Явные конструкции в теории формальных групп и конечных групповых схем и их приложения к арифметической геометрии

Оглавление
Введение. Формулировка основных результатов 9
Обозначения и соглашения 23
1 Основные определения: формальные группы и их модули Картье; модули Оорта групповых схем. Классификационные результаты Хонды
и Хазевинкеля 26
1.1. Основные попятия теории формальных групп............................ 26
1.1.1. Формальные группы, их гомоморфизмы, (строгие) изоморфизмы 26
1.1.2. Формальные группы в характеристике ноль...................... 27
1.2. Модули Картье-Дьедонне.............................................. 28
1.2.1. Кольцо Картье; функтор Картье................................ 28
1.2.2. Модули Дьедоиие в характеристике р; свойства редукции 30
1.3. Модули Оорта........................................................ 31
1.4. Определение и свойства универсальных коммутативных формальных групповых законов........................................................... 32
1.4.1. Криволинейные н р-типические группы ......................... 32
1.4.2. Универсальные формальные групповые законы и их свойства . . 33
1.5. Классификация формальных групп над неразветвленными кольцами . . 35
2 Вспомогательные результаты 36
2.1. Определение и свойства сг-полей. Основная структурная теорема 36
2.2. Ограничение скаляров для формальных групп........................... 38
2.2.1. Обозначения и терминология .................................. 38
2.2.2. Лемма Ионеды и групповые объекты в категориях; представимые функторы............................................................ 39
2.2.3. Понятия расширения и ограничения скаляров.................... 40
2.2.4. Основные результаты об ограничении скаляров.................. 42
2.2.5. Доказательства .............................................. 43
2.2.6. Формулы...................................................... 47
2.3. Главная матричная лемма............................................. 48
2
3
2.4. Формальный групповой закон Ра......................................... 48
2.5. Вложение схем в р-делимые группы...................................... 49
3 Представители в классах строгой изоморфлости формальных групп 51
3.1. Формулировка.......................................................... 51
3.2. Определенность формальной группы над подкольцом....................... 52
3.3. Поведение классов строгой изоморфности формальных групп при гомоморфизмах колец............................................................ 53
3.4. Канонические представители в классах изоморфности над неразветвлен-ными кольцами.............................................................. 54
4 Классификация формальных групп 50
4.1. Логарифмическая матрица............................................... 56
4.1.1. Примснснение методов Хонды в сочетании с ограничением скаляров 56
4.1.2. Построение матрицы............................................. 57
4.1.3. Основные свойства логарифмической матрицы...................... 57
4.1.4. Инвариантные модули Картье-Дьедонне............................ 58
4.2. Дробные части; классификация с точностью до изогешш................... 59
4.2.1. Представление Л в виде дроби во вполне разветвленном случае . СО
4.2.2. Определение дробных частей .................................... 61
4.2.3. Образ логарифмической матрицы на рациональном уровне .... 62
4.2.4. Главная теорема о ’дробных частях’ ............................ 63
4.2.5. Следствия из теоремы ........................................ 64
4.2.6. Гомоморфизмы одномерных групп ................................. 65
4.2.7. Представление Л в виде дроби в общем случае.................... 67
4.2.8. Связь и с редукцией ^.......................................... 68
4.3. Свойства инвариантных модулей Картье (-Дьедонне)...................... 70
4.3.1. Категория 17-модулей........................................... 70
4.3.2. Эквивалентность двух определений............................... 71
4.3.3. Основные свойства Ир........................................... 73
4.3.4. Замена основного поля.......................................... 74
4.3.5. Свойства образов инвариантных модулей Картье при //-линейных отображениях.......................................................... 75
4.3.6. Свойства IV для не-р-типических формальных групп............... 76
4.4. Модульный инвариант .................................................. 76
4.4.1. Вложение инвариантных модулей Картье в пополненные модули рядов................................................................. 77
4.4.2. Определение и основные свойства модульного инварианта 78
4.4.3. Свойства Л/р для групп конечной высоты. Алгоритм для классификации формальных групп.............................................. 79
4
4.4.4. Классификация для с < р ........................................ 82
4.4.5. Классификация формальных групп для е < р2/2..................... 83
4.4.6. Применение к свойствам инвариантных модулей..................... 84
4.5. Свойства пополнения в терминах модулей Картье; связь с теорией Фонтена 85
4.5.1. Описание пополнения на "инвариантном" языке..................... 85
4.5.2. Сравнение с теорией Фонтена..................................... 86
5 Конечные групповые схемы 89
5.1. Некоторые новые понятия и результаты в теории модулей Картье .... 89
5.1.1. Замкнутые подмодули; разделенные модули......................... 89
5.1.2. Связь разделенных модулей с групповыми схемами ................. 90
5.1.3. Инъективные модули Картье формальных групп...................... 92
5.1.4. Свойства инъективных модулей Картье............................. 92
5.1.5. Поведение модулей Оорта при расширении колец.................... 93
5.1.6. Утверждения о модулях Картье, связанных с редукцией............. 94
5.2. Основная классификационная теорема для групповых схем; расширения групповых схем ............................................................. 97
5.2.1. Формулировка теоремы............................................ 97
5.2.2. Доказательство необходимости в теореме 5.2.1 ................... 97
5.2.3. Доказательство достаточности в теореме 5.2.1: построение некоторой формальной группы................................................... 98
5.2.4. Существование формальной группы конечной высоты................. 99
5.2.5. Завершение доказательства частей I и II........................ 100
5.2.6. Доказательство достаточности в теореме 5.2.1, часть III.........101
5.2.7. Расширения групповых схем.......................................101
