Оглавление
Введение...........................................................................4
Глава 1. Обзор литературы.........................................................15
1.1 Методы производства фотонных кристаллов.....................................15
1.2 Примеры фотонных кристаллов.................................................17
1.3 Изучение формирования запрещенной зоны на примере одномерных фотонных
кристаллов.......................................................................20
1.4 Зонная структура двумерных диэлектрических фотонных кристаллов..............29
1.5 Формирование зонной структуры в двумерных металлических фотонных
кристаллов.......................................................................32
1.6 Зонная структура трехмерных диэлектрических фотонных кристаллов на
примере гранецентрнрованной и алмазной решеток....................................34
1.7 Зонная структура и спектры прохождения отражения и поглощения
трехмерных металлических фотонных кристаллов......................................39
1.8 Спектр поглощения и излучения металлического трехмерного фотонных
кристаллов типа «поленница».......................................................42
Глава 2. Методы моделирования фотонных кристаллов.................................44
2.1 Метод конечных разностей во временной области (Finite - Difference Time -Domain, FDTD).....................................................................44
2.2 Явная схема дискретизации Йи (схема дискретизации с перешагиванием).........45
2.3 Моделирование источника электромагнитного ноля..............................49
(модель “жесткого источника").....................................................49
2.4 Моделирование источника электромагнитного поля методом полного и
рассеянного поля (total - field/scattered - field method).........................51
2.5 Поглощающие граничные условия (Perfectly Matched Layer).....................54
2.6 Задача на собственные значения. Моделирование периодических граничных
условий в рамках алгоритма FDTD...................................................60
2.7 Методы расчета полей на искривленных поверхностях...........................62
2.8 Схема моделирования спектров фотонных кристаллов с периодическими
граничными условиями при нормальном падении волны.................................67
2.9 Моделирование наклонного падения электромагнитной волны для
периодических структур........................................................... 68
2.10 Сравнение расчета спектра методом FDTD с точным аналитическим решением.
Границы применимости алгоритма FDTD...............................................73
2.11 Метод разложения по плоским волнам (Plane Wave Expansion Method)............75
2.11.1 Задача на собственные значения в двумерном фотонном кристалле для
случая Е - поляризованной электромагнитной волны..................................79
2.11.2 Задача на собственные значения в двумерном фотонном кристалле для
случая Я - поляризованной электромагнитной волны..................................80
2.11.3 Задача на собственные значения в трехмерном случае...............81
2.12 Метод LKKR (слоевой метод Коринга-Кона-Ростокера)...........................82
Глава 3. Моделирование двумерных сверхпроводящих фотонных кристаллов е помощью метода разложения но плоским волнам.......................................87
3.1 Расчет зонной структуры двумерного сверхпроводящего фотонного кристалла
в модели Казнмира-Гортера методом разложения по плоским волнам....................87
3.1.1 Выводы............................................................92
2
Глава 4. Расчет зонной структуры трехмерного металлического фотонного кристалла типа «поленница» методом FDTD eigen value для расчета собственных значений........................................................................ 92
4.1 Описание модели расчета.....................................................92
4.2 Техника моделирования.......................................................93
4.3 Результаты расчета..........................................................95
4.4 Выводы......................................................................98
Глава 5. Формирование спектра поглощении мсталло-диэлектричсскнх трехмерных фотонных кристаллов....................................................99
5.1 Описание исследуемого фотонного кристалла...................................99
5.2 Результаты расчетов. Анализ сравнения спектров, полученных с помощью
методов FDTD и LKKR..............................................................101
5.3 Анализ природы спектров фотонных кристаллов................................106
5.4 Связь спектров поглощения с пространственным распределением
интенсивности полей внутри фотонных кристаллов...................................109
5.5 Выводы.....................................................................113
Глава 6. Оптический аналог эффекта Бормана в фотонных кристаллах...............114
6.1 Введение...................................................................114
6.2 Описание исследуемой структуры.............................................115
6.3 Зависимость спектров отражения и поглощения от угла падения волны..........116
6.4 Пространственное распределение амплитуды энергии электромагнитного поля
в фотонном кристалле. Аналог эффекта Бормана.....................................118
6.5 Выводы.....................................................................122
7 Заключение.....................................................................123
8 Список литерату ры.............................................................126
Введение
Фотонные кристаллы (ФК, англ. - photonic crystals) представляют собой структуры, как правило, искусственные, с периодически меняющейся в пространстве диэлектрической проницаемостью, т.е.:
е(Х+ *(/)) = £(*) (1)
Здесь х(/) - вектор узла решетки.
