Теоремы существования в нелинейной теории тонких упругих оболочек

СОДЕРЖАНИЕ
ВВЕДЕНИЕ........................................................... 5
ГЛАВА I. КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ НЕЛИНЕЙНОЙ ТЕОРИИ ТОНКИХ
ОБОЛОЧЕК В ПЕРЕМЕЩЕНИЯХ. ТОПОЛОГИЧЕСКИЙ МЕТОД
РЕШЕНИЯ НЕЛИНЕЙНЫХ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ ДЛЯ ПОЛОГИХ
ОБОЛОЧЕК.............................................................35
§ 1. Постановка основных краевых задач нелинейной теории тонких оболочек.........................................................35
§ 2. Некоторые вспомогательные сведения.........................46
§ 3. Топологический метод решения краевых задач нелинейной теории пологих оболочек в перемещениях................................. 59
3.1.Функциональные пространства ............................59
3.2.Ввсдение понятия обобщенного решения задачи а/3 .Сведение задачи к операторному уравнению .....................................70
3.3.Некоторые свойства оператора 74
3.4.Исследование разрешимости операторного уравнения (3.45).77
ГЛАВА II. ТОПОЛОГИЧЕСКИЙ МЕТОД РЕШЕНИЯ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ
НЕЛИНЕЙНОЙ ТЕОРИИ ПОЛОГИХ ОБОЛОЧЕК В УСЛОВНЫХ
ДЕФОРМАЦИЯХ....................................................92
§ 4. Топологический метод решения нелинейных задач для пологих оболочек с жестко заделанным краем в условных деформациях 92
4.1. Постановка задачи. Вывод основных соотношений..........92
4.2. Построение основного пространства......................97
4.3. Введение понятия обобщенного решения задачи в условных деформациях Сведение задачи к операторному уравнению ..................102
4.4. Разрешимость операторного уравнения (4.36)............104
§ 5. Топологический метод решения нелинейных краевых задач для пологих свободных оболочек в условных деформациях .... 117
5.1. Постановка задачи. Основные соотношения ..............117
5.2. Функциональные пространства ..........................120
5.3. Обобщенные решения задачи равновесия свободных оболочек. Сведение задачи к операторному уравнению............................123
5.4. Разрешимость операторного уравнения ..................125
§ 6. Топологический метод решения нелинейных краевых задач для
пологих оболочек с шарнирно опертыми краями.................133
~ 6.1. Постановка задачи ....................................134
6.2. Некоторые вспомогательные сведения ....................134
1#
2
6.3. Вывод основных соотношений ...........................137
6.4. Функциональные пространства ..........................152
6.5. Обощенные решения задачи /IV. Сведение задачи /IV к операторному
уравнению ..............................................157
6.6. Разрешимость краевых задач /IV .......................159
ГЛАВА III. ВАРИАЦИОННЫЙ МЕТОД РЕШЕНИЯ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ
НЕЛИНЕЙНОЙ ТЕОРИИ ПОЛОГИХ ОБОЛОЧЕК ............................169
§ 7. Вариационыый метод решения краевых задач нелинейной теории пологих оболочек в перемещениях ...............................169
§ 8. Вариационный метод решения нелинейных краевых задач для пологих свободных оболочек в условных деформациях ... 181
§ 9. Вариационный метод решения нелинейных краевых задач для пологих оболочек с шарнирно опертыми краями....................188
§ 10.Методы Бубнова-Галеркина (БГ) и Ритца приближенного
решения нелинейных краевых задач для пологих оболочек .. 196
10.1. Методы БГ и Ритца приближенного решения задач aß....196
10.2. Методы БГ и Ритца приближенного решения задач в условных деформациях .............................................. 202
ГЛАВА IV. ТЕОРЕМЫ СУЩЕСТВОВАНИЯ РЕШЕНИЙ НЕЛИНЕЙНЫХ
КРАЕВЫХ ЗАДАЧ ДЛЯ НЕПОЛОГИХ ОБОЛОЧЕК...........................207
§11. Вариационный метод в проблеме разрешимости нелинейных
краевых задач для непологих оболочек в перемещениях . . 207
11.1. Постановка задачи. Основные соотношения. Функциональные пространства .............................................207
11.2. Введение понятия обобщенного решения задачи т. Сведение задачи т к операторному уравнению ...............................218
11.3. Разрешимость задачи т .............................220
11.4. Метод Ритца приближенного решения задачи т ........232
§ 12. Вариационный метод в проблеме разрешимости нелинейных
краевых задач для непологих свободных оболочек...........233
12.1. Постановка задачи. Основные соотношения. Функциональные пространства .................................................233
12.2. Введение понятия обобщенного решения задачи . Сведение задачи к нелинейному операторному уравнению ......................241
12.3. Разрешимость операторного уравнения (12.21) .......242
12.4. Метод Ритца приближенного решения задачи ..........251
§ 13. Вариационный метод в проблеме разрешимости нелинейных краевых задач для непологих оболочек с шарнирно опертыми
краями ..................................................253
13.1. Постановка задач. Основные соотношения. Функциональные прос-
транства ............................................253
13.2. Обобщенные решения задачи п. Сведение задачи п к операторному уравнению ...............................................265
13.3. Разрешимость операторного уравнения (13.47)....... 267
13.4. Метод Ритца приближенного решения задачи п ........273
ГЛАВА V. ЕДИНСТВЕННОСТЬ РЕШЕНИЯ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ
НЕЛИНЕЙНОЙ ТЕОРИИ ТОНКИХ ОБОЛОЧЕК ............................275
§ 14. Единственность решения краевых задач ар в перемещениях
для тонких оболочек......................................275
§ 15. Единственность решения задачи для свободных тонких
оболочек ................................................282
§ 16. Единственность решения задач //и для тонких оболочек . . 288 ГЛАВА VI. НЕЛИНЕЙНЫЕ КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ ТОНКИХ
НЕРЕГУЛЯРНЫХ ОБОЛОЧЕК .......................................294
§ 17. Принцип сжатых отображений в проблеме разрешимости нелинейных краевых задач для тонких нерегулярных оболочек с жестко заделанным краем в условных деформациях .......294
17.1. Основные соотношения. Функциональные пространства .... 295
17.2. Обобщенное решение задачи 15 для тонких нерегулярных оболочек. Вывод уравнений равновесия в условных деформациях .... 298
17.3. Исследование разрешимости системы (17.40)......... 305
§18. Принцип сжатых отображений в проблеме разрешимости нелинейных краевых задач для тонких нерегулярных свободных оболочек ...............................................312
§ 19. Принцип сжатых отображений в проблеме разрешимости задач цу для тонких нерегулярных оболочек..................319
19.1.Функциональные пространства. Обобщенные решения задач //У. Сведение задачи к операторному уравнению ..................320
19.2.Исследование разрешимости операторного уравнения (19.21) . .325
ЗАКЛЮЧЕНИЕ.....................................................328
ЛИТЕРАТУРА..................................................... 330
I
4
ВВЕДЕНИЕ
Диссертационная работа посвящена исследованию разрешимости краевых задач геометрически и физически нелинейной теории упругих анизотропных тонких оболочек.
