Обтекание тонких тел потоком газа с частицами

2
ОГЛАВЛЕНИЕ
Введение ....... 3
Глава I. Постановка линейной задачи обтекания тонких
тел потоком газа с частицами .... 20
§1. Линеаризованная система уравнений . . 20
§2. Получение граничных условий для линейной задачи 30
§3. Общее решение линейной задачи стационарного
обтекания тонких тел потоком газа с частицами 36
Глава.2. Некоторые свойства решения плоской задачи 41
§1. Исследование функции у(р) . . . 41
§2. Решение задали обтекания тонких тел потоком
газа с частицами . . . 48
§3. Обтекание малых и больших тел . . 52
§4. Релаксация параметров потока при обтекании
бесконечного клина (I% ^// . . . 57
§5. Глобальное поведение функции •КрС71) . . 64
Глава 3. Некоторые особенности решения плоской задачи 76
§1. Дозвуковое обтекание дужки ... 76
§2. Исследование зависимости решения от
параметров (сверхзвуковой случай) . . 85
§3. Аэродинамические характеристики обтекаемого
тела .... ... 103
Глава 4. Обтекание тел вращения . . . .110
§1. Постановка линейной задачи . . . 110
§2. Решение линейной задачи . . . ИЗ
Вывыоды ....... 120
Литература .... . . 124
3
ВВЕДЕНИЕ
Характерной особенностью многофазных течений является наличие в потоке нескольких фаз системы "газ-твердые частицы", "газ-капли", "жидкость-пузырки газа" и т.д. , между которыми существует интенсивный обмен кинетической и тепловой энергией, а также возможны переходы определенной доли вещества из одного агрегатного состояния в другое. Большой интерес для широкого круга исследователей представляет движение газа со взвешенными частицами. Систематическое исследование течения газовзвесей начато сравнительно недавно, и первой проблемой, с которой столкнулись ученые, явилась трудность теоретического описания газовзвеси, как разномасштабного в пространстве и во времени, явления. Одними из первых работ по теории этой проблемы были работы советских ученых H.A. Слезкина \l\, Г.И. Баренблатта [2], Х.А. Рахма-тулина [з]. В этих работах дана постановка задачи в рамках сплошных взаимопроникающих фаз, а в работе [з] получена замкнутая система уравнений с предположением баротропности фаз. Соответствующий им феноменологический подход развит в работах [4-10, 61-64]. Основные уравнения для описания газовзвесей, с учетом присутствия дисперсных фаз в объеме смеси в виде макроскопических включений, размеры которых существенно больше молекулярных, приведены в работе [Ю]. В этой работе авторы подчеркивают, что выписывание только одних балансовых соотношений для масс, импульсов и энергий фаз не представляет интереса для механики смесей. Основная трудность
состоит в конкретизации вида теплового и скоростного взаимодействия фаз друг с другом и в определении зависимостей, опи-
сывающих фазовые переходы. Для решения этой задачи развивались методы, основанные на осреднении системы из микроуравнений в пространстве, времени [ІІ-ІЗ, 65"] и методы, основанные на уравнениях типа Больцмана [14-22, бб].
В случае отсутствия фазовых переходов и дробления частиц система уравнений, описывающая движение газовзвесей имеет вид (см. [із]):
11 W
к
9,сф- f
Здесь ^
Хі -І Э. . I % +JH II - Ъ +
' di- г*
индексы £ = I - относится к газу, і = 2 - к падающим частицам, / = 3 - к отраженным частицам и т.д., а величины р , Р° > 9 Ц- 9 7/ > CY обозначают соответственно приведен-
ную плотность, истинную плотность, объемную концентрацию, ско рость, температуру и удельную теплоемкость при постоянном объ еме і -ой фазы. F[j - функция силового, a Q /j, - тепло-
вого взаимодействия между / -ой и ^ -ой фазами. Коэффициенты , введенные з работе [зз], показывают долю диссипи-
руемой кинетической энергии смеси из-за силового взаимодействия і -ой и і -ой фазы, переходящую непосредственно во внутреннуго энергию і -ой фазы, й - ускорение силы тяжести,
<У IP op
р - давление несущей (первой) фазы, и С/ тензоры
вязких напряжений и скоростей деформаций, ^ - вектор при-
тор притока тепла в несущей фазе, д( - символ Кронекера.
