эта теория была построена.
СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ
Как уже говорилось выше, основной целью диссертации является построение теории эллиптических задач Соболева в пространствах с асимптотиками, то есть в пространствах функций, имеющих определенный тип асимптотического разложения вблизи некоторых многообразий. Причем рассмотрены случаи не только гладких, но и стратифицированных многообразий.