СОДЕРЖАНИЕ
ВВЕДЕНИЕ..................................................5
ГЛАВА 1 ИССЛЕДОВАНИЕ КОЛЕБАНИЙ МАГНИТОУПРУГИХ ПЛАСТИН В ПРОСТРАНСТВЕННОЙ И ОСРЕДНЕННОЙ
ПОСТАНОВКЕ..........................................19
§1.1. Введение......................................19
§1.2. Пространственная задача для поперечного магнитного поля...........................................20
§1.3. Уравнение частот для поперечного поля в
осредненной постановке.........................30
§1.4. Уравнение для частот свободных колебаний
магпитоупругих пластин в продольном магнитном
поле......................................... 33
§1.5. Уравнение частот для продольного поля в
осредненной постановке .......................40
§1.6. Сравнение с экспериментом.....................43
§ 1.7. І Іелинейньїе волны модуляции................47
§1.8. Экспериментальные исследования амплитуд изгиб — ных магпитоупругих колебаний........................51
ГЛАВА 2. РАСПРОСТРАНЕНИЕ ВОЛИ МОДУЛЯЦИЙ В ФЕРРОМАГНИТНОЙ ПЛАСТИНЕ В ПРОСТРАНСТВЕННОЙ
И ОСРЕДНЕННОЙ ПОСТАНОВКЕ............................56
§2.1. Введение......................................56
§2.2. Частоты колебаний ферромагнитных диэлектрических пластин в продольном магнитном поле.............57
§2.3. Случай поперечного магнитного поля для пластины из диэлектрического ферромагнетика..................63
§2.4. Случай ферромагнитной идеально проводящей
пластины в продольном поле.......................66
§2.5. Случай поперечного магнитного поля для идеально
проводящей ферромагнитной пластины............69
§2.6. Расчеты значений частот..................... :.72
§2.7. Устойчивость нелинейных волн модуляций..........74
ГЛАВА 3. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ЛИНЕЙНЫХ И НЕЛИНЕЙНЫХ РЕШЕНИЙ КВАЗИЛИНЕЙНЫХ ГИПЕРБОЛИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ В ОКРЕСТНОСТИ ТОЧЕК КАСАНИЯ ПРОЗВОЛЬНОЙ ВОЛНЫ С ТОЧЕЧНОЙ ВОЛНОЙ И ПРИЛОЖЕНИЕ К ДИФРАКЦИОННЫМ ЗАДАЧАМ
ТЕОРИИ УПРУГОСТИ......................................77
§3.1. Введение........................................77
§3.2. Интенсивность волны вдоль луча для произвольной системы линейных гиперболических уравнений с
переменными коэффицентами........................80
§3.3. Определение линейного решения в окрестности точки касания произвольной волны с точечной или
дифракционной волной.............................84
§3.4. Определение нелинейного решения в окрестности
точки В касания волн.............................91
§3.5. Определение решения па ударных волнах в неоднородной квадратично нелинейный среде.................95
§3.6. Упрощение решений для однородной среды и плоской волны АВ..........................................97
§3.7. Решение пространственной линейной задачи дифракции акустической или упругой волны на препятствиях уголковой формы............................105
§3.8. Решение нелинейной задачи......................110
§3.9. Нелинейные решение вблизи точки В
112
ПРИЛОЖЕНИЕ К ГЛАВЕ 3...................................116
§3.1п Нелинейная дифракция волны в неоднородной
квадратичной и кубичной среде.................116
§3.2П Случай однородной среды и плоской волны.....121
§3.3П Исследование вопроса об образовании ударной волны АВВ'........................................123
ГЛАВА 4. ОПРЕДЕЛЕНИЕ НЕЛИНЕЙНОГО РЕШЕНИЯ ДЛЯ КВАЗИМОНОХРОМАТИЧЕСКОЙ ВОЛНЫ ВБЛИЗИ КАУСТИКИ ДЛЯ ИЗГИБНЫХ ВОЛН В МАГНИТОУПРУГОЙ ПЛАСТИНЕ....................................... 129
§4.1. Вывод нелинейного дифференциального уравнения
для кубически нелинейной среды................129
§4.2. Конкретизация коэффициентов нелинейных
уравнений вблизи каустики.....................133