5.3. Касательное пространство групповой схемы...............................102
5.3.1. Определение; выражение в терминах модуля Оорта................. 102
5.3.2. Размерность групповой схемы.....................................105
5.4. Некоторые вспомогательные результаты...................................105
5.4.1. Связь замкнутых подсхем с общим слоем ......................... 105
5.4.2. Сведение теоремы 0.0.3 к р-делимым группам......................106
5.4.3. Сведение к связной компоненте...................................106
5.5. Доказательство основных утверждений про общий слой групповых схем 107
5.5.1. Ядро редукции...................................................108
5.5.2. Коядро редукции.................................................109
5.5.3. Доказательство предложения 5.4.2................................109
5.5.4. Усиление теоремы 0.0.3 в случае, когда S связна.................111
5.6. Приложения теоремы 0.0.3...............................................112
5.6.1. Доказательство теоремы 0.0.4....................................112
5
5.6.2. Результаты о ядрах эндоморфизмов формальных групп..............113
6 Редукция абелевых многообразий 115
6.1. Сведение теоремы 0.0.6 к формальным группам...........................115
6.1.1. Сведение к р-делимым группам...................................115
6.1.2. Доказательство теоремы 0.0.11 .................................115
6.1.3. Сведение теоремы 0 0.5 к формальным группам....................118
6.2. Решение проблемы Катца................................................119
6.2.1. Сведение к модулям Картье-Дьедонне-Оорта.......................119
6.2.2. Доказательство предложения 6.1.3...............................119
6.2.3. Вариант формулировки теорем 0.0.6 и 0.0.5......................120
6.3. Конечные критерии полустабилыюй и невырожденной редукции 120
6.3.1. Спуск для р-делимых групп в терминах касательных пространств 120
6.3.2. Двойственность и полустабильная редукция абелевых многообразий 121
6.3.3. Другой критерий хорошей редукции абелевых многообразий . . . 122
6.3.4. Доказательство теоремы 0.0.7...................................123
6.3.5. Невырожденная редукции: напоминание............................123
6.3.6. Доказательство теоремы 0.0.8...................................124
7 Представители в классах изогенности формальных групп 126
7.1. Определение ''хороших" групп; формулировка основной теоремы .... 127
7.1.1. Определение п(.Р)..............................................127
7.1.2. "Хорошие" группы...............................................127
7.1.3. Нормирование дробной части логарифма...........................128
7.1.4. Свойства хороших групп.........................................128
7.1.5. Основная теорема (формулировка и начало доказательства) . . . 130
7.2. Многоугольники Ньютона и нормирования корней..........................130
7.2.1. Общие результаты...............................................130
7.2.2. Логарифмы и изогешш формальных групп...........................132
7.2.3. Свойства у(Р)..................................................133
7.2.4. Логарифмы и изогешш хороших групп..............................134
7.2.5. Завершение доказательства основной теоремы.....................135
7.3. Сравнение функтора дробной части с функтором Фонтена..................136
7.3.1. Описание функтора Фонтена......................................136
7.3.2. Сравнение функторов............................................137
7.3.3. Примеры........................................................137
8 Структура формальных модулей; связь с ассоциированными модулями Галуа 139
8.1. Глубоко разветвленные расширения......................................140
G
8.1.1. Формулировка: из тривиальности Я1 следует глубокая разветвлен-ность .................................................................141
8.1.2. Доказательство ................................................142
8.2. Общие результаты об ассоциированных модулях Галуа.....................145
8.2.1. Определение фа и ф.............................................146
8.2.2. Спаривания на L 0/с L и L[G\...................................147
8.2.3. Модули гомоморфизмов для идеалов...............................148
8.2.4. Покоэффициентное умножение * на L[G]...........................150
8.2.5. Поведение * на ассоциированных модулях....................... 150
8.2.6. Переход к промежуточному расширению............................151
8.2.7. Перестановка компонент L L (отображение г).....................152
8.2.8. Подъемы расширений.............................................152
8.2.9. Модули <B(/j,/2)...............................................152
8.3. Фильтрация на ассоциированных модулях в дискретно нормированных полях............................................................... 153
8.3.1. Модули £*, 21*; соответствующая им фильтрация на L 0/с L . . . . 153
8.3.2. Диаграммы элементов групповой алгебры 154
8.3.3. Связь диаграмм с ассоциированными модулями.....................156
8.3.4. Диаграммы произведений ........................................156
8.3.5. Коэффициенты диаграмм..........................................157
8.3.6. Диагонали диаграмм.............................................157
8.4. Область задания формального группового закона........................158
8.4.1. Глубины формальной группы......................................158
8.4.2. Понятие зазора ................................................159
8.4.3. Глубина одномерных групп.......................................161
8.5. Расщепление 1-коциклов в формальных модулях...........................161
8.5.1. Обобщение теоремы 0.0.12 на случай произвольных глубин .... 162
8.5.2. Доказательство необходимости ................................. 162
8.5.3. Сведение теоремы 8.5.1 к аддитивному утверждению ..............163
8.5.4. Вычисление расщепляющего элемента..............................165
8.5.5. Некоторые примеры..............................................167
8.6. Теорема Гильберта 90 для формальных групп над глубоко разветвленными нолями ............................................................167
8.7. Разрешимость куммеровых уравнений....................................169
8.7.1. Определение куммеровости расширений для формальных групп . 169
8.7.2. Куммеровы уравнения для одномерных групп.......................169
8.7.3. Связь с ассоциированными модулями..............................171
8.7.4. Комментарии к теореме 8.7.4....................................172
8.8. Конечные подгруппы одномерных формальных модулей....................172