Уже в 1972 г. в работе В.П. Быкова [1] было показано на примере одномерных периодических структур, что периодические структуры позволяют управлять спонтанным излучением, внедренных в матрицу структуры молекул и атомов. В рамках одномерной модели им был проведен расчет, показавший, что спонтанное излучение может быть существенно подавлено в некотором диапазоне длин волн.
Начиная с работы Э. Яблоновича [2] в 1986 г. и Джона [3], ФК стали одним из наиболее исследуемых объектов в современной физике наноструктур.
В зависимости от числа компонент в векторе *(/) в формуле (1) различают одно-, двух- и трехмерные ФК (Рис. 1).
одномерный ФК двумерный ФК трехмерный ФК
периодичность периодичность в одном в двух
направлении направлениях
Рис. 1 Типы фотонных кристаллов.
периодичность в трех
направлениях
Распространение излучения внутри ФК благодаря свойству периодичности становится похожим на движение электрона внутри обычного кристалла под действием периодического потенциала. Аналогия между квантово -
4
механическим повелением электронов в обычных кристаллах и фотонов в ФК имеет строгое математическое обоснование. Именно: уравнения Максвелла после несложных преобразований могут быть представлены в виде, формально идентичном уравнению Шредингера для волновой функции электрона.
Таким образом, электромагнитные волны в ФК имеют зонный спектр и координатную зависимость, аналогичную блоховским волнам электронов в обычном кристалле. Именно эта аналогия, на которую для трехмерных ФК обратил внимание Э. Яблонович [2], и стала источником многих идей в развитии оптики ФК. Отметим, что вышеуказанная аналогия - неполная:
1. Собственные функции для фотонного кристалла - векторные, а не скалярные, как для электронов, и поэтому, в частности, фотонные щели могут зависеть от поляризации поля;
2. Лишь для простых частотных зависимостей диэлектрической функции материалов, составляющих фотонный кристалл, уравнения, определяющие спектр фотонного кристалла, сводится к уравнению, типа Шредингера. Однако, как легко показать, эти уравнения в любом случае имеют вид уравнений Матье:
Квантовая механика Электродинамика
Волновая функция
(поле). «/'('%')='/'ОО* л Н{Г,0 = Н(Г)е~,<м
Задача на собственные значения А Нц/ = Ец/ ЛЯ = (^-)Я с
Оператор к2 Н=~^(Г) 2т А=: У (—)У. €(ГУ
Из приведенного сравнения видно, что в обоих случаях, как для движения электрона в периодическом потенциале решетки, так и для фотона в фотонном кристалле, задача сводится к нахождению собственных значений уравнения вида:
АХ - ВХ.
Итак, при определенных условиях в зонной структуре ФК образуются щели,
аналогично запрещенным электронным зонам в естественных кристаллах. В
зависимости от свойств ФК (материала элементов, их размера и постоянной
решетки) могут образовываться как полностью запрещенные по частоте зоны
5
(photonic band gap, PBG), для которых распространение излучения невозможно в независимости от его поляризации и направления, так и частично запрещенные (стоп - зоны), в которых распространение возможно лишь в выделенных направлениях.