Ір -
Члены, содержащие и , учитываются при расчете
характеристик потока в пограничном слое [24] , Как показано в работе [25] тензор напряжений т}# имеет составляющую, пропорциональную произведению объемной концентрации частиц на квадрат относительной скорости частиц, которая должна учитываться и вне пограничного слоя, рцнако, в линейной теории
этот член исчезнет как член второго порядка малости. Система уравнений (I) дополняется соотношениями:
и уравнениями состояния
, Р/-Р/-С ті^7У) (з)
Соотношения из (2) являются ограничениями на определяемые величины, вытекающими из законов сохранения. Первое соотношение из (3) указывает на то, что несущая фаза является совершенным газом, а второе означает, что частицы, как падающие так и отраженные, имеют одинаковую истинную плотность и несжимаемы.
Система уравнений (і-З) замыкается соотношениями, определяющими функции силового и теплового взаимодействия через соответствующие функции силового и теплового взаимодействия , приходящихся на одну частицу [із]
‘ (№) (*) Здесь У1- - количество частиц ^ -ой фазы в единице объе-
ма. Оно выражается через объемную концентрацию оі. и радиус
а
6
частиц СС (считается, что все частицы имеют одинаковый радиус) по формуле:
п1 = <*>/(% *а’) (5) Средняя сила, действующая на одну частицу определяется в виде суммы четырех сил [13]:
ккккк> к-к^р, С)
(4Л.М)
Г">1 3 ъ"ю ( а рр)>
1 № н
к 6ЖаузР^мК(Щ-Ц), Яр 2аЩ-Ц1/у.
Здесь У £ - кинематический коэффициент вязкости газа,
/?■ - число Рейнольдса, расчитанное для относительного те-
/
чения около одной частицы, 6(р [I =1,2,3,4] - коэффициенты, зависящие от объемных концентраций, причем при сХу все 0(0 У . Если формально поставить 6(/) - 0 , то это соответствует задаче без с -ой силой взаимодействия#
Имеется много работ теоретического и экспериментального характера посвященных уточнению зависимости К(или коэффициента сопротивления, отличающегося только множителем (см. например [26-2?] и цитированную там литературу] . Как указано в этих работах, при выполнении условия
^ ^0.2 (7^ коэффициент при Стоксовой силе с большой точностью
можно считать равным I.
Коэффициенты 0(/) по сути являются поправочными коэффициентами, учитывающими стесненность, и поэтому отклоняются от I на величину порядка отношения радиуса частиц к среднему расстоянию между ближайшими частицами, т.е.
И-
В литературе пока нет полной ясности расчета этих коэффициентов, так как они зависят от расположения системы частиц. На практике, по всей видимости, реализуется некоторый промежуточный вариант между случайным и упорядоченным расположением, когда частицы расположены ближе к вершинам решетки, а соответствующее сопротивление системы частиц несколько меньше, чем при случайном расположении, за счет пристройки частиц друг за другом в направлении потока.
Функция теплового взаимодействия также зависит от
предистории процесса, точнее от микрораспределения температуры газа и частиц в данный момент времени, зависящего, в свою очередь, не только от средних значений параметров этого момента, но и от их значений в предыдущие моменты. Рцнако в обычных газовзвесях влияние нестационарных эффектов на теплообмен мало [13, 6?] и поэтому применима формула:
~ ^у (ъ ^;^) ; ^ § (9)
Здесь - коэффициент теплопроводности ^ -ой фазы, -число Нуссельта, 9е. - число Пекле, - число Прантдля
о
(для газа). При выполнении условия (7) число /т можно считать постоянным (Ми л 2 , ^ х у) .
В дальнейшем считается, что частицы из разных фаз между
8
собой не взаимодействуют, т.е. выполняется условие:
= ^ ^ ^ ап -у) , 0,у( 5/ - ^ )&10п _у)
Для полного определения системы уравнений осталось определить коэффициенты эру . В дальнейшем эти коэффициенты считаются постоянными. Для твердых частиц, размер которых иного больше средней длины свободного пробега молекул в газе, можно считать (см. 113]). что 2//*/ , /у/ •
Система уравнений (1-6, 9) используются в задачах обтекания тел, при расчете характеристик потока в сопле и т.п., когда относительная скорость частиц по отношению к несущей фазе небольшая (в несколько раз меньше скорости звука в газе). В гиперзвуковых задачах обтекания тел система уравнений (1-3^) замыкается соотношениями, учитывающими такие эффекты, как испарение, дробление частиц и т.д. (см. [28-30Ц.
