Алгебры с полиномиальными тождествами : Представления и комбинаторные методы

Содержание
Введение 7
0.1. Кольца с полиномиальными тождествами.............................. 7
0.1.1. Проблемы канонической формы............................... 10
0.1.2. Связь с теорией инвариантов и некоммутативной алгебраической геометрией................................................. 14
0.1.3. Проблемы конечной базируемости............................ 18
0.1.4. Структура и объем работы ................................. 27
0.2. Основные определения и конструкции .............................. 32
0.2.1. Представления алгебр...................................... 36
0.2.2. Линеаризации и квазилинеаризации.......................... 39
0.2.3. Следы и формы............................................. 42
0.2.4. Представления симметрической группы и супериоризация . 48
1. Строение базисов алгебр и комбинаторика слов 56
1.0.1. Комбинаторика слов конечной длины. Эффекты периодичности ............................................................ 57
1.1. Методы символической динамики и мономиальные алгебры .... 61
1.1.1. Сверхслова в алгебрах .................................... 61
1.1.2. Сверхслова и динамика..................................... 63
1.1.3. Периодичность и бесконечные слова......................... 65
1.1.4. Нильрадикал и радикал Джекобсона.......................... 66
1.1.5. Классификация слабо иетеровых мономиальных алгебр ... 69
1.1.6. Радикал Бэра мономиальных алгебр. Первичные слова ... 71
1.2. Представления мономиальных алгебр................................ 71
1.2.1. Вспомогательные конструкции .............................. 72
1.2.2. Многообразия мономиальных алгебр.......................... 74
1.2.3. Критерий представимости мономиальной алгебры.............. 77
1.2.4. Представимые алгебры с трансцендентным рядом Гильберта
и алгоритмические вопросы.................................. 82
1.3. Теорема Ширшова о высоте и базисы алгебр ........................ 83
1.3.1. Оценки в теореме о высоте................................. 85
1.3.2. Базисы Ширшова и структурно-комбинаторный парачлелизм 88
1.3.3. Теорема об экстремальных словах........................... 91
1.3.4. Прямое комбинаторное доказательство гипотез Шестакова и Амицура........................................................... 92
1.4. Метод перекачки ................................................. 97
1.4.1. Проблемы бернсайдовского типа и ограниченность высот . . 99
1.4.2. Неоднородный случай в проблеме Куроша.....................100
1.4.3. Перекачка и тождество ачгебраичности......................101
1.4.4. Разреженные тождества и перекачка.........................103
1.4.5. Оценки для высоты над множеством слов степени не выше сложности.........................................................105
1.5. Высота алгебр и размерность Гельфанда—Кириллова..................107
1.5.1. Ассоциативный случаи......................................107
1.5.2. Представимые алгебры общей сигнатуры......................109
2
2. Многочлены Капелли и многочлены Кемера 111
2.1. Внутренние следы и препятствия к представимости...................113
2.2. Представимые пространства.........................................117
2.3. Утончение альтернаторов ..........................................119
2.3.1. Кольца с операторами.......................................123
2.3.2. Размерность Гельфанда-Кириллова л ряды коразмерности . 125
2.3.3. Высота и курошевость для хороших многообразий..............128
\ 2.4. Нетеровы конечно порожденные Р/-алгебры конечно определены . 129
2.5. Х-первичные многообразия: центральные полиномы, решение во-
* проса И. В. Львова................................................132
2.0. О тождествах ассоциативных алгебр в характеристике р..............140
2.7. Тождество алгебраичности..........................................141
і
3. Концепция экстремального идеала. Рациональность рядов Гильберта в относительно свободном случае. 143
3.1. Схема Кемера......................................................143
3.1.1. Индукционные параметры. Сложностной тин....................144
3.1.2. О доказательствах рациональности...........................145
3.2. Примеры экстремальных идеалов.....................................147
3.2.1. Алгебра общих матриц ......................................147
3.2.2. Полупрямые произведения алгебр матриц......................147
3.2.3. Многообразия мономиальных алгебр...........................150
3.2.4. Нематричные многообразия...................................151
3.3. Доказательство рациональности рядов Гильберта методом Кемера 152
3.3.1. Доказательство лемм Кемера.................................158
3.4. Метод А. Р. Кемера для положительной характеристики...............162
3.4.1. Рациональность рядов Гильберта в случае положительной характеристики ......................................................162
3.4.2. О редукциях по простому модулю.............................164
3.5. Бесконечно порожденный случай, супералгебры и Т-пространства . 169
3.5.1. Ряды Гильберта для Т-простраиств...........................172
4. Представления относительно свободных алгебр. 173
4.1. Замыкание по Зарисскому...........................................173
4.2. Построение улучшенных представлений. Алгебры А, Ас1 и А ... . 174
4.3. Структура улучшенных представлений.............................. 178
4.3.1. Выбор общих элементов. Алгебра компонент А. Градуировки 179
4.3.2. Связи между клетками. Граф Г...............................182
4.4. Графы и представления ассоциативных алгебр........................183
4.4.1. Пути в графах. “Гашение” путей.............................184
4.4.2. Внешние и внутренние следы и формы.........................191
4.5. Язык тождеств.....................................................194
4.5.1. Граничные алгебры..........................................194
4.5.2. Случай, когда Г состоит из одного пути. Примеры............197
4.6. Доказательство рациональности рядов Гильберта методами теории
представлений.....................................................204
4.6.1. Построение экстремального идеала...........................204
4.6.2. Завершение доказательства рациональности...................207
3
4.6.3. Замечания о доказательствах представимости и конечной ба-
зируемости..................................................209
4.7. Графы и свойства конечности.......................................213
4.7.1. Свойства нетеровости.......................................213
4.7.2. Слабо нетеровые относительно свободные алгебры.............213
4.7.3. Конечно определенные Р1-алгебры............................215
5. Локальная конечная базируемость и локальная представимость многообразий ассоциативных алгебр 215
5.0.1. Применение аагебро-геометрических соображений к доказательствам представимости и конечной базируемости..................216
5.0.2. Вспомогательные утверждения ...............................218
5.1. Разносортные тождества, подстановки и метод А. В. Гришина . . . 218
5.1.1. 0-техника..................................................219
5.1.2. Основное комбинаторное соображение.........................222
5.1.3. Случай положительной характеристики........................224
5.1.4. Конечная базируемость Г-пространств........................226
5.1.5. Т-пространства и лемма Артина-Рисса .......................233
5.1.6. Многообразия сложности 1...................................241
5.2. Тождества в компонентах ..........................................242
5.2.1. Преобразование компонент...................................243
5.2.2. Связь между обычными тождествами и разносортными . . . 244
5.2.3. Действие нетерового кольца на правильных членах............247
о.З. Построение замкнутых идеалов. Вырезающие подстановки..............248
5.3.1. Расталкивание резервных образований. Построение правильного идеата.......................................................251
5.3.2. Случай, когда существенные смешанные элементы отсутствуют268
5.3.3. Проблема Шпехта и некоммутативная алгебраическая геометрия .............................................................269
5.4. Размерность Гельфанда-Кириллова, ряды коразмерности и слож-иостные характеристики.................................................273
5.4.1. Размерность Гельфанда-Кириллова для алгебры общих матриц и первичных многообразий ....................................274
5.4.2. Полупрямые произведения матричных алгебр и сложностной
тип.........................................................275
5.4.3. Размерпость Гельфанда-Кириллова для Т-идеалов..............278
5.4.4. Размерность Гельфанда-Кириллова и базисный ранг............281
5.4.5. Ряды коразмерности ........................................282
5.5. Локальная конечная базируемость...................................283
5.5.1. Окончание доказательства локальной шпехтовости ............285
5.6. Импликация: локальная шпехтовость => локальная представимость 286
5.6.1. Крайние элементы...........................................286
5.6.2. Структура нетерова 5-модуля. Построение расширенной алгебры ............................................................288
6. Общие кольца и алгебры над коммутативным кольцом 291
6.1. Локальная конечная базируемость многообразий......................291
6.1.1. Случай Р/-колец............................................291
6.1.2. Случай не Р/-колец.........................................295
4
6.1.3. Кручение в относительно свободных кольцах..................297
6.2. Локальная представимость многообразий............................299
6.2.1. Редукция к случаю, когда Ф - поле..........................300
6.2.2. Построение экстремальных идеалов...........................300
6.2.3. Завершение доказательства локальной представимости. Тестовые алгебры ...................................................303
6.2.4. Случай отсутствия смешанных элементов в А/ <7(Ф)Л .... 307
6.3. Алгоритмические свойства многообразий............................309
6.3.1. Сведение к PI-случаю.......................................309
6.3.2. Алгебры над полем..........................................310
6.3.3. Алгоритмическая вычислимость в А. Фильтрации...............312
6.3.4. Теорема о каноническом носителе............................316
6.3.5. Алгоритм проверки следования тождеств......................319
6.3.6. Существование алгоритма, проверяющего, является ли / тождеством данной представимой алгебры А............................320
6.4. Критические бесконечные кольца...................................320
6.4.1. Случай отсутствия тождеств ................................322
6.4.2. Случай наличия тождеств....................................324
6.5. Вопросы однородности.............................................330
6.5.1. Однородные многообразия....................................330
6.5.2. Радикальные свойства однородных компонент тождеств и теорема о высоте..................................................332
6.5.3. Об одном вопросе И. В. Львова..............................334
7. Примеры бесконечно базируемых Т-идеалов 335
7.1. Основные конструкции.............................................335
7.2. Основная теорема.................................................338
7.2.1. Подстановки слов на заданные позиции ......................339
7.2.2. Доказательство основной теоремы............................340
7.3. Обобщения конструкции. Неассоциативный случай....................341
Приложение 342
А. О кольцах, асимптотически близких к ассоциативным 342
А.1. Хорошие многообразия и теорема о высоте..........................343
А. 1.1. О проблемах бсрнсайдовского типа..........................349
А.2. Проблемы Шисхтового типа.........................................350
А.2.1. Структурируемые алгебры. Первая лемма Кемера...............350
А.2.2. Внутренние следы на экстремальном идеале...................354
А.2.3. Пространства Яг. Относительная форма второй леммы Кемера .............................................................361
А.2.4. Тестовые алгебры...........................................363
А.2.5. Завершение доказательств...................................365
А.З. 0-техника для структурируемых колец..............................366
А.3.1. Первичные алгебры из хороших многообразий..................367
А.3.2. Доказательство конечной базируемости для обобщенных 0-
многочленов................................................369
о
Б. Оценки степени нильпотентности радикала и теорема Нагаты-Хигмана 372
Б.1. Оценка нильпотентности идеала матричных тождеств в случае выполнимости тождества Капелли......................................372
Б.2. Нулевая характеристика. Супериоризация.......................373
Литература 373
6
Введение
0.1. Кольца с полиномиальными тождествами
Тождества являются важным объектом исследования как для теории колец, так и для теории инвариантов. Тождеством в алгебре называется многочлен, который тождественно обращается в нуль на алгебре. Например, в алгебре Грас-смана выполняется тождество [[ж, у],-г] = 0 (четный элемент лежит в центре, а коммутатор двух нечетных элементов четен), в алгебре матриц порядка 2 справедливо тождество Холла: [[#, з/]2, z] = 0 (собственные значения матрицы с нулевым следом имеют противоположные знаки, поэтому ее квадрат — скалярная матрица). В (гг - 1)-мерной алгебре выполняется тождество Капелли Сп порядка п:
Сп(х,у) = Y, (-^)аУохпц)УіХаі2)у2...уп-іХ<7(п)уп. aeSn
Пусть Р(хі,... , хп) - тождество в алгебре А, {ЯДті,... , y9i)} - произвольный набор полиномов, a R(zi,... , Zf.) - любой полином. Тогда результаты подстановки Р(ЯЬ... ,Я„), а также умножения на R (RP и PR) тоже выполняются в алгебре А. Эти новые полиномы называются следствиями тождества Р. Кроме того, линейная комбинация тождеств снова является тождеством. Идеал, порожденный значениями системы полиномов, замкнутой относительно операции подстановки, называется Т-идсалом. Каждому Т-идеалу соответствует Т-идсал в свободной алгебре или, что то же самое, вполне характеристический идеал в свободной алгебре, т.е. идеал, замкнутый относительно всех эндоморфизмов. Категория алгебр, удовлетворяющая некоторой системе тождеств, называется многообразием (variety), а свободные объекты в этой категории — относительно свободными алгебрами. Ассоциативной РІ-алгеброй называется алгебра, в которой выполняется некоторое нетривиальное тождество, а ее степенью (обозначение deg(A)) называется минимальная степень такого тождества. Через Var(A) обозначается многообразие, заданное тождествами, выполняющимися в алгебре А. Пусть {Я,} -система полиномов. Тогда Т({#і}) обозначает Т-идеал, ими порожденный.
Аналогично понятию 7-идеала естественно вводится понятие Т-пространства или пространства, порожденного значениями системы многочленов, замкнутых относительно подстановок. Примеры Т-пространств, не являющихся Т-идеалами: коммутатор [А, А]; множество значений центральных полиномов в алгебре общих матриц.