В настоящее время теория нелинейных краевых задач для тонких оболочек является бурно развивающимся разделом математической теории упругости. Это прежде всего связано с тем, что для полного описания процесса упругого деформирования оболочечных конструкций аппарат линейных дифференциальных уравнений оказывается недостаточным, поскольку наиболее интересные и характерные особенности этого процесса связаны с большими нелинейностями. Особенно интенсивное развитие этого раздела началось тогда, когда выяснилось, что проблема устойчивости тонкостенных конструкций в полной мере может решаться лишь на базе нелинейных краевых задач. В настоящее время имеется большое количество работ, посвященных вопросам расчета оболочек с учетом геометри-
•
ческой и (или) физической нелинейности (см.[4, 6, 12,30, 33, 34, 38, 39, 40, 50, 52, 58, 64, 65, 66, 98, 101] и цитированную в них литературу). Нелинейные задачи в очень редких случаях решаются в замкнутой форме. По этой причине для их решения используется широкий комплекс приближенных методов с применением компьютеров. Это обстоятельство делает особо актуальным строгое математическое исследование нелинейных краевых задач.
Работ, посвященных строгому математическому обоснованию разрешимости нелинейных краевых задач, сравнительно немного. Первые исследования в этой области принадлежат И.И. Воровичу [18, 19]. Им были рассмотрены уравнения равновесия в перемещениях Власова для пологих изотропных однородных оболочек с жестко заделанным краем. С помощью функций Грина плоской задачи теории упругости исходная задача была сведена к одному интегро-дифференциальному уравнению (ИДУ) от-
носительно прогиба. Для исследования разрешимости этого уравнения был использован метод Бубнова- Галеркина. Была установлена разрешимость на каждом этапе системы п уравнений и обоснован предельный переход при п->со. Таким образом, была доказана и теорема разрешимости геометрически нелинейной краевой задачи. Вопросам погрешности приближенных решений, построенных в [19], посвящена работа И.И. Воровича [20], опубликованная в том же 1955 году.
Следующим шагом в исследовании геометрически нелинейных краевых задач для пологих изотропных оболочек явилась работа [21]. В этой работе И.И. Ворович к доказательству разрешимости ИДУ, полученного в [19], применил вариационный метод, основанный на исследовании задачи минимизации некоторого функционала. Доказано существование критических точек функционала, являющихся решениями ИДУ. Полученные здесь решения ИДУ качественно отличаются от решений работы [19], поскольку они характеризуют экстремальные состояния системы “оболочка-нагрузка”. Кроме того, было проведено обоснование методов Бубнова- Галеркина, Ритца, метода разложения по степеням малого параметра в случае неособого и особого решений.
В работе [22], опубликованной в 1957 году, И.И. Ворович для исследования уравнений равновесия изотропных однородных пологих оболочек использовал топологический метод. Суть этого метода заключалась в сведении исходной задачи к эквивалентному нелинейному операторному уравнению (НОУ) с вполне непрерывным оператором и последующем вычислении вращения соответствующего вполне непрерывного векторного поля. После этого разрешимость НОУ непосредственно вытекала из принципа Лере- Шаудера о неподвижной точке оператора. Таким путем была доказана теорема существования по крайней мере одного нелокального решения задачи. Топологический метод, в отличие от примененных в [19, 21] методов, дает не только теорему разрешимости, но и позволяет в некоторых случаях анализировать число решений задачи. Впоследствии он был
6
применен к широкому кругу задач, посвященных нелинейной устойчивости (см. [30] и цитированную там литературу). Здесь же была отмечена возможность применения прямых методов, обоснованию которых посвящена работа [23].
В том же 1957 году появилась работа Н.Ф. Морозова [60], в которой изучалась разрешимость уравнений Кармана с параметром для тонкой пластины при жесткой заделке и шарнирном опирании. С помощью бигар-моничсской функции Грина исходная задача сначала была сведена к системе двух ИДУ относительно функций прогиба и напряжения. Затем эта система была преобразована в систему шести интегральных уравнений относительно частных производных 2-го порядка функций прогиба и напряжения, разрешимость которой была установлена с использованием принципа Лере- Шаудсра. Результаты этой работы получили дальнейшее развитие в [61]. Здесь для исследования уравнений Кармана с параметром Н.Ф. Морозов использовал модифицированный метод Ньютона, метод сжатых отображений и принцип Лере- Шаудера. Результатом этих исследований явилась теорема существования как локального, так и нелокального решений задач при некоторых значениях параметра. Затем эти результаты были обобщены на случай пластин переменной толщины и жесткости. Методом функции Грина краевые задачи для анизотропных однородных пластин исследованы в работе Н.Ф. Морозова [62].
Позже, в 1967 году Ю.А. Дубинский [41] для исследования разрешимости системы уравнений Кармана для пластин при жесткой заделке предложил другой подход, основанный на изучении задачи в обобщенной постановке. Для доказательства существования обобщенного решения, введенного при помощи интегральных тождеств, он использовал метод Бубнова- Галеркина. Была доказана сходимость приближенных решений к точному обобщенному решению. Эта же задача для пластин с жестко заделанным краем в аналогичной постановке была рассмотрена в работе М.Бергера [109]. В отличие от [41] здесь нахождение обобщенного решс-
7
ния задачи было сведено к решению НОУ в соболсвском пространстве, разрешимость которого была установлена вариационным методом. Основу такого подхода составляли энергетические неравенства. Впоследствии аналогичный подход при изучении разрешимости краевых задач для уравнений Кармана при различных граничных условиях применяли Ф.Сьярле, П.Рабье [74], Hlavacek I., Naumann I. [114, 115], John О., Necas I. [117], Knightly G.H. [118], Knightly G.H., Sather D. [119], Naumann J. [121], Necas I., Naumann J. [122], Rabier P. [123].
Работа Волошановской С.H. и Карчевского М.М. [14] посвящена исследованию задачи о сильном изгибе тонкой изотропной пластины с жестко заделанным краем. Доказано, что при достаточно малых касательных составляющих внешней нагрузки существует обобщенное решение задачи в соболевском пространстве; если, кроме того, мала и нормальная составляющая, то это решение единственно. Для приближенного решения задачи построена и обоснована разностная схема.
Во всех приведенных выше работах, касающихся пластин, края пластины предполагались полностью или частично жестко защемленными, либо шарнирно опертыми, либо рассматривался смешанный вариант закрепления. Краевые задачи нелинейной теории анизотропных пластин при весьма общих условиях закрепления края изучались в работе Л.П. Лебедева [55]. Предполагалось, что пластина закреплена в трех точках, не лежащих на одной прямой (задача 1), и свободна от геометрических связей (задача 2). Методом работы [22] были доказаны теоремы разрешимости этих задач, причем в случае задачи 2 необходимым и достаточным условием существования обобщенного решения явилась самоуравновешенность внешней нагрузки.
Вернемся к обзору работ, касающихся геометрически нелинейных задач для оболочек. И.Г. Тсрегулов [75] исследовал вопросы существования решения системы двух нелинейных дифференциальных уравнений, к которым приводит задача об изгибе пологого сферического сегмента. Предста-
вив искомое решение в виде рядов Фурье по синусам и косинусам, для определения их коэффициентов, зависящих от одной переменной, была получена система нелинейных алгебраических уравнений. Разрешимость системы была установлена сведением к эквивалентной системе нелинейных интегральных уравнений с последующим применением к ней метода последовательных приближений.