Кроме того, оказалось, что расчеты процессов распространения электромагнитных волн в ФК, могут быть осуществлены с помощью компьютерного моделирования со значительно более высокой степенью точности, чем соответствующие задачи для электронов в кристалле. Связано это, прежде всего с конкретными методами моделирования ФК (речь о которых подробно пойдет ниже), которые являются практически неприменимыми для расчета электронных кристаллов. Причина состоит в одном из фундаментальных различий между фотонами и электронами — электроны обладают сильным взаимодействием между собой. Поэтому «электронные» задачи, как правило, требуют учета многоэлектронных эффектов, сильно увеличивающих размерность задачи, что заставляет часто использовать не достаточно точные приближения, в то время как в ФК, состоящем из элементов с пренебрежимо малым нелинейнооптическим откликом, данная трудность практически отсутствует.
Фотонные кристаллы интересны как с фундаментальной точки зрения (например, для управления квантово-электродинамическими процессами), так и для многочисленных приложений, что обуславливает актуальность настоящей работы. На основе ФК могут быть созданы: высокочастотные фильтры и волноводы с высокими коэффициентами передачи, [4],[5],[6],[7],[8],[9]; разнообразные типы антенн [10],[11],[12],[13],[14],[15],[16], в том числе высоко направленных, обладающих превосходной селективностью; ’’суперпризмы”, осуществляющие фокусировку электромагнитного излучения [17],[18],[19],[20]; высокоэффективные излучающие устройства, позволяющие осуществлять управление тепловым излучением [21],[22],[23],[24],[25],[26],[27] ,[28],[29].
Данная диссертация является продолжением работ, направленных на исследование свойств ФК. Основным объектом исследования являются металлические, металло-диэлектрические и сверхпроводящие фотонные кристаллы.
Цель диссертационной работы:
1. Расчет зонной структуры двумерного сверхпроводящего (YBaCuO) ФК методом разложения по плоским волнам в модели Казимира-Гортера; выявление зависимости положения и ширины запрещенной зоны от температуры сверхпроводника.
2. Расчет зонной структуры трехмерного металлического ФК, представляющего собой «поленницу» - периодическую систему скрещенных под прямым углом металлических прямоугольных параллелепипедов методом конечных разностей для решения задачи на собственные значения (FDTD - eigen value) в модели Друде-Лоренца. Установление зависимости положения границы запрещенной фотонной зоны от геометрических параметров системы. Выявление “правил дизайна” - оптимальных геометрических параметров, при которых фотонная щель расположена в инфракрасной области спектра.
3. Исследование спектров, зонных структур, а также их связи с пространственным распределением полей в металло-диэлектрическом ФК, представляющем собой слои прямого металлического гранецентрированного опала, помещенного в диэлектрическую матрицу. Выявление влияния диэлектрического окружения на формирование спектра поглощения.
4. Обнаружение нового эффекта, который может служить оптическим аналогом эффекта Бормана, известного в рентгеновской спектроскопии. Расчет спектров прохождения, отражения и поглощения при наклонном падении s-поляризованной электромагнитной волны на ФК слоевым методом Корринга-Кона-Ростокера (LKKR), представляющий собой опал с гранецентрированной решеткой, в узлах которой помещены двухслойные металло-диэлектрические шарики. Исследование зависимости коэффициента поглощения от угла падения электромагнитной волны; расчет картины пространственного распределения энергии в каждом из слоев ФК методом конечных разностей (FDTD) и анализ связи указанного распределения с коэффициентом поглощения.
Итак, предметом диссертации служит численное моделирование и исследование зонных структур, плотности состояний, а также спектров прохождения отражения и поглощения для различных видов двумерных и
7
трехмерных фотонных кристаллов, наряду с этим мы рассчитываем, где это необходимо, пространственное распределение электромагнитных полей внутри исследуемых структур.
