Оглавление
1 Введение 4
1.1 Постановка задачи........................................ 5
1.2 Современное состояние проблемы.......................... 18
1.3 Содержание работы........................................24
2 Статистические характеристики эффекта задержки распада шумом неустойчивых состояний. 27
2.1 Эффект задержки шумом распада нестабильных состояний. 28
2.2 Времена распада в случае симметричного потенциала ... 29
2.3 Времена распада в случае антисимметричного потенциала . 33
2.4 Потенциальный профиль с барьером.........................34
2.5 Дисперсия Времени Первого Достижения ....................40
2.6 Выводы...................................................50
3 Времена установления стационарной неравновесной плот-
ности броуновских частиц в среде с источниками и стоками. 52
3.1 Точное решение уравнения ЭФП в случае постоянного потенциального профиля с учетом источника и стока частиц. 53
3.2 Обобщение метода отыскания временных характеристик
на случай систем с источниками и стоками частиц..........59
3.3 Связь временных характеристик в системах с нулевым и
ненулевым стационарным потоком...........................64
3.4 Примеры вычисления времен установления стационарных неравновесных плотностей броуновских частиц в копкрет-
ных потенциалах..........................................68
3.5 Выводы.................................................. 72
2
4 Эффект ускорения диффузии в наклонных периодических потенциалах. 74
4.1 Постановка задачи...................................74
4.2 Эффективный коэффициент диффузии в кусочно-линейном наклонном периодическом потенциале...................76
4.3 Произвольный потенциал. Случай высоких барьеров. ... 86
4.4 Выводы..............................................91
5 Заключение. 92
3
Глава 1
Введение
Задача об исследовании влияния шума на характеристики различных физических систем представляет в настоящее время значительный интерес (см., напр., [1]-[10]). Это связано с тем, что его присутствие в сложных нелинейных системах становится причиной существенных изменений в их поведении. Только в случае достаточно малой интенсивности шума и для систем, имеющих единственное устойчивое состояние равновесия, флуктуации являются мало возмущающим фактором, приводящим лишь к незначительным отклонениям некоторой физической величины от своего среднего значения [11]. Однако, в широком круге задач физические системы имеют несколько локально устойчивых и неустойчивых состояний равновесия. В этом случае под воздействием шума может произойти переход из одного состояния равновесия в другое, распад метастабилыюго или нестабильного состояния и т.д. Таким образом, роль флуктуаций в неравновесных системах во многом становится определяющей. Одной из эффективных моделей для анализа индуцированных шумом переходных процессов в подобных системах является модель броуновского движения частиц в вязкой среде в потенциальном поле сил [6], [8]-[10],(12].
В настоящей работе изучается кинетика флуктуационных процессов в нелинейных динамических системах, далеких от равновесия, в рамках модели одномерной броуновской диффузии.
4
1.1 Постановка задачи
Рассмотрим динамическую систему, описываемую уравнением Лалжеве-
на:
где х - изображающая точка (некоторая физическая величина), характеризующая состояние системы, [/(х) - потенциал, характеризующий саму систему, г] - коэффициент эквивалентной вязкости, £(<) белый гауссо-вый шум, < {(() >= 0, < £(<)£(< + 0) >= 2д - интенсивность шума. Поведение такой системы определяется воздействием двух сил -регулярной (111(х)1г1(1х и случайной {(£).
Если х - это координата броуновской частицы, то уравнение (1.1) описывает броуновское движение в потенциальном поле сил (/(г), в среде настолько вязкой, что инерционностью (массой) частицы можно пренебречь. Поэтому уравнение (1.1) называют уравнением броуновской диффузии. I
Данное уравнение описывает множество различных процессов в таких областях физики как лазерная физика [7],[8],[13], динамический хаос [14],[15], радиотехника [8],[9],[16],[17], обработка сигналов [18],[19], физика диэлектриков [8],[20], динамика солитонов [21],[22], фазовые переходы [23], [24], геофизика [25], физика джозефсоновских переходов [2], [26], [27] диффузия в твердом теле [28], физика плазмы [29] и пр. Кроме того, опо широко используется в химии [30],[31] и биофизике [32],[33].
В большинстве интересных с физической точки зрения случаев потенциал и(х), описывающий конкретную систему, имеет ряд минимумов и максимумов, которым соответствуют устойчивые состояния динамических систем (см. Рис.1.1). Это могут быть, например, различные амплитуды колебаний напряженности электрического поля в лазерах, или различные фазовые состояния вещества, или различные режимы динамических систем (хаотический и ламинарный) и т.д. В отсутствии флуктуаций попавшая в один из локальных минимумов броуновская частица оставалась бы там бесконечно долгое время. Однако под воздействием случайной силы {(/) она может преодолеть потенциальный барьер и попасть в соседний минимум потенциала. Совершая таким образом индуцированные шумом переходы, частица будет диффундировать в потенциальном профиле, большую часть времени находясь вблизи его ми-
5
С А СВ
х
Рис. 1.1:
инмумов. Таким переходам броуновской частицы через потенциальные барьеры соответствуют переходы динамических систем из одного состояния в другое (смена режимов генерации, фазовые переходы, переходы из ламинарного режима в хаотический, глобальные изменения климата и т.д.) Их также называют термически активированными переходами, имея ввиду, что во многих задачах и, в частности, в случае задачи о броуновской диффузии, интенсивность шума берется пропорциональной температуре: д = кТ.