Однако вышеуказанной системы уравнений даже при умеренных скоростях течения недостаточно для решения задачи обтекания тел потоком газа с частицами. Это объясняется тем, что функции описывающие параметры потока газа с частицами не являются всюду гладкими. Еще в работе [31] указано на то, что нельзя удовлетворить граничному условию обтекания одновременно обедали фазами. Поэтому в этой работе задача решается введением приграничной области, где происходит обтекание одной из фаз, а другая фаза не достигает этой области. Такая постановка задачи правомерна при изучении течения Прантдля-Майера для потока газа с частицами [32-33, 68]. В работе
[34] указано на необходимость введения области, состоящей из трех фаз, газ, падающие частицы и отраженные частицы. В работе [35] при решении задачи обтекания вводится трехфазная
область, но при этом не учитываются разрывы значений параметров газа при переходе в трехфазную область.
Из вышеизложенного вытекает, что для решения задач обтекания тел многофазной средой недостаточно системы уравнений \і-6, 9] и необходимы дополнительные соотношения. Ими являются соотношения на скачках в многофазной среде. В работе [в] приводится полная система соотношений, связующих характеристики потока с разных сторон скачка. Из интегральных законов сохранения получены уравнения:
М-р, (ю)
к; +£Щ-о№К-рй),
і
+ ц"--1гга,
і А
Здесь 1Л'1 и нормальная и касательная скорости (по
отношению к поверхности разрыва^), С/: - количество внутрен-ной энергии единицы массы ^ -ой фазы. Символом [ ] обоз-
начен скачок соответствующей величины на разрыве.
Вследствие недивергентности основных дифференциальных уравнений движения математически строго удается получить только соотношения (Ю), которые будут незамкнутыми. Для замыкания этой системы используются соотношения (см. [в]у:
1 [«,1=0 ,
(И)
В упомянутой работе [в], а также в работе Зб] , где рассматривается подробный анализ разрывов в двухфазных средах,
10
упущен множитель у- в последнем соотношении (II]* Имеется попытка получить замыкание системы (Ю] через предел последовательности непрерывных решений, удовлетворяющих уравнениям баланса импульса и энергии фаз при стремлении их к разрывным. Некоторые вопросы теории разрыва в многофазной среде рассмотрены в работе [38].
На границе тела всегда, если не изучается течение в пограничном слое, ставится условие обтекания несущей фазой:
%‘ПГ^0. (12)
Когда учитывается влияние отражения частиц на границе тела ставятся условия отражения:
(и
V, «Г ^ О
Здесь Нг - нормаль к поверхности обтекаемого тела, / и соответственно коэффициенты отражения и торможения,
'1ГС - скорость с -ой фазы частиц (/ ^ 2) , соответствующая фазе 1-2 раза отраженным частицам.
Условием (13] полностью определяется скорость (1 + У) -ой фазы через скорость / -ой фазы на границе тела. При этом первое из условий означает, что нормальная скорость ((+/) -ой фазы составляет к -ую долю нормальной скорости с -ой фазы и направлена от поверхности тела (к у О) . При этом падение частиц / -ой (Тазы происходит там, где выполняется третье условие из (13]. Второе условие означает, что три вектора Ц- , ц- 9 Яг находятся в одной плоскости, причем касатель-
II
нал скорость (/ + /Лой фазы составляет -ую часть касательной скорости / -ой фазы частиц.
Для отраженных частиц кроме скорости надо определить также плотность и температуру на границе тела. Остальные параметры - удельная теплоемкость, истинная плотность и т.д. остаются такими же, так как считается, что материал частиц не меняется. Плотность и температура отраженных частиц определяется из законов сохранения. Для плотности имеем:
(РД^,Д,)«Г=Р (и)
Это условие означает отсутствие прилипания частиц и уноса с тела. Температуру отраженных частиц можно определить из соотношения:
С А"Д -X) " Ч ^2*), (15)
показывающего, что ^ -ая доля потери кинетической энергии частицы при ударе о поверхность тела переходит во внутреннюю энергию самой частицы, а оставшая часть уходит на нагрев обтекаемого тела.
Отметим, что не во всех точках пространства существуют все рассматриваемые фазы. В частности, может появиться область течения без частиц. Границами областей с разными составами частиц будут поверхности, составленные из траекторий частиц, несколько раз отраженных, начинающихся на тех точках поверхности, где впервые появилась соответствующая фаза частиц, или поверхности, составленные из траекторий частиц ой фазы, начинающихся на тех точках поверхности тела, где 1Т("ПГ = 0 $ а в точках поверхности находящихся ближе к "носу" тела ТТГГГГ ^0 . На границах таких областей условия