Конечные простые группы с 2-нильпотентными нормализаторами силовских подгрупп

Оглавление
}
Введение 5
1 Предварительные замечания 8
1.1 Абстрактные группы ................................................... 8
1.2 Сплетения абстрактных групп................'......................... 12
1.3 Группы перестановок.................................................. 15
1.4 Сплетения групп перестановок........................................ 16
1.5 Нормализатор сплетения групп перестановок............................ 17
1.6 Линейные группы...................................................... 18
1.7 Сплетения линейных групп............................................. 22
1.8 Симплектические группы............................................... 23
1.9 Унитарные группы..................................................... 24
1.10 Ортогональные группы................................................ 26
1.11 Группы лиева типа .................................................. 29
1.12 Некоторые изоморфизмы............................................... 30
1.13 Теория чисел........................................................ 30
2 Нормализаторы ^-подгрупп Ап> Бп, рф 2 34
2.1 п = ра, а > 0........................................................ 34
2.2 Общий случай......................................................... 35
3 Нормализаторы 5р-подгрупп ОЬп(д) и 8Ьп(д)> Р ^ 2 37
3.1 п/6 = ра............................................................ 39
3.2 п/6 = сра, 0 < с < р................................................ 42
3.3 Общий случай......................................................... 43
4 Простые Л4-группы 47
4.1 Ап................................................................... 47
4.2 Ьп(я)................................................................ 48
4.2.1 Редукция к случаю небольших п ................................. 48
4.2.2 д чётно........................................................ 49
4.2.3 д нечётно...................................................... 50
2
4.3 Р$ип(я2).................................................................................... 52
4.3.1 Редукция к случаю небольших п и нечётных я.............................. 52
4.3.2 п = 3.............................................................................. 53
4.3.3 п = 4............................................................................. 56
4.4 РврМ........................................................................................ 60
4.4.1 Редукция к случаю небольших п . ................................... 60
4.4.2 <7 нечётно......................................................................... 61
4.4.3 <7 чётно........................................................................... 64
4.5 РПп(я)...................................................................................... 66
4.5.1 Редукция к случаю небольших п и <7.................................. 66
4.5.2 я чётно...................................................... ;...................... 68
4.5.3 <7 нечетно . ................................................................... 72
4.6 Исключительные группы лиева типа.................................................... 75
4.6.1 С = в2(я) • • • '.................................................................. 75
4.6.2 С = Р4(<?)....................................................................... 78
4.6.3 в = Е8{я)......................................................................... 80
4.6.4 £ = £7(0).......................................................................... 81
4.6.5 С = Е8(я)........................................................................ 81
4.6.6 £ = 2£2($), д = 22т+1.............................................................. 81
4.6.7 в = 2<72(д), Я = 32т+1............................................................. 81
4.6.8 <3 = 3£>4(д3)...................................................................... 82
4.6.9 С? = ^4(<7),д = 22т+1.............................................................. 82
4.6.10 <? = 2*,4(2)/................................................................... 82
4.6.11 С = 2£6(д2)........................................................................ 82
4.7 Спорадические простые группы................................................................ 82
4.7.1 в = Мц............................................................................. 83
4.7.2 в-Мп............................................................................... 83
4.7.3 в = М22............................................................................ 83 ’
4.7.4 в = М23............................................................................ 83
4.7.5 С = М24............................................................................ 84
4.7.6 (7 = Л............................................................................ 84
4.7.7 С = Л.............................................................................. 84
4.7.8 ’ С? = Лз ........................................................................ 84
4.7.9 С = Л............................................................................. 84
4.7.10 С = Со3 . . ...................................................................... 84
4.7.11 С = Со2............................................................................ 85
4.7.12 С = Со!............................................................................ 85
4.7.13 в = М(22).................................. . •.......................... 85
4.7.14 С? = М23 • ...................................................................... 85
4.7.15 <7 = М(24)'...................................................................... 85
4.7.16 С = Р2............................................................................ 85
4.7.17 в-Е\ ... ........................................................................... 85
3
4.7.18 G = tfS.............................................................................. 86
4.7.19 G = tfe ............................................................................ 86
4.7.20 G = Suz............................................................................ 86
4.7.21 G = Mc............................................................................... 86
4.7.22 G = Ly............................................................................. 86
4.7.23 G = Ru............................................................................... 86
4.7.24 G = 0'N ............................................................................. 87
4.7.25 G = F3.............................................................................. 87
4.7.26 G = Fb............................................................................... 87
Заключение 88
4
Введение
Исследования, связанные с влиянием строения нормализаторов силовских р-подгрупп в конечной группе на строение самой группы играют важную роль в теории групп. Имеется обширная литература, посвященная этой тематике. Например, G. Glauber-man в [34] доказал, что конечная группа, в которой нормализатор любой силовской подгруппы нильпотеитен, разрешима. Разумно спросить, какой должна быть конечная группа, в которой все нормализаторы силовских подгрупп удовлетворяют условию, промежуточному по силе между условием нильпотентности и условием разрешимости. Кажется естественным в качестве такого промежуточного условия взять условие сверхразрегаимости. С другой стороны, сверхразрешимые группы 2-ннльпотентны (напомним, что конечная группа G называется 2-нильпотентной, если G = Л X S, где S — силовская 2-подгруппа). Поэтому возникает еще одна альтернатива для промежуточного условия: условие 2-нильпотентности. Оба соответствующих вопроса были сформулированы и опубликованы профессором Монаховым B.C. В КоуровскоЙ тетради [24] им был поставлен следующий вопрос (вопрос 14.63): Каковы композиционные факторы неразрешимых конечных групп с 2-нильпотентными, в частности, со сверх-разрешимыми нормализаторами силовских подгрупп ? Решение указанной задачи в классе конечных простых групп является центральной темой диссертации. Прежде, чем дать ответ, введем определение.