§4.3. Линейное решение вблизи точки А.............134
§4.4. Решение нелинейной задачи вблизи каустики...136
§4.5. Численный расчет задачи.....................138
§4.6. Случай упругой пластины и приведение задачи к интегральному уравнению...........................141
ГЛАВА 5. РЕШЕНИЕ УЗКИХ ПУЧКОВ ДЛЯ НЕЛИНЕЙНЫХ МАГНИТОУПРУГИХ И МАГНИТОГАЗОДИНАМИЧЕСКИХ СРЕД...............................................144
§5.1. Основные уравнения для магнитоупругой среды.144
§5.2. Конкретизация нормальной скорости нелинейной
волны для магнитоупругой среды................146
§5.3. Вывод эволюционного уравнения магнитоупругой
4
среды............................................149
§5.4. Эволюционное уравнение для волновой магнитогазо
динамической задачи..............................153
§5.5. Решение узких пучков для магнитоупругой и
магнитогазодинамической среды....................156
§5.6. Расчет узких пучков для плазмы..................160
ГЛАВА 6. СОУДАРЕНИЕ УПРУГИХ ТЕЛ............................164
§6.1. Плоская задача соударения упругих двугранных тел 164
§6.2. Соударения упругих полубесконечных двугранных
углов............................................170
§6.3. Линейная задача соударения тел конечной высоты.. 171
§6.4. Вывод нелинейных уравнений для волн в пластинах
вблизи волны.....................................180
§6.5. Уравнения движения с учетом физической нелиней
пости............................................187
§6.6. Решение линейной задачи при наличии твердых опор на частях границ................................190
ЗАКЛЮЧЕНИЕ.................................................195
ЛИТЕРАТУРА
197
5
ВВЕДЕНИЕ
Проблема исследования распространения линейных и нелинейных воли в сплошных средах является актуальной ввиду динамического характера большинства промышленных процессов, работы измерительной аппаратуры, сейсмологических и других геофизических явлений. Среди этих обширных явлений в последнее время значительную роль приобретают задачи изучения волн и колебаний в магнитоупрутих средах.
Эти вопросы имеют практическое значение при исследовании устройств по удержанию плазмы в термоядерных установках, в магнитогазодинамических генераторах, при создании *
измерительной аппаратуры, работающей в области действия электромагнитных полей, при разработке методов обработки металлов магнитным полем и т.д.. Эти задачи относятся к области динамической магпитоупругости электропроводящих сплошных сред, в частности пластин и оболочек. Не менее важно изучение в указанных процессах линейных и нелинейных колебаний ферромагнитных, как диэлектрических, так и электропроводящих пластин и оболочек в магнитном поле. Представляет не только теоретический, но и практический, интерес линейная и нелинейная задача о дифракции акустических и упругих волн в неоднородной плоской среде на экране и уголковой пластине в однородной среде (пространственная задача).
При термоядерных процессах имеет большое значение изучение распространения нелинейных пучков, как в самой плазме, так и в магнитоупрутих конструкциях. Также имеет важное значение изучение фокусирования волн в пластинах, в том числе вблизи огибающей лучей или каустики. Взаимосвязанность напряженно—деформированного состояния и электро —
6
магнитного поля имеет сложный характер. На первых этапах развития теории магнитоупругости принимались упрощающие гипотезы для разработки приближенных математических методов исследования колебаний магнитоупругих пластин и оболочек [5 — 3].
Точное решение в рамках осредненной классической теории линейной изгибных задачи о колебаниях магнитоупругой пластины в поперечном магнитном поле дано в [7, 57].
