Невылетание цвета в решеточных неабелевых калибровочных теориях

Содержание
1 Введение 5
1.1 Основные определения................................................ 7
1 2 Источники погрешности в решеточных вычислениях.................... 13
1 3 Проблема конфайнмента, дуальный сверхпроводник, монополії, вихри 14
1.3.1 Монополи в калибровочных теориях............................ 20
1.3.2 Центральные вихри........................................... 31
1 4 Цели работы, практическая ценность полученных результатов и струк-
тура диссертации ................................................. 32
1.4.1 Основные цели работы........................................ 32
1.4.2 Научная и практическая ценность ............................ 33
1.4.3 Структура диссертации....................................... 34
2 Непертурбативная фиксация калибровки 35
21 Фиксация калибровки ................................................ 35
2 2 Фиксация калибровки в симуляциях решеточных калибровочных те-
орий ............................................................. 37
2 3 Алгоритм симулированного медленного охлаждения (simulated annealing) и его применение к фиксации калибровки в решеточных калибровочных теориях.................................................. 41
2.3.1 Алгоритм симулированного медленного охлаждения .... 41
2.3 2 Подбор параметров алгоритма фиксации калибровки .... 45
2 4 Погрешности от грибовских копий .................................. 50
2.4.1 Детали вычислений........................................... 50
2.4.2 Оценка погрешности.......................................... 51
2 5 Применение к абелевому потенциалу................................. 55
2 б Выводы............................................................ 57
3 Абелева и монопольная доминантность в SU(2) решеточной калиб-
ровочной теории 59
3.1 Статический потенциал.............................................. 61
3.1.1 Абелев и неабелев статические потенциалы для фундаментального представления ............................................ 61
3 1.2 Разложение абелева потенциала, динамика монополей и фотонов ............................................................. 66
3.1.3 Потенциал взаимодействия для источников с зарядом два 73
3.2 Универсальность и непрерывный предел в абелевой проекции SU(2)
калибровочной теории.............................................. 76
3 2.1 Улучшенное решеточное действие.............................. 76
3 2 2 Неабелсво натяжение струны ................................. 78
3 2.3 Универсальность и континуальный предел для абелева натяжения струны....................................................... 80
3 3 Глюонные пропагаторы в МА-калибровке в SU(2) калибровочной
теории ........................................................... 82
3.31 Фиксация калибровки.......................................... 83
2
3 3 2 Пропагаторы.............................................. 85
3 3 3 Результаты вычислений.................................... 86
3.4 Выводы........................................................... 95
4 Свойства монопольных кластеров 97
4.1 Плотность монополей.............................................. 99
4.2 Анатомия монополей...............................................102
4.2.1 Результаты вычислений.......................................103
4 3 Свойства перколирующих и конечных кластеров....................107
4.3 1 Сегменты в перколирующем кластере.........................107
4.3 2 Спектр длин конечных кластеров...........................110
4.3.3 Корреляторы монопольных токов ..........................................110
4.4 Монополи и инстаитоны .......................................... 112
4.4.1 Исследование решеточной теории............................115
4 5 Проверка универсальности свойств кластеров.....................122
4 б Монопольные кластеры при конечной температуре.................. 129
4.6.1 Псрколяция монопольных кластеров при ненулевой температуре ............................................................129
4.6.2 Параметр беспорядка в (2) решеточной калибровочной теории ............................................................134
4.6.3 Параметр беспорядка в модели Илинга и в компактной £/(1) 136
4 6.4 Зи{2) теория............................................. 138
4 7 Выводы...........................................................141
5 Применение алгоритма симулированного охлаждения к фиксации
центральных калибровок 143
51 Введение.......................................................... 143
5 2 Процедура фиксации калибровки................................... 145
5.2.1 Грибовские копии .......................................... 145
5.2.2 Реализация БА-алгорнтма.................................... 147
5 3 Натяжение струны в центральной проеции и плотность Р-вихрей . . 148
5.3.1 Детали вычислений...........................................148
5 3 2 Максимизируемый функционал и экстраполяция —* оо . 150
5.3.3 Плотность Р-вихрей ......................................152
5.3.4 Спроецированное натяжение струны ..........................154
5 3 5 б22 в непрямой максимальной центральной калибровке ... 158
5 4 Профиль струны в центральной проекции............................158
5 4.1 Определения................................................159