Л.С. Срубщик [73] исследовал разрешимость уравнений Рейсснера для изотропных непологих оболочек вращения, подчиненных некоторым ограничениям, исключающим сферический купол и круглую пластинку. Метод исследования заключался в сведении исходной системы обыкновенных дифференциальных уравнений к НОУ и в исследовании его разрешимости с помощью принципа Лере- Шаудера о неподвижной точке вполне непрерывных преобразований. При этом существенную роль сыграла разрешимость некоторой линейной задачи, доказанная автором в этой же работе.
Работа И.И. Воровича и Л.П. Лебедева [24] посвящена обобщению результатов [22] на случай ортотропных неоднородных пологих оболочек переменной толщины с более общими граничными условиями.
В работе [25], опубликованной в 1974 году, И.И. Ворович, Л.П. Лебедев и Ш.М. Шлафман исследовали задачу о равновесии непологой оболочки, срединная поверхность которой является частью поверхности вращения, при произвольной нагрузке и жестко закрепленном крае. Используя метод работы [22], задача была сведена к решению НОУ в некотором энергетическом пространстве, построенном авторами. Однако, здесь в отличие от [22] для доказательства его разрешимости был применен вариационный метод. Основу метода, как и в [22], составляли априорные оценки для некоторого функционала, получение которых является одним из существенных моментов доказательства. В основе их вывода лежит идея разбиения эллипсоида пространства на несколько частей, одна из которых не содержит слабого замыкания нуля. Таким путем было доказано существование
9
обобщенного решения задачи, придающего абсолютный минимум функционалу полной энергии. В частном случае осесимметричной деформации вычислено вращение векторного поля.
В работах [25], [73] из рассмотрения исключались куполообразные оболочки. Исследованию задач для таких оболочек посвящена работа И.И. Воровича и Ш.М. Шлафмана [26]. Используя метод работы [22], было доказано существование обобщенного решения задачи о равновесии изотропного упругого непологого сферического купола с жестко заделанным краем, подверженного осесимметричной деформации. Здесь же эти результаты распространены на случай куполообразных симметрично загруженных оболочек вращения, коэффициенты первой квадратичной формы которых подчинены некоторым условиям.
Задача о равновесии упругих изотропных непологих оболочек с жестко заделанным краем, срединная поверхность которых является выпуклой развертывающейся поверхностью, рассмотрена в работе Ш.М. Шлафмана [104]. При помощи метода работы [25] доказано существование по меньшей мере одного обобщенного решения. Отмечается возможность распространения результатов на случай анизотропных оболочек.
Исследованию применимости метода конечных элементов (МКЭ) для решения задач о равновесии жестко заделанных по краям пологих оболочек, а также непологих оболочек, срединная поверхность которых является либо частью поверхности вращения, либо выпуклой развертывающейся, и замкнутой симметрично загруженной сферической оболочки, посвящены работы И.И. Воровича и Ш.М. Шлафмана [27], Ш.М. Шлафмана [105, 106]. Доказаны разрешимость алгебраических систем и сходимость их решений к обобщенному решению задач.
Позже появились работы Волошановской С.Н. и Карчевского М.М. [16,17 ], в которых изучались задачи о равновесии непологих цилиндрической [16] и незамкнутой сферической оболочек [17]. Для исследования задач был применен вариационный метод, основанный на неравенствах
ю
коэрцитивности для функционала полной энергии. Теоремы разрешимости получены при некоторых ограничениях на внешнюю нагрузку.
Работа И.И. Воровича и Л.П. Лебедева [28] посвящена изучению нелинейных краевых задач для пологих оболочек с общими граничными условиями. Предполагалось, что в трех точках области, не лежащих на одной прямой, известны значения нормального перемещения, а тангенциальные перемещения заданы на части границы ненулевой длины. Вариационным методом доказано, что при некоторых ограничениях на тангенциальные составляющие внешней нагрузки существует по меньшей мере одно обобщенное решение задачи. Рассмотрен случай, когда с тангенциальных перемещений сняты геометрические связи. Показано, что для разрешимости задачи в этом случае требуется самоуравновешенность тангенциальной нагрузки. Отмечено, что задача равновесия в перемещениях для совсем свободной от геометрических связей является некорректной.
В.Ф.Власов и А.А Юркевич [11] исследовали разрешимость нелинейных уравнений Григолюка-Чулкова, описывающих равновесие тонких упругих пологих трехслойных круговых цилиндрических оболочек. Существование обобщенного решения доказано как предел последовательности решений некоторых линейных задач в соболевском пространстве.
Работа Benardou М., Oden I. Tinsley [108] посвящена изучению нелинейной задачи равновесия пологой оболочки с жестко заделанным краем в произвольных криволинейных координатах. Исследования ведутся в соболевском пространстве перемещений. Нахождение обобщенного решения, введенного с помощью вариационного принципа Лагранжа, сведено к решению операторного уравнения. Разрешимость операторного уравнения установлена с помощью неравенства коэрцитивности для нелинейного оператора. В том же 1981 году вышла работа Destuynder Р. [113], в которой доказана теорема разрешимости задачи равновесия для пологой оболочки. Доказательству теорем существования и единственности решения задачи об изгибе пологой некруговой незамкнутой цилиндрической тонкой обо-
лочки, защемленной по всему контуру, посвящена работа ВЬаПасЬагууа Р.К. [111]. Для этой цели использовался вариационный метод.
Изучению краевых задач нелинейной теории физически пологих и развертывающихся оболочек при достаточно общей формулировке граничных условий посвящена работа И.И. Воровича [29]. Исследования ведутся в произвольных криволинейных координатах. Оболочка предполагается либо из класса С2 (О), либо из класса С2(0), но в этом случае она должна быть развертывающейся. Нахождение обобщенных решений, введенных на основе вариационного принципа Лагранжа, сводится к решению эквивалентного НОУ с вполне непрерывным оператором, разрешимость которого устанавливается топологическим методом.
Монография И.И. Воровича [30] посвящена строгому математическому анализу краевых задач геометрически нелинейной теории пологих о0у7-лочек. В ней краевые задачи при достаточно общей формулировке граничных условий (именно в такой формулировке граничные условия рассматриваются нами в главе 1) изучаются в произвольных криволинейных координатах как в перемещениях, так и с функцией усилий. Исследования ведутся в энергетических пространствах, построенных автором. В основе их построения лежит условие регулярности материала оболочки, выражающее положительную определенность некоторой квадратичной формы, связанной с плотностью потенциальной энергии деформации. Задачи изучаются в обобщенной постановке. Обобщенные решения задач вводятся на основе вариационных принципов Лагранжа и Алумяэ. Для доказательства теорем разрешимости краевых задач в перемещениях и с функцией усилий предлагаются топологический и вариационный методы, основу которых составляют априорные оценки для решения, функционала полной энергии. В этих исследованиях оболочка предполагается из тех же классов, что и в [29]. Кроме теорем разрешимости в монографии приведены условия единственности решений и условия неединственности; получили обоснование методы приближенного решения; большое внимание уделено нелинейной
устойчивости. Отметим здесь, что в диссертации мы существенно будем использовать некоторые результаты этой фундаментальной монографии.