Для тонких оболочек и пластин конечной электропроводности, находящихся во внешнем магнитном поле авторы работ [6 — 3] сформулировали гипотезу магнитоупругости тонких тел, позволящую свести трехмерную задачу к двумерной. Эта гипотеза, помимо известной гипотезы осредненной теории изгиба упругих пластин и оболочек, а именно, гипотезы неде — формированных нормалей, состоит в предположении, что нормальная компонента вектора напряженности индуцированного магнитного поля и тангенциальнья компонента вектора напряженности электрического поля остаются неизменными по толщине пластин или оболочек. Исследования в области теории упругих пластин и оболочек часто посвящаются построению уточненных теорий, в которых отказываются от основной гипотезы классической теории [1—4, 91]. Эго связяно с тем, что результаты, полученные по классической теории не всегда применимы при решении прикладных задач. В работах [5, 15, 92] на основе предположения о линейном законе изменения по толщине пластинки нормальной компоненты индуцированного магнитного поля и тангенциальных компонент электрического поля получены уравнения магнитоупругих колебаний проводящих пластин, позволяющие уточнить гипотезу магнитоупругости для случая поперечного магнитного поля. Для приведения общей трехмерной задачи магнитоупругости к двумерной в [40]
7
используется асимптотический метод [1] интегрирования трехмерных уравнений. В работе [40] дано сравнение разных подходов уточнения гипотезы магнитоупрутости тонких пластин и оболочек. В качестве следующего приближения по отношению к гипотезе магнитоупрутости предложено уточненное уравнение для исследования задач колебаний во внешнем продольном поле в проводящей пластинке, установлено, что магнитное поле приводит к дисперсии. На основе гипотезы Кирхгофа в работе [75] дано сравнение различных моделей задач магнитоупрутости пластин. В работе [5] дается рассмотрение широкого аспекта задач о колебании электропроводящих пластин в магнитном поле, в рамках осредненного классического подхода, рассмотрены определения частот линейных изгибных колебаний как для бесконечных, так и для конечных пластин. Для последних развит асимптотический метод определения связи волновых чисел с размерами пластинки в случае консольного и жесткого опирання. Кроме того найдены амплитуды вынужденных колебаний пластинок как в постоянном, так и в переменном магнитном поле. В [93, 94] рассмотрена задачи о трещине в ферроупругой пластине.
В работах [33 — 35, 71, 85] дается теоретическое исследование проблемы колебаний магнитоупругих электропроводящих пластин в продольном и поперечном магнитных полях.
і
Развивается пространственный подход к проблеме определения линейных частот изгибных колебаний. Показано, что для большой электропроводности решения в пространственном подходе и по гипотезе Кирхгофа для продольного ПОЛЯ совпадают, а для поперечного поля пространственный подход даст уменьшение частоты за счет поля, а осредненный классический подход дает увеличение частоты.
В [85] показано, что эксперимент подтверждает пра —
вильность пространственной теории. В работах [68, 69, 71] показано, что для конечной проводимости значения линейных частот по пространственной и осредненной теории существенно различны как для продольных так и для поперечных полей.
В работах [16], [18] рассмотрен широкий круг задач о колебаниях (свободных и вынужденных) ферромагнитных диэлектрических и проводящих пластин на основе классической теории Кирхгофа.
В статьях [59, 60] изучены теоретически и экспериментально колебания стержня — полосы из ферромагнетика в поперечном магнитном поле. Показано, что магнитное поле уменьшает частоту колебаний.
В работе [33] развит пространственный подход к изучению изгибных волн модуляций в магнитоупругих проводящих пластинах. В статье [85] изучены теоретически и экспериментально линейные частоты изгибных колебаний магнитоупругих пластин, причем показано, что эксперимент [34, 36] подтверждает правильность пространственного, а не осредненного по классической теории подхода. В работе [68] дается подробный вывод значений частот изгибных колебаний магнитоупругих пластин па основании пространственного подхода для большой и конечной электропроводности.
В работе [84] проводится вычисление на основе пространственного подхода линейных частот собственных колебаний ферромагнитных, как диэлектрических, так и идеально проводящих пластин, и дано сравнение с осредненпым подходом [16, 18]. В [38] экспериментально изучается влияние как продольных, так и поперечных постоянных магнитных полей на амплитуды перемещения, скорости и ускорения колебания электропроводящих пластин. Показано, что при сравнительно небольших полях, порядка 0.05 Тл для продольного и порядка 0.5 Тл для
поперечного поля имеет место значительное увеличение амплитуд.
В книге [23] и статьях [21, 29] дается линейное и нелинейное решение дифракционных плоских задач об определении окрестности точки касания произвольной волны с точечной волной для произвольной идеальной сплошной среды, описываемой квазилинейной системой гиперболических уравнений. В [22, 30] рассмотрены соответствующие задачи пространственной дифракции волн.
В работах [90, 23, 41] изучено линейное решение для монохроматической и нестационарной волн вблизи каустики в случае волнового уравнения с переменной скоростью волн. В [23, 24, 27, 87] изучены соответствующие нелинейные задачи, в том число для магнитогазодинамоческих волн и волн в пластинах.