5.4.2 Результаты вычислений......................................160
5.5 Выводы ........................................................162
6 Абелева и монопольная доминантность в решеточной 811(3) глюо-
динамике и в решеточной КХД 166
6.1 Монопольные кластеры и натяжение струны .......................166
61.1 Параметры вычислений и МА-калибровка.......................167
61.2 Абелевы переменные и монопольные токи......................169
3
6.1.3 Монополи в вакууме КХД.....................................170
6.1.4 Потенциал между тяжелыми кварками...........173
6.1.5 Экранировка магнитного заряда..............................177
6 2 Профиль абелевой струны............................................178
6.2.1 Наблюдаемые................................................178
6.2.2 Результаты.................................................180
6.2.3 Длинные струны.............................................190
6 3 Спектр глюболов и глюлампов в абелевой проекции...........191
6.3 1 Глюбольный спектр .........................................192
6 3 2 Спектр глюлампов ..........................................194
6 4 Выводы...........................................................197
7 Статический потенциал в решеточной КХД при ненулевой темпе-
ратуре и разрыв адронной струны 198
7.1 Критическая температура и статический потенциал в фазе конфай-
нмепта...................................... . . . .198
7.1.1 Критическая температура....................... . . . 201
7.1.2 Потенциал между тяжелыми кварками при конечной температуре 205
7.1.3 Динамика монополей.........................................211
7.2 Мезонная струна при конечной температуре.........................213
7.2.1 Детали вычислений......................................... 214
7.2 2 Зависимость профиля струны от расстояния между кварком
и антикварком...............................................215
7.2.3 Зависимость от температуры в мезонной системе .. . .221
7.3 Выводы .......................................................... 222
8 Структура статического бариона при нулевой и ненулевой темпе-
ратуре 224
8.1 Наблюдаемые..................................................... 225
8.2 Статический потенциал и структура адронной струны в 3-х кварковой системе при нулевой температуре 227
8 3 Структура бариона при ненулевой температуре......................238
8 3.1 Статический потенциал......................................238
8 3 2 Профиль адронной струны....................................239
8.4 Выводы 242
9 Заключение 244
Литература 248
4
Глава 1 Введение
Квантовая хромодинамика (КХД) - это квантовополевая теория, описывающая сильные взаимодействия элементарных частиц [1]. КХД возникла в начале 70-х годов прошлого века в результате синтеза представления о цвете кварков [2], партоиной картины глубоко неупругого взаимодействия [3) и аппарата неабелевых калибровочных нолей [4]. Многочисленные результаты, полученные в КХД, в основном с помощью методов теории возмущений [5], доказывают, что КХД правильно предсказывает и описывает, многие свойства сильных взаимодействий в области высоких энергий. Однако при низких энергиях сильная константа связи а6. растет, делая теорию возмущений неприменимой. Таким образом, для вычислений при низких энергиях нужны другие, непертурбативные, методы вычислений в КХД, позволяющие решать такие задачи, как вычисление фундаментальных параметров КХД -а3 и массы кварков, вычисление спектра масс адронов, разработка теории невылетания цвета и многие другие. Методом, который позволяет решать эти задачи, избегая при этом неконтролируемых приближений, является метод компьютерных вычислений, использующий решеточную формулировку КХД.
В 1974 г. К. Вильсон [б] сформулировал основные идеи решеточного подхода к изучению КХД. Примерно 25 лет назад М. Кройц [7], используя этот подход, сделал первые компьютерные расчеты натя-
жения струны в неабелевой калибровочной модели с группой симметрии SU(2). С тех пор в развитии решеточной КХД (РКХД) пройден большой путь, получено немало результатов, способствовавших развитию нашего понимания непертурбативных свойств КХД. К наиболее значительным результатам можно отнести вычисление натяжения струны, глюбольного спектра, сильной константы связи, температуры фазового перехода, масс кварков. Перечисленные результаты в основном были получены в приближении, называемом ’квен-чет’(quenched) приближением, которое пренебрегает вкладом кварковых петель. Это было обусловлено отсутствием адекватных компьютерных мощностей. Только в последние 5-7 лет началось систематическое изучение РКХД, лишенное этого недостатка. Компьютеры, которые использую!ся в современных исследованиях, примерно в 105 раз мощнее тех, которые использовались в самых первых работах. Результаты полученные на решетке (т.е. в решеточном подходе) широко использую 1ся в феноменологических расчетах. Новый прорыв ожидается в ближайшее время, когда доступными для использования в исследованиях РКХД станут компьютеры с быстродействием 10 Терафлоп. Задачи, которые ставит перед собой сообщество физиков, занимающихся РКХД, можно сформулировать следующим образом:
- Проверка КХД как теории сильных взаимодействий.
- Решение проблем конфайнмеита, спонтанного нарушения кираль-ной симметрии.
- Вычисление фундаментальных параметров КХД.