Понятие тождества применимо и к неассоциативной ситуации. Многие важные классы алгебр аксиоматизируются тождествами. Например, алгебры Ли определяются как класс алгебр, в которых выполняются тождество антикоммутативности ху + ух = 0 и тождество Якоби ((xy)z) - ((xz)y) - (x(yz)) = 0, ассоциативные алгебры — тождеством ассоциативности {x,y,z} = (xy)z — x(yz) = О, йордаповы алгебры определяются тождествами [я, у] = 0, {х2, у, х} = 0, а альтернативные — условием кососимметричности ассоциатора {х, у, z}.
Исследование тождеств интересно с нескольких точек зрения. Во-первых, оно связано е проблемами канонической формы. Во-вторых, с теорией инвариантов. И в-третьих, с некоторой версией некоммутативной алгебраической геометрии. Теории полиномиальных тождеств посвящена обширная литература (см., например, монографии [152], [134], [150], [101], [10], [8], [6]).
Работая с тождествами, мы сталкиваемся с проблемами их описания. Вопросы, относящиеся к понятию канонической формы, занимают важное место в теории колец. Что касается базиса в свободных объектах из различных многообразий, то более-менее полная картина известна редко, в очень немногих случаях. Изве-
7
стен базис свободной ассоциативной алгебры (это тривиально), достаточно нетривиальные результаты — базис свободной алгебры Ли, базис свободной коммутативной альтернативной алгебры над полем характеристики .3 с тождествами х3 — 0: ((х1х2)(хзХ4))(х5Хб) = 0 [4], [95], а также структура базиса для нематричных многообразий (базис Шпехта). В остальных случаях имеются только частичные описания. Например, неизвестен базис в свободной альтернативной или (специальной) йордановой алгебре или в алгебре общих матриц. Кроме того, весьма содержательны и нетривиальны вопросы, относящиеся к наличию кручения в аддитивной группе.
Таким образом, важно иметь язык, на котором можно адекватно описывать некоторые существенные свойства тождеств, тем более что проблема описания нормальных форм далека от решения. Есть два взаимно-дополнительных способа задания многообразий алгебр:
1) Используя носитель, — предъявляя набор алгебр и рассматривая минимальное многообразие, их содержащее;
2) Предъявляя базис тождеств.
Перевод с одного языка на другой, по сути дела, есть своего рода версия некоммутативной алгебраической геометрии, поскольку первый язык более гео-метричен, второй — функционален.
Эти два способа описания довольно далеки друг от друга. Так, исследование тождеств матриц даже малого порядка является довольно сложной задачей. Ей посвящены работы ряда авторов. См. например [17], [18], [97], [78]. С другой стороны, нахождение алгебры, порождающей данное многообразие, также довольно трудно. Близкие к этому вопросы получения оценок на степень нильпотентности радикала до сих пор в должной мере не исследованы (а имеющиеся к данному моменту оценки далеки от реальности). Вопросы, относящиеся к получению оценок нильпотентности радикала ставились, в частности, Е.И.Зсльмановым и
А.В.Гришиным [30]. Поэтому программа исследований заключается в установлении взаимосвязи между этими подходами (см.раздел 3).
Поскольку нет возможности получить полное описание носителя на языке тождеств и обратно, то следует изучать перенос некоторых существенных свойств. Примером таких свойств, хорошо описывающееся на двух языках, служат различного рода асимптотики: размерность Гельфанда-Кириллова, показатель роста в ряде коразмерности. Не случайно практически все исследователи, работавшие над проблемой Шпехта, имели работы, относящиеся к асимптотическим свойствам многообразий!
Идеология доказательств конечной базируемости основано на постепенном сближении этих двух описаний, изначально далеких. С этой точки зрения можно рассматривать работы А. Р. Кемера. Можно сказать, что он построил своего рода мост и разработал язык тождеств, на котором удается выразить некоторые существенные свойства многообразий (индекс нильпотентности радикала, размерность полупростой части, сумма размера клеток полупростой части).
Кроме того, представления относительно свободных алгебр можно улучшать, рассматривая замыкание по Зарисскому и выбирая элементы общего положения в этом замыкании. Вместо безнадежной задачи изучения общих представлений возникают вполне решаемые вопросы, относящиеся к описанию существенной части структуры их замыканий. Представление алгебры приводится к следующему виду. Вдоль главной диагонали идут блоки. Ограничению на такой блок соответствует эпиморфизм на алгебру общих матриц. Под блоками идут нули. При
8
этом блокам разного размера отвечают независимые переменные, а блоки одинакового размера могут быть независимыми или однотипными. Последнее означает, что коэффициенты при соответствующих матричных единицах связаны с помощью эндоморфизма Фробениуса. Если основное поле бесконечно, то этот эндоморфизм тождественен и коэффициенты при соответствующих матричных единицах в однотипных клетках совпадают. Возникают т.н. “матрицы со склеенными клетками”. Впервые подобные рассмотрения проводились С. А. Пихтиль-ковым [88], [89]. Он охарактеризовал многообразие, заданное всеми ^-мерными ассоциативными алгебрами при к < 18, сЬ(К) = 0 в терминах носителей. Как и в нашем случае, исследование обычных тождеств оказалось связанным с изучением разносортных тождеств и соответствующей структуры пирсовских компонент. Подробнее — см. раздел 4.
Возникает довольно любопытный набросок более тонкой теории радикала, который осуществляет связь между клетками. В радикале есть компоненты, обращающиеся в нуль при умножении на полупростую часть (таковы “внутренние части перемычек”), и компоненты, связанные с пирсами первичных компонент (граничные операторы “входа-выхода-иерехода”, а также “внутриклеточный радикал”). Возникает любопытная структура, состоящая из бимодулей над первичными компонентами. Ряд существенных свойств (например, свойства роста) относительно свободных ассоциативных алгебр описываются в терминах графа клеток и путей в нем.
Группы похожих клеток задают “анфиладные алгебры”, устроенные как тензорное произведение алгебры матриц на нолугрупповую алгебру нильпотентной относительно свободной полугруппы. Остаются, правда, вопросы, относящиеся к деталям устройства представления: изучению этих полугрупп, а также структуры перемычек, не относящихся к клеткам. Описание строения ассоциативных относительно свободных алгебр и свойств тождеств в этих терминах и было главной целью настоящей работы.
Одним из важнейших стимулов, способствовавших развитию теории нормальных форм, а также теории, связанной с рядами Гильберта и Пуанкаре, явились постановки проблем рациональности соответствующих рядов. Эти проблемы оказались проблемами “шпехтового типа”. Так, К. Прочези [150] поставил следующий вопрос:
Верно ли, что функция роста относительно свободной к.п. алгебры полиномиальна?
Автор получил на него положительный ответ, и техника доказательства находилась в русле идей доказательств конечной базируемости.
Теорема (А. Я. Белов). Ряд Гильберта относительно свободной ассоциативной алгебры есть рациональная функция.
Ряды Гильберта изучались многими авторами. Так, рациональность рядов Гильберта для алгебры общих матриц второго порядка и для нематричных многообразий была установлена В. Дренски в работе [132]. Ряды Гильберта для алгебры общих матриц со следом вычислялись в работе Форманека [137]. Отметим, что по всей видимости, даже для случая алгебры общих матриц порядка выше второго до работ автора рациональность рядов Гильберта не была установлена (см. обзор [108].
Эту теорему, как и ответы на вопросы бернсайдовского типа, можно рассматривать как частичное описание базисов. Проблемы капопической формы способствовали созданию как структурной, так и (в будущем) комбинаторной теории колец. Исследования по этой проблематике приводят к изучению тех же свойств
9
многообразий, которые важны и в проблемах “пгпехтового типа”. Эти проблемы будут интересовать и нас.
0.1.1. Проблемы канонической формы
Техника канонической формы состоит в построении базиса алгебры (или хотя бы набора элементов, порождающего алгебру как векторное пространство). Возникающие здесь проблемы тесно связаны с проблемами бернсайдовского типа (ряд которых был поставлен А. Г. Курошем [58]) и проблем шпехтового типа, и взаимодействие возникающих вопросов приводит к постановке новых задач.
Лично для автора отправной точкой при исследовании по проблеме Шпехта послужило исследование канонических форм элементов в различных исчислениях. В частности, благодаря исследованию автоматных алгебр и комбинаторики, связанной с графами, автору удалось построить некий набросок теории представлений относительно свободных алгебр. А техника представлений, задаваемых графами, и позволила решить основные задачи. Отметим, что техника замыкания по Зарис-скому возникла при исследовании многообразий, порожденных мономиальными алгебрами. С другой стороны, с помощью техники канонических форм В. Н. Латышев впервые доказал локальную шпехтовость для нематричных многообразий. Он же инициировал исследования в области мономиальных алгебр и конечных автоматов, которые в то время формально были не связаны со шпехтовой проблематикой, а их интуитивное родство, которое в то время проявлялось как сильная корреляция вкусов исследователей, оформилось в конкретные результаты.
Опишем коротко ситуацию с базисами алгебр. Определим несколько понятий. Элемент х линейно представим множеством М, если он принадлежит векторному пространству Span(M), порожденному М. Множество N линейно представимо Му если N Ç Span(M). А обычно обозначает алгебру, ai,... , as - ее образующие.
Обычное применение техники канонической формы состоит в работе с базисами, состоящими из т.н. неуменьшаемых слов. Порядок ai -< а2 -< • • • -< as индуцирует лексикографический порядок на множестве слов. Будем говорить, что и < v если \и\ < (и[ либо |о[ = |v| и и лексикографически меньше V. Слово, не являющееся линейно представимым меньшими словами, называется неумепьшае-мьШу а множество таких слов называется нормальным базисом алгебры. deg(A) есть степень алгебры А или минимальная степень тождества, выполняющегося в
А.
Первым комбинаторным результатом в этом направлении, позволившим получить прямое комбинаторное решение проблем бернсайдовского тина, явилась
Теорема А. И. Ширшова о высотс.([117], [118])
Пусть А — конечно-порожденная PI-алгебра, т = deg(A). Тогда существует конечный набор элементов У и число Не N такие, что А линейно представима (т.е. порождается линейными комбинациями) множеством элементов вида
... v%h, где h < H, Vÿ Е Y.
Такое множество Y называется базисом Ширшова алгебры А. В качестве базиса Ширшова можно взять набор слов степени не выше т. Таким образом, базис алгебры состоит из “кусочно периодических” слов. Из этого результата вытекает положительное решение проблемы Куроша, а также локальная конечность -Р7-алгебр и ограниченность размерности Гельфанда—Кириллова, поскольку число способов представления N в виде суммы fci|vi|H h где h < Я, имеет
порядок NH~{.
10
Вместо понятия высоты удобнее пользоваться близким понятием существенной высоты. Алгебра А имеет существенную высоту h над конечным множеством У, называемым s-базисом, если можно выбрать такое конечное множество D С А, что А линейно представима элементами вида t\ •... * где I < 2h 4-1, и
Vi(ti 6 D V ti = Viiyi G У), причем множество таких г, что U D, содержит не
более h элементов. Отметим, что размерность Гсльфанда-Кириллова оценивается существенной высотой и что s-базис являете я базисом Ширшова тогда и только тогда, когда он порождает А как алгебру.
Теорема о высоте вызвала к жизни дальнейшие вопросы, относящиеся к проблемам описания базисов:
• Какие наборы слов можно взять в качестве {v*}?
Ответ таков: Множество слов У является базисом Ширшова тогда и только тогда, когда оно содержит образующие и для каждого слова длины не выше Pldeg(A) содержит слово, циклически сопряженное к некоторой его степени.
Сам Ширшов показал, что можно взять множество слов степени не меньше deg(A). И. В. Львов получил оценку deg(A) — 1. И. П. Шестаков и С. Амицур высказали гипотезу о том, что если все слова длины не выше сложности Pldeg(A) алгебраичны, то сама алгебра конечномерна. Гипотеза Амицура и Шестакова была переформулирована И.В.Львовым на матричном языке и была доказана В. А. Уфнаровским [107] и Г. П. Чекану [110]. В дальнейшем автор [158] показал, что в качестве {г>*} можно взять множество слов из гипотезы Шестакова. Этот результат был также анонсирован Г. П. Чекану [112]. Затем другое доказательство этого факта было получено В. Дренским.
• Над какими У алгебра А имеет ограниченную высоту?
Автор показач [157], что такое множество У должно быть курошевым. Это означает конечномерность над F[T] любого фактора алгебры А ® F[T], в котором все проекции элементов из У целы над F[T\. (Требование конечномерности гомоморфных образов с алгебраическими образами элементов из У недостаточно. Пример: А = F[x, 1/т]; У = {х}. Ограниченность существенной высоты есть некоммутативное обобщение условия целости алгебры над У.)
• Как оценить высоту? Оценки, полученные из оригинашного доказательства (см. работы [117], [118]) были далеки от реальности. Позже А. Т. Колотов [51] получил оценку ht[A) < s$m (т = deg(A), s - число образующих). Позднее Е. И. Зельманов [30] поставил вопрос о наличии экспоненциальной оценки. В работе автора [170] было показано fit (А) < 2msrrH1 и тем самым получен положительный ответ на этот вопрос.
• Как устроен вектор степеней (&i,... , fc^)?
Прежде всего: какие множества компонент этого вектора являются существенными, т.е. какие наборы £* могут быть одновременно неограниченными? Какова существенная высота?