В работе [13] дается численный расчет нелинейных газодинамических пучков.
' В работах [25, 31] развит метод аналитического решения нелинейных задач для пучков на основе получения эволюционного уравнения для данной среды, вывод из него для значительной дисперсии нелинейного уравнения Шродипгера для амплитуды первой гармоники и получения его решения в виде узких гауссовских пучков. Решена задача д\я двух пучков в резонаторе. В [32] этот метод обобщен для случая малой дисперсии.
В работах [50 — 55, 64 — 67] рассматриваются исследования соударения упругих тел, решения которых приводятся аналитическими методами граничных задач динамической теории упругости.
В [50, 51, 54] рассматриваются соударения тел ограниченных спереди равными двугранными углами, которые движутся навстречу друг другу с постоянными скоростями, которые имеют применения в сейсмологических задачах. В [51, 54, 67] рассмат —
10
риваются соударения тел конечной высоты со смешанными граничными условиями. Определено решение линейной задачи в виде пластинчатых продольных волн, получена формула для асимптотики решения и определено решение вблизи фронтов волн.
Выводятся нелинейные уравнения в окрестностях волны для продольных упругих волн в пластинках, которые соответствуют полученной асимптотике. В указанных линейных задачах реше — иия находятся методом интегральных преобразований Фурье и Лапласа, а затем приводятся к форме записи через аналитиеские функции, введенной Смирновым и Соболевым [77].
В настоящей диссертации рассмотрены линейные и нелинейные задачи: об колебаниях магиитоупрутих пластин в магнитных полях, о дифракции звуковых и упругих воли на экране в плоской и пространственной постановке, о нелинейных решениях вблизи каустик для изгибных волн в магиитоупрутих пластинах, о нелинейных гауссовых пучках в магнитоупругих и магнитогазодинамических средах с дисперсией и диссипацией, о соударении упругих двугранных углов. Диссертация состоит из шести глав, введения, заключения и списка литературы.
В главе 1 рассмотрен новый пространственный подход к исследованию собственных частот колебаний электропроводящей упругой пластины.
В §1.1 дается обзор литературы по осредненному классическому подходу.
В §1.2 приводится получение частот собственных колебаний бесконечной упругой электропроводящей пластины в поперечном магнитном поле. На основании нового пространственного подхода для упругих пластин предложенного в [33], получены дисперсионные соотношения со±(о(к) для большой и конечной
11
электропроводности. Показано, что для большой электропроводности со-со00(к)<0, где сом(/г) есть упругая частота изгибных колебаний, в то время, как по осредненному подходу со-(от(к)>0. Дается вывод более общей формулы частоты д\я случая конечной электропроводности. Показано, что для нее значение частоты не совпадает с результатом осредненной теории, вывод которого приведен в §1.3.
В §1.4 рассмотрены пространственный и осредненный подходы к определению частот колебаний в продольном поле. Показано, что для большой электропроводности значения частот и декремента затухания для обоих подходов совпадают.
В §1.5 рассмотрен случай конечной электропроводности и показано, что указанные подходы дают разные результаты.
В § 1.6 даны результаты экспериментальных исследований по определению частот изгибных колебаний для магнитоупругих (алюминий, латунь) пластин. Показано хорошее соответствие с новым пространственным подходом. Затем в §1.7 использованием полученных значений линейных частот развивается нелинейная теория распространения волн модуляций в магнитоупругих пластинах и исследована их устойчивость.
В §1.8 на основе экспериментального исследования и теоретического анализа показано, что постоянное магнитное поле приводит к сдвигу собственной частоты консольный пластинки — полосы. Выяснено, что при сравнительно небольших постоянных продольных и поперечных полях имеется значительное увеличе — ние амплитуд.
В главе 2 проводятся аналогичные исследования для ферромагнитных диэлектрических и идеально проводящих упругих пластин. Показано, что во всех случаях как для продольного так и поперечного магнитного поля значения частот
по пространственному подходу отличаются от значений по осредненному подходу.
Дается сравнение с результатами эксперимента по изгиб — ным колебаниям (ферромагнитных пластин. Определены частоты собственных колебаний и дано сравнение с теорией. Определены амплитуды вынужденных колебаний электропроводящей и (ферромагнитных пластин и влияние па них магнитного поля. Дано сравнение с теоретическими выводами [5].