- Вычисление других физических величин, важных для понимания сильных взаимодействий.
- Поиск отклонения от стандартной модели.
Данная диссертация посвящена изучению проблемы конфайнмеита в иеабелевых калибровочных теориях как без полей материи, так и с
6
фермиоиными нолями (КХД). Инструментом для изучения этой проблемы выбраны компьютерные симуляции неабелевых калибровочных теорий в решеточной регуляризации. Ниже делается краткий обзор основных особенностей решеточной регуляризации, для более детального знакомства с РКХД можно порекомендовать обзоры перечисленные в [8|.
Введение построено следующим образом. В разделе 1.1 даны основные определения решеточной теории. Раздел 1.2 посвящен описанию погрешностей решеточных вычислений. В разделе 1.3 рассматривается проблема конфайнмента и различные подходы к ее решению. Далее, в разделе 1.4 обосновывается актуальность темы диссертации, формулируются цели работы, показаны научная новизна проводимых исследований и их практическая ценность.
1.1 Основные определения
Решеточная формулировка квантовой теории поля имеет следующие особенности. Теория формулируется в евклидовом пространстве в формализме функционального интеграла. Выражение для производящего функционала X имеет вид, похожий на статистическую сумму:
где 5 - действие теории в евклидовом пространстве, А(1(х) - калибровочное иоле, ф(х) - иоле материи. Аналогия со статистической физикой становится совсем полной после введения обрезания путем перехода к дискретному пространству-времени. При этом рассматривается конечный объем в чсгырехмерном евклидовом пространстве, О < х\,Х2,х$,х\ < Ь) и предполагается, что координаты принимают дискретные значения. Таким образом, получаем четырехмерную гииеркубическую решетку с узлами в точках 5 = (51,52,53,64), 1 < вк < N = Ь/а, а - шаг решетки. Компоненты импульса ограничены значением п/а.
(1.1)
7
Решеточное калибровочное поле ии{в) определено на ребрах решетки (з, д) и принимает значения в калибровочной группе, поля материи определены в узлах решетки. Производящий функционал теории сводится теперь к конечномерному интегралу:
где (Ши - мера Хаара на калибровочной группе. Переход от континуального интегрирования к конечномерному интегралу позволяет вычислять квантовые средние численно. Непрерывный предел для физических наблюдаемых, иначе говоря, предел снятия обрезания, соответствует N —» оо и а —> 0, при L = Na = const. При этом голая константа связи д(а) стремится к 0 в соответствии с уравнениями ре-нормгруппы. Реальные расчеты проводятся при конечных N и a, a систематические ошибки оцениваются путем варьирования числа узлов решетки, NA, и шага решетки, а.
Действие КХД имеет вид
- тензор напряженности калибровочного поля, Д, = др1 — гА(1 - ковари-антная производная, калибровочное поле А^ = дА^Т“, Та- генераторы группы с нормировкой Тг ТаТь = з<50ь, 7)г матрицы Дирака, га/ - масса кварка. Решеточный аналог действия (1.3) определен неоднозначно. Решеточное действие должно удовлетворять следующим требованиям:
- калибровочная инвариантность;
- правильный наивный непрерывный предел, то есть предел а —» О, определяемый формальным разложением по степеням шага решетки а: в этом пределе решеточное действие должно переходить в непрерывное (1.3);
(1.2)
S = —^ J d1x TrF^(x) + J d’ar + mf)^f(x), (1.3)
/= і
где ^/, tpj - кварковые поля с ароматом /, Fflt/ = дцА»—Аи\
8
- локальность.