В 1995 году вышла работа М.М.Карчевского [48], в которой изучалась разрешимость краевых задач геометрически нелинейной теории для непологих оболочек с жестко защемленными краями, геометрические и упругие характеристики которых принадлежат классу С00. Для исследования был предложен подход, основанный на использовании теорем типа теоремы о неявной функции (теоремы Канторовича). Разрешимость задач доказана с помощью неравенств коэрцитивности для оператора линейной теории оболочек при достаточно малых компонентах внешней нагрузки, при этом существенную роль сыграла положительная определенность некоторых квадратичных форм.
Работа Л.П.Лебедева [56] посвящена исследованию разрешимости нелинейных задач о равновесии пологих оболочек, когда коэффициенты первой квадратичной формы срединной поверхности имеют устранимые особенности.
Последней известной нам работой, посвященной проблеме разрешимости геометрически нелинейных задач, является работа И.И. Воровича и Л.П.Лебедева [31], в которой рассмотрена задача равновесия нелинейной пластины, подкрепленной ребрами жесткости. Вариационным методом, развитым в [30], доказано существование обобщенного решения задачи как критической точки функционала энергии. Дано обоснование сходимости метода Ритца.
Перейдем к обзору работ, посвященных исследованию разрешимости краевых задач геометрически и физически нелинейной теории тонких оболочек и пластин.
Волошановская С.Н. [13] исследовала геометрически и физически нелинейную задачу для пластин в условиях, когда материал пластины однороден и несжимаем; компоненты напряжения выражены через функцию £(£2), где £2- интенсивность деформаций сдвига, а я - абсолютно непре-
рывная функция, удовлетворяющая некоторым условиям. Методом Галер-кина показано, что задача имеет по крайней мере одно обобщенное решение при ограничениях на касательные составляющие внешней нагрузки и на функцию g(42)> кроме того, если мала и нормальная составляющая, то это решение единственно.
В работе С.Н. Волошановской, М.М.Карчевского и А.Д. Ляшко [15] за счет замены интенсивности деформации £2 на ее усреднение по толщине пластины теоремы разрешимости и единственности удалось доказать при более слабых ограничениях на внешнюю нагрузку и функцию я(£2).
Статья Ш.М.Шлафмана [107] посвящена изучению разрешимости статической задачи для тонких оболочек из несжимаемого нелинейно-упругого материала. Края оболочки жестко защемлены. Вариационным методом доказано существование единственного обобщенного решения задачи. Проведено обоснование метода Бубнова-Галеркина.
М.М.Карчевский [45] для исследования разрешимости нелинейных краевых задач для пологих оболочек применил метод, основанный на использовании обобщенной теоремы Вейерштрасса. Предполагалось, что плотность потенциальной энергии деформации является произвольной выпуклой функцией, имеющей степенной рост; часть границы оболочки жестко защемлена, остальная часть свободна; геометрия срединной поверхности оболочки отождествлялась с геометрией плоскости. Вариационным методом было доказано, что задача имеет хотя бы одно обобщенное решение в соболсвском пространстве перемещений при достаточно малых касательных составляющих внешней нагрузки. Также было показано, что в случае жесткого защемления оболочки по всему краю задача имеет решение при любой внешней нагрузке.
Метод работы [45] позже использовался в [46], [49] для обоснования применимости различных вариантов МКЭ к исследованию нелинейных задач для пластин и пологих оболочек, а также в [47] для исследования ва-
14
риационных задач теории трсхслойных пологих оболочек. Подобные задачи для непологих оболочек, жестко заделанных по всему контуру, рассмотрены в работе Л.Ш.Заботиной и М.М.Карчевского [42]. В предположении существования решения задачи в вариационной постановке предложен способ его построения, суть которого состоит в замене исходной задачи регуляризованной, зависящей от параметра а. Методом работы [45] доказано существование решения (зависящего от а) регуляризованной задачи. Показано, что существует последовательность а-> 0, при которой решения регуляризованной задачи сходятся к решению исходной задачи.
Из приведенного обзора видно, что наиболее полно и глубоко исследованы геометрически нелинейные, физически линейные краевые задачи для пластин и пологих оболочек при достаточно общих смешанных условиях их закрепления. Граничные условия, несмотря на их достаточно общий характер, брались таким образом, чтобы можно было образовать соответствующее функциональное пространство, в котором отыскивалось решение задач. Срединная поверхность рассматриваемых пологих оболочек предполагалась либо из класса С2 (что позволяло вводить на ней изометрическую систему координат), либо из класса С2, но в этом случае обязательно развертывающейся. В случае непологих оболочек геометрически нелинейные краевые задачи изучены, когда их срединная поверхность представляет собой либо поверхность вращения, либо выпуклую развертывающуюся поверхность класса С3, при этом края оболочек предполагались жестко защемленными, а внешняя нагрузка - произвольной. Когда внешняя нагрузка достаточно мала, теоремы разрешимости получены и для более широкого класса непологих оболочек из С°° с жестко заделанными краями. Большинство краевых задач изучались в обобщенной постановке. В основе введения понятия обобщенного решения лежало условие регулярности материала оболочки (в терминологии академика И.И. Воро-вича), означающее положительную определенность квадратичной формы,
связанной с плотностью потенциальной энергии деформации. Такие оболочки в дальнейшем мы будем называть регулярными, а в случае невыполнения условия регулярности материала - нерегулярными. Для последних изучение задач в энергетических пространствах не представляется возможным. Причиной этого является невозможность образования самих пространств. Это обстоятельство приводит к необходимости отыскания решений, удовлетворяющих непосредственно уравнениям равновесия и геометрическим, статическим граничным условиям. На этом пути использовались методы, основанные на применении рядов Фурье и функций Грина. Таким способом получены теоремы существования для пологих изотропных оболочек и анизотропных однородных пластин. В рамках геометрически и физически нелинейной модели теоремы разрешимости доказаны лишь для пластин и пологих развертывающихся оболочек с частично или полностью защемленными краями. При этом использовался вариационный метод.
Цслыо диссертационной работы является доказательство теорем разрешимости геометрически и физически нелинейных краевых задач для более широкого класса тонких упругих оболочек с более общими граничными условиями. Здесь следует отметить, что необходимость изучения таких задач была отмечена И.И. Воровичем и они включены в список нерешенных проблем математической теории оболочек [30,с.349-350] (см. также [32]). В соответствии с поставленной целью в работе исследованы геометрически и физически нелинейные краевые задачи для пологих и нсполо-гих оболочек, срединная поверхность которых суть кусочно-гладкая поверхность соответственно класса Г2 и С3(кратко: кусочно-гладкие оболочки класса С2 и С3), а также для нерегулярных тонких оболочек. В качестве граничных условий рассматривались как ранее изучавшиеся, так и новые более широкого класса условия. Доказаны теоремы разрешимости и получены условия единственности решений рассматриваемых краевых за-
дач. Дано обоснование применимости методов Бубнова-Галеркина, Ритна приближенного решения задач.