В главе 3 получаются аналитические решения линейных и нелинейных, плоских и пространственных зг\дач дисфракции упругих волн на экранах. Полученные замкнутые решения годятся также для задач по определению окрестности точек (линий) касания произвольных волн, отраженных от клипа, с точечной или дифракционной волной, произведенной его вершиной.
Приведены графики распределения решения вдоль ударных волн. Дано аналитическое решение линейных и нелинейных трехмерных задач дифракции плоской акустической или продольной упругой волны на плоском экране, имеющем (форму утроенного прямого угла.
В приложении к главе 3 дается рассмотрение линейной и нелинейной задачи дифракции в общей квадратично и кубично нелинейной среде. В качестве примеров взяты волны в сегнето — электрике или феррите. Рассмотрены слухаи, когда распространяющая волна является ударной и когда непрерывной, причем в последнем случае имеется висячая ударная волна.
В главе 4 исследуются линейные и нелинейные решения для квазимонохроматической волны вблизи каустики для волн изгиба в электропроводящей упругой пластине. Выведено нелинейное обыкновенное дифферециальное уравнение для
13
амплитуды волны и дано его численное решение, сращиваемое с линейным. Рассмотрен также случай комплексной нелинейности (для конечно —проводящих пластин).
В главе 5 выводятся нелинейные уравнения модуляций для амплитуд первой и второй гармоник квазимонохроматическпх воли в магнитоупругих и магнитогазодинамических средах с диссипацией и дисперсией. В случае задачи о гауссовых узких пучках выводятся восемь обыкновенных дифференциоиальных уравнений.
Дется их численный расчет на компыоторе и дано сравнение с результатами упрощенной теории, когда пренебре — гаются в уравнении для второй гармоники членами с ее производными и удается получить аналитическое решение, аналогичное решению нелинейных оптики [9).
В главе 6 исследуются линейные и нелинейные задачи соударения упругих тел, ограниченных спереди равными двугранными углами.
Указанные задачи возникают при изучении практических задач связанных с запросами техники такими, как задача о направленном взрыве с перемещением масс грунта [81], задача о сварке взрывом, задача стыкования металлических и, вообще, строительных конструкций (Еремянц В. Э., Модели продольных колебаний в ударных системах машин: Тезисы, докл. X
междунар. коиф. По иелииейи. Колебаниям., Варна, 1984, с. 76). В строительной технике может возникнуть также и задача о соударении тел при смешанных граничных условиях, которая может иметь приложения в сейсмологических задачах и к задаче удара летящих тел об объекты, которые находятся па земле (или на воде), при подземных работах, при проходке тоннелей.
Для получения эффективного решения рассматриваемых
14
задач используется метод интегральных преобразований Лапласа и Фурье, в сочетании с методами Винера —Хопфа [62] (при смешанных граничных условиях), причем удается с помощю контурного интегрирования привести окончательные формулы к форме записи через аналитические функции, предложенной Смирновым и Соболевым [77), который по идее близок к методу Каняра [88], введенному для изотропной упругой среды в задаче о точечном источнике, действующем в одном из контакируюшах полупространств. Отличие состоит в том, что в [88] предположено, в отличие о применяемого нами метода, что действительное значение имеет не частота со, а параметр преобразования Лапласа 8=-1со, поэтому соответствующие гиперболы, на которые заменяется контур интегрирования повернугы на 90° и при вычислении интегралов приходится учитывать все особенности подиитегральной функции. При этом вычисление интегралов в [88] дает все имеющиеся волны, и в этом смысле метод [88] является более эффективным. Но следует отметить, что необходимость учета всех особенностей при получении решения ограничивает применимость прямого метода [88]. В применяемом нами методе [51—54] процесс получения решения не связан с учетом особенностей подынтегральных функций, которые находятся на действительной оси вне замкнутых контуров, используемых при замене интегралов по действительной оси в преобразовании Фурье на интегралы по контурам, проходящим через точки Смирнова —Соболева. Решение во всех рассматриваемых задачах находятся в форме суммы решений, записанных через аналитические функции, а исследование особых точек решения проводится после получения решения в общей форме Смирнова —Соболева путем выделения соответствующих особенностей около воли [51 —55].