Из-за воздействия флуктуаций время, за которое происходит индуцированный шумом переход, или, другими словами, время пребывания системы ь одном из устойчивых состояний является случайной величиной. Поэтому при решении различных физических задач возникает вопрос о се статистических характеристиках, которые определяются нестационарной плотностью вероятности \У(ху^ нахождения броуновской частицы в точке х в момент времени t. Как известно (см., напр., [8],[9]), функция IV(ху I) описывается уравнением Фоккера-Планка, соответствующим уравнению (1.1):
д\У(Ху 0 _ д ЛЩх) 0&__ д* дх г)(1х 2 дх2
где введено обозначение И = 24/17, с соответствующими граничными условиями, например, И^(±оо,^) = 0.
\У(ху1)у (1.2)
б
Уравнение (1.2) в литературе известно также как уравнение Смолу-ховского. Дело в том, что уравнением Фоккера-Планка (УФП) иногда называют уравнение соответствующее более общему случаю, когда, интенсивность белого шума в (1.1), а следовательно и величина I), является некоторой функцией от координаты О — £(я). Тогда уравнение для плотности вероятности будет иметь следующий вид:
С)W(x,t) dt
д dU(x) О2 D{x) +
дх i)dx дх2 2
Однако, в силу того, что при помощи известной замены переменных [8],[9] уравнение (1.12) сводится к уравнению (1.2) где D = const (произвольная константа) мы можем без потери общности рассматривать только уравнение (1.2) и называть его уравнением Фоккера-Нланка.
Если предположить, что в начальный момент времени t = 0 броуновская частица находилась в точке с координатой х = х0, то за начальное условие УФП (1.2) следует взять: 1У(х,0) = 6(х — хо). В этом случае решением УФП будет плотность вероятности переходов W(x,t) = \V(xo\x, £), являющаяся функцией Грина этого уравнения. Поэтому если за начальное условие взять некоторое произвольное распределение W(х, 0) И'о(х), то решением УФП будет
1У(х,#)= / Wo(xo)W(xo\x,t)dxo.
J-oo
Таким образом зная решение УФП (1.2) с дельтаобразными начальными условиями, т.е. плотность вероятности переходов, мы можем определить решение УФП с любыми заданными пачальными условиями.
УФП (1.2) есть линейное уравнение в частных производных параболического типа с переменными коэффициентами. С помощью замены переменных (см., напр., [34]) это уравнение сводится к уравнению Шрс-дингера:
д\\'(х,0
сП
д21
V(x) + 5?
и к уравнению диффузии:
Стационарное решение УФИ (1.2) легко найти из условия с)\У(х^)/д1 = 0. В результате, как и следовало ожидать, мы получим распределение Больцмана, где вместо температуры стоит интенсивность шума:
іад = АГехр (1-4)
Помимо систем, описываемых уравнением (1.1) и соответствующим ему УФП (1.2) для плотности вероятности Щх,0, в данной работе рассматриваются системы с источниками и стоками частиц, часто используемые в качестве моделей при описании, например, процессов ядерного синтеза [35, 36], диффузии протеинов в микропорах [37], фотопроцессов на поверхности раздела ”газ-твердое тело” [38] и пр. Основная проблема, возникающая при исследовании подобных систем, связана с невозможностью введения для них уравнения, подобного уравнению Ланжевена (1.1) для систем без источников, что приводит, в частности, к значительным сложностям при численном моделировании происходящих в них физических процессов [39]. Вместо уравнения Ланжевена описание подобных систем происходит на языке концентрации броуновских частиц р(х,<), диффундирующих в заданном потенциальном профиле Н(х), которая при наличии внешнего источника $(х,<) описывается неоднородным УФП (см., нанр., [40], [41]):
~дГ = —д7~ + і{хЛ (1'5)
которое в таком виде называют еще неоднородным уравнением диффузии. Здесь £(х,0 - ноток вещества:
С(М) = -§
р(х,*) +
с1х дх
(1.6)
Р - коэффициент диффузии (во многих задачах принимается, что Р = 2кТ/Н), 9?(х) = —^ - безразмерный потенциальный профнль, а
а(х,0 - функция источника или стока. Будем считать, что з(х,*) > 0. Тогда 5(х,<) это число частиц в единицу времени, рождающихся в точке х в момент времени I. Пусть в такой системе задан сток при х -> Ч-оо (т.е. и(х) —оо при х -> Ч-оо). В этом случае в пей может возникнуть
- Київ+380960830922