Этим требованиям удовлетворяет бесконечно много решеточных действий. Простейший и наиболее естественный вид решеточного действия был предложен Вильсоном [6]:
S = Sw + Swi (1-4)
где
s(v = a4Y^bis)^f(s)
S,/
+к/“3 мшъ - i)f/p(s)V'/(s+fi)
- (7,< + 1) - №j{b - P)] (1.5)
- ферм ионное действие,
W) (1.6)
-действие калибровочных полей. Параметр К/ - определяет массу кварка, а /? = G/g2 - решеточная константа связи. Поскольку вильсоновское фермионное действие (1.5) нарушает киральную инвариантность (киральная инвариантность безмассовой КХД восстанавливается в непрерывном пределе), масса кварка получает аддитивную перенормировку и определяется следующим образом тп/а = — ^), где
кс - значение параметра к/, при котором масса тг-мезона обращается в ноль. ’Плакетная матрица’ Up = U,iu(s) построена из реберных переменных U^(s) следующим образом:
им = ад1/„(в + ê„)ul(8 + %№(*>) ■ (1.7)
Связь между U^(s) и векторным калибровочным полем Ар(х) можно определить с помощью Р-экспоненты:
Utl(s) = Pe^o(UM^+alp)
9
На практике используются упрощенные выражения. Например, при вычислениях в наивном локальном пределе используют
ии{з) = егаАЛа*) = 1-}- гаА^аз) + ^(гаЛДаз))2 +... (1.9)
Для вильсоновского действия доказано [9] важное свойство положительности трансфер-матрицы Т, то есть оператора трансляций по евклидову времени. Из этого свойства трансфер-матрицы следует, что вероятности перехода между калибровочно-инвариантными состояниями положительны, а гамильтониан теории, определяемый соотношением Т = е“о//, имеет только действительные собственные значения. В наивном непрерывном пределе [б],
27 / ър^{х) +0(“2) 1 (1Л0)
Зу? —* J + + (1.11)
т.е. фермиониое действие Вильсона стремится к непрерывному пределу медленнее, чем действие калибровочных полей. Этот недостаток устранен в улучшенном действии для фермионных полей [10],
= 5», - ^кд а° с$ц/ ^ Ф(з)а,шР1Ш(з)ф(з) = фМ(1Г) гр, (1.12)
5
А
где Ffll/(s) - решеточный тензор напряженности калибровочного поля, = [7^, 7^]/2г, параметр св\у, зависящий от ^ и ас вычисляется непертурбативным образом [11]. Действие 5^ стремится к непрерывному пределу с точностью О (а2). Это фермиониое действие широко используется в последние годы. Другой популярный выбор - улучшенное фермиониое действие Когута-Сасскинда [12], киральные свойства которого лучше, чем у действия (1.12), но есть и существенный недостаток - нарушение флэйворной симметрии. Отметим, что с теоретической точки зрения наилучшим решеточным фермионным действием является действие, матрица М(и) которого удовлетворяет соотношению Гииспарга-Вильсона [13]:
Такое действие обладает киральной симметрией даже при ненулевом шаге решетки. Реализации такого действия были найдены сравнительно недавно [14], ведется интенсивное изучение его свойств, однако практическое использование пока ограничено из-за некоторых технических проблем [15].
Численное интегрирование в интегралах типа (1.2) возможно только но бозонным полям. Интегрирование по фермионным переменным выполняется аналитически:
J vm е~*ит+ = det M(U), (1.14)
J vm 4>a{s')Tj>b{s) е-фщи^ = (M~y(U))abdot M(U). (1.15)
На компьютерах при вычислении вакуумного среднего нужно вычислить интеграл вида:
<0>=^ J VUO{U)e~s^u\ (1.16)
где
Z = J VUe~s'n{u), (1.17)
Sdt{U) = S&(U) - J2 In det Mf(U), (1.18)
/
VU — П3,/г dUn(s), d(Jn(s) - мераХаара на SU(3), Nf - число ароматов. В случае оператора, зависящего от фермионных нолей, под интегралом появляется матрица M~l(U), например, для О = (^Xs'X^X5)? вычисляется интеграл
<0>=^l (1.19)
Уже упоминавшееся ’квенчет’ приближение означает, что в (1.18) положено det Mj(U) = const, или, что эквивалентно, Nj = 0, т.е. вклады кварковых петель не учитываются. Это неконтролируемое приближение и его использование было обусловлено отсутствием достаточно мощных компьютеров. В последние годы был сделан большой шаг
И
вперед. Получены результаты для двух вырожденных по массе легких кварков (ЛГ/ = 2), что соответствует учету и и (1 кварков. Проведены также первые исследования с добавлением третьего кварка, соответствующего 5-кварку, с такой же {И/ = 3) или более тяжелой (М/ = 2 + 1) массой. В главах 6, 7, 8 будут представлены результаты, полученные в Л/у = 2 РКХД при нулевой и при ненулевой температуре с действием (1.6), (1.12).
Вычисление интегралов типа (1.16) для параметров, соответствующих реальной КХД, - весьма непростая задача. Используются крупнейшие суперкомпьютеры, разработка новых алгоритмов для повышения эффективности вычислений является одной из основных задач, решаемых решеточными коллаборациями. Описание этих алгоритмов можно найти в обзоре [16]. Отметим лишь, что при численных расчетах интеграл в (1.16) заменяется суммой по конфигурациям глюонного поля, генерированным с весом, пропорциональным е“5ей^':
где Ог(и) - значение решеточного оператора О на ьой конфигурации, ^сопГ “ число статистически независимых конфигураций глюонного поля.