7
8.8.1. Теорема для формальных групп нулевой глубины ...................173
8.8.2. "Почти универсальный" формальный групповой закон................174
8.8.3. Построение формальной группы по соотношениям....................174
8.8.4. Доказательство 4) => 3) в теореме 8.8.1.........................176
8.8.5. Теорема для групп положительной глубины.........................178
9 Вычисление структуры идеалов. Проблема Леопольда 180
9.1. Постановка задачи; связь с разложимостью идеалов.......................180
9.1.1. Разложимость и свободпость идеалов..............................182
9.2. Степенной базис %l/k(&l) 183
9.2.1. Домножение произведения * на 5..................................183
9.2.2. Структура кольца на %l/k(&l)(a) mod ШГ*.........................184
9.2.3. Элемент £; структура Леопольдовых расширениях...................185
9.2.4. Доказательство теорем 9.2.3 и 9.2.4.............................186
9.2.5. Структура Хопфа на ассоциированном порядке . . . ..............187
9.3. Абелев случай..........................................................188
9.3.1. Формулировка классификационной теоремы..........................188
9.3.2. Доказательство теоремы 9.3.1: 1) 2)..........................189
9.3.3. "Уточнение" выбора £............................................189
9.3.4. "Относительный" групповой закон.................................191
9.3.5. Доказательство необходимости в теореме 9.3.1 ...................192
9.4. Полустабильные расширения. Связь с формальными группами................192
9.4.1. Определение стабильных и полустабильных расширений .............192
9.4.2. Другое определение полустабилыюсти..............................193
9.4.3. Классификация абелевых полустабильных расширений................194
9.4.4. Доказательство 2) =Ф- 1) в теореме 9.4.4........................194
9.5. Идеалы как модули Галуа в полустабильных расширениях...................195
9.5.1. Диаграммы элементов групповой алгебры в стабильных расширениях ..................................................................195
9.5.2. Диаграммы в полустабильных расширениях .........................196
9.5.3. Свободпость идеалов в полустабильных расширениях................196
9.5.4. Леопольдовы идеалы в подъемах нестабильных расширений на
ручные...........................................................198
9.5.5. Куммеровы уравнения в полустабильных расширениях................200
9.6. Связь между стабильностью и полустабилыюстыо..........................201
9.6.1. Пример полустабнльного, но не стабильного расширения 201
9.6.2. Стабильность полустабильных расширений в случае с = 1...........202
9.7. Категорные свойства расширений Леопольда...............................202
9.7.1. Общие свойства..................................................202
9.7.2. Категорные свойства полустабильных расширений. Явный вид базисов ассоциированных модулей...........................................203
9.7.3. Скачки ветвления в расширении Леопольда.........................204
9.8. Свойства минимально нестабильных расширений............................206
9.8.1. Теорема о полустабилыюсти леопольдовых расширений для общего случая..................................................................207
9.8.2. Расширения степени р............................................207
9.8.3. Формулировка основной леммы.....................................208
9.8.4. Построение элемента £ € /^[С]...................................210
9.9. Базисы ассоциированных модулей в минимально нестабильных расширениях. Доказательство теоремы 9.8.1.....................................214
9.9.1. Технические вычисления..........................................214
9.9.2. Вычисления диаграмм.............................................216
9.9.3. Доказательство теоремы 9.8.1....................................218
9.10 Некоторые замечания и дополнения.......................................218
9.10.1 Усиление теоремы 9.8.1 в случае (р€ К...........................219
9.10.2 Модифицированные варианты теоремы 9.8.1 ........................219
9.10.3 Пример нестабильного расширения Леопольда.......................220
Список литературы
222
Введение. Формулировка основных результатов
Перечислим основные обозначения, которые нам понадобятся дня формулировки центральных результатов работы. Эти обозначения будут также использоваться во всей работе.
Ь будет полным дискретно нормированных полем характеристики 0 (кроме глав 8, 9), с полем вычетов характеристики р, е — абсолютным индексом ветвления Ь, О і — его кольцом целых, 5 = [1с^р(^)], 7г — некоторой униформизующей Ьуу — нормализованным нормированием на І, 9Л — максимальным идеалом Ь, 3 = ЩпМ1“*)!.
Ь часто будет содержать полное дискретно нормированное подполе К, [Ь : К] = п < оо, е' — индекс ветвления Ь/К (часто п будет равно е'), Ок — кольцо целых К, Тт — след в Ь/К, С\ — степень расширения Ь/Кі, где К\/К — максимальное неразветвленное подрасширение в Ь/К, 1 = 2в + і>р(еі) +1, V = $ + ур(є\) + 1.
В случае, когда Ь/К — расширение Галуа, его группа Галуа будет обозначаться через
С.
Нам также понадобятся некоторые ассоциированные модули Галуа. Определим
С* — {/ Є ВД : г(/(гг)/х) > і V* Є Г}; 21* = Ь Л /ОД.
Обычно .Р будет коммутативной т-мерной формальной группой над 5,7і будут конечными плоскими коммутативными групповыми схемами над О і.
Для конечной групповой схемы в/Оь мы будем обозначать через ТБ модуль, Оь’ двойственный к У5/Л2 (т.е. Нотоь(*/5/с/|,Р/Оь)), где /5 — идеал пополнения координатного кольца 5. Для конечных плоских групповых схем 5,Т будем писать 5 С Т, если существует морфизм / : £ —♦ Т, инъективный на общем слое.
Для тл,і > 0 Л/тХ{(2() будет обозначать модуль матриц размера тп х I над кольцом
21.
Целью этой работы является изучение и классификация формальных групп и конечных групповых схем над кольцами целых полных дискретно нормированных полей. Среди основных результатов работы можно указать явную классификацию формальных групп в терминах их логарифмов (см. главу 4), построение явных представителей
10
в классах строгой изоморфности коммутативных формальных групп над произвольным кольцом без кручения (см. главу 3), явную классификацию конечных локальных групповых схем в терминах их модулей Картье (см. параграф 5.2), вычисление "размерности" и "касательного пространства" групповой схемы, а также описание усеченных групп Барсоттн-Тэйта на языке касательных пространств (см. параграф 5.5), доказательство «почти полноты» функтора общего слоя для конечных групповых схем (см. параграф 5.5).