В работе теоремы разрешимости доказываются в основном по следующей схеме. Сначала строятся функциональные пространства, в которых затем даются обобщенные постановки задач. Нахождение обобщенных решений сводится к решению некоторого НОУ или системы нелинейных сингулярных интегральных уравнений. Для исследования разрешимости НОУ используется топологический и (или) вариационный метод, а к изучению системы интегральных уравнений привлекается принцип сжатых отображений. В качестве функциональных пространств в работе выступают пространства перемещений и вспомогательных функций, названных нами условными деформациями. Переход к пространству условных деформаций, отличных от пространств перемещений, усилий, составляет отличительную особенность настоящей работы и вызван тем, что попытка расширить граничные условия в краевых задачах делает их изучение в традиционных пространствах невозможным. Причиной этого является невозможность построения данных пространств или при формальном подходе к их построению, как, например, в случае свободных оболочек (см. [28]), появление условий разрешимости, не имеющих никакого механического смысла. Благодаря новому подходу, основанному на решении задач в пространстве условных деформаций, в работе удалось исследовать краевые задачи с новыми, более общими граничными условиями и доказать для них теоремы разрешимости. Кроме того, этот метод позволил получить теоремы разрешимости для нерегулярных тонких оболочек при различных условиях их закрепления. Еще одна особенность работы состоит в том, что в ней широко используется аппарат обобщенных аналитических функций, разработанный академиком И.Н. Вскуа [10]. Это обстоятельство дало возможность расширить класс оболочек как в смысле их гладкости, так и в смысле их геометрии, и в конечном счете доказать для них теоремы разрешимости. Ранее обобщенные аналитические функции использовались
И.И. Векуа [10, гл.6] в линейной безмоментной теории оболочек положительной кривизны (см. также [36, гл. 13, §8]).
Перейдем к краткому изложению содержания диссертации. Диссертация включает в себя 6 глав. Каждая глава состоит из параграфов, большинство которых разбито на пункты.
В первой главе краевые задачи в перемещениях с граничными условиями, рассмотренными в [30, глава 3] в рамках геометрически нелинейной , физически линейной модели, обобщаются на случай пологих оболочек из физически нелинейного упругого материала с кусочно-гладкой срединной поверхностью класса С2.
В § 1 дается постановка основных краевых задач а/?(а = М, р = 5,8) нелинейной теории тонких оболочек. Приводятся основные соотношения для вариации потенциальной энергии деформации, элементарных работ внешних приложенных к оболочке сил на возможных перемещениях в условиях гипотез Кирхгофа -Лява. Используя вариационный принцип Лагранжа, выводятся уравнения равновесия оболочки и статические граничные условия.
§ 2 носит вспомогательный характер. В нем приводятся известные факты и сведения из функционального анализа, теории обобщенных аналитических функций, теории соболевских пространств, теории нелинейных интегральных уравнений, вариационного исчисления в банаховых пространствах. Кроме того, доказываются некоторые новые утверждения, в частности, теорема о коэрцитивности для функционала, переменными которого являются линейные операторы. Все эти факты существенно используются на протяжении всей работы.
§ 3 посвящен исследованию нелинейных краевых задач ар в перемещениях. В пункте 3.1 строятся пространства //,/;<Г2) перемещений. Для этого привлекается аппарат обобщенных аналитических функций. Показывается, что Я^(П) суть гильбертовы пространства и для них доказываются
теоремы вложения. Изучаются свойства элементов этих пространств, а также некоторых операторов, действующих в Hoß(&). В пункте 3.2 вводится понятие обобщенного решения задачи aß в Haß(Q). В нелинейных задачах переход к обобщенным решениям можно совершить разнообразными приемами. Следуя И.И. Воровичу, мы избрали обобщенные решения, непосредственно вытекающие из вариационного принципа Лагранжа. Отыскание обобщенного решения сводится к решению в //оД(П) нелинейного
операторного уравнения (НОУ)
w-Gaß(w) = 0 (0.1)
относительно вектора перемещения w = (wj,w2»W3) • Изучению свойств нелинейного оператора Gaß посвящен пункт 3.3. Если для физически линейных задач Gaß суть вполне непрерывный оператор, то в нашем случае Gaß представляет собой ограниченный в Haß(Q) оператор, что является одним
из основных отличительных моментов в исследовании физически нелинейных задач. Основной результат этого пункта состоит в получении для Gaß('v) представления в виде суммы вполне непрерывного Gaß c(\v;t0) и
ограниченного Gaß.(w;/0) в HQß(Q) операторов, зависящих от некоторого параметра /0, принадлежащего промежутку (0,1). В пункте 3.4 исследуется разрешимость НОУ (0.1), для чего используется топологический метод. Основу этого метода, как известно, составляет вычисление вращения вполне непрерывного векторного поля, соответствующего изучаемому уравнению, с последующим применением к нему принципа Лере-Шаудера. Однако, в нашем случае операторное уравнение (0.1) определяет не вполне непрерывное векторное поле и это обстоятельство делает невозможным непосредственное применение принципа Лсрс- Шаудера к (0.1). В связи с этим к изучению уравнения (0.1) привлекаются известные результаты М.Л. Красносельского, касающиеся уравнений с не вполне непрерывными операторами, в которых основная роль принадлежит резольвенте нелинейного
оператора. Допуская существование параметра /0, при котором оператор °сф, .(>^г0)/(1--/о) имеет резольвенту, уравнение (0.1) приводится к эквивалентному уравнению с вполне непрерывным оператором. Для вычисления вращения соответствующего вполне непрерывного векторного поля на эллипсоиде с достаточно большими полуосями используется идея гомотопности, которая опирается на априорную оценку некоторого функционала. При получении априорной оценки здесь и в последующих главах диссертации нами используется схема, предложенная И.И. Воровичем для оценки подобных функционалов. Следуя ей, эллипсоид разбивается на три части, одна из которых не содержит слабого замыкания нуля. Затем на каждой части устанавливаются соответствующие неравенства снизу для функционала. В процессе их получения особое место занимает доказательство леммы 3.7 и ее аналогов в последующих главах, в которых речь идет о существовании лишь тривиального решения у некоторой системы нелинейных уравнений (в данном случае (3.77)). Условия, при которых удается доказать эту лемму и их аналогов,в конечном счете определяют класс оболочек, рассматриваемых в краевых задачах. Ранее подобное утверждение было доказано для пологих оболочек класса Сд(О) и развертывающихся
оболочек, принадлежащих С2(Й) (см. [30, с. 126-127]). В данной работе к этой проблеме нами предлагается новый подход, основанный на обращении линейной части системы с использованием аппарата обобщенных аналитических функций. Такой подход позволил в пункте 3.4 доказать лемму 3.7, следовательно, и теорему разрешимости для пологих оболочек с кусочно- гладкой срединной поверхностью класса С2(Й) при некоторых ограничениях на коэффициенты первой ее квадратичной формы. Более того, этот метод сыграл решающую роль в главе IV при исследовании разрешимости краевых задач для непологих оболочек ненулевой гауссовой кривизны.