Автор [157] показал, что существенная высота у представимой (а стало быть, в силу результата А. Р. Кемера [46] и у относительно свободной) ai-гебры равна размерности Гельфанда—Кириллова. Тем самым размерность Гсльфанда-Кириллова представимой ачгсбры есть целое число (результат
В. Т. Маркова), а существенная высота не зависит от выбора У (если только
11
для этого У она ограничена). Этот результат и его обобщение на неассоциативный случай изложен в разделе 1.5 (в частности, там показано, что размерность Гельфанда-Кириллова представимой алгебры произвольной сигнатуры есть целое число).
• Вопрос о более тонком устройстве множества векторов степеней. Верно ЛИ, что оно обладает теми или иными свойствами регулярности?
• И, наконец, вопрос о переносе теоремы о высоте на неассоциативный случай.
С. В. Пчелинцев [94] получил аналог теоремы о высоте для альтернативных алгебр, С. П. Мищенко [85] — для алгебр Ли с разреженным тождеством. Автор доказал аналог теоремы о высоте для йордановых /’/-алгебр.
Прежде всего нужно отметить, что базис Ширшова относительно свободной алгебры требует количества слов порядка экспоненты от сложности, при этом размерность Гельфанда-Кириллова может оцениваться полиномиально. Следовательно, между степенями слов есть достаточно сложная алгебраическая зависимость, что приводит к тому, что в случае сложности, большей 1, прямые вычисления, связанные с нормальным базисом, состоящем из слов, сами по себе оказывались мало эффективными. Требуется техника построения базисов, связанная с центральными полиномами и с достаточно продвинутой структурной теорией (см. разделы данной работы, в которых строятся экстремальные идеалы).
После известных результатов А. Р. Кемера о представимости относительно свободных алгебр могло создаться впечатление, что отсюда непосредственно вытекает регулярность устройства множества векторов степеней для неуменыпае-мых слов, а, значит, и рациональность рядов Гильберта для таких алгебр. Но это только на первый взгляд. Существует пример представимой алгебры с трансцендентным рядом Гильберта. Дело в том, что даже в представимом случае множество векторов степеней может быть устроено плохо — а именно, может быть дополнением к множеству решений системы экспоненциально-полиномиальных диофантовых уравнений.
Необходимым условием представимости является выполнение теоремы о высоте. В этом случае при некотором /г слова алгебры имеют вид
и\ и2 • "и1 }
где / < Л, а {нг} — фиксированный набор слов. Необходимое и достаточное условие представимости для мономиальной алгебры формулируется как условие на множество векторов к = {к\,... , к^. Оно означает, что множество таких ,/с*), что и}1...**« = 0, должно задаваться системой экспоненциальных диофантовых уравнений. А производящая функция, связанная с таким множеством, вполне может быть трансцендентной и, таким образом, существуют представимые мономиальные алгебры с трансцендентным рядом Гильберта. Простейшими примерами такой алгебры служат алгебра над полем характеристики 2 с образующими а, 6, с и определяющими соотношениями: 0 = аЬ = са = сЬ = с2 = 62; {6а2”с = 0|п £ М} и мономиальная алгебра над полем характеристики ноль, множество ненулевых слов которой ость подмножество подслов слов из следующего множества: {Ьахсауй\:г2 - 2у2 Ф !}•
Изучение нормальных форм для представимых алгебр представляется довольно интересной задачей, представляющей самостоятельный интерес. Она тесно связана с изучением “взвешенных следов” или пространств, порожденных элементами вида £ ®»^»(у)> где у € Яо, {^1} С *1 - фиксированный набор элементов, tpi - набор морфизмов из Я0 в Я,, Яп и Я1 - коммутативные кольца. Близкий круг вопросов, связанных с нормальными
12
формами — изучение старших компонепт элементов коммутативных подколец, а также следующих по старшинству. Старшие компоненты описываются конечным объединением сдвигов полугруппы векторов степеней, вторые по старшинству также допускают описание, а вот вопросы, относящиеся к описанию третьих компонент, сводятся к изучению систем диофантовых уравнений.
Тем не менее, хотя ряд Гильберта представимой алгебры может оказаться трансцендентным, для относительно свободных алгебр он рационален.
И в этой связи возникает следующий
Вопрос: Верно ли, что у относительно свободных алгебр множество векторов степеней, соответствующих неуменъшаемъш словам устроено регулярно? Верно ли, что оно есть конечное объединение сдвигов конечно порожденных полугрупп векторов относительно сложения?
Мы сейчас не можем ответить на этот вопрос, но у нас есть аргументы в пользу того, что это так и есть. Конечно, в случае нулевой характеристики ничего разумного про произвольную систему экспоненциально-диофантовых уравнений сказать нельзя. Из результата Ю. В. Матиясевича следует, в частности, что проблема изоморфизма двух представимых мономиальных алгебр, образующие которых заданы матрицами над кольцом многочленов, алгоритмически неразрешима. Тем не менее, в положительной характеристике дело обстоит по-другому! Имеет место следующая
Теорема (А. Я. Белов, А. А. Чиликов). 1 Пусть £ - система экспоненци-ально-диофантовых уравнений (}і = 0 с основаниями экспонент в поле (нетеро-вом кольце) характеристики р.
,*,)=£-РЛ*..........*,Ща£
/
есть экспоненциально-диофантов полипом (Рі(к\,... ,к{) — обычные полиномы). Каждому вектору <к\>... ,кі> сопоставим слово Ь\ • • • Ь3 в алфавите из р1 символов: букве Ьі соответствует вектор, составленный из г-х по старшинству р-ичных цифр < к\,... ,кі>.
Тогда множеству решений системы £ соответствует регулярный язык.
(Язык С называется регулярным, если имеется ориентированный граф Г, стрелки которого помечены буквами (допускаются петли и параллельные ребра), некоторые вершины которого объявлены началънъичхх, а некоторые — финальными. При этом С состоит из слов, которые можно прочитать, идя по стрелкам графа из начальной вершины в финальную.)
Диофантовы проблемы в положительной характеристике чаще возникают, но легче решаются!
Итак, для положительной характеристики у представимой мономиальной алгебры множество векторов степеней у неуменьшаемых слов устроено в каком-то смысле регулярно. Известно, что если множество М чисел таково, что их р-ичные и <?-ичные записи при некоторых р ф д образуют регулярный язык, то М есть объединение конечного множества и конечного набора арифметических прогрессий, т.е. хорошо устроено. Так же устроено множество нулей у линейной рекурренты над полем нулевой характеристики, а значит — и множество (одномерных) векторов степеней у представимой мономиальной алгебры А, если БКбіш(Л) = 1 и ей (Г) = 0. (Если любое из этих условий не выполняется, то это уже не так.)
Автору представляется очень важным следующий
*Этот совместный результат в данную диссертацию не включен.
13
Вопрос. Верно ли, что множество векторов степеней, соответствующее неуменыиаемым словам в произвольной представимой алгебре над полем характеристики р, образует регулярный язык?
Допустим» что мы получим положительный ответ на этот вопрос. Тогда в силу теоремы 3.7 у всех редукций относительно свободной к.п. алгебры по достаточно большим простым модулям множества неуменьшаемых слов совпадают. Тем самым будет установлена регулярность нормального базиса для относительно свободных алгебр (т.е. что множество векторов степеней устроено как конечное объединение сдвигов к.п. полугрупп векторов по сложению).
Отметим, что и сама теорема 3.7 доказывается почти также, как и конечная базируемость систем тождеств.
К редукциям относительно свободных алгебр по простым модулям относится
и
Гипотеза Прочези: Пусть - алгебра общих матриц над Ъ. Имеется естественный гомоморфизм этой алгебры в алгебру общих матриц над Zp. Совпадает ли ядро этого гомоморфизма с идеалом, порожденным числом р?
Ответ в общем случае, как показал А. Р. Кемер с учениками, отрицателен. Может так получится, что дробь х/р не лежит в алгебре, порожденной обшими матрицами, но лежит в алгебре матриц со следом. Однако если р велико по сравнению с п и с числом образующих, то гипотеза Прочези (вместе с ее естественным обобщением для редукций представлений относительно свободных алгебр в виде алгебр общих элементов) все же верна. Хотелось бы иметь аналогичный результат для бесконечного числа образующих.
Вопрос. Пусть А - относительно свободная Ъ-алгебра, представимая матрицами над кольцом многочленов над Ъ (возможно, от бесконечного числа переменных), Ар - редукция представления по модулю р. Верно ли, что при всех достаточ7ю больших р многообразия, порожденные алгебрами Ар и <8> А совпадают?
Замечание. В связи с изучением базисов матричных алгебр стоит упомянуть о “Клиффордовом” подходе, развитом в работе В. Дреиским. В пространстве матриц выбирается базис {е,}, любые два элемента которого либо коммутируют, либо антикоммутируют. Общая матрица aj представляется в виде суммы в] — £»0^1» где ац - свободные коммутативные переменные. Эти переменные упорядочиваются, и для каждого элемента алгебры общих матриц рассматривается член со старшим коэффициентом (из кольца многочленов Г[а^]). Родственный подход, развитый позднее ([28],[115], [116]), был связан с рассмотрением компонент элемента, отвечающих компонентам грассмановой алгебры, и привел к построению бесконечно базируемых Т-пространств.
0.1.2. Связь с теорией инвариантов и некоммутативной алгебраической геометрией
Результаты Р/-теории привели к созданию теории некоммутативных аффинных колец и, соответственно, к версии некоммутативной алгебраической геометрии. Первым результатом в этом направлении явился аналог теоремы Гильберта о нулях — теорема Амицура о нильпотентности радикала. Ее авторская формулировка такова. Если специализировать элементы относительно свободной алгебры А в матрицы, размер которых равен ее сложности (Р1бе§(А)), всеми возможными способами, то пересечение ядер образует ниль-идеал (позднее было доказано, что
14
этот идеал нильпотентен — теорема Размыслова-Кемера-Брауна). Аналогами теоремы Гильберта о базисе служат результаты по проблеме Шпехта. “Теорема о базисе” оказалась сложнее “теоремы о нулях”!
Идеи теории инвариантов оказывали плодотворное влияние на развитие Р1-теории. С точки зрения полилинейных инвариантов матрица есть составной объект — вектор, тензорно умноженный на ковектор, а число можно получить из набора п векторов и п ковекторов только путем спаривания векторов с ковекто-рами. Если вектор А\ спарить с ковектором Л2, вектор А2 - с ковектором Л2 и т.д., вектор Ак~ с ковектором Аъ то в результате получится Тг(Лх • • • А*). Отсюда получается первая фундаментальная теорема, что все инварианты есть произведения следов, а все коварианты задаются многочленами со следом. 71-мерность пространства, в котором живут (ко)векторы, выражается через равенство нулю результата альтернирования п + 1 (ко)вектора, чему соответствует тождество Гамильтона-Келли. Отсюда получается вторая фундаментальная теорема, утверждающая, что все тождества алгебры матриц со следом следуют из этого тождества (см. раздел 0.2.4).
Обобщение указанных результатов для положительной характеристики, сделанное в работах С. Донкина и позднее А .Н. Зубкова, привело к прогрессу Р1-теории в положительной характеристике. В частности, это позволило доказать, что в РРалгебре над полем характеристики р > 0 выполняются все тождества алгебры матриц некоторого порядка.
На Т-идеалы можно посмотреть с некоторой более общей точки зрения, восходящей к теории инвариантов. Прежде всего, Т-идеал есть идеал свободной алгебры, замкнутый относительно всех ее эндоморфизмов. Можно изучать объекты (вообще говоря, бесконечно порожденные в обычном смысле), снабженные действием полугруппы (2 и, соответственно, инвариантные идеалы. Конечная по-рожденность в нашем смысле означает порождаемость конечным числом образующих и их образами относительно действия (3. Благодаря исследованиям по проблемам шпехтового типа стало ясно, что для инвариантных идеалов строится содержательная теория, аналогичная классической теории в коммутативной алгебре и алгебраической геометрии. Этот подход оказался близок к подходам к построению некоммутативной алгебраической геометрии в универсальной алгебре, разработанным Б. И. Плоткиным и его учениками (см. [146], [147], [148], [149]).
Свойство нстеровости означает стабилизацию возрастающих цепочек инвариантных идеалов. И проблема Шпехта является аналогом теоремы Гильберта о базисе. Достаточно важным является случай, когда (7 есть группа перестановок, действующих на образующих, который в связи с проблемой Шпехта для нематричных многообразий изучал В. Н. Латышев [64]. Он рассматривал кольцо многочленов от бесконечного числа переменных и доказал справедливость условия обрыва возрастающих цепей для идеалов, инвариантных относительно всех перестановок образующих.
Отметим также, что при изучении Т-идеалов необходимо изучать так называемые идеалы разносортных тождеств или идеалы многочленов от разносортных переменных. При этом подстановки должны быть согласованы сортами. Это во-первых, имеет место в ситуации, когда переменные соотносятся с граничными операторами (вход/выход/переход) или с радикальными специализациями (см. [88]), и во-вторых — в суперслучае. Таким образом, изучение цепочек Т-идеалов приводит к исследовании однородных структур с иными группами преобразований. Шпехтовость класса алгебр означает достаточную силу группы преобразований. Отметим, что нет достаточно удобного языка, позволяющего переходить от тождеств алгебр к тождествам соответствующих разносортных образований, связанных с радикальными или граничными операторами.