Эти результаты применяются для изучения спуска для р-делимых групп и получения "конечных диких" критериев хорошей, полустабилыюй и невырожденной редукции абелевых многообразий (см. главу 6); а также для построения явных представителей в классах изогенности формальных групп (см. главу 7); вычисление структуры идеалов как аддитивных модулей Галуа и выявления связи между ассоциированными модулями Галуа и арифметикой расширения (главы 8 и 9).
Сформулируем некоторые центральные результаты работы.
Основным инструментом для изучения формальных групп над кольцами целых полных дискретно нормированных полей является данный автором инвариантный аналог классического (абстрактного) определения модуля Картье.
Для / = (/») £ £[[Д]]Щ, /* = 53А“формальная переменная, X = Хт)
определим
я*) = (/«(*)) = (Е^).
з
Определим инвариантный модуль Картье формального группового закона Я/О/, как 0Р = {/ е ЩАГ : ехрНД*)) € Оь[[х]\т}.
Обозначим ир-'0£[[Д]] через Я.
Теорема 0.0.1. I Для формальных групп и Яг размерностей т\ и тп2, чън инвариантные модули Картье-Дьедонне равны £>1 и 0-2, соответственно, выполнены следующие утверждения.
1) Пусть А — матрица размера Ш2 х т\ над О*,. Существует гомоморфизм / из
в Яг, /(X) = АХ тос! deg2, тогда и только тогда, когда Ай^ С £>2.
2) Для т.\ = т2 группы ^ и Я2 строго изоморфны в том и только о том случае, когда Д = £>2*
II Пусть С? — п-мерная формальная группа, Ц — подпространство Ьп размерности т. Тогда существуют т-мерная формальная группа Г* и матрица А € Л/пхт(0£) такие, что £/[[Д]] П Ис = Айр.
III Пусть Я — т-мерная формальная группа конечной высоты, А в ЛГпхт(Оь),
1) Пусть выполнено Айр С Яп. Тогда АИр С р“в9Лр'[[Д]]п.
2) Пусть для у € Эр, у = ]£»>оуЛ1 выполнено Ау е Яп. Тогда р9А £<>0уц.$А9 €
Д[Д]]П-
11
3) ЭР П Ят = где Рп(Х, У) = тгУ).
Кроме того, если поле Ь локально, то мы указываем явный базис ПР над ^р[[Д]]; во всех случаях Эр является свободным модулем размерности те над некоторой (некоммутативной) областью целостности \У.
Классификационная теорема о конечных локальных групповых схемах формулируется в терминах их модулей Картье, определенных Ф. Оортом (см. пункты 1.2.1 и 1.3).
Теорема 0.0.2. I СатЬ-модуль М изоморфен (7(5) для некоторой конечной связной плоской групповой схемы Б над ОI если и только если М удовлетворяет следующим условиям.
1) М/УМ — О ^модуль конечной длины.
2) Модуль М не имеет V-кручения.
3) Пг>оУ{М = {0}.
4) Не существует собственного С&тЬ-подмодуля N С М такого, что (к)М С X, и, при этом, М/Х не имеет У-кручения.
II Пусть Б — конечная локальная групповая схема.
1) ТБ 2 М(Б)/У(М(Б)).
2) Наименьшая размерность формальной группы И конечной высоты такой, что Б вкладывается в И, равна сНтоь(ТБ).
3) Б — Кег[рг]/г для т-мерной формальной группы Р если и только если ргБ = 0 и ТБ «(Оь/ргОь)т-
IIIМ = С(Кег[рг]р) для т-мерной формальной группы Б если и только если, кроме условий пункта I, также выполнено рГМ = 0 и М/УМ (Оь/ргОьГ.
IVЕсли конечные групповые схемы Б,Т связны, то Ех11(5,Т) = Ех11сап(0(5),(7(Т)).
Это дает полную классификацию конечных плоских связных групповых схем над кольцами целых полных дискретно нормированных полей.
Мы также доказываем следующее обобщение классического результата М. Рено.
Теорема 0.0.3. Пусть Т,Б — конечные плоские коммутативные схемы падОц Т^, 5/,— их общие слои, }\ъ - Ть—ьБь — морфизм групповых схем над Ь.
Тогда существует О ^морфизм д : Т -+ Б такой, что дъ (т.е. общий слой д) совпадает с р*Л^.
Таким образом, групповые схемы "почти восстанавливаются" по общему слою. Легко видеть, что оценка на 5 является точной.
Частным случаем теоремы 0.0.3 при е < р является основной результат статьи [37] (о том, что в этом случае функтор общего слоя является полным). Из нее также немедленно следует известный результат Дж. Тэйта о том, что функтор общего слоя для р-делимых групп вполне унивалентен.
Мы также доказываем аналогичный факт о расширениях групповых схем.
12
Теорема 0.0.4. Если с < (р — 1)ри, то показатель группы
Ker(ExtloAS,T) -> Ext\(SL,TL)) (1)
(отображение индуцировано функтором общего слоя) не превосходит ри.
Теорема 0.0.4 снова является обобщением соответствующего результата, доказанного в [37] для случая е < р — 1.
Мы доказываем, что р-делимая группа У имеет "хорошую редукцию” над подполем К С L тогда и только тогда, ее общий слой определен над К и некоторая р-подгруппа У определена над D х,.
Теорема 0.0.5. Пусть V — p-делимая гргуппа над К, У — p-делимая группа над Ol и У Xsp« к SpecL = У xSpecoL Spec L. Определим г = I, в случае е = (р - 1 )р3~1 возьмем г = 1 — 1.