Вторая глава посвящена исследованию краевых задач геометрически
20
и физически нелинейной теории пологих оболочек с граничными условиями, отличными от рассмотренных в первой главе. Это отличие прежде всего состоит в том, что для них не представляется возможным образование пространств перемещений типа Нар(й). В этой связи для изучения задач с такими граничными условиями предлагается новый метод, суть которого заключается в том, что разрешимость задач доказывается в пространстве условных деформаций, отличном от пространств перемещений, усилий. Основу метода составляют интегральные представления для компонент перемещения через условные деформации £ = (£■] ,£2>£з)-
Данная глава включает в себя три параграфа. Новым задачам посвящены §§ 5, 6. А в § 4 новый метод применяется к исследованию задачи для пологих оболочек с жестко заделанным краем, рассмотренной в первой главе. В пункте 4.1 дастся постановка задачи, вводится линейное пространство £>^(П) условных деформаций, выводятся интегральные представления для компонент перемещения, деформаций. Затем с помощью этих представлений вариация потенциальной энергии деформации, элементарная работа внешних сил также выражаются через элементы пространства £>Г(Й). Особенность этих соотношений состоит в том, что в них зависимость от условных деформаций носит интегральный характер. Пункт 4.2 посвящен построению основного пространства £|5(0), которое определяется как замыкание линейного пространства £>г(0) в норме, индуцированной скалярным произведением (4.21). При этом, как и в первой главе, существенно используется аппарат обобщенных аналитических функций. Показывается, что £15(0) суть гильбертово пространство, изучаются свойства его элементов. Достаточно много внимания уделяется изучению некоторых операторов, действующих в £!5(П). Введению понятия обобщенного решения задачи в условных деформациях посвящен пункт 4.3. Доказывается корректность определения обобщенного решения. Его нахождение сводится к решению эквивалентного НОУ
где С0(є) - нелинейный ограниченный оператор в Е15(&), є - элемент пространства £|5(П).
Оператор в0(с) представляется в виде суммы вполне непрерывного и ограниченного операторов, зависящих от некоторого параметра г є [0,1). Благодаря этому факту, для исследования разрешимости НОУ (0.2) в пункте
4.4 удалось использовать схему рассуждений пункта 3.4, в которой значительная роль отводится лемме 4.7 - аналогу леммы 3.7. При обращении линейной части соответствующей системы нелинейных уравнений используется идея аналитического продолжения решения на всю плоскость, которая позволила применить обобщенную теорему Лиувилля для обобщенных аналитических функций. Результатом проведенных исследований является теорема существования по крайней мере одного обобщенного решения задачи в условных деформациях для пологих оболочек с кусочно- гладкой срединной поверхностью класса С2 (О) и жестко заделанным краем.
В § 5 второй главы метод § 4 применяется к изучению разрешимости геометрически и физически нелинейных краевых задач для свободных анизотропных пологих оболочек, не подчиненных никаким геометрическим граничным условиям. В пункте 5.1 этого параграфа дается постановка задачи, вводится пространство й(5) перемещений, компоненты которых представлены интегралами, зависящими от условных деформаций с = (єі,є2уЄ2). В отличие от § 4 здесь условные деформации с представляют собой произвольные функции пространства ір(СІ), р> 2. Показывается, что /}(П) не содержит жесткие перемещения пологой оболочки как абсолютно твердого тела. В этом же пункте выводятся соотношения для компонент деформаций, вариации потенциальной энергии, элементарной работы через функции сєір(о.), р> 2, которые составляют основу предложенных исследований. Построению основного пространства, в котором будет решаться задача, посвящен пункт 5.2. При этом, как и раньше, суще-
ственным моментом является определение скалярного произведения для функций £в(£|,£2»*з) из р>2. Проверка выполнения условий ска-
лярного произведения осуществляется с привлечением обобщенных аналитических функций. Основное пространство £(П) получается как замыкание Ьр(&), р> 2 в норме, заданной скалярным произведением. Изучаются свойства элементов £(П), а также операторов, действующих в £(Г2). В пункте 5.3 дается обобщенная постановка задачи, доказывается ее корректность. Нахождение обобщенного решения сводится к НОУ с ограниченным в £(Й) оператором. Разрешимость (пункт 5.4) операторного уравнения изучается методом, рассмотренным в пункте 3.4: сначала уравнение с ограниченным оператором преобразуется в уравнение с вполне непрерывным оператором, затем вычисляется вращение соответствующего вполне непрерывного векторного поля. Таким способом показывается, что для пологих свободных оболочек с кусочно- гладкой срединной поверхностью класса С2(П), удовлетворяющих условию (5.27), задача имеет по крайней мере одно обобщенное решение. Выполнение условия (5.27) иллюстрируется на конкретных оболочках. Указывается подпространство пространства £(П), в котором задача разрешима без условия (5.27).
§ 6 посвящен исследованию нелинейных задач для пологих оболочек с шарнирно опертыми краями. В пункте 6.1 дается постановка задач /л', // = 1,2, у = 3,6. Предполагается, что срединная поверхность оболочки го-меоморфна односвязной области П ( в предыдущих параграфах О была как односвязной, так и многосвязной). В пункте 6.3 для построения интегральных представлений для компонент перемещений, удовлетворяющих заданным граничным условиям, привлекается теория краевых задач Рима-на-Гильберта для аналитических функций в односвязных областях. В этой связи сначала (пункт 6.2) приводятся некоторые сведения, касающиеся таких задач. Значительное место пункта 6.3 занимает изучение свойств интегральных операторов и функций, входящих в представления для переме-
щений через условные деформации е = {с\ус2уС}) <= Ьр(С1), р> 2. Здесь же
через условные деформации выражаются компоненты деформации, вариация потенциальной энергии, элементарная работа внешних сил. Все эти соотношения составляют фундамент предложенного метода исследования задач ру. Пункт 6.4 посвящен построению функциональных пространств. Сначала вводятся линейные пространства /)„ДЙ), р = 1,2, и = 3^6, на которых
затем задается скалярное произведение. При проверке условий скалярного произведения существенно используются некоторые факты из теории задач Римана- Гильберта для обобщенных аналитических функций (см. [10, гл.4]). Основное пространство Еру(П) получается как замыкание Я„ДЙ) в соответствующей норме. Изучаются свойства пространств £рДЙ), а также операторов, действующих в Е^ДЙ). В пункте 6.5 дается обобщенная постановка задач ру в ЕИДЙ), доказывается ее корректность. Нахождение обобщенного решения сводится к решению НОУ с ограниченным в £„ДЙ) оператором. Для исследования разрешимости НОУ (пункт 6.6) используется метод, рассмотренный нами в предыдущих параграфах в случае подобных НОУ. Основной результат параграфа заключается в том, что при выполнении некоторых условий, среди которых выделяется условие (6.94), задача ру для пологих оболочек с кусочно- гладкой срединной поверхностью класса С2(П) имеет по крайней мере одно обобщенное решение. Указывается подпространство пространства ЕрДЙ), в котором задача ру разрешима без условия (6.94).