Необходимый объем вычислений зависит не только от размера решетки, но и от шага решетки и от массы кварка. Полуфеноменоло-гическое выражение для расчетов в КХД с двумя легкими кварками выглядит следующим образом [17]:
где Штг и тр - массы 7г-мезоиа и р-мезона, соответственно (значение отношения тк/тр определяет значение массы кварка). Например, для генерации 100 конфигураций с параметрами тп^/гПр = 0.6 (т.е. массой кварка ~ 50Мэе), Ь = ЗФм, 1/а = 2ГэВ потребуется 100 дней работы
^сопГ
(1.20)
объем вычислений ^
12
компьютера производительностью \ Терафлоп. Отметим высокие степени в (1.21), указывающие на быстрый рост объема вычислений при приближении к термодинамическому (Ь —> оо), непрерывному (а —> 0) и киральному (га*/тр —» 0) пределам.
1.2 Источники погрешности в решеточных вычислениях
Перечислим стандартные источники погрешности в решеточных вычислениях. Для полноты мы приводим полный перечень, хотя некоторые из них (пункты 5 и 6) не имеют отношения к результатам вычислений, представленным в диссертации. Следует также отметить, что перечисленные погрешности являю 1ся контролируемыми, то есть величина погрешности может быть оценена и, в принципе, уменьшена до нужного значения.
1. Статистическая погрешность.
Величина статистической погрешности убывает как <*/у/ где о - среднеквадратичное отклонение, Nconf введено в (1.20).
2. Конечность шага решетки а.
Для получения физического результата должен быть вычислен предел а —+ 0. На практике вычисления делаются при нескольких значениях а, а затем результаты экстраполируются на а = 0. Типичные значения для а: 0.05-----0.15 Фм.
3. Эффекты конечного объема.
Вклады этих эффектов убывают экспоненциально как ехр{—Ь} [9]. В настоящее время типичные значения для размера решетки
Ь: 2----3 Фм, а масса 7Г-мезона больше его физической массы в
3-----4 раза. При этих значениях размера решетки и массы тг-
мезона эффекты конечного объема малы.
4. Экстраполяция к физической массе легких кварков (киральная экстраполяция).
Вычисления проводятся при нескольких значениях массы легких
13
кварков mU)(i в интервале 0.2ms <mq < msi а затем результаты экстраполируются на физическое значение массы легких кварков с помощью киральной теории возмущений. Считается, что экстраполяцию, основанную на киральном эффективном лагранжиане, следует использовать, для значений гаид < пп3/4. Это соответствует значению отношения т^/гПр < 0.4.
5. Тяжелые кварки.
b и с кварки очень тяжелые, для них не выполняется необходимое условие mqa « 1. Поэтому вычисления с тяжелыми кварками не могут проводиться так же, как это делается для легких кварков. Решение состоит в использовании эффективной теории тяжелых кварков (Heavy Quark Effective Theory) или нерелятивистской КХД (NRQCD). Тяжелые кварки рассматриваются как статические или нерелятивистские, и соответствующее действие есть разложение но 1/rriQ исходного действия. Для с кварка возможно также использование обычного, релятивистского, подхода при условии, что шаг решетки во временном направлении много меньше шага решетки в прстранственных направлениях.
6. Согласование решеточной схемы со схемой MS.
Для того, чтобы сравнивать результаты решеточных вычислений для неспектральных величин с экспериментальными значениями, необходимо решеточные значения пересчитывать в обычную схему, например MS. Такой пересчет также является источниеом погрешности.
1.3 Проблема конфайнмента, дуальный сверхпроводник, мо-нополи, вихри
Успехи КХД при описании сильных взаимодействий, с одной стороны, и отсутствие экспериментального обнаружения свободных кварков, с другой стороны, с необходимостью привело к возникновению гипотезы конфайнмента (удержания) кварков в КХД. Уже самые первые ре-
14
шеточные симуляции неабелевых калибровочных теорий в начале 80-х годов подтвердили этот факт. Конфайнмент кварков к настоящему моменту является старой и хорошо знакомой идеей. Однако до сих пор отсутствует строгое доказательство и удовлетворительное объяснение этого явления. Определение механизма конфайнмента в КХД является центральной проблемой физики сильных взаимодействий. Существует несколько теорий, ни одна из которых не стала пока общепринятой. Решеточный метод исследования этой проблемы стал одним из основных.