15
Ясное представление о связи метода контурных интегралов с формой записи Смирнова —Соболева позволяет включить точки разрезов в вышеуказанные контуры, что дает единую форму записи решения во всей области в форме аналитических функций, а также получить обобщение для произвольной гиперболической системы уравнений с постоянными коэффициентами.
Особенно эффективно применение обсуждаемого метода в задачах со смешанными граничными условиями, в которых для изображений применяется простой метод Винера —Хопфа [62] а затем проводится обращение преобразований Лапласа и Фурье, решение записывается в форме Смирнова —Соболева.
Метод интегральных преобразований особенно удобен при получении асимптотического решения для больших моментов времени. В работе [Малков М.А. Асимптотика двумерной задачи об упругом соударении стержней. —ПММ, 1968 — Т32, выпЗ, с. 467 — 479]* получается для задачи соударения полуполос асимптотическое решение из общего решения в форме [77] весьма длинным способом. С другой стороны при применении метода интегральных преобразований асимтотическое решение задачи получается просто путем вычисления вычета в интеграле дающим обратное преобразование Фурье в точке, соответствующей продольным волнам в упругой пластине.
В §6.1 главе 6 рассмотрена, имеющая приложение в сейсмологии, задача соударения двугранных бесконечных вверх и вниз углов. Решение получено методом интегральных преобразований и приведено к форме Смирнова —Соболева.
В §6.2 с помощью решения §6.1 поставлена и решена задача соударения полубесконечных двугранных углов.
В §6.3 решается линейная задача соударения тел конечной высоты со свободными поверпости. Выделяется двумерное
16
решение задачи соударения безграничных по высоте тел, которое позволяет для добавочных смещений в слое записать пулевые начальные условия. Решение трехмерной задачи находится методом интегральных преобразований и получено асимптотическое решение в виде двухмерных волн в пластине для объемного расширения. Вблизи плоских и точечных волн получены простые формулы, а всюду в области решение имеет форму Смирнова —Соболева.
В §6.4 проводится устранение особого характера решения линейной задачи, учетом геометрического характера нелинейных эффектов. На основе порядков величин и размеров волновой области вблизи точки касания плоской и точечной волны, которое следует из формы линейного решения, получаются упрощенные нелинейные уравнения, которые по форме совпадают с системой уравнений коротких волн [20, 56], для жидкости. Отличие состоит в том, что нелинейные коэффиценты имеют обратный знак по отношению к жидкости и имеют место ударные волны разрежения. Для этого случая около волны вводятся нелинейные уравнения, подобные уравнения м гл. 3 для случая а°у<0.
В §6.5 вводятся нелинейные уравнения при учете физической нелинейности. Показано, что уравнения по форме те же, по характер нелинейности различен для металлов [43] и жидко — подобной нелинейной среды. Для жидкости знак коэффицента при нелинейном члене уравнений обратный по сравнению со случаем геометрического вида нелинейности. При этом будут ударные волны сжатия, что соответствует плоской и точечной волнам, впереди которых возмущение равно пулю. Позади плоской ударной волны решение постоянно. При этом условия на ударной волне удовлетворяются достаточно точно (рис. 9).
17
В §6.6 находятся асимтотические решения линейной задачи о соударении рассматриваемых тел при наличии твердого опираиия на части границ. Вершины углов соединившихся тел находятся па краю опоры. Решается уравнение Винера —Хопфа и получено решение в форме записи через аналитические функции, которое упрощается вблизи волн. Вблизи точки касания плоской и точечной волн получается решение в виде, подобном задаче соударения при свободных границах.
Далее приведены основные выводы и литература.
Формулировка задачи о соударении упругих тел
Пусть упругие тела, движущиеся навстречу друг другу со скоростями У0+У', -У0 направленными вдоль оси х', сливаются в момент 2 = 0. В предположении, что после соударения они образуют одно целое, из уравнения сохранения количества движения (при равных массах, что неограничевает общности рассмотрения) можно получить для скорости частиц упругой среды:
где У/2 есть скорость образовавшегося тела после соударения.
Интегрируя, можно получить при х'<-аЬ, (У0 =(У„ + У)1, при 1x1 <а1:
а 7 а)
и„={У„+У'Уа(-х'-а1УУ01а{х'-а1)+ — 1--[у’-^\ а(а1-\х'\);
2 о I 2 у
- Київ+380960830922