Тогда если для некоторой плоской коммутативной групповой схемы Н над О к ядро изогении Ker\pr]v,K изоморфно Нк как К-схема, то существует p-делимая группа Z над О к такая, что V = Z х5рес0к Spec К.
Эти результаты дают возможность доказать ряд "конечных диких" (т.е. р-адических) критериев хорошей и полустабильной редукции абелевых многообразий. Мы называем их конечными потому, что, в отличие от критериев А. Гротендика (см. [27]), достаточно проверить некоторое условие на некоторую конечную подсхему р-кручения многообразия V (вместо всего р-кручеиия); при этом рассматривается подсхема, соответствующая элементам кручения уровня, который зависит только от рассматриваемых полей. В случае хорошей редукции вопрос о существовании таких критериев был поставлен Н. Катцем. Заметим, что ранее были известны только 2-адические критерии (см. [39], (40)).
Теорема 0.0.6 (Проблема Катца). 1) Пусть абелево многообразие V определено над К и имеет хорошую редукцию над L, г = /. Если для некоторой плоской коммутативной групповой схемы Н над О к ядро изогении Кег[рг]у,к’ изоморфно IIк как К-схема, то V имеет хорошую редукцию над К.
2) Если при этом е = (р— Цр*"1, то можно взять г = 1 — 1.
Таким образом, можно сказать, что если абелево многообразие имеет потенциально хорошую редукцию, то достаточно проверять имеет ли "хорошую редукцию" групповая схема Ker\pr]v,K (т.е. определена ли она над £)/<•), где г зависит только от рассматриваемых полей.
Заметим, что для е < р — 1 выполнено 1 = 1; таким образом, теорема 0.0.6 — обобщение теоремы 5.3 статьи [20].
Мы также доказываем некоторый результат о абелевых многообразиях с потенциально полустабильной редукцией.
13
Теорема 0.0.7. Пусть V — т-мерное абелево многообразие над К, имеющее полуста-бильную редукцию над L.
Тогда V имеет полустпабилъную редукцию над К если и только если для некоторой конечной групповой схемы Н над О к выполнено THql D (Ol/j/Dl)™ (т.е. существует вложение), при этом существует мономорфизм g : Нк —* Ker\y]v,K-
Наши методы также позволяют доказать следующий критерий невырожденной редукции (см. пункт G.3.5).
Теорема 0.0.8.1 Пусть V — т-мерное абелево многообразие над К, имеющее хорошую редукцию над L.
Тогда следующие условия равносильны.
(1) V имеет хорошую невырожденную редукцию над К.
(2) Для некоторой групповой схемы Н/Ок мультипликативного типа (т.е. двойственной к этальной) выполнено THql « (Оь/р1'&ь)т, при этом существует мономорфизм g : Нк —♦ Ker\j)]v,K‘
(3) Для некоторой групповой подсхемы Нк С Ker[p^]vyc и поля М, неразветвленно-го над К, выполнено Яд/ = (/y'fA/)m. Здесь рре — групповая схема корней из единицы степени р*\
II Пусть V — т-мерное абелево многообразие над К, имеющее полустабильную редукцию над L.
Тогда следующие условия равносильны.
(1) V имеет невырожденную редукцию над К.
(2) Для некоторой групповой схемы Н над Ок мультипликативного типа существуют вложения Нк в Ker\ff]vtK и (Oi/lfOi)m — о THql.
(3) Для некоторой групповой подсхемы Нк С Ker\j)]v,k и поля М, неразветвленного над К, выполнено Нм = (/у,д/)щ.
Отметим, что никаких других конечных критериев невырожденной редукции ранее известно не было.
Кроме того, доказывается ряд (новых) результатов о структуре идеалов как модулей Галуа во вполне разветвленных расширениях полных дискретно нормированных полей. В большом количестве случаев мы приводим необходимые и достаточные условия того, когда идеалы свободны над своими ассоциированными порядками (как модули Галуа). Также доказывается, что расширение куммеровово для данной формальной группы тогда и только тогда, когда некоторые элементы групповой алгебры достаточно сильно "повышают нормирования" (т.е. лежат в соответствующих %).
Теперь изложим содержание работы более подробно.
В первой главе приводятся определения и результаты, доказанные другими авторами.
14
Мы напоминаем основные определения теории формальных групп (формальные группы, их логарифмы, модули Картье). Приводится принадлежащее Оорту определение модуля Картье C(S) для конечной связной групповой схемы S (см. [35]). Далее мы напоминаем понятие р-типических и криволинейных формальных групп. Описывается построение и свойства некоторых универсальных формальных групповых законов, определенных в книге М. Хазевинкеля. Мы приводим классификацию Хонды формальных групп над кольцами целых иеразветвлеииых полей и его обобщение на более широкий класс колец (полученное Хазевинкелем).
В главе 2 приведены вспомогательные утверждения, доказанные автором. В параграфе 2.1 мы доказываем важный результат о том, что на каждом абсолютно неразветв-ленном полном дискретно нормированном иоле можно ввести (неоднозначно) оператор Фробсниуса а. Также доказывается, что любое полное дискретно нормированное поле является вполне разветвленным расширением а-поля.
В параграфе 2.2 описывается процедура расширения скаляров для формальных групп над полными дискретно нормированными полями.
Далее мы доказываем несложную лемму, которая позволяет переводить нужные нам классификационные утверждения с языка матриц на язык модулей; описывается формальный закон, получающийся из F линейной заменой переменной.
Наконец, доказывается, что любой гомоморфизм конечных плоских коммутативных групповых схем можно продолжить до гомоморфизма некоторых их разрешений с помощью p-делимых групп; этот результат имеет большое значение для исследования групповых схем.