Общим для многих теорий конфайнмента является объяснение этого явления наличием некоего класса конфигураций калибровочного ноля, которые доминируют на больших расстояниях и обеспечивают удержание кварков. В качестве таких конфигураций рассматриваются иистантоны, мероны, абелевы монополи, центральные вихри. Наибольшее внимание в последние годы получили две теории конфайнмента, одна из которых рассматривает в качестве доминирующих конфигураций абелевы монополи, а другая - £дг центральные вихри. Необходимо отметить также, что существуют подходы, не связанные с доминирующими конфигурациями калибровочного поля, например, метод полевых корреляторов [18], метод эффективного инфракрасного лагранжиана [19].
Что такое конфайнмент кварков? Во-первых, это отсутствие свободных кварков в природе. На практике, это означает, что все эксперименты по поиску свободных частиц с дробным зарядом привели к отрицательному результату. Поскольку в эксперименте также не найдены и свободные глюоны, и все обнаруженные экспериментально сильновзаимодействующие частицы являются синглетиыми по цвету, конфайнмент кварков принято объединять с более общим понятием - конфайнментом цвета - и формулировать как отсутствие частиц с ненулевым цветовым зарядом.
Важным экспериментальным фактом является наличие почти параллельных траекторий Редже в спектре мезонов и барионов. Этот
15
факт привел к появлению гипотезы существования адронной струны: цвето-электрическое поле в системе кварк-антикварк образует ’трубку’. Предполагается, что в КХД цветное электрическое поле, создаваемое кварком, сжимается в трубку с фиксированной площадью поперечного сечения (при достаточном удалении от источников). В этом случае натяжение струны равно
а
= I <Рх± 1-Ёа ■ Ёп, (1.22)
где интегрирование производится но плоскости, перпендикулярной оси трубки. Проблема заключается в том, чтобы объяснить почему электрическое поле между кварком и антикварком сжимается таким образом, а не имеет обычную форму дипольного поля, как в электродинамике, или не исчезает постепенно, как в теориях со спонтанным нарушением симметрии. Считается, что механизм конфайнмепта одинаков для тяжелых и легких кварков. Поэтому достаточно понять коифай-нмент для бесконечно тяжелых, статических, кварков.
Вильсоном был сформулирован критерий конфайнмента для бесконечно тяжелых кварков [6). Рассмотрим 5і/(іУ) калибровочную теорию в решеточной формулировке с тяжелым кварком с массой тд в представлении г группы БЩМ)
5 = ^Е (1.23)
р \ '
Е |(те<?а+4Жвж«) - ^ Е +ъ)и^ЧзЖз+2)
где р обозначает плакеты, 7_;і = —7р, и 11^ - реберная переменная в представлении г, — Д). Фермионная часть действия в
(1.5) и в (1.24) совпадает с точностью до перенормировки решеточного фермионного поля ^(5), если учесть, что к = 1/(2тда 4- 8) Пусть в момент і = 0 создается кварк-антикварковая пара на расстоянии Я вдоль оси X и эта система пронагирует на временной интервал Т.
16
Калибровочно-инвариантный оператор, рождающий такую пару в момент времени £ имеет вид:
Я-1
<3(0 = т 0 П их\пі’ іЩЯх,«). (1.24)
п=0
Тогда для евклидовой функции Грина (коррелятора), используя полный набор состояний гамильтониана системы, можно получить
ЮЧТЮШ -
\4vmv» - (о|е-Я£,а|о)
= ]Г |сп|2е-Д£"Т (1.25)
11
где (...) обозначает вакуумное среднее, АЕп = Еп — £о> £о - энергия вакуумного состояния. Проинтегрируем по кварковым нолям в функциональном интеграле. Для больших гггд главный член в пропагаторс кварка равен произведению реберных переменных вдоль прямой, соединяющей начальную и конечную точки, аналогично для антикварка с заменой и на іД. Получаем
(^(ВДО)) = ~ Iоиит £»(ЭД0)е-5
~ С(тп0 + 4а)-2Т^~ ІШ хАи(Я, Т)]е~3°
~ С(тд + 4а)-2Г1Уг(Я,Т) (1.20)
где и(Я, Т) - произведение реберных переменных вдоль прямоугольного контура, соединяющего положения кварка и антикварка при £ = 0 и £ = Т, Хг(<?) - характер для элемента группы д в представлении г, С - константа, возникающая из-за следа но спинорным индексам,
- действие чисто калибровочной теории. Петля Вильсона 1УГ(Д,Т) по определению равна вакуумному среднему оператора Хг[и{Я^Т)]. Легко получить соотношение
£ |сп|2е-Д£"г ~ С{тпа + 4а)-2ТЖг(й,Т), (1.27)
п
17
где АЕп- разность энергии п-го состояния, имеющего ненулевое перекрытие с состоянием, создаваемым оператором (5, и энергии вакуума. В пределе Т —>оо только состояние с низшей энергией ДЕтгп дает вклад. Вычитая член 1п(тд + 4а), который независим от Я, получаем потенциал взаимодействия статических кварков
Проблема конфайнмента теперь сводится к тому, чтобы доказать, что при больших Я
Заметим, что для гад —► оо это величина, вычисляемая в чисто калибровочной теории. Иначе говоря, конфайнмент является свойством вакуума калибровочной теории в отсутствие нолей материи. Отметим, что прямая связь между конфайнментом кварков и существованием траекторий Редже была установлена Симоновым [20]. Было показано, что из площадного закона для петли Вильсона можно вывести тот факт, что массы мезонов и барионов лежат на асимптотически линейной траектории.