Рассмотрим теперь некоторые особенности методов исследования. В качестве них здесь выступают численные методы моделирования, подробному описанию каждого из которых посвящена вторая глава настоящей работы, а именно: метод конечных разностей (Finite - Difference Time - Domain, FDTD), метод разлооюения no плоским волнам (Plane Wave Expansion Method), а также слоевой метод LKKR (слоевой метод Коринга-Кона-Ростокера).
Метод конечных разностей для решения уравнений Максвелла, зависящих от времени (Finite - Difference Time - Domain, FDTD), представляет собой численную процедуру, в рамках которой производится прямое интегрирование этих уравнений. Это самый общий и вместе с тем самый громоздкий метод расчета свойств фотонных кристаллов, требующий больших временных и компьютерных ресурсов. Метод FDTD основан на численной дискретизации уравнений Максвелла, записанных в дифференциальной пространственно-временной формулировке. Сетки для электрического и магнитного полей смещены по отношению друг к другую во времени и пространстве на половину шага дискретизации по каждой из пространственных переменных. Конечноразностные уравнения позволяют рассчитать электрические и магнитные поля в данный момент времени на основании известных значений полей в предыдущий момент времени, и при заданных начальных условиях вычислительная процедура дает эволюционные решения для каждой из компонент электромагнитного поля во времени от начала отсчета с заданным шагом. В рамках FDTD численно моделируется электромагнитная- волна, которая, распространяясь в вычислительном объеме, падает на исследуемую структуру. Амплитуда прошедшей и отраженной волны записывается на детекторах в зависимости от времени. Нормируя ее на падающий импульс, усреднив по положению детекторов и взяв преобразование Фурье от этого отношения можно получить интересующие нас спектры отражения прохождения и поглощения. Отметим, что в рамках метода конечных разностей может быть произведен расчет зонных спектров
фотонных кристаллов, а также смоделированы все процессы по рассеянию электромагнитных волн.
Слоевой метод LKKR (от англ. layered Korringa-Kohn-Rostoker method) основан на теории многократного рассеяния электромагнитных волн и предназначен для вычисления спектральных характеристик структур с периодически меняющейся в пространстве диэлектрической проницаемостью (например, фотонных кристаллов). В рамках этого алгоритма рассматривается трехмерная периодическая структура, имеющая бесконечные размеры в двух измерениях (напр. X и Y) и обладающая конечной толщиной в третьем измерении (Z). В Z-измерении производится разбиение структуры на слои, каждый из которых представляет собой двумерную решетку. Разложение электрического и магнитного полей, входящих в уравнения Максвелла, проводится следующим образом: 1) на первом этапе решается задача рассеяния плоской
электромагнитной волны на одной сфере, при этом производится разложение волны по векторным сферическим функциям с учетом граничных условий на поверхности сферы; 2) учитывается двумерная кристаллическая симметрия слоя. Получающаяся матрица (матрица перехода)-преобразует электромагнитное поле слева (до) слоя в поле справа (после) слоя. Вышеописанная процедура повторяется для каждого следующего слоя, и результирующая матрица преобразует электромагнитное поле слева (до) структуры в поле справа (после) структуры (дополнительно может быть учтено, что фотонный кристалл погружен в диэлектрический слой конечной толщины). И, наконец, вычисление потока энергии отраженного (прошедшего) поля слева (справа) от структуры дает коэффициенты прохождения, отражения и поглощения. Отметим, что по сравнению с методом FDTD слоевой метод LKKR является гораздо менее ресурсоемким, однако накладывает ряд ограничений. В частности он позволяет моделировать структуры, содержащие лишь сферические и цилиндрические рассеиватели в трехмерном и двумерных случаях, соответственно. Кроме того, с помощью него оказывается невозможным получить пространственное распределение электромагнитных полей внутри исследуемой структуры.