Результаты главы 2 были изложены в статьях [11], [12], [И] и [3]; вклад автора в [11], [12] был основным.
Цель главы 3 — построение канонических представителей в классах строгой изо-морфности формальных групповых законов. Для произвольного кольца Я без кручения и каждого простого р Е Z мы выбираем систему представителей в? : R/pR —» Я. Доказывается, что любая формальная группа F над Я строго изоморфна ровно одной формальной группе 9(F), чьи коэффициенты при выражении через универсальный криволинейный закон лежат в соответствующих 0p(R/pR). Отдельно рассматривается случай, когда Я является Z^y-алгеброй. В этом случае выполнен аналогичный результат для универсального р-типического закона.
Отметим, что единственный более ранний результат в этом направлении был получен в работе [29] только для одномерных формальных групп над неразветвлениым локальным полем.
Мы также доказываем, что если 5 С Я и представители в S согласованы с представителями в Я, то формальная группа F над Я строго изоморфна формальной группе, определенной над 5, тогда и только тогда, когда канонический представитель F определен над S. Кроме того, приводятся необходимые и достаточные условия того, когда
15
отображение, индуцированное гомоморфизмом колец без кручения на классах строгой изоморфности формальных групп, инъективио и сюрьективно.
Результаты главы 3 были изложены в тех частях статей |1| и |13], которые полностью принадлежат автору.
Целью главы 4 является явная классификация формальных групп над кольцами целых полных дискретно нормированных полей (с не обязательно совершенным полем вычетов) в терминах их логарифма, как с точностью до изогении, так и с точностью до изоморфизма.
Отметим, что для несовершенного поля вычетов никаких классификационных результатов ранее известно не было.
Мы вводим два инварианта формальных групповых законов. Первый классифицирует формальные группы с точностью изогений некоторого вида, этот вид явно описывается. Для вычисления второго инварианта достаточно знать несколько первых коэффициентов логарифма. Два инварианта вместе задают формальную группу с точностью до строгого изоморфизма. Оба инварианта хорошо ведут себя при расширении основного поля и при применении к нему автоморфизмов. Это свойство является важным преимуществом нашей классификации по сравнению с классификацией К. Броля формальных групп над кольцами целых обычных локальных полей. В частности, доказывается, что первый инвариант полностью определяет, изогениа ли данная формальная группа некоторой группе, определенной над меньшим полем.
Целыо параграфа 4.1 является применение результатов Хонды (о классификации в неразветвлеином случае) к классификации формальных групп над произвольными локальными полями. Основная идея состоит в замене с помощью ограничения скаляров т-мерной группы над Ок на те-мерную группу над неразветвлепиым кольцом О. С помощью матричной леммы параграфа 2.3 классификация переводится на язык модулей. Мы формулируем (первое) определение инвариантного модуля Картье-Дьедоипс формальной группы.
В параграфе 4.2 доказывается, что оператор, соответствующий логарифму р-тнпи-чсской формальной группы над вполне разветвленным расширением о-поля, представляется в виде дроби. Мы определяем инвариант дробной части логарифма. Мы выясняем, как связаны между собой дробные части логарифмов изогеиных формальных групп. В конце параграфа доказывается, что оператор, соответствующий логарифму р-типической формальной группы над произвольным разветвленно-свирспым расширением сг-поля, представляется в виде дроби.
Кроме того, мы доказываем, что две таких дроби имеют одинаковый знаменатель тогда и только тогда, когда редукции формальных групп равны (как ряды).
Параграф 4.3 посвящен изучению инвариантных модулей Картье-Дьедонне для формальных групп. Отлнчие от определения Картье состоит в том, что мы рассматриваем логарифмы р-типических кривых. Это дает каноническое вложение нашего модуля в
16
Ь[[А]]т. Чтобы продемонстрировать плодотворность такого определения, мы выясняем, когда формальная группа изогенна формальному групповому закону, определенному над подполем основного поля. В конце параграфа определения и результаты параграфа распространяются на не р-типичсские группы.
В параграфе 4.4 определяется модульный инвариант Мр. Это определение и свойства Мр являются совершенно новым и очень важным шагом в изучении формальных групп. Далее доказывается, что вместе с инвариантом дробной части (или инвариантом Фонтена) модульный инвариант классифицирует формальные группы с точностью до изоморфизма. Доказываются базовые свойства Мр. Мы используем наши методы для классификации формальных групп, сначала для е < р, потом для одномерных групп высоты > 1 при е < р2/2. Свойства Му применяются к доказательству свойств инвариантных модулей Картье-Дьедоине, которые понадобятся далее при исследовании общего слоя конечных групповых схем.
В параграфе 4.5 описывается связь между нашими результатами и (обычными) модулями Картье. Далее, для удобства читателя, знакомого с теорией Ж.-М. Фонтена для формальных групп (см. [24]), явно описывается (без доказательства) функтор из категории модулей Картье (соответствующих формальным группам) в категорию Фонтена.
Наши результаты дают усиление классической и общепризнанной теории Фонтена и перевод ее на более явный язык, а также дополнение теории Фонтена до полной классификации формальных групп. Это имеет фундаментальное значение для построения теории формальных групп над полным дискретно нормированным полем. Ряд приложений полученных результатов может быть найден в последующих главах работы.
Результаты главы были изложены в работах [1| и [11]; все они, кроме части результатов параграфа 4.1, были получены автором самостоятельно.
Целыо главы о является изучение конечных коммутативных плоских групповых схем (далее для краткости просто схем) над кольцом целых полного дискретно нормированного поля.
В параграфе 5.1 вводится важное определение замкнутого подмодуля модуля Картье. Выясняется, что замкнутые подмодули модуля Картье обладают всеми необходимыми нам свойствами замкнутых подмножеств топологического пространства. Далее доказывается, что замкнутые подмодули модуля Оорта групповой схемы взаимно однозначно соответствуют замкнутым подсхемам. Также вводится определение инъективных модулей Картье-Дьедоине для формальных групп.