В третьей главе для исследования нелинейных краевых задач, рассмотренных в первых двух главах, используется вариационный метод, основанный на отыскании точек минимума функционалов полной энергии системы «оболочка - внешние силы» в соответствующих пространствах. Хотя здесь основной результат снова теоремы разрешимости, полученные таким способом решения качественно отличаются от решений § 3, 5,6, по-
скольку они характеризуют экстремальные состояния системы. Кроме этого, в заключительном десятом параграфе главы проводится обоснование некоторых приближенных методов решения задач.
Третья глава включает в себя четыре параграфа. В § 7 вариационный метод применяется к исследованию задач ар в пространствах Нар(О). § 8
посвящен изучению задачи для свободных пологих оболочек в пространстве £(Й), а в § 9 вариационный подход используется для изучения задач цу в £^(0). Исследования этих трех параграфов проводятся по следующей схеме. Сначала даются формулы для функционалов полной энергии системы, при этом существенно используются соотношения, полученные в § 3, 5, 6. Затем доказывается, что они определены и дифференцируемы в каждой точке соответствующего пространства. Показывается, что множество критических точек функционалов совпадает с множеством обобщенных решений задач.
При исследовании функционалов на минимум используется обобщенная теорема Вейерштрасса (§2,теорема 2.23), согласно которой если 1) функционал слабо полунепрерывен снизу и 2) является возрастающим, то он имеет точку абсолютного минимума. Поэтому дальнейшие рассмотрения посвящены проверке выполнения условий этой теоремы. Доказывается, что исследуемый функционал полной энергии суть слабо полунепрерывный снизу функционал в соответствующем пространстве. При этом существенную роль играет монотонность градиента потенциальной энергии в пространстве деформаций. Наибольшую трудность представляет проверка второго условия теоремы, основу которой составляет получение неравенства коэрцитивности для функционала. Для этого используются рассуждения, аналогичные примененным в пункте 3.4 третьего параграфа. В результате получается, что функционал имеет точку абсолютного минимума, которая является обобщенным решением соответствующей задачи. Заключительная часть §§ 7, 8, 9 посвящена исследованию существования
точек локального минимума функционалов, являющихся также обобщенными решениями задач.
Последний §10 третьей главы посвящен обоснованию применимости методов Бубнова-Галеркина (БГ) и Ритца к исследованию рассматриваемых выше задач. Здесь необходимо отметить, что эти методы используются нами не только как способ приближенного решения задач, но и как способ доказательства их разрешимости. Обоснование приближенных методов проводится по следующей схеме. Сначала устанавливается, что системы уравнений БГ и Ритца при каждом п имеют по крайней мере одно решение. Затем показывается, что множество приближенных решений БГ сильно компактно в соответствующем пространстве и всякая предельная точка этого множества является обобщенным решением задачи; из множества приближений Ритца можно выделить подпоследовательность, сильно сходящуюся к некоторой точке абсолютного минимума соответствующего функционала полной энергии; а если этот функционал имеет единственную точку абсолютного минимума, то приближения Ритца сходятся сильно к этой точке.
Четвертая глава диссертации посвящена изучению геометрически и физически нелинейных краевых задач для анизотропных непологих оболочек ненулевой гауссовой кривизны, срединная поверхность которых представляет собой кусочно-гладкую поверхность класса С3. Для этой цели используется вариационный метод. Глава IV состоит из трех параграфов. В §11 краевые задачи изучаются в перемещениях. В пункте 11.1 дается
постановка задач т, т = ^6. Выводятся соотношения для деформаций, вариации потенциальной энергии, элементарной работы. Эти соотношения характеризуются тем, что в них тангенциальные перемещения заменены на другие функции. Значительное место в данном пункте занимает
построение основных пространств //„,(£}), т = 1,6, которые получаются как замыкание линейных пространств £>т(П) в соответствующей норме,
индуцированной скалярным произведением. При проверке условий скалярною произведения существенно используется аппарат обобщенных аналитических функций. Доказываются теоремы‘вложения для нт(Сї)9 изучаются свойства операторов, действующих в //„,(£>). Введению понятия обобщенного решения задачи т в !!,„(&) и сведению его к НОУ посвящен пункт 11.2. Для исследования разрешимости НОУ в пространстве //;„(й) (пункт 11.3) используется вариационный подход. Показывается, что функционал полной энергии определен и дифференцируем в каж-
дой точке пространства //Л,(П); множество критических точек функционала Jn,{(o) совпадает с множеством обобщенных решений задачи т . При исследовании Jm(co) на минимум, как и в главе 3, используется обобщенная теорема Всйерштрасса. В связи с этим доказывается, что Jni{(o) суть слабо полунепрерывный снизу и возрастающий в Нт(П) функционал. Основу этих вариационных соображений, как было отмечено выше, составляют априорные оценки для при выводе которых определяющее
значение имеет лемма 11.4, являющаяся аналогом леммы 3.7. При помощи метода, предложенного нами для доказательства леммы 3.7, лемму 11.4 удалось доказать для произвольных непологих оболочек ненулевой гауссовой кривизны при некоторых ограничениях на их геометрические характеристики. Выполнение этих условий иллюстрируется на конкретном примере непологой оболочки. Заключительный пункт 11.4 настоящего параграфа посвящен обоснованию метода Ритца приближенного решения задач т.
Целыо §12 является изучение разрешимости нелинейных краевых задач для непологих свободных оболочек. Для этого предлагается метод, аналогичный примененному в §5, основанный на решении задачи в пространстве функций гг = (гг, ,гг3). В пункте 12.1 дается постановка задачи в перемещениях, которая затем, как и в §11, сводится к эквивалентной зада-
че для вектора ш а(0,,а>2,и'3). Вводится линейное пространство 0^(0) вектор-функций о у представленных интегралами, зависящими от произвольных функций £-{€Ь€2>€2)(= Ьр(П)у р> 2. Эти интегральные представления
составляют основу предложенного метода исследования. С их помощью компоненты деформации, вариация потенциальной энергии и элементарная работа также выражаются через функции с. Строится основное пространство £с(0) функций Су изучаются функциональные свойства его элементов. Выводится условие, при выполнении которого пространство перемещений не содержит жесткие смещения оболочки. Приводится пример нспологой оболочки, для которой это условие имеет место. В пункте
12.2 вводится понятие обобщенного решения задачи и его нахождение сводится к НОУ. При помощи рассуждений, аналогичных примененным в §11, показывается (пункт 12.3), что при некоторых ограничениях на коэффициенты основных квадратичных форм срединной поверхности существует решение НОУ, придающее абсолютный минимум функционалу За(е) полной энергии системы «оболочка-нагрузка». Указывается подпространство пространства £С(Й), в котором задача разрешима при более слабых ограничениях на параметры оболочки. Заключительный пункт 12.4 параграфа посвящен обоснованию метода Ритца приближенного решения задачи. Показывается , что система Ритца разрешима при любом я; из множества приближений Ритца можно выделить подпоследовательность, которая сильно сходится к некоторой точке абсолютного минимума функционала
./«(*>•
Последний тринадцатый параграф главы 4 посвящен исследованию нелинейных краевых задач для непологих оболочек ненулевой гауссовой кривизны с шарнирно опертыми краями. Эти граничные условия характеризуются тем, что для них не представляется возможным образование пространств типа Ят(П). В силу этого для изучения таких задач используется метод, аналогичный примененному в §6. В пункте 13.1 дается постановка
28
задач в перемещениях, которые, как и в предыдущих параграфах этой главы, путем исключения тангенциальных перемещений сводятся к эквивалентным задачам п, п = 5,6,7,8 для вектора <у = (<*>,,<у2,уу3). Для получения интегральных представлений через произвольные функции с = (єі,Є2,є3) є Ьр(0), р>2 для вектор-функций со, удовлетворяющих заданным граничным условиям, используется краевая задача Римана-Гильберта для аналитических функций в односвязных областях. Изучаются свойства операторов, входящих в эти представления. В этом же пункте 13.1 строятся пространства Епф), для этого, как и раньше, привлекается аппарат обобщенных аналитических функций. Устанавливаются некоторые функциональные свойства пространств £„(П). В пункте 13.2 дается обобщенная постановка задач п . Нахождение обобщенного решения сводится к НОУ, разрешимость которого доказывается в пункте 13.3, для чего используется вариационный метод. Рассуждая по той же схеме, что и в §§11, 12, показывается, что для непологих оболочек ненулевой гауссовой кривизны при некоторых ограничениях на параметры оболочки задача п имеет обобщенное решение в £„(Й), доставляющее функционалу Jn{є) полной энергии абсолютный минимум. Указывается подпространство пространства Еп(й)у в котором задача п разрешима при более слабых ограничениях на исходные данные. Заключительный пункт 13.4 посвящен обоснованию применимости метода Ритца для приближенного решения задачи п.