Определение. ЛФгруппа (5Л4-группа), это группа, нормализаторы всех силовских подгрупп которой 2-нильпотеитны (разрешимы).
Теперь можно сформулировать основной результат диссертации (теорема 4.1 основного текста).
Теорема 1. Пусть G — неабмева конечная простая группа. G является М-группой тогда и только тогда, когда G изоморфна одной из групп следующего списка: £2(4)» q = ±1 (mod 8); Ln(q), 2 \ q, тг(q - 1) Ç {2,3}, n € {3,4}; PSp^q), q = ±1 (inod 8); Un(q), 2 j <h *(</ + 1) Ç {2,3}, n в {3,4}; Яп, n € {6,7,8,10}; Ln(2), n € {5,6}; Spn(2), n € {6,8}; PQt(q), q 6 {2,3,5,7,17}; Pf2fo(2); G2(q), q e {3,5,7,17}; Mn; Л/12; Л/22; Л/2з ; С03; H s; Me.
5
Приведём некоторые другие новые результаты этой работы. Получены некоторые сведения о конечных с>Л4-группах. В частности, перечислены все конечные «5>.М-груп-пы, изоморфные одной из следующих групп: АП) СТ,„(д), Р(7£п(</), Р5ХП(^).
Вычислены нормализаторы силовских подгрупп нечетного порядка групп 5"п и СЬп(у) и получены удобные критерии 2-нилыютентности или разрешимости нормализаторов силовских подгрупп в группах 5П} АП} СЬп(<7), РСЬп{д), 6Хп(з), РЗДДд). В частности, доказаны следующие утверждения (в основном тексте соответственно теоремы 2.2.1,
2.2.2, 3.3.3):
ос
Теорема 2. Пусть р 6 7г(£>п)\{2}, п = £ ^Р*» где 0 < с,- < р для всех г > 0 и все, кроме
i=О
конечного числа, коэффициенты с,- равны нулю, Р — Эр-подгруппа б5„ и N = П3п(Р). Тогда имеет место изоморфизм (считаем, что Ир-\ и 5о — единичные группы):
№*Р\ х (гр_1у?5С|.
»=0
оо
Теорема 3. Пусть р € тт(5п) \ {2}, Р € вгу1р{Ап), п = £ г, где 0 < ъ < р для
1=0
всех г > 0 и все, кроме конечного числа, коэффициенты с,- равны пулю. Имеют место утверэюдения:
(1) П,\п (Р) 2-нилъпотептеп тогда и только тогда, когда со < 3 и с,- < 2 для всех г > 0;
(2) ИАя (Р) разрешим тогда и только тогда, когда с* < 4 для всех г > 0.
Теорема 4. Пусть р е 7т(Р6Хп(д)) \ {2}, (р,д) = 1, Р — Бр-подгруппа в РБЬ^), 5
оо
— наименьшее натуральное число к с условием qk = 1 (шос! р), [т] = ^с,рх, где все, ■ . 1=0 кроме конечного числа, коэффициенты с,- равны нулю и 0 < с,- < р для всех г > 0,
г = п — [5] 6. Имеют место утверждения:
(1) Пусть q нечётно. №рзьп(ч){Р) 2-нильпотентеп тогда и только тогда, когда г < 1 и Сх < 2 для всех г > 0. Пусть <7 чётно. А1рзьп{,ч)(Р) 2-нильпотентеп тогда и только тогда, когда выполнены условия: с,- < 2 при г > 0, Со < 3, если 5 нечётно, Со < 2 в противном случае. Кроме того, г < 1 или г = у — 2.
(2) Нормализатор Р в Р£Хп(д) разрешим тогда и только тогда, когда а < 4 при г > 0 и либо г < I, либо г = 2 и у € {2,3}.
Подробно описаны нормализаторы силовских подгрупп в некоторых других конечных классических группах невысоких размерностей. •
Опишем кратко основные результаты и методы, использующиеся в настоящей работе. Доказательство теоремы 1 опирается на классификацию конечных простых групп
б
(см. [13]). При исследовании нормализаторов силовских 2-подгрупи конечных простых групп используются результаты статьи [22] Кондратьева A.C. Для изучения нормализаторов силовских подгрупп в симметрических и знакопеременных группах применяются методы и понятия терин групп перестановок. Описание нормализаторов силовских подгрупп в классических простых группах опирается на теорию линейных представлений конечных групп и на теорию линейных групп. Для анализа исключительных простых групп лиева типа используются методы теории алгебраических групп и результаты о подгруппах конечных групп Шевалле, полученные Кондратьевым A.C. (см. [21]). Кроме того, использованы результаты Kleidman’a Р.В. о максимальных подгруппах в РП$(q) и zD4(q) (см. [38], [39]).
Все основные результаты диссертации отражены в публикациях [8], [9], [10], [11], [12].
7