В параграфе 5.2 мы получаем полную классификацию конечных связных групповых схем над разнохарактернстическими полными дискретно нормированными кольцами в терминах их модулей Картье. Таким образом, получено полное явное описание образа функтора Оорта, определенного в [35].
В параграфе 5.3 доказывается эквивалентность различных определений касательного пространства и размерности таких групповых схем. Это дает доказательство части
17
II теоремы 0.0.2.
Далее мы переходим к доказательству теоремы 0.0.3. Заметим, что, очевидно, теорема 0.0.3 равносильна следующему результату. Пусть 5,7’ — конечные плоские коммутативные групповые схемы над Оь-
Теорема 0.0.9. Показатель группы Нот^(71і[,,5/,)/Ното/((7’,5) делит р8.
Также доказывается, что для связных схем оценку можно немного улучшить (см. теорему 5.5.6 ниже).
Так как конечная групповая схема раскладывается в сумму р-схемы (аннулируемой степенью р) и не-р-схемы (показателя, не кратного р) и все ис-р-схсмы этальны, мы будем рассматривать только р-схемы. Хорошо известно, что функтор общего слоя унивалентен на плоских схемах, т.с. ииъективен на морфизмах. Поэтому морфизм д единственен. Заметим также, что условия теорем зависят только от индекса ветвления
Ь.
Действительно, если искомый д существует над кольцом целых некоторого расширения Ьу то он определен над Таким образом, нам достаточно доказывать теорему 0.0.3 для некоторого И Э Ь, индекс ветвления Ь'/Ь равен 1. Поэтому при доказательстве теоремы 0.0.3 мы будем считать, что поле Ь совершенно.
Легко видеть, что оценка на 5 является точной. Действительно, для Ь = мы
имеем е = (р — 1)ри-1. При этом рри и 2/ри2 имеют одинаковые общие слои над £, однако, очевидно, не существует ненулевого морфизма из в 2/р“2 . Также легко видеть, что рри при е > (р — 1)ри_1 изоморфна групповой схеме 5, соответствующей многочлену (хх+ 1)р“ = 1; при этом снова Нош(рр«,5) = {0}. Пользуясь предложением
2.5.1 можно показать, что оценка точна также для схем сколь угодно больших показателей. Заметим также, что случай е > р в теореме 0.0.3 требует техники, существенно отличной от техники Реио, так как утверждение невозможно свести к неприводимым схемам над Оь.
В параграфе 5.4 мы напоминаем соответствие между замкнутыми подсхемами и подсхемами общего слоя. С помощью несложных рассуждений теорема 0.0.3 сводится к некоторому утверждению о формальных группах.
В начале параграфа 5.5 доказывается важное утверждение о том, что если морфизм групповых схем — изоморфизм на общем слое, то ядро редукции имеет показатель, не превосходящий рл (как схема над Ь). Этот результат снова сводится к р-делимым, и далее, к формальным группам. Дуализируя его, мы получаем ту же оценку на показатель коядра. На самом деле, доказанные утверждения даже сильнее: в частности, ядро аннулируется 5-ой степенью оператора Фробеииуса. Те же примеры, что и для теоремы 0.0.3, показывают, что оценка точная. Из этих утверждений мы выводим теорему 0.0.3.
В параграфе 5.6 мы доказываем теорему 0.0.4.
Теорема 0.0.3 также применяется для доказательства утверждений про ядра умножения на р* формальных групп.
18
Теорема 0.0.10. 1) Пусть И, (7 — формальные группы конечной высоты надОь, общие слои Кег[р/+и]р и Кег[р,+и]с изоморфны. Тогда если е < (р — 1)р", то Кег[р*]р =оь Кет\р1]с’
2) То же выполнено для произвольных р-дслимых групп при и = 5.
При этом в обоих пунктах отображения, задающие изоморфизм, согласованы с изоморфизмами общих слоев.
Мы также доказываем важную теорему 5.0.2 о том, какие схемы могут иметь общий слой, изоморфный Кег[р*]/т.
Результаты главы 5 имеют большое значение для арифметики групповых схем, алгебраических групп и кристаллических представлений.
Результаты главы были изложены в работах [3] и [4].
В главе 0 мы переходим к изучению редукции абелевых многообразий; мы активно пользуемся результатами главы 5.
В параграфе 6.1 теорема 0.0.6 сводится к теореме 0.0.5. Далее доказывается следующее важное утверждение.
Теорема 0.0.11. Пусть и — р-делимая группа над К, И — р-делимая группа над £)£,, VI = этот изоморфизм задает изоморфизм связной части 5 с некоторой формальной группой Бо/Ок, при этом действие группы инерции К на [//5ок(^) (П — алгебраическое за^иыкание К), тривиально. Тогда и определена над Ок.
С помощью теоремы 0.0.11 теорема 0.0.5 сводится к некоторому утверждению о формальных группах.
В параграфе 0.2 мы сводим теорему 0.0.5 к утверждению о модулях Картье. Модули Картье очень хорошо подходят для плоского спуска, так что мы легко завершаем доказательство теоремы 0.0.5 (и, тем самым, 0.0.6).
В параграфе б.З мы формулируем некоторые утверждения о спуске для р-делимых групп в терминах касательных пространств. С помощью двойственности Вейля доказывается, что абелево многообразие имеет полустабильную редукцию если и только если его "потенциально формальная часть" имеет "хорошую редукцию". Это позволяет доказать критерий хорошей редукции, сформулированный на языке касательных пространств к групповым схемам. Далее доказываются теоремы 0.0.7 и 0.0.8. Дчя удобства читателя, мы напоминаем определение невырожденной редукции.