Характерная особенность глав 1-4 заключается в том, что доказанные в них теоремы разрешимости носят нелокальный характер, т.е. существование хотя бы одного решения задач устанавливается внутри эллипсоидов с достаточно большими полуосями без каких бы то ни было предположений о малости параметров внешней нагрузки. В то же время в теории оболочек важной проблемой является определение пределов изменения пара-
29
метров внешней нагрузки, при которых оболочка имеет единственную форму равновесия. Этой проблеме посвящена пятая глава.
В пятой главе краевые задачи, рассмотренные в главах I, II в случае пологих оболочек, изучаются для тонких нспологих оболочек. Целью главы является вывод условий, при которых эти задачи имеют единственное решение. Глава V состоит из трех параграфов. В §14 рассматриваются задачи ар в перемещениях. §15 посвящен задаче для свободных тонких оболочек, а в §16 изучаются задачи /IV. Исходным пунктом в исследованиях этих параграфов являются НОУ, к которым было сведено нахождение обобщенных решений задач в §§ 3, 5, 6. Существование единственного решения НОУ устанавливается по следующей схеме. Ограниченный оператор, входящий в НОУ, представляется в виде суммы линейного вполне непрерывного и ограниченного нелинейного операторов. Основным моментом в данной схеме является доказательство утверждения о том, что число 1 не есть собственное число линейного оператора. Для этого привлекается аппарат обобщенных аналитических функций. В случае задач для свободных оболочек и /.IV это утверждение имеет место при некоторых ограничениях на параметры оболочки, которым, в частности, удовлетворяют непологие оболочки положительной гауссовой кривизны, произвольные пологие оболочки. После этого НОУ преобразуется к эквивалентному виду, к которому применяется принцип сжатых отображений. Таким путем показывается, что при достаточно «малых» нагрузочных членах в некотором шаре соответствующего пространства задача имеет единственное обобщенное решение.
В основе исследований глав 1-5 лежало предположение (1.8) о положительной определенности некоторой квадратичной формы (такие оболочки выше мы назвали регулярными), которое позволяло строить обобщенные решения задач в различных энергетических пространствах. Заключительная шестая глава диссертации посвящена изучению геометрически и физически нелинейных краевых задач для тонких анизотропных обо-
лочек, для которых условие (1.8) может и не иметь места. Для таких оболочек, названных нами нерегулярными, изучение задач в энергетических пространствах не представляется возможным. Это обстоятельство, как было отмечено выше, приводит к необходимости вывода уравнений равновесия и отыскания решений, удовлетворяющих непосредственно этим уравнениям. В перемещениях уравнения равновесия представляют собой систему нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных четвертого порядка относительно прогиба и третьего порядка относительно тангенциальных перемещений. Изучение разрешимости системы в таком виде, с одной стороны, представляет собой чрезвычайно сложную задачу, а с другой - сопряжено со значительными требованиями к исходным данным. Исходя из этого, для исследования задач для нерегулярных оболочек предлагается метод, разработанный в предыдущих главах, основанный на решении задач в пространстве условных деформаций. Этот метод позволяет получить в качестве уравнений равновесия нелинейные сингулярные интегральные уравнения по ограниченной плоской области а относительно условных деформаций при минимальных условиях гладкости исходных данных.
Шестая глава включает в себя три параграфа. В § 17 изучаются краевые задачи для тонких нерегулярных оболочек с жестко заделанным краем. В пункте 17.1 соотношения для перемещений, деформаций, полученные в § 4, представляются несколько в другом виде, удобном для дальнейших исследований. Здесь же строится основное пространство Л2(Й) условных деформаций, которое получается как замыкание линейного пространства 7)^(0), введенного в § 4, в норме Ь2(П). Изучаются функциональные свойства Л2(0), а также операторов, действующих в 12(0). В пункте 17.2 с помощью вариационного принципа Лагранжа вводится понятие обобщенного решения задачи, доказывается корректность его определения. Затем нахождение обобщенного решения сводится к решению системы нелинейных
сингулярных интегральных уравнений по области Л в пространстве Г2(П). При этом используются некоторые сопряженные операторы относительно гильбертовой метрики, в связи с чем сначала изучаются их свойства. Пункт 17.3 посвящен исследованию разрешимости системы интегральных уравнений. С помощью принципа сжатых отображений устанавливается, что система при некоторых ограничениях на физико- геометрические характеристики оболочек и на параметры внешней нагрузки в шаре некоторого радиуса имеет единственное решение. Выполнение условий разрешимости иллюстрируется на конкретных примерах.
§18 посвящен исследованию задачи для нерегулярных свободных оболочек. В заключительном §19 для нерегулярных оболочек рассматриваются задачи ру. Исследования в этих параграфах ведутся по той же схеме, что и в §17. В качестве основных пространств, в которых ищутся решения, выступают Ьр(й), р> 2 (§18) и ЁрхДЙ) (§19), образованное как
замыкание линейного пространства Ору(П) в норме Л2(П) (0МУ(0) введены в §6). При выводе уравнений равновесия используются интегральные представления для перемещений и деформаций, полученные в §5, 6. Разрешимость уравнений равновесия устанавливается при помощи принципа сжатых отображений.
Таким образом, в диссертации получены следующие основные результаты:
- развиты топологический и вариационный методы исследования геометрически и физически нелинейных краевых задач в перемещениях для тонких упругих анизотропных пологих кусочно-гладких класса С2 оболочек, с помощью которых доказаны теоремы разрешимости для таких оболочек при смешанных условиях их закрепления;
- предложен новый метод исследования задач в условных деформациях, основанный на интегральных представлениях для перемещений;