15
Первичный в нашем смысле объект — это объект, для которого нет ненулевых инвариантных идеалов с нулевым произведением, а полупервичный — не содержит инвариантного идеала с нулевым квадратом. С этой точки зрения бесконечно порожденная грассманова алгебра с образующими е* и соотношениями = — е^-е,- является первичным объектом. А. Р. Кемер ввел понятие Т-первичного идеала. Это первичный Т-идеал, в факторе по которому нет двух ненулевых идеалов с нулевым произведением. Естественно определено также понятие Т-первичного многообразия (см. раздел 2.5). Такие многообразия порождают алгебры, первичные в нашем смысле. Для Т-первичных идеалов строится теория радикала, которая для ассоциативных алгебр над полем нулевой характеристики устроена как классическая. Интересен ее перенос в другую ситуацию, например интересно получить Т-идеальный аналог теоремы Брауна в положительной характеристике. Легко проверить, что для достаточно общих многообразий значения многочлена из пересечения всех Т-первичных идеалов лежат в разрешимом идеале.
В свое время, при обсуждении проблематики, связанной с /7-теорией, Ю. И. Манин предположил, что ситуация в целом исчерпывается рассмотрением пространства параметров, связанного с тензором структурных констант и рассмотрением пучка конечномерных алгебр на спектре коммутативного кольца. Поэтому “все сводится” к классической коммутативной ситуации.
Идеи такого рода действительно активно используются в теории Р/-алгебр. Так, алгебра общих матриц порождает нетеров модуль над коммутативной ко-нечнопорожденной алгеброй следов, а при локализации по некоторому центральному многочлену она становится нетеровым модулем над конечно порожденной алгеброй центральных многочленов, локализованной по этому многочлену. (Это следует из теоремы Ширшова о высоте, теоремы Артина-Прочези об алгебрах Адзумал и тождеств типа Гамильтона-Келли.) На этом пути была установлена знаменитая теорема В. Шелтера (из которой следует нильпотентность радикала в Р1п-кольцах):
Теорема (W. Scheiter). Пусть R - первичная к.п. PI-алгебра над нетеровым кольцом Ф. / - собственный идеал о R. Тогда существуют простые идеалы Pi,... ,Pk < R такие, что Р\ • • • Р* С / С Рх П • • • П Р*. Кроме того, радикал алгебры R/І нильпотентен.
Эта теорема имеет отношение к связи между идеалами кольца R и кольца коэффициентов. Интересно, что доказательство этой теоремы основано на рассмотрении критического идеала, порожденного размысловскими центральными полиномами.
Одним из наиболее ярких результатов, полученных на основе подхода, связывающего изучение алгебры с пространством параметров служит доказательство Ю. ГІ. Размысловым теоремы об изоморфизме двух конечномерных первичных алгебр А\ и Аг произвольной сигнатуры над алгебраически замкнутым полем, в которых выполняются одни и те же тождества.
В алгебрах А{ выбираются общие элементы Їі путем суммирования базисных векторов Cj с коэффициентами, равными свободным переменным Cj = По-
лучаются относительно свободные алгебры, которые изоморфны и первичны, мы их обозначим через Л1 и А2. Далее строится центральное замыкание и его центр алгебраически замыкается. В новой алгебре Acl содержится алгебра, изоморфная А\ (а, значит, и алгебра, изоморфная А^). Это связано с тем, что некоторое центральное расширение А1 (элементами матрицы, обратной к матрице (яу)) содержит образующие исходной алгебры. Но, в силу полноты теории алгебраически
16
замкнутых полей фиксированной характеристики, из изоморфизма расширений двух алгебр, при которых начальное алгебраически замкнутое основное поле расширяется до нового алгебраически замкнутого поля, следует изоморфизм исходных алгебр, что и доказывает теорему (см. [101]).
Весьма полезным оказывается следующее наблюдение. Многочлен от (I переменных на алгебре А задает регулярное (в смысле алгебраической геометрии) отображение аффинных пространств А* —> А, что позволяет работать с замыканием по Зарисскому (см. раздел 4).
“Пучковый” подход представляет достаточную ценность, даже в чисто классическом понимании, в доказательствах конечной базируемости. При этом основное значение имеет применение леммы Артина-Рисса или близких соображений.
Однако по сравнению с классической ситуацией происходят большие изменения даже при изучении локального случая.
Так, помимо “окончательных” специализаций переменных в элементы алгебры матриц есть еще “промежуточные специализации” связанные с выбором варианта приписывания того или иного “сорта”, в зависимости от принадлежности той или иной компоненте алгебры (Пирсовской компоненте, радикалу, градуированной компоненте). Такие рассуждения активно используются в доказательствах представимости и конечной базируемости (см. главы 4, о) и связаны с идеями построения бесконечно базируемых Т-идеалов из Т-пространств (см. главу 7).
При построении некоммутативной алгебраической геометрии путем непосредственного переноса классических конструкций надо ограничить рассмотрение “осмысленными” идеалами. Таковыми прежде всего являются ‘Замкнутые” идеалы или идеалы, устойчивые относительно действия некоторой группы или по-лугруппы эндоморфизмов. Поэтому построение алгебраической геометрии для инвариантных объектов дает некоторый новый взгляд на т.н. “некоммутативную алгебраическую геометрию”. По всей видимости, идея ограничения всего множества возможных идеалов замкнутыми вначале была предложена Б. И. Плоткиным.
Это впервые почувствовал В. Н. Латышев. Первоначальные работы В. Н. .Латышева по тождествам алгебры Грассмана [59], [60] (им, в частности была показана локальная шпехтовость многообразия ассоциативных алгебр с тождеством [[[я,2/),г],/.] = 0) были своего рода предвестником последующих исследований. Да и сами Т-пространственные примеры базируются на грассмановой конструкции. Если рассматривать Р1-теорию как своего рода взгляд на некоммутативную алгебраическую геометрию, то грассманова алгебра служит одним из самых важных примеров новых объектов, являющихся аналогами первичных алгебр.
Хорошим примером служит роль грассмановых алгебр (в том числе и при построении различного рода контрпримеров), а также “супер-трюк”. Благодаря работе над проблемой Шпехта на этом пути была построена модель грассмановой алгебры в характеристике 2 и начата осознаваться концепция “знака минус” в этой характеристике. Указанная алгебра имеет образующие х{ и определяющие соотношения [х^Ху] = 6i£jXiXj, причем для всех г £* лежит в центре и е\ = 0. (В классической грассмановой алгебре [х^х^] = 2Х{Х$У в нашем случае двойка заменена на произведение двух нилыютентов.)
При изучении полилинейных тождеств важную роль играют мономы, линейные относительно каждой входящей в них образующей. Пусть X = {т*} есть бесконечное множество переменных и мы интересуемся словами, в которые каждая переменная из X входит не более одного раза. Семейство X называется абсолютно коммутирующим, если при любых х^х^ € X и при любом С Е А выполняется соотношение XiCxj — х^Сх{. Если же при любых £ X м С £ А выполняется соотношение XiCxj = —Х)Сх1, то семейство X называется абсолютно антикоммутирующим.
17
Элементы, входящие в абсолютно коммутирующее семейство, можно “склеить”, семейство X ведет себя как одна образующая. Поэтому рассмотрение абсолютно коммутирующих семейств дает мало нового. Однако абсолютно антикоммутирующие семейства создают “супер-мир”. Фактически, работа с абсолютно антикоммутирующими семействами лежит в основе “супер-трюка” Камера, позволяющего сводить изучение тождеств в бесконечно порожденных алгебрах к изучению супер-тождеств в конечно порожденных супералгебрах. Абсолютно коммутирующему семейству отвечает четная переменная, а абсолютно антикоммутирующему — нечетная.
Поскольку связь с некоммутативной алгебраической геометрией и теорией инвариантов служит одной из основных мотивировок для /Т-теории, мы здесь наметим идею “супер-трюка”’. Подробности — см. раздел 0.2.4 и работу [44]. Напоминаем, что идеал супертождеств в свободной суиералгебре есть идеал, устойчивый относительно всех эндоморфизмов, сохраняющих супер-структуру, т.е. Z2-гpaдyиpoвкy.
Супер-трюк основан на наличии изоморфизма между решеткой Г-идеалов (Т-пространств) в относительно свободной бесконечно порожденной алгебре из многообразия 9Л, заданного тождеством /, и решеткой Т-идеалов (Г-пространств) в алгебре В = Г«х_71,.. • • •, У]т»> свободной в классе алгебр из 9Л,
порожденных т бесконечными семействами абсолютно коммутирующих переменных {т^5},5 = 1,...,т, и т бесконечных семейств абсолютно антикоммутирующих переменных {уув}» в = 1,..., т.
В нулевой характеристике, грубо говоря, ничего нет кроме супералгебр и всего того, что с ними связано. Однако в положительной характеристике групповая алгебра симметрической группы содержит много различных первичных идеалов и мир оказывается богаче. И описание Т-первичных идеалов или “точек спектра” в этой версии некоммутативной алгебраической геометрии представляется одной из центральных проблем РГтеории.
В последнее время произошли достаточно важные продвижения в Р/-теории. Была решена проблема конечной базируемости, построены новые серии Г-первичных многообразий. Произошел значительный прогресс в теории представлений для положительной характеристики. Все эти обстоятельства имеют важное значение для развития РГтеории. Однако в исследовательских монографиях, даже вышедших в последние годы, отсутствуют полное доказательство конечной базируемости и техника работы с тождествами, развитая в последние годы, не отражена.
0.1.3. Проблемы конечной базируемости
В теории Т/-алгебр центральную роль играют проблемы конечной базируемости систем тождеств, представимости. С этим кругом проблем тесно связаны проблемы рациональности рядов Гильберта, исследование базисов алгебр и проблемы Бсрнсайдовского типа. С точки зрения построения версии некоммутативной алгебраической геометрии и теории инвариантов очень важна проблема описания Т-первичных многообразий. Одной из центральных проблем Р1-теории явилась
Проблема Шпехта: Всякое ли многообразие ассоциативных алгебр ко-
нечно базируемо? Иными словами: всякая ли сис7пема тождеств в ассоциативной алгебре следует из своей конечной подсистемы?
Эта проблема, поставленная В. Шпехтом в 1950 году [154], представляет интерес и для произвольных многообразий алгебр, в частности лиевых, альтернативных и йордановых. Многообразие называется итехтовым, если в нем выполняется условие обрыва возрастающих цепей для Т-идеалов.
18
Сам В. Шпехт имел в виду случай алгебр над полем характеристики ноль.
A. И. Мальцев дал другое ее толкование. Вопрос, записанный им в Коуровскую Тетрадь [53], звучал так:
Проблема Мальцева: Существуют ли не конечно базируемые многообра-
зия ассоциативных колец (проблема Шпехта)?
Прежде всего, проблематика делится на локальную (т.е. вопросы обрыва возрастающих цепей Т-идеалов в конечно порожденной алгебре) и глобальную — общий случай. Кроме того, (см. раздел 0.2.2) имеется случай характеристики ноль (когда все тождества равносильны своим линеаризациям, а значит, и полилинейным тождествам) и случай положительной характеристики. Случай положительной характеристики делится на случай бесконечного поля (когда из тождества следуют все его однородные компоненты) и конечного поля (когда имеют место эффекты неоднородности), а также колец и алгебр над кольцами.
Кроме того, вопросы конечной базируемости естественно формулировать для Т-пространств во всех этих ситуациях.
Одним из главных вдохновителей исследований по проблеме Шпехта был
B. Н. Латышев. Он привлек внимание к Р/-теории и к этой проблематике многих специалистов, к числу которых автор относит и себя лично, за что выражает ему благодарность. Как писали в своем обзоре Л. А. Бокуть и И. П. Шестаков [126]: ”В течение многих лет проблема Шпехта была одной из наиболее любимых проблем А. И.Ширшова. В течение многих лет, В. Н. Латышев работал над этой проблемой и поддерживал интерес к ней, спасая ее от “смерти”. А. И. Ширшов,
В. Н. Латышев и др. были названы Л. Роуэном “Русской школой” в теории РҐ-алгебр.”
Основную ценность для профессионала представляют собой не столько результаты, относящиеся к конечной базируемости, а доказательства представимости. Именно в этом и заключается цель данной работы. Под представимостью многообразий можно понимать две вещи. Сильная представимость означает порожда-емость многообразия алгеброй, конечномерной над полем. Слабая - вложимость относительно свободной алгебры в алгебру, конечномерную над центром. Для колец представимость, понимаемая в таком смысле, не обязательно осуществляется матрицами.
К). П. Размыслов [97] доказал шпехтовость многообразия алгебры матриц второго порядка над полем характеристики ноль. Позднее многообразия, связанные с матричными алгебрами, исследовались многими авторами, см. [17], [18], [54] и ДР-
Впервые для случая нематричных многообразий в нулевой характеристики (когда строение полупростой части тривиально, а нетривиальны связи между по-луиростыми компонентами) положительное решение локальной проблемы Шпехта было получено В. Н. Латышевым [64] а также Г. Геновым [19], А. Поповым [93]. Техника доказательств была основана на использовании базиса Шпехта в нематричной алгебре. Позднее В. Дренски [132] с помощью той же техники показал рациональность рядов Гильберта относительно свободных алгебр в нематричных многообразиях. Для дальнейшего продвижения нужно было уметь работать внутри полупростой части, для чего потребовалась техника работы со следами (формами) а также центральными многочленами, которая была развита 10. П. Размы-словым. Кроме того, потребовалась установить нильпотентность радикала (соответствующий вопрос был поставлен В. Н. Латышевым в диссертации [64]).