9
Метод разложения по плоским волнам . является одним из основных методов расчета зонной структуры и собственных мод ФК. Данный метод основан на трансляционной симметрии фотонного кристалла, что позволяет свести стационарные уравнения Максвелла к системе алгебраических уравнений. В рамках данного метода диэлектрическая проницаемость, являющаяся функцией периодической, раскладывается в ряд Фурье. Коэффициенты Фурье могут быть получены интегрированием по всей площади элементарной ячейки фотонного кристалла. Компоненты электромагнитного поля также раскладываются в ряд Фурье. Подставляя указанные разложения в волновое уравнение можно получить задачу на собственные значения, решив эту задачу с помощью диагонализации соответствующей матрицы. Таким образом, для каждого значения блоховского вектора К будет получен набор собственных частот ш(К)9 каждая из которых является непрерывной функцией от К и образует отдельную дисперсионную кривую. Если блоховский вектор в ячейке обратной решетки будет меняться по контуру в первой зоне Бриллюэиа содержащему все точки симметрии для данной решетки, полученная зависимость <у(АГ) даст нам искомую зонную структуру ФК. Метод разложения по плоским волнам является наименее ресурсоемким по сравнению с двумя вышеописанными методиками, однако накладывает еще целый ряд ограничений (подробно см. главу 2). Например, с помощью него невозможен расчет зонных структур трехмерных металлических фотонных кристаллов. Кроме того, данный метод оперирует лишь с бесконечными периодическими структурами и с помощью него нельзя осуществить расчет спектров отражения пропускания и поглощения.
Достоверность результатов компьютерного моделирования с применением вышеописанных методов обеспечивается системой многократных проверок работы кодов. Для метода конечных разностей БТ)ТГ> выполнены сравнение спектров отражения и прохождения, получаемых для однородной диэлектрической пластины с эквивалентными результатами, полученными аналитически по формулам Френеля. Также работа алгоритма проверена путем сравнения результатов ГОТО с аналитическим решением Ми для одиночной сферы. Верификация слоевого метода Корринга-Кона-Ростокера (ЬККК.)
ю
проведена путем аналогичного сравнения. Отметим, что оба метода демонстрируют высокую степень согласия с аналитическими решениями. Наряду с этим был осуществлен ряд проверок совместной работы этих кодов для расчета эквивалентных более сложных структур, представляющих собой непосредственно ФК. Результаты расчетов соответствующих спектров полученных этими двумя независимыми методами показывают хорошую степень согласия друг с другом. Проведена также серия расчетов направленных на сравнение работы кодов с экспериментальными статьями. Здесь также получена высокая степень соответствия результатов. Достоверность работы алгоритма разложения по плоски волнам (PWEM) также сравнивалась с работой двух вышеуказанных алгоритмов. Положение запрещенных зон для ФК по соответствующим направлениям совпадает с соответствующими провалами в прохождении (максимумами в отражении) полученными методами FDTD и LKKR. Кроме того, работа этого метода была согласована с более ранними теоретическими работами.
Рассмотрим теперь новые научные результаты, полученные в рамках данной диссертации:
1. Впервые методом разложения по плоским волнам получена зонная структура двумерного сверхпроводящего (YBaCuO) ФК в модели Казимира-Гортера. Исследована зависимость ширины и положения запрещенных зон от температуры сверхпроводника.
2. Проведена оптимизация структуры, представляющей собой «поленницу» -периодическую систему скрещенных под прямым углом вольфрамовых прямоугольных параллелепипедов. Выявлены оптимальные геометрические параметры, позволяющие локализовать фотонную щель во всем ИК диапазоне.
3. Исследованы спектры, и зонная структура ФК с геометрией прямого гранецентрированного опала, состоящего из трех слоев, разрезанных перпендикулярно кристаллографическому направлению (111) и помещенных в диэлектрическую матрицу. Показано влияние диэлектрического окружения на спектры поглощения. Впервые найдена связь пространственного распределения энергии электромагнитного поля внутри ФК и структуры соответствующих спектров поглощения. Установлено, что рассмотренный ФК может быть
- Київ+380960830922