Определение механизма конфайнмента в КХД является центральной проблемой физики сильных взаимодействий. Г. т’ Хофт и С. Ман-дельстам выдвинули предположение, что вакуумное состояние КХД имеет свойства магнитного (т.е. дуального к обычному) сверхпроводника [21, 22]. При этом дуальный эффект Мейсснера является ответственным за образование тонкой струноиодобной трубки хромоэлектрического потока (дуального аналога струны Абрикосова [23]) между кварками в 5£/(Лг) теории Янга-Миллса.
Такой механизм конфайнмента был действительно установлен в компактной КЭД [24, 25, 26]. В этой теории беспорядок, обеспечиваемый топологическими объектами - магнитными монополями - приводит к площадному закону для больших петель Вильсона. Другим примером является N = 2 сунерсимметричная модель Сайберга-Виттена [27]. В этой модели было показано, что конфайнмент возникает благодаря
К-(Я) = — Нш 1оё
Г1УГ(Д,ТЧ1)1 Iад Г) .
(1.28)
КГ(Я) ~ оуЯ
(1.29)
18
конденсации монополей, и было получено эффективное действие для низких энергий, имеющее вид суперсимметричного обобщения абелевой модели Хиггса.
Напомним основы теории конденсации монополей в компактной фотодинамике (компактной калибровочной теории с группой симметрии и( 1) без полей материи) [28]. В этой теории монополії являются классическими решениями, монополями Дирака [29]. Радиальное поле монополя похоже на электрическое поле точечного электрического заряда, |Н| 1 /е2г2, где е - электрический заряд, а фактор 1/е2 появ-
ляется из-за условия квантования Дирака. Соответствующая энергия ультрафиолетово расходится:
где а - шаг решетки, обеспечивающий ультрафиолетовое обрезание. Заметим, что дираковские струны не дают вклада в энергию (1.30) из-за компактности (7(1). В противном случае их вклад привел бы к квадратично расходящемуся члену. Уравнение (1.30) означает, что вероятность найти монопольную траекторию длины L подавлена действием как exp{-const • L/(e2 • а)}. Но это подавление может быть преодолено для значений е2 ~ 1 энтропийным фактором. Действительно, на гиперкубической решетке число N траекторий длины L растет экспоненциально, N ~ ехр(1п7 • L/a), где константа 1п7 имеет чисто геометрическое происхождение. Так как собственная энергия может быть вычислена, приравнивая энтропийный фактор и фактор действия, можно получить оценку е^
Применение этой идеи к неабелевым калибровочным теориям основано на процедуре абелевой проекции [30], которая редуцирует неабелеву SU(N) калибровочную симметрию до максимальной абелевой подгруппы (подгруппа Картана) (/(l)^“1 с помощью фиксации соответствующей калибровки. Тогда теория может рассматриваться как абелева калибровочная теория с магнитными монополями и заряженными нолями материи (кварками и недиагональными глюонами). Идея
(1.30)
19
дуального сверхпроводника реализуется, если эти абелевы монополи конденсируются. В этом подходе низкоэнергетические свойства (т.е. свойства на больших расстояниях) КХД обеспечиваются абелевыми степенями свободы - в этом заключается свойство абелевой доминантности [31]. Предполагая конденсацию монополей и абелевую доминантность, авторы работы [32] получили инфракрасный эффективный лагранжиан для КХД, получивший название дуальной модели Гинзбурга-Ландау. Эта модель обладает калибровочной симметрией и( 1) х [/( 1).