Окончательное решение проблемы Шпехта в случае нулевой характеристики (т.е. в том виде, как ее понимал сам В. Шпехт) было получено А. Р. Кемером в восьмидесятые годы [45]. Он, в частности, объединил “следовую” технику с ис-
19
следованием связей между первичными компонентами. Кроме того, он показал глобальную шпехтовость многообразий ассоциативных алгебр с помощью замечательного “супер-трюка”, позволяющего сводить изучение тождеств бесконечно порожденных ассоциативных алгебр к тождествам конечно-порожденных супералгебр [44]. (Тождество в суперслучае — это полином, со своими позициями для четных, и со своими для нечетных переменных. Соответственно вполне характеристический идеал — это идеал в свободной супсралгебрс, устойчивый относительно всех эндоморфизмов, сохраняющих супер-сгрзгктуру.)
В 1990 году А. Р. Кемер [48) установил локальную конечную базируемость и сильную локальную представимость относительно свободных алгебр над бесконечным полем. Над конечным полем сильная представимость места не имеет (простейший пример — многообразие, порожденное полупрямым произведением Mr,(F[x]) х Mn(F)). Тем не менее локальная представимость имеет место в общем случае, и это один из центральных результатов данной работы.
Рядом авторов исследовалась неассоциативная тематика, связанная с проблемами шпехтового типа. В. Дренски [134] и М. R. Vanghan-Lee [155] показали не-шпехтовость многообразия алгебр Ли в случае положительной характеристики. Позднее были построены примеры бесконечно базируемых многообразий и альтернативных алгебр. Для характеристики 2 это сделал Ю. А. Медведев [82]. Для характеристики 3 соответствующие примеры были получены С. В. Пчелинцевым
[95].
В неассоциативном случае также работала техника А. Р. Кемера. Так, А. Я. Вайс применил “супер-трюк” для многообразия, порожденного специальной алгеброй Ли [13], А. Я. Вайс и Е. И. Зельманов [14] доказали локальную шпехтовость йордановых РГалгебр в нулевой характеристике. Аналогичный результат для альтернативных алгебр был получен А. В. Ильтяковым [140]. Им же была установлена шпехтовость многообразия, порожденного конечномерной алгеброй Ли [139], [41].
При этом локальная представимость альтернативных и йордановых Р/-алгебр так и не была установлена. Трудность заключается в отсутствии аналога результата Ж. Левина о произведении идеалов, поэтому выполнимость всех тождеств некоторой конечномерной алгебры в этом случае пока не установлена. Поэтому доказательства шпехтовости идут обходными путями.
Для поля нулевой характеристики в общем случае (не обязательно конечного базисного ранга) А. Р. Кемер показал, что всякое многообразие ассоциативных алгебр порождается грассмановой оболочкой конечномерной супералгебры (т.е. порождается алгеброй вида + -Ai ® ^ч). Тем самым оно представимо алге-
брой матриц над грассманианом. В частности, Т-первичпые многообразия порождаются грассмановой оболочкой простых конечномерных супералгебр МП1* или имеют вид <& G. (Последняя алгебра также является грассмановой оболочкой простой супералгебры М^фЕ^Т], где К{Г] есть групповая алгебра группы из двух элементов с естественной градуировкой.) Отметим, что техника А. Р. Кемера дает также доказательство локальной конечной базируемости Г-пространств в PI-алгебре над полем нулевой характеристики.
И. П. Шестаков говорил, что только после работ А. Р. Кемера он стал с уважением относиться к “супср-ч?еории”. В дальнейшем И. П. Шестаков обнаружил, что грассмановы оболочки супералгебр позволяют строить разного рода контрпримеры. А именно, в неассоциативной теории часто рассматривались многочлены, в которых все переменные можно было разбить на несколько групп попарно антикоммутирующих. (Таким свойством часто обладают экстремальные многочлены в разрешимых альтернативных алгебрах, составленные из длинных ассоциаторов.) В этом случае проверку того, что соответствующая серия многочленов не обра-
20
щается в нуль, можно проводить на модели, являющейся грассмановой оболочкой конечномерной супералгебры [114]. Например, таким путем можно объяснить пример Г. В. Дорофеева разрешимой индекса 2, но не нильпотентной альтернативной алгебры. В последующем С. В. Пчелинцев [95] и его ученик А. В. Бадеев [3], [4] применили грассманову технику к построению нешпехтовых многообразий альтернативных алгебр. В частности, А. В. Бадеев показал, что в случае ей (ВТ) = 3 многообразие коммутативных ассоциативных алгебр с тождествами
х3 = 0, [(ххХ2 • х3х4)(х5х6)]х7 = О
не является шпехтовым. Заметим, что в случае, когда с\\(¥) ^2,3 многообразие разрешимых альтернативных алгебр шпехтово. Им были указаны две системы неприводимых тождеств
918п+3 ~ {ХХ\ . . . Х2п ’ Хг2п+1 - • • Х4п')ХХ4п4.1 • • • З'бп—1&>
/18п+3 = {ХХ\ • • . * Ху\ . . . Убп-2)ХХ\ . . . Z%n.\.3Х.
С помощью системы многочленов /18л+з была построена неприводимая система тождеств в коммутативной луппе Муфанг с тождеством х3 = 1:
= [[^> «^1»• • •»^бп+2]) [Ху У\, • . •, Убп—2]? [*^) 2-1»• • ■» 1» Я»]] 1 •
Неприводимость систем многочленов <718п+3 И /18П+З обусловлена тем, что каждое собственное следствие (т.е. имеющее большую степень) обращается в нуль.
В дальнейшем грассманова техника позволила строить контрпримеры и в ассоциативном случае. Доказательство неприводимости систем ассоциативных многочленов основано на следующем соображении: рассматриваемая система {Яп} (или {Яп}, см. ниже) есть линейная комбинация р-слов, а каждое собственное следствие из линеаризации <&, являющееся линейной комбинацией р-слов, также нулевое по модулю [[ж,р],2].
Интересно, что впервые стал систематически изучать тождества, связанные с грассмановой алгеброй, В. Н. Латышев [59], [60].
Локальный случай положительной характеристики для бесконечного основного поля был положительно решен А. Р. Кемером [48]. Он показал даже несколько больше, чем представимость, а именно, что всякое многообразие, порожденное Р1-алгеброй с конечным числом образующих над бесконечным полем порождается конечномерной алгеброй. Отметим, что для случая конечного поля аналогичное утверждение (порождаемость Я-алгсброй, являющейся нетеровым Я-модулем) перестает быть верным, как показывает пример полупрямого произведения алгебры матриц над конечным полем на алгебру матриц над кольцом многочленов. (Определение полупрямого произведения — см. в разделе 0.2.)
А. В. Гришин [26] (см. также [24]) разработал метод, существенно отличный от метода А. Р. Кемера, позволяющий доказывать локальную конечную базиру-смость для Т-пространств в Р/-алгебре. Этот метод был основан в большей степени на прямых комбинаторных рассуждениях с многочленами и в меньшей мере на свойствах носителей. А. В. Гришин рассматривал конструкцию расширения полупервнчной алгебры радикальными элементами и в нем — Т-пространства и Т-идеалы. Образующие х* представлялись в виде суммы полупростых частей х* и радикальных частей На каждой из этих частей определялось действие операторов подстановки. В отличие от нашей ситуации (и, хотя это не так очевидно, от метода А. Р. Кемера), главную роль играет действие операторов подстановок на полупростых компонентах (дальнейшее обсуждение — см. раздел 4.6.3). На
21
наш взгляд, ценностью данного метода, выявляемой при переносе на неассоциативную ситуацию, является прояснение роли структурируемое^ (возможности представления алгебры в виде суммы радикала и первичной части) в проблемах шпехтового типа.
Структурируемость влечет богатство подстановок. В известных автору конструкциях бесконечно базируемых многообразий действие нетривиальных подстановок почти всегда приводило к нулевому результату. Несколько особняком стоят примеры бесконечно базируемых ассоциативных многообразий.
Недостатками данного метода являются привязка к пулевой характеристики а также некоторая “грубость”, не позволяющая доказывать рациональность рядов Гильберта. С другой стороны, благодаря той же грубости нет необходимости отдельно рассматривать первый и второй основные случаи (т.е. случаи наличия и отсутствия смешанных элементов).
В течение долгого времени предполагалась положительность решения проблемы Шпехта и в глобальном случае. Эта убежденность основывалась на следующих обстоятельствах. Во-первых, автору удалось вывести следующую теорему:
Теорема. В случае характеристики р > 0 в любой относительно свободной алгебре выполняются все тождества алгебры матриц некоторого порядка.
Эта теорема обеспечивает наличие стартовой алгебры А0. Отметим, что в случае нулевой характеристики аналог этой теоремы не имеет места: в любой конечно-порожденной алгебре выполняется тождество Капелли некоторого порядка, а в ^ас-смановой алгебре — нет.
Второе обстоятельство было связано с тем, что для инвариантных идеалов в некоторых бесконечно-порожденных алгебрах справедливы свойства обрыва возрастающих цепей и стало более - менее понятно, как строить теорию, являющуюся прямым аналогом классической коммутативной алгебры. Была надежда получить положительный результат в проблеме Шпехта, применив эту теорию.
Аналогом первичных алгебр (“матричных клеток”) должны были играть Г-первичные алгебры.
Однако “глобальная” ситуация оказалась иной и реализация этой программы столкнулась с препятствием. Именно оно в дальнейшем и помогло при отрицательном решении проблемы Шпехта, позволив перейти от Т-пространств к Т-идеалам. (Автор убежден, что иного способа сделать такой переход не существует). Дело в том, что количество вхождений “Г-первичной” компоненты в произведение может оказаться сравнимым с пулем по модулю р и действие подстановок на радикальных обкладках, связывающих различные “Т-первичные клетки”, может оказаться невозможным. С этой трудностью автор столкнулся в конце 1996 года, и ее понимание позволило построить бесконечно базируемые Т-идеалы.
Осталась возможность осуществлять подстановки внутрь “клеток”. С осени 96 — до января 97 г. автор работал над этим и пришел к необходимости исследования конечной базируемости Г-пространств в алгебрах с тождеством следующего вида:
2-0 ’ * ' %п ~ *®а(0) ■ * ' ®*(п)
<г(0)?0
Такое тождество позволяет “засасывать” переменные вглубь и обеспечивает локальную нетеровость. Им обладает алгебра Грассмана. Однако именно в ней совершенно неожиданно для всех А. В. Гришин [25], [135] обнаружил контрпример для Г-пространств!
По всей видимости, впервые пример бесконечно базируемого Г-идеала над произвольным полем характеристики р > 0 был приведен автором и публично доложен на семинаре по теории колец. Пример заключается в следующем:
= [[£,Г1,Г]П<?(*;,№) ([Г,[Г,Г]]([Е,Г])Г])г-1 [Т,(Г,Г]],
1=1
22
где С}(х,у) = хр V 1[хуу\
Пример основывался на конструкциях бесконечно базируемых Т-пространств, предложенных А. В. Гришиным и В. В. Щиголевым. Впоследствии и другие участники семинара построили аналогичные примеры [28], [116].
Замыкание по Зарисскому представимой алгебры обладает тем же запасом тождеств, а с другой стороны является более удобным объектом, поскольку содержит полупросгые и радикальные части каждого элемента в отдельности, а также все первичные компоненты. Сочетание концепции экстремального идеала с организацией структуры нетерова модуля путем действия подстановок на радикальных обкладках, соединяющих полулростые элементы разных типов, позволило доказать локальную представимость, а вместе с ней и локальную шпехто-вость. Автор установил следующий факт:
Теорема. Любая цепочка Т-идеалов в ассоциативном конечно порожденном кольце стабилизируется.
Этот факт верен и для алгебр над ассоциативно коммутативным нетеровым кольцом Ф.
Обозначим через К<зФ идеалов коэффициентов тождеств. Основной результат данной работы состоит в следующем:
Теорема. Относительно свободная конечно порожденная алгебра над произвольным нетеровым ассоциативно коммутативным кольцолі Ф (в частности, Р1-кольцо — Ъ-алгсбра) представима тогда и только тогда, когда К Э 1.
А. И. Мальцев [72] сделал такое наблюдение. Поскольку ассоциативно-коммутативная алгебра финитно аппроксимируема, то тем же свойством обладает алгебра матриц над ней, а стало быть, любая представимая алгебра. Из предыдущей теоремы и результатов раздела 6.1.2 вытекает следующий результат
Теорема (Гипотеза Л. А. Бокутя и И. В. Львова [30]). Относительно свобод}іая конечно порожденная алгебра над произвольным нетеровым ассоциативно коммутативным кольцом Ф (в частности, Р1-кольцо — Ъ-алгебра) финитно аппроксимируема.
Путь доказательства локальной представимости колец таков: локальная конечная базируемость для алгебр локальная представимость для алгебр локальная конечная базируемость для колец =>• локальная представимость для колец. (Локальная конечная базируемость легко выводится из локальной представимости с помощью рассуждений, приведенных в работе [46].)