Отметим, что использование касательных пространств существенно отличает формулировки (и, конечно, доказательства) от соответствующих /-адических вариантов; в частности, мы применяем к конечным схемам соображения размерности.
Получение "диких" критериев хорошей, полустабильной и невырожденной редукции абелевых многообразий существенно улучшает наше понимание их арифметики.
Результаты были изложены в работах [3] и [4].
19
В главе 7 с помощью техники главы 4 описываются классы изогениости одномерных формальных групп. Г. Лаффолем было доказано, что каждый класс изогенностп одномерных формальных групп над кольцами целых полных дискретно нормированных полей характеристики 0 с алгебраически замкнутым полем вычетов характеристики р содержит групповой закон, логарифм которого имеет некоторый явно описанный вид. Таким образом, был сделан шаг к явной классификации одномерных формальных групп с точностью до изогешш. Целью главы 7 является распространение этого результата на произвольные полные дискретно нормированные поля характеристики О с полем вычетов характеристики р. В отличие от [30], мы явно указываем связь между логарифмами формальных групп в классе изогениости и логарифмом построенного нами представителя. Мы также указываем количество попарно неизоморфных представителей указанного вида в каждом классе изогениости.
Мы полностью описываем гомоморфизмы между построенными представителями. В качестве приложения полученного результата вычисляются нормирования и "вычеты" элементов кручения одномерных формальных модулей. Кроме того, для произвольной одномерной формальной группы вычисляется дробная часть ее логарифма.
Во параграфе 7.1 с помощью свойств инвариантного модуля Картье-Дьедонне формальной группы явно строятся "хорошие" формальные групповые законы. В терминах коэффициентов логарифма определяется некоторое неположительное нормирование формальных групповых законов. Полностью описываются гомоморфизмы между хорошими группами в терминах дробной части логарифма. В конце параграфа мы формулируем основную теорему и доказываем, что каждая группа изогенна хорошей.
В параграс]>е 7.2 изучается связь между многоугольниками Ныотона, нормированиями корней логарифма и другими инвариантами формальной группы. С помощью полученных результатов вычисляется дробную часть логарифма для произвольной формальной группы. Мы доказываем, что нормирование логарифма можно определить в терминах нормирования его корней, а поэтому оно зависит только от класса изоморф-ности формальных групп. Доказывается, что нормирование равно 0 для групп, изоморфных хорошим, и только для них. Также выясняется, что "хорошесть" формальной группы зависит только от "дробной части" ее логарифма. Далее мы завершаем доказательство основной теоремы 7.1.7.
В параграфе 7.3 мы сравниваем функтор дробной части логарифма формальной группы с функтором, построенным Фонтеном в работе [24]. Полученные результаты позволяют построить примеры групп, инварианты Фонтена которых совпадают, по инварианты дробной части неэквивалентны (т.с., рассмотрение дробных частей показывает, что группы неизоморфны).
Результаты главы 7 были изложены в работе [2].
Глава 8 посвящена арифметике формальных модулей, в частности, их когомологическим свойствам, и их связи со структурой ассоциированных модулей Галуа.
20
Доказывается, что первые когомологии формального модуля алгебраического замыкания нормированного поля К тривиальны тогда и только тогда, когда Я глубоко разветвлено, т.с. оператор следа для любого конечного расширения Ь/Я отображает 9Л на 9Ла'- То, что из тривиальности Я1 следует глубокая разветвлениость Я, доказывается в параграфе 8.1.
Далее изучаются свойства ассоциированных модулей Галуа — сначала для идеалов дедекиндовых областей (параграф 8.2), затем для полных дискретно нормированных полей (параграф 8.3). Нашим главным инструментом является изоморфизм //-пространств ф : Ь Ь —> Ь[(7]. Он дает простое описание всех ассоциированных модулей Галуа; кроме того, с помощью него легко доказываются свойства покоэффи-циентного умножения * на ассоциированных модулях.
В параграфе 8.4 для ш-мерной формальной группы Я, мы определяем множество Я(Ь) С Ьш, па котором мы складываем с помощью Я; мы также определяем некоторую фильтрацию на формальных модулях.
В параграфе 8.5 мы формулируем и доказываем центральный результат главы 8. Сформулируем несколько упрощенный вариант этого утверждения.
Обозначим через д глубину ветвления Ь/Я, т.е. (і = шіпхЄа- у(Тгх) - і>(т).
Теорема 0.0.12. Пусть отоб]хіоісение
Л:0-*Я(ШТ), сг->аа = (а1ау.. .а^)
принадлежит ^1(Я(ЯЯ)), т.е. удовлетворяет условию коцикла. Тогда существует такой х Є Я(9Л), что
х - а(х) = аа \/<т € Є (2)
(т.с. х расщепляет А), причем и(х) > с > 0, тогда и только тогда, когда для каждого *> 1 < * < т, злеліснт /,• = аіао принадлежит <£<л.с.
Заметим, что мы не требуем коммутативности Я.
Это утверждение можно рассматривать как аналог теоремы Гильберта 90 для формальных групп. Никакое сходное утверждение про формальные группы ранее известно не было.
Доказательство основано на том, что факторы естественной фильтрации произвольного формального модуля изоморфны факторам фильтрации аддитивного модуля; таким образом, можно сформулировать утверждение о том, что точна некоторая длинная точная последовательность "высших ассоциированных модулей". Также доказывается, что расщепляющий элемент х удобно искать методом последовательных приближений.
В параграфе 8.6 доказывается, что над глубоко разветвленным полем когомологии формального модуля тривиальны.
В параграфе 8.7 хін изучаем аналог теории Куммера для формальных групп. Вводится (см. определение 8.7.1) естественное определение куммерова расширения в этой