Поскольку процесс сближения многообразия с носителем может быть сделан конструктивным (что автору не представляется тривиальным, см. раздел С.З), имеет место следующее утверждение:
Теорема (Проблема Мальцева). Существует алгоритм проверки того, что данное тождество является следствием заданного конечного набора тождеств.
Замечание. Сам А. И. Мальцев ставил вопрос так [30]:
Существует ли конечно-аксиоматизируемое многообразие колец, система всех тождественных соотношений которого нерекурсивна?
Указанный алгоритм означает, что такого многообразия нет.
23
Тем самым множество тождеств ассоциативного кольца рекурсивно. Отметим, что уже для тождеств в группах такого алгоритма, как показал Ю. Клейман [49], [50], не существует.
Для Т-пространств ситуация такова. В локальном Р1-случае характеристики ноль локальную конечную базируемость можно получить методом А. В. Гришина, с привлечением алгебро-геометричоских соображений, предложенных автором (применением леммы Артпна-Рисса). В случае характеристики ноль глобальная конечная базируемость для Т-пространств была установлена В. Щиголевым, подход которого сочетал идеи А. Р. Кемера и А. В. Гришина.
А. В. Гришин впервые построил пример бесконечно базируемого Т-пространства над произвольным полем характеристики 2 по модулю Т-идеала Т([х, [у, г]]). Пример А. В. Гришина выглядит очень просто и представляет собой набор произведений квадратов:
х\х1,... , х\ ■... ■ х\,. . . }
Но интересно, что если сЬаг(К) = р > 2, то аналогичное Т-пространство
которое предлагалось в качестве примера бесконечно базируемого Т-пространства в произвольной характеристике, как показа! В. В. Щиголев, будет конечно базируемым даже в абсолютно свободной алгебре.
Тем не менее, использ}гя грассмановы конструкции, В. В. Щиголев построил бесконечно-базируемое Т-пространство для произвольного р. Он показа!, что система полиномов
{£„} = {<2(ЯьУ1), <Э(хи У\)Я(Х2, У2), •. ■ , <Э(хиУ1) •... • <2(х„, Уп), • • • },
где С2{х,у) = хр~1ур~1[х,у], бесконечно-базируема по модулю Т([х, [р, д]]) как Т-пространство [115].
Неожиданно оказаюсь, что в локальном случае ситуация с Т-идеа1ами и Т-пространствами различна. Как показал В. В. Щиголев, даже в случае двух образующих, бесконечного основного поля характеристики р и тождества [[ж, у], г] = 0 система полиномов = хра~1ура~1[х,у] бесконечно базируема. (А все Т-идеа!ы в локальном случае — конечно базируемы. Более того, конечно-порожденная ал-гебра с тождеством аменабелевости нетерова!) Этот пример проливает свет на то обстоятельство, что при доказательствах конечной базируемости (в частности А. Р. Кемером) особо разбирается случай, когда промежуточный носитель — алгебра не содержит смешанных элементов. Именно тогда и работают с умножениями а алгебре, а не с подстановками.
Доказательство бесконечной базируемости основано на подходе, связанном с конструкциями представлений относительно свободных алгебр, развитом при доказательстве конечной базируемости и локальной представимости (что является основой данной диссертации) (см. главу 4 ). Благодаря этим конструкциям возникла “идеология р клеток и р запираюших прокладок” или модели “алгебры верхнетреугольных матриц над грассманианом с р склеенными клетками”. По мнению автора, создание этой модели позволило построить пример бесконечно-базируемого Г-идеала, хотя до этого анонсировались и предпринимались попытки построения такого примера. Есть некоторое неформальное предположение, строгую математическую формулировку которого хотелось бы получить. Верно ли, что любая бесконечная базируемость в Т-идеалах объясняется “клетчатыми эффектами”, описанными в начале последнего параграфа? Верно ли, что когда этих
24
эффектов нет, то наблюдается конечная базируемость? Все известные ему контрпримеры автор может объяснить этими эффектами.
Пока мы в состоянии сформулировать только некоторые частные гипотезы. После получения Т-пространственного примера были “наивные” попытки получить Т-идеальную конструкцию. В работе [27] была анонсирована в качестве контрпримера к проблеме Шпехта следующая система полиномов
= 4 И -А4-
i
Однако, как показан В. В. Б(иголев, эта система оказывается конечно базируемой (даже если вместо 4 = 22 поставить любую степень двойки). В дальнейшем предлагались в качестве контрпримера системы типа
i
Можно высказать следующую гипотезу:
Гипотеза. Верно ли, что при любом к система многочленов конечно базируема?
Немного о технике доказательств конечной базируемости. Если относительно свободную алгебру расширить коэффициентами характеристических многочленов ее элементов, то получится алгебра нетерового типа. Коэффициенты характеристических многочленов выражаются через следы (формы в положительной характеристике). Поэтому строят Т-идеал в исходной алгебре, устойчивый относительно умножения на следы (формы). Концепция экстремального Т-идеала лежит (явно или неявно) в основе почти всех работ но проблемам шиехтового типа. Ищут критический идеал (conductor) 7^0 такой, что
1) 7 есть нетеров модуль над некоторым ассоциативно-коммутативным кольцом R, причем структура модуля согласована со структурой алгебры.
2) Фактору А/I соответствует меньший набор индукционных параметров (меньшая сложностная характеристика).
Например, в силу равенства 77А = Hr + HA/jt если критический идеал 7 построен, то доказательство рациональности ряда Гильберта алгебры А сводится к случаю фактор-алгебры.
При изучении произвольного Т-идеала Г э Т(Л) строится критический Т-идеал Т(Л) ф Г° С Г, устойчивый относительно умножения на следы (формы или обладаюпцш структурой нетерового модуля над некоторым иным кольцом S) или “максимальный замкнутый Т-идеал, содержащийся в Г.
В некоторых случаях умножение на идеал 7 обращает в нуль препятствие к представимости (см. предложение 0.6, являющееся переформулировкой результата К. А. Зубрилина [38]). Иногда можно рассматривать экстремальный идеал, порожденный полилинейными тождествами (см. разделы 3.3 и 3.4.1, посвященные доказательству рациональности рядов Гильберта методом А. Р. Кемера).
В данной работе используется более явная конструкция экстремального идеала, основанная на исследовании взаимодействия первичных компонент в матричной алгебре.
Концепцию критического идеала можно понимать шире. С некоторой точки зрения, это основной комбинаторный подход в теории колец, который можно называть “цокольным”. Ряд работ Ю. П. Размыслова основываются на следующем факте: полиномы Капелли порядка п2 в алгебре матриц порядка п образуют экстремальный Т-идеал,
25
устойчивый относительно умножений на следы (формы) (см. теорему ). К. А. Зубрилин рассматривал идеал, порожденный Сп по модулю Сп+г. При этом оказалось возможным определить следы внутренним образом (см. предложение 0.6 а также [38]). Это дает возможность получить более короткое доказательство теоремы Брауна о нильпотентности радикала.
A. Р. Кемср работал с Т-идсалом, порожденным многочленами вида •^Ло^Л! где |Лг| = Ь(А) -I- 1 при г > 0 и |Л0| - Ь(А), к = с(Л) - 1, 5Л
обозначает альтернирование по переменным из набора Л. (Наборы Л* при г > 0 “поглощают радикал”, и при этом набор До позволяет умножать на следы.) Такие многочлены мы будем называть многочленами Ксмера. На многочлены Кемера переносится вся техника работы с тождествами Капелл и.
B. Н. Латышев (а затем В. Дренский) работали с каноническими формами экстремального идеала в нематричном случае — с базисом Шпехта максимальной ненулевой степени коммутатора, т.е. максимальной ненулевой степени радикала. С точки зрения концепции экстремального идеала можно смотреть и на метод сэндвичей — основной метод при решении проблем бернсайдовского типа в алгебрах Ли [36], [156], [52]. Отметим, что и А. В. Гришин рассматривал элементы “максимальной 0-степени”, т.е. лежащие в максимальной ненулевой степени радикала [24], [26].
Для работы в ситуации произвольного поля нужна иная конструкция критического идеала, лучше отражающая взаимодействие первичных компонент в ассоциативной алгебре с помощью радикала. Представление относительно свободной алгебры оказывается эквивалентно представлению следующего вида: вдоль главной диагонали идут блоки или клетки, под ними — нули. Ограничению на клетку отвечает эпиморфизм на алгебру общих матриц. Клетки бывают похожими — когда в них стоят одинаковые элементы, однотипными — связь через автоморфизм Фробениуса, и независимыми — когда на соответствующих позициях стоят независимые переменные.
Экстремальный идеал описывает процесс последовательного прохождения клеток. Он порождается полиномами вида £ П Я^Т^С^Яг,, где множители Нц и Яг* отвечают входам и выходам из системы однотипных клеток, а полином Капелли Спг позволяет умножать на формы. Произведение означает прохождение систем однотипных клеток, т.е. при любой специализации переменных в ненулевых слагаемых должны присутствовать специализации, соответствующие всем проходимым клеткам, а среди переменных, входящих в Нц к. Яг,-, - граничные операторы, относящиеся к системам клеток.
На локальный случай проблемы Шпехта есть и другой взгляд. Неоднократно многими авторами (А. Брауном, Ю. П. Размысловым и др.) ставился вопрос о конечной базируемости тождеств алгебры матриц над полем положительной характеристики. (Особенно подчеркивался случай алгебры матриц второго порядка.) Следующие вопросы образуют несколько более общую гипотезу.
1. Верно ли, что любое многообразие, порожденное конечно порожденной алгеброй, конечно базируемо?
2. Верно ли, что любое многообразие конечного базисного ранга конечно базируемо ?
В частности,
Верно ли, что многообразие, порожденное алгеброй матриц, конечно базируемо?
Ответ неизвестен даже для матриц второго порядка.
В чем автор видит свою заслугу?
Во-первых, она состоит в построении теории представлений относительно сво-
26
бодных ассоциативных алгебр в терминах графа клеток. Автоматная идеология была объединена с ^/-теорией. Были обнаружены эффекты “похожести” и “разнотипности” и понята существенная часть структуры представления. Построение этой теории привело автора, в частности, к созданию “идеологии р клеток и р запирающих прокладок” или модели “алгебры верхнетреугольных матриц над грас-сманианом с р склеенными клетками”. По мнению автора, создание этой модели позволило построить пример бесконечно-базируемого Г-идеала, хотя до этого анонсировались и предпринимались попытки построения такого примера. Заслуга автора при построении контрпримера состояла в переходе от Г-пространств к Г-идеалам и в переносе результатов А. В. Гришина и В. В. Щиголева на этот случай.
С другой стороны, вся работа в локальном случае основана на теории представлений и на развитии подхода Кемера при описании структуры в терминах тождеств. Был предложен подход описания представления с точностью до замыкания по Зарисскому, который оказался эффективным.
Во-вторых, был осуществлен перенос алгебро-геометрической идеологии. Она может проявляться в разной упаковке: применение леммы Артина-Рисса или пучковые рассуждения или — /^-замкнутые Г-идеалы. Эта идеология позволяет контролировать потерю равносильности при промежуточных подстановках.
В-третьих, автором была осознана идеология экстремального идеала.
И наконец, автор предложил контролировать ключевые позиции — межклеточные переходы и через них осуществлять действие нетерового кольца (а не через полу простые вхождения, как у А. В. Гришина).
0.1.4. Структура и объем работы
Перейдем к обсуждению содержания работы.
Первый параграф введения посвящён проблематике, связанной с Г/-теорией. В его первом пункте обсуждаются вопросы, относящиеся к изучению канонических форм алгебр. Второй посвящен обсуждению связи с теорией инвариантов и некоммутативной алгебраической геометрией. Третий — собственно проблемам конечной базируемости и локальной представимости. В четвертом обсуждается структура и объем работы.
Во втором параграфе излагаются подготовительные сведения и конструкции, нужные для дальнейшего. Первый пункт посвящен представлениям алгебр, во втором излагается техника линеаризации. В третьем пункте изучаются свойства оператора следа (форм) и приводятся соотношения Ю. П. Размыслова для многочленов Капелли. В четвертом — представления симметрической группы и Кемеровский “супер-трюк”. Отмечается, что из результатов А. Р. Кемера [141] об изоморфизме множества полилинейных слов, не являющихся п-разбиваемыми, и базиса многочленов для алгебры общих матриц со следом размера п, а также работы Э. Форманека [137], в которой вычисляются соответствующие размерности, получается перечисление множества полилинейных не п-разбиваемых слов.
Первая глава посвящена комбинаторике слов, проблемам канонической формы и связанным с ними вопросам теории представлений. Вначале изложены некоторые вспомогательные конструкции, относящиеся к технике работы со словами.
Первый параграф посвящен применению методов символической динамики к проблемам теории колец. В терминах равномерно рекуррентных слов дается построение теории радикала для мономиальных алгебр, доказывается совпадения ниль-радикала и радикала Джекобсона (решение известного вопроса, поставлен-
27
ного еще в обзоре В. А. Уфиаровского [108], описываются слабо нетеровые мономиальные алгебры.
Второй параграф посвящен представлению мономиальных алгебр. С этим связаны важные технические аспекты теории нормальных форм. Описание многообразий мономиальных алгебр дает технику, которая необходима при исследовании проблем бернсайдовского типа.
Основные результаты данного параграфа — критерий представимости мономиальной алгебры и построение представимых алгебр с трансцендентным рядом Гильберта. Тем самым показывается, что рациональность рядов Гильберта относительно свободных алгебр (проблема Прочези) не вытекает из их локальной представимости. Заодно устанавливается, что проблема изоморфизма двух подалгебр алгебры матриц над кольцом многочленов, заданных образующими, алгоритмически неразрешима.
Третий параграф посвяшен изучению нормальных базисов алгебр и проблемам бернсайдовского типа. В нем дается доказательство экспопеициальных оценок на высоту алгебр (ответ на вопрос Е. И. Зельманова из Днестровской тетради), дается более короткое доказательство теоремы о независимости с помощью техники сверхслов, а также доказательство ограниченности высоты алгебры над множеством слов степени не выше сложности.
Хотелось бы особо отметить доказательство теоремы 1.42: %ра§еЬгеак
Теорема. Множество лексикографически неуменыиаемых слов в РРалгебре А имеет ограниченную высоту над множеством слов, степень которых не превышает сложности алгебры А.
Это доказат&чьство проясняет глубинные связи между структурной и комбинаторной теориями.
Четвёртый параграф посвящен процедуре перекачки, разработанной автором. Эта процедура позволяет посмотреть с единой точки зрения на ряд вопросов комбинаторной теории Р1-колец. С помощью этой процедуры доказывается следующая
Теорема. Если У есть курошево множество (т.е. любая проекция любого центрального расширения, для которой образы всех элементов из У целы над центром, конечномерна над центром), то алгебра имеет ограниченную существенную высоту над У.
Кроме того, получаются экспоненциальные оценки на высоту над множеством слов степени не выше сложности, а также теорема А. Д. Чанышева о нильпотентности ^-градуированных алгебр, у которых все однородные элементы нильпо-тентны ограниченного индекса.
Пятый параграф посвящен изучению размерности Гельфанда-Кириллова. В нем показано, что размерность Гельфанда-Кириллова равна существенной высоте, и кроме того, размерность Гельфанда-Кириллова представимой алгебры произвольной сигнатуры есть целое число.
Вторая глава посвящена технике работы с многочленами типа Капслли, полилинейными и кососимметричными относительно нескольких групп переменных. В первом параграфе осуществляется перенос техники работ [38], [39] (восходящих к статье [100]) на такие многочлены. Основной технический аппарат, развитый в этой главе, заключается в построении представимых пространств, а также “утончения альтернаторов”, и изложен во втором и третьем параграфах.
В четвертом параграфе данная техника используется для решения проблемы, поставленной Ь. ЗтаН’ом. Доказывается следующая
28
Теорема. Нетперовы конечно-порожденные Р1-алгебры конечно определены.
Б пятом параграфе показано, что в Т-первичных многообразиях ассоциативных алгебр имеются ненулевые формы. Основная теорема, доказанная в этом параграфе, заключается в следующем:
Теорема. Т-первичное многообразие ассоциативных алгебр унитарно замкнуто, и в нем существует центральный полипом и слабое тождество.
Унитарная замкнутость Т-первичных многообразий над полем произвольной характеристики была впервые установлена А. Р. Кемером несколько другим путем. Как следствие, получается ответ на известный вопрос И. В. Львова из Днестровской тетради [30]:
Существует ли РІ-алгебра А, совпадающая со своим коммутатором [А,А\?
Показывается, что такой алгебры не существует. (Ассоциативные алгебры, совпадающие со своим коммутатором, существуют.)
В шестом параграфе показано, что в случае положительной характеристики в любом многообразии ассоциативпых алгебр выполняются все тождества алгебры матриц некоторого порядка. Седьмой параграф посвящен тождеству алгебрамч-ности. Многие результаты данной главы можно получить, используя вместо многочленов Капелли это тождество. Доказано его выполнимость.
Третья глава посвящена общей концепции экстремального идеала и методу Кемера. Помимо общего подхода и изложения метода Кемера (чему посвящены первые два параграфа), в ней дается решение известного открытого вопроса, поставленного еще К. Прочези — доказательство рациональности рядов Гильберта относительно свободных алгебр методом А. Р. Кемера (см. третий параграф).
В четвертом параграфе изучается метод А. Р. Кемера для положительной характеристики, в частности, редукция по простому модулю. В нем показано, что при достаточно большом р ряды Гильберта у конечно порожденной ^-алгебры и ее редукции по модулю р совпадают. К сожалению, оценки на р зависят от числа образующих.
Пятый параграф посвящен рядам Гильберта для Т-пространств. В нем показано, что ряд Гильберта Т-пространства в относительно свободной алгебре рационален, а ряд Гильберта Т-пространства в абсолютно свободной 8-порожденной ассоциативной алгебре либо рационален, либо его разность с рядом Гильберта коммутатора абсолютно свободной алгебры с тем же числом образующих есть рациональная функция. Доказательство существенно использует результаты В. В. Щи-голева.
Четвертая глава посвящена представлению относительно свободных алгебр. Основная техника состоит в замыкании по Зарисскому, построению и изучению улучшенных представлений. Если алгебра представима, то ее замыкание по Зарисскому имеет тот же запас тождеств. Таким образом, возникают достаточно интересные вопросы, связанные с описанием таких замыканий или хотя бы получении некоторой информации.
В первых трех параграфах показано, что можно выбрать базис в пространстве представления таким образом, что все элементы алгебры будут иметь следующий вид: вдоль главной диагонали идут блоки, под блоками — нули, и система уравнений. связывающие элементы в блоках, имеет вид
(х$у = (4й,г*
29
(компоненты при соответствующих матричных единицах связаны по Фробени-усу). Кроме того, для элементов х\? при матричных единицах для некоторых га могут выполняться уравнения
(4а))Го = 4П)-
и других соотношений на компоненты полупростых частей быть не может. При этом для любого г 6 Ей при всех а выполняется тождество гЯл = гГа — г. В частности, если основное поле У бесконечно, то тогда все и га равны единице.
В четвертом параграфе изучается взаимодействие между клетками. Возникает граф Г, вершины которого символизируют клетки и дополнительные эффекты связаны с “гашением” путей. Пятый параграф посвящен описанию возникающих эффектов на языке тождеств.
В шестом параграфе изложено другое доказательство рациональности рядов Гильберта и обсуждается обшая “идеология” доказательств представимости и конечной базируемости.
В седьмом параграфе дается описание нетеровых, конечно определенных и слабо нетеровых относительно свободных алгебр в терминах графа Г (для случая произвольной характеристики).
Если четвертая глава посвящена исследованию носителей, то в пятой главе развивается двойственный функциональный язык и осуществляется перевод некоторых основных свойств с функционального языка на язык носителей.
В первом параграфе излагается доказательство локальной конечной базируемости 7-пространств над полем нулевой характеристики методом А. В. Гришина вместе с исправлениями и модернизацией, которую внес автор (применение леммы Артина-Рисса). Данный параграф во многом носит иллюстративный характер. В нем также доказывается следующая
Теорема (А. Я. Белов [171]). Пусть - многообразие моно ассоциативных алгебр над полем характеристики нуль, любая конечно порожденная алгебра из которого имеет ограниченную высоту над образующими. Тогда ШЇ - итетпово (более того, осе Т-пространства в 9Я конечно базирі/еми) и ряд Гильберта любой относительно свободной алгебры из ЭЯ рационален, а сазш относительно свободные алгебры локально представимы.
Второй и третий параграф посвящены технике “расталкивающих замен”. В них также развивается алгебро-геометрическая техника доказательств конечной базируемости.
Четвертый параграф посвящен вычислению размерности Гельфанда-Кирил-лова для относительно свободных алгебр и для Т-идеалов. Показано, что размерность Гельфанда-Кириллова относительно свободной алгебры А определяется только ее сложностным типом (набором полупрямых произведений алгебр матриц над кольцом многочленов из Уаг(А)). Доказывается следующая
Теорема. Пусть А - в-порожденная относительно свободная алгебра. Тогда СКсНт(А) зависит только от ее сложностного типа. А именно, она равна максимальной размерности Гельфанда-Кириллова полупрямого произведения алгебр общих матриц из Уаг(А). Размерность Гельфанда-Кириллова такого полупрямого произведения равна сумме размерностей Гельфанда-Кириллова сомножителей. Сложностпые типы у алгебры А и подалгебры, порожденной двумя ее образующими, совпадают.
30
Размерность Гелъфанда-Кириллова свободной s-порожденпой алгебры А из Var(Mni х • • • х Mn,) равна
k + (s - !) £ nl
i— 1
Для случая представимых первичных относительно свободных алгебр произвольной сигнатуры доказана следующая
Теорема. Если L — относительно свободная s-порожденнал первичная алгебра сигнатуры Q, то GKdim(L) = sn — т.
Здесь т есть размерность G как алгебраического многообразия, G есть группа автоморфизмов L (g> C(L)alg cl над централизатором Мартиндейла C(L).
В пятом параграфе доказывается локальная конечная базируемость, из которой в шестом параграфе выводится локальная представимость относительно свободных /V-алгсбр. Тем самым дается решение известных открытых вопросов, поставленных JI. А. Бокутем и И. В. Львовым в Днестровской тетради [30].
В шестой главе указанные результаты переносятся на случай алгебр над произвольным ассоциативно-коммутативным нетеровым кольцом.
Первый параграф посвящен доказательству локальной конечной базируемо-сти, в нем же изучается кручение в относительно свободных кольцах. Во втором параграфе изложено доказательство локальной представимости Р/-алгебр над произвольным нетеровым ассоциативно-коммутативным кольцом Ф, что составляет содержание известной открытой проблемы, поставленной еще А. И. Мальцевым в 1967 году [30].
Третий параграф посвящен алгоритмическим проблемам следования тождеств. В нем дается положительное решение проблемы А. И. Мальцева (поставленной в 1967 году) о существовании алгоритма определения того, является ли данное тождество следствием некоторой конечной системы тождеств. Данную проблему для произвольных алгебраических систем ставили также А. Тарский и Дж. Фон Нейман. Ранее Ю. Клейманом было получено ее отрицательное решение для групп [49], [50]. Центральным результатом данного параграфа является теорема 6.4 о каноническом носителе. Кроме того, показано существование алгоритма проверки, выполняется ли заданное тождество в данной представимой алгебре.
В четвертом параграфе рассматриваются критические кольца. Проблема существования бесконечных критических алгебр сведена к случаю тел, в которых не выполняются тождества. В общем случае показано, что в бесконечномерном (над основным кольцом Ф) критическом кольце R нет бесконечномерного первичного PI-фактора. При этом если К есть идеал коэффициентов тождеств, то кольцо КR должно быть конечно, в частности, для К = 1 мы получаем отсутствие собственных бесконечных критических колец.
Пятый параграф посвящен вопросам, связанным с однородностью, порождае-мостью многообразия однородными алгебрами, радикальными свойствами однородных компонент тождеств, а также теореме о высоте.
В седьмой главе строятся примеры бесконечно базируемых многообразий неассоциативных алгебр над произвольном полем положительной характеристики.
Приложение А посвящено кольцам, асимптотически близким к ассоциативным. В первом параграфе даются основные определения и доказывается аналог теоремы о высоте для т.н. “хороших многообразий”, в частности, для йордаиовых и альтернативных PI-алгебр.
31
Во втором параграфе для алгебр над полем нулевой характеристики из структурируемых хороших многообразий, в предположении выполнимости всех тождеств некоторой конечномерной алгебры построена теория, аналогичная теории А. Р. Кемера (первая и вторая лемма Кемера). Доказана также локальная конечная базируемость, локальная представимость, а также рациональность рядов Гильберта (в том числе и для Т-пространств). Результаты этого параграфа влекут рациональность рядов Гильберта для Т-пространств в ассоциативной Р1-алгебре.
В третьем параграфе дастся неассоциативное обобщение 0-техники, ранее развитой А. В. Гришиным для ассоциативного случая.
Приложение Б посвящено некоторым оценкам на степень нильпотентности радикала Джекобсона для Р/-алгебр и на порядок тождества Капелли.
Благодарности. В заключение хотелось бы выразить благодарность за поддержку профессорам В. Н. Латышеву и А. В. Михалеву — руководителям семинара МГУ по теории колец, на котором была выполнена данная работа, а также д.ф.-м.н. А. В. Гришину, к.ф.-м.н. К. А. Зубрилину, к.ф.-м.н. В. Т. Маркову,
В. В. Щиголеву и всем участникам семинара за полезные обсуждения.
Автор благодарен проф. С. В. Пчелинцеву, который привлек его к данной тематике.
Автор очень признателен проф. А. Р. Кемеру, к.ф.-м.н. Л. М. Самойлову, проф. Л. А. Бокутю, а также проф. Л.Роуэну, д.ф.-м.н. С. И. Кублановскому и д.ф.-м.н. А.Мексю за полезные обсуждения и поддержку, а также проф. Л.Смоллу за постановку одной из задач.
Автор выражает благодарность к.ф.-м.н. Б. Р. Френкину и А. К. Кулыгину за помощь в решении технических вопросов при подготовке диссертации.
0.2. Основные определения и конструкции
В данном разделе определяются основные понятия и вводятся обозначения, нужные для дальнейшего.
А обычно обозначает алгебру, аь...,а* - ее образующие. Все кольца и алге-бры, если не оговорено обратное, считаются конечно порожденными (сокращенно к.п.). Понятия высоты в смысле Ширшова, существенной высоты и линейной представимости уже были определены выше. Запись /|л = 0 означает, что полином / является тождеством алгебры Ау а запись /|д ф 0 - что не является. Идеал, порожденный множеством М обозначается 1с1(Л/0- Иногда набор переменных XI,... уХп мы будем рассматривать как мультипеременную и обозначать Ху используя записи типа Р(х, ?/), К[х], К < х > и т.д. Даже в тех случаях, когда в рассматриваемых кольцах нет единицы, мы будем использовать обозначения типа 2/(1 + г). Это означает, что имеется в виду элемент у + угу который определен корректно. Ец обозначает матричную единицу: этот оператор переводит ?'-й базисный вектор в >ый, а остальные переводит в ноль. Тождество / называется собственныму если его коэффициенты образуют единичный идеал в основном кольце. Известно, что в этом случае / имеет следствие, все коэффициенты которого равны ±1 (см. разделы 0.2.4 и 6.1.2). Несобственным называется тождество, не являющееся собственным. Базисным рангом многообразия Ш называется такое минимальное 5, что Ш порождается своими ^-порожденными алгебрами. Базисный ранг многообразия всех ассоциативных алгебр равен двум, многообразия, порожденного алгеброй общих матриц, тоже равен двум, базисный ранг алгебры Грассмана или многообразия, заданного тождеством [х, [у, г]} = 0, равен бесконечности. А. Р. Кемер установил, что базисный ранг многообразия ассоциативных
32
Р/-алгебр равен бесконечности тогда и только тогда, когда оно содержит бесконечно порожденную алгебру Грассмана [43].
Функция роста Ул{п) алгебры А определяется как размерность пространства, натянутого на слова длины не выше гг; производящая функция XI Гд (??)£" называется рядом Гильберта алгебры А. Иногда рассматривается полный ряд Гильберта
нА{и,...,и) = Е^к-
где УА[пи... ,п3) есть размерность пространства, порожденного словами, для каждого г содержащими не более чем щ вхождений буквы а*. В однородном случае выполняется равенство
ял(() = Пт-Ц-ял((1,...,дк=1.
, -I Ч
Для абсолютно свободной ^-порожденной алгебры А имеет место равенство Рд(гг) = 5П и значит
= птг-
Аналогичным образом,
/г<П!= 1 \пч
где П = £ Щ И
НА{1 ь... ,«,)=
Поэтому ряды Гильберта абсолютно свободных алгебр рациональны и мы рассматриваем в дальнейшем только относительно свободную ситуацию. Кроме того, для конечномерной алгебры функция роста начиная с некоторого п становится постоянной, и в этом случае ряд Гильберта рационален. Поэтому мы доказываем рациональность и обычных и полных рядов Гильберта для относительно свободных бесконечномерных конечно порожденных алгебр.
Обычно мы рассматриваем ассоциативные алгебры над полем. Иногда (см. главу С) рассматриваются алгебры над произвольным нетеровым ассоциативно-коммутативным кольцом Ф. Иногда рассматриваются неассоциативные алгебры, алгебры произвольной сигнатуры & (снабженные набором операций произвольной арности), а также многоосновные алгебры. Последнее означает, что задана конечная система модулей {И} и конечный набор полилинейных операций
Рз ■ IV
Определение 0.1. Разреженным тождеством порядка ц называется тождество вида
53 Р{гЯа(\)У\%<т{2)У2 • • • Уц—\%а(ц)‘
<т€57
Сильным тождеством степени # называется система тождеств, получаемых из тождества вида
53 $о%а[\)3'а{2) • • • %о(я) об Б,
путем всевозможных перестановок позиций. Это система тождеств вида
53 ^о^а{г{1))Ха(г(2)) • • •%о(т(д))?
<т€5„
33
где г 6 Бц.
Аналогично определяется понятие сильного разреженного тождества порядка д. В общем случае (для алгебр произвольной сигнатуры) системой разреженных тождеств порядка q называется система тождеств вида
53 ^оЕ{х0(\)чХ0(2)у • • • у^а^уУ) = О?
где многочлен Я полилинеен по переменным {х,}. Коэффициенты Ра € К не должны зависеть от F. Если применить это понятие к ассоциативному случаю, то получится определение сильного разреженного тождества.
Функция роста зависит от выбора системы образующих. Но если ввести отношение эквивалентности на множестве функций / = д <==>■ Зс 6 N : Vп/(сп) > д(гг)и д(сп.) > /(п), то класс эквивалентности 17д(п) уже есть инвариант самой алгебры. Размерностью Гельфанда-Кириллова алгебры А называют предел СКсИт(А) = Уа(п)/1пп, если таковой существует. СКсИш есть инвариант
самой алгебры. Известно, что СКсПт(А) может принимать значения {0,1,2,оо} а также любое число из луча [2, со), причем если СКсйт(А) = Ит 1п Уа(п)/\пп
__________ ____________________________ п—>Ъо
равна 0 или 1, то и СКсНт(А) тоже равна 0 или 1. Равенство СКсНт(А) = О равносильно конечномерности алгебры А. Отметим, что размерность Гельфанда-Кириллова может и не существовать. Для коммутативного кольца Я всегда определена СКсНт(Я) и равна его степени трансцендентности. Эта размерность была введена Гельфандом и Кирилловым. Они показали, что для и(Р) - универсальной обертывающей алгебры п-мерной алгебры Ли Ь - имеет место равенство: СК<\\т(и(Ь)) = п. В. А. Уфнаровский показал, что если Ь - алгебра Ли и СК<Нт(£г) = г > 0, то УА(п) растет как ехр(п1-1^г). (И с помощью этого результата построил пример конечно-определенной алгебры промежуточного роста.)
Размерность Гельфанда-Кириллова вычислялась для некоторых относительно свободных алгебр. Для алгебры общих матриц см. [150], для алгебры из Уаг(О), где О - алгебра К эли-Диксона, это сделано в работах [90], [91]. Асимптотики, близкие к размерности Гельфанда- Кириллова (показатель роста) для многообразий, порожденных полупрямыми произведениям общих матриц, вычислялись в работе [23]. Автор показал, что размерность Гельфанда-Кириллова представимой алгебры произвольной сигнатуры есть целое число.
Определение 0.2. а) Полупрямым произведением алгебр Ли В, обозначение А х В, называется фактор-алгебра алгебры А -{- А * В В по идеалу, порожденному элементами вида 6* а, 6 € /?, а € А.
б) Полупрямым произведением второго рода алгебр А и В называется фактор-алгебра алгебры А ф В Е[с] по идеалу, порожденному элементами вида с * а, Ь * с, сс, Ь € В, а е А.
Иногда полупрямое произведение (первого рода) называют ниль-произведени-
ем.
Полупрямое произведение получается из прямой суммы с помощью следующей конструкции. Пусть С = А в В. Расширим С элементом t, удовлетворяющим соотношениям Уа € А ta — 0; УЬ € В Ы = 0; Р = 0. Тогда А м В будет изоморфна подалгебре, порожденной элементами вида а(1 -И), (1-И)6. Если А и В - алгебры матриц, то любой набор обратимых линейных преобразований на пространствах, соответствующих парам индексов г и д, порожденных элементами вида Е^Еп, индуцирует автоморфизм А х В. Легко видеть, что полупрямое произведение раскладывается в сумму своих подалгебр, нумерующихся парами индексов (з-,р)
34
и соответствующих пространствам, порожденных элементами вида Е^Ерд. Каждая такая алгебра изоморфна алгебре “блочных верхнетреугольных” матриц
подалгебр, изоморфных алгебре “блочных верхнетреугольных” матриц, и порождает то же многообразие, что и любая такая алгебра. Аналогичным образом, полупрямое произведение нескольких матричных алгебр размера П{ изоморфно сумме своих подалгебр, которые мы обозначаем 1/(¥, (і\,... >с1т). Каждая такая подалгебра задается матрицами вида:
Поэтому в дальнейшем в этой работе под полупрямым произведением алгебр матриц будем понимать подалгебру вида 11(¥, с1\,... ,(/т). Легко видеть также, что полупрямые произведения первого и второго рода порождают одно и то же многообразие.
Полупрямые произведения матричных алгебр суть минимальные конечномерные алгебры, не содержащие идеалов с нулевым пересечением с данной полупро-стой частью. Или, что то же самое, с данным сложностным типом (см. раздел 3.1.1). Имеет место следующее
Лемма 0.1 (А. СіатЬгипо, М. гаісеу). Пусть А - конечномерная алгебра над алгебраически замкнутым полем ¥ нулевой характеристики. Пусть А = А + J(A) есть разложение А в сумму полупростой части и радикала Джекоб-сона. Пусть А = А\ $ • • • © А*, где А* — М^(¥) - простые компоненты А. Если А\и\Ачич... ггт1 Ат ф 0 для некоторого т <і и элементов щ,..., нт_! из J(A), то А содержит подалгебру, изоморфную (/(¥, ,..., с/т). □
Нам понадобится следующее обобщение этой леммы на случай произвольных полей.
Предложение 0.1. Пусть А - конечномерная алгебра над полем Р. Пусть А = А + J{A) есть разложение А в сумму полупростой части и радикала Дже-кобсона. Пусть А = А\ ф • • • © А* есть разложение А на простые компоненты. Если А\щА2П2 •..ит1 Ат ф 0 для некоторого т < і и элементов щ,..., ит-\ из .7(Л), то А содержит набор подалгебр, изоморфных факторам полупрямого произведения (второго рода) Аі и • ••и Ат. При этом само полупрямое произведение А\ >і ♦ • • XI Ат вкладывается в прямую сумму этих подалгебр.
Доказательство. Возьмем элементы /і,, А* Є А,-, не являющиеся делителями нуля в А,-. Тогда А\Н\и\/і^АгМіа^ •• • Ьт-\итхЬ!тАт Ф 0. Положим щ = Л,-а,-А{+1 (г = 1,..., т— 1) и рассмотрим подалгебру, порожденную алгебрами Аі и элементами р*. Она является фактором полупрямого произведения. Достаточно показать, что само полупрямое произведение вкладывается в сумму алгебр, которые таким образом можно построить. Пусть а,-* Є Аі и
вида
Поэтому алгебра А >4 В есть подпрямое произведение своих
( ЫП1 *
О М„2 *
* \
М„, /
<**<*1*^1 <*2*^2 • • • атк = О
к
для любых Уі вида г>,- = ЫъК+г- Проверим, что тогда
к
35
в тензорном произведении А\ <8>f • * * ®f Ат. В этом случае
53 a'fcai*cia2fcC2 ... amh = О к
в алгебре Ai м • • • х Ат-
Возьмем базис в пространстве A]®fAi®7A2®f^2 * * '®?Ат®рАт) состоящий из элементов вида Лц, <8>Л'1<2®... и сопоставим каждому такому базисному век-
тору набор элементов = hiiiih'i+l и, соответственно, фактор полупрямого произведения. Достаточно показать, что если элемент х = одаїдеіоздсь. •. с*атл* обращается в нуль при любом таком морфизме, то ему соответствует нулевой элемент в тензорном произведении.
Расширив основное поле, ситуацию можно свести к случаю, когда Ai суть матричные алгебры, в которых выбраны базисы из матричных единиц. Но тогда любой набор операторов перехода {Щ}, где і - индекс строки в Л*, j “ столбца в А/е+и может быть реализован набором {гг^}. Поэтому если
53 ® «2* ® • • * ® GmJfc Ф О,
к
то можно указать такие Ерд, Егз и {Е^}, что одно слагаемое суммы
53 ak^pqa\kEjtj, 0,2k • ♦ • Eimjma7nkErs
к
не ноль, а остальные — нули. Но тогда и
53 <XkO,\kV\a2kV2 ... Отк ф О к
при Vk = Efkjk, что противоречит выбору элемента х. □
0.2.1. Представления алгебр
Алгебра называется алгеброй нетерового типа, если она является алгеброй и одновременно нетеровым модулем над нетсровым ассоциативно-коммутативным кольцом R. Алгебра называется представимой, если она вкладывается в алгебру нетерового типа. При этом кольцо Л, называется кольцом представления и можно считать, что II содержит единицу. Известно, что кольцо представления любой к.п. представимой алгебры над нетеровым ассоциативно-коммутативным кольцом Ф может быть выбрано нетеровым. Все ассоциативно-коммутативные кольца, встречающиеся в данной работе, если не оговорено противное, будут считаться нстеро-выми. Поскольку любое нетерово кольцо является целым конечным расширением кольца многочленов, то любая представимая к.п. алгебра представима матрицами над кольцом многочленов. Кроме того, любая представимая алгебра вкладывается в алгебру, являющуюся свободным .модулем над кольцом представления.
Отметим, что в случае алгебр над произвольным нетеровым ассоциативнокоммутативным кольцом условие вложимости в алгебру нетерового типа (или, что то же самое, із алгебру эндоморфизмов нетерового модуля) и условия представимости матрицами различаются. В этом случае под представимостью мы будем понимать более слабое условие — вложимость в алгебру нетерового типа.
Замечания. 1. Обычно под представимостью понимается нечто более сильное, а именно — представимость матрицами ограниченного размера над кольцом полиномов. В бесконечно порожденном случае приходится идти по этому пути и
36