Непертурбативные исследования гипотезы о дуальносверхнроводя-щих свойствах вакуума КХД стали возможны после формулировки абелевой проекции для решеточных калибровочных теорий [33]. В многочисленных публикациях, авторы которых использовали метод компьютерных симуляций решеточных калибровочных теорий (см. обзоры [34, 35, 36, 37]), было продемонстрировано, что максимально абелева калибровка, обладающая свойством перенормируемости [38], является наиболее подходящей для решеточных исследований теории коифайнмента, выдвинутой т’ Хофтом и Мандельстамом. Эти исследования представили свидетельства в пользу наличия у вакуума КХД свойств дуального сверхпроводника, в частности абелевой и монопольной доминантности. Часть этих исследований была проведена автором настоящей диссертации, а полученные результаты легли в ее основу.
1.3.1 Монополи в калибровочных теориях
Мопополъ Дирака
Поскольку абелевые монополи являются одним из основных объектов изучения в данной диссертации, полезно привести некоторые сведения об известных монопольных решениях. П. Дирак ввел монополи в электродинамике в 1931 году [29]. Одной из причин, но которой Дираку потребовалось введение монополей, являлась дуальность между электрическими и магнитными величинами в уравнениях электродинамики. Кроме этого существование монополей объяснило бы квантование
20
электрического заряда. Векторный потенциал монопольного решения в сферических координатах (г,0,0) выглядит следующим образом:
^(f) = %r(\TcosOf* ’ ёф = {~$ІПф'С°^’0)’ (Ш)
где 5ш-магнитный заряд. Векторный потенциал и тензор напряженности сингулярны для в = тг. Вдоль этой сингулярности, называемой ди-раковской струной, калибровочное иоле описывает бесконечно тонкий соленоид с магнитным потоком, равным но величине и противоположным познаку магнитному потоку монополя. Магнитное поле монополя равно
Н(х) = д х А(х) + Йя1{х) = , (1.32)
47ГГ V
где Hst(x) - магнитное поле дираковской струны:
H3t(x) = grnez f dz'6 (x - R(z')) , R(z') = {(), 0, z'j. (1.33)
J-00
H(x) не зависит от этой сингулярности, т.к. деформация дираковской струны эквивалентна калибровочному преобразованию. Это калибровочное преобразование имеет сингулярность, приводящую к изменению волновой функции электрона с зарядом е, совершившего оборот вокруг дираковской струны, на фактор е1в9т. Из требования полной неиаблюдаемости дираковской струны следует условие квантования заряда
едт = 2пп. (1-34)
В случае нестатического монополя отличны от нуля и вклады от дираковской струны в другие компоненты тензора напряженности:
F»»{x) = dpAv(x) - dvA^x) + F^x) (1.35)
Поскольку магнитное поле монополя Дирака сингулярно, его энергия бесконечна.
Монополь т’ Хофта-Полякова
Монополь с конечной энергией был найден в 1974 году т’ Хофтом [39]
21
и Поляковым [40] при изучении модели Хиггса с 311(2) калибровочной группой и полем Хиггса в присоединенном представлении. Моноиоль в этой модели является регулярным решением классических уравнений. Существование таких решений - общее свойство неабелевых калибровочных теорий с компактной полупростой калибровочной группой, в которых происходит спонтанное нарушение симметрии [41]1. Лагранжиан модели, рассмотренной в [39, 40] имеет вид:
£ = +\шппрф)л+\{ФаФа - /х2)2 (1.36)
где ^р(х) - неабелев тензор напряженности поля, = д(1А^—диА^ +
есаЬсАрАсг/, фа(х) - скалярное поле в присоединенном представлении, {В^фУ = д^фа + ееаЪсАь^фс. Монопольное решение в этой модели имеет вид:
еАЦх) = ем* (1 - Г(г)), Аа0 = 0 (1.37)
фа{х) = ха^(1 - Н(г)) (1.38)
Энергия этого решения, то есть масса монополя, равна
где С(т2н/т2у) - медленно меняющаясяевозрастающая функция, 1 < С,(тя/т?г) ^ 1-787 [42], т\у = е//, тц = \/2А/х. Функции Р(г) и Н(г) известны в явном виде только для случая Л = 0 (предел Богомольного, Прасада, Зоммерфельда ):
Пт) = (1-40)
$гпп ецг
1 — Н(г) = сНгеиг---------— (1.41)
в(1Г
В этом случае
Шы - (1.42)
1 Говоря о спонтанном нарушении симметрии в калибровочных теориях, мы имеем в виду нарушение глобальной симметрии в соответствующей теории с глобальной симметрией
22
Глобальная ви(2) симметрия нарушена этим решением, как и в случае классического вакуума, до Ц( 1) - группы вращений вокруг оси, определяемой вектором фа на бесконечности. Эту группу называют электромагнитной. Можно определить калибровочно-инвариантный тензор напряженности электромагнитного поля в терминах исходных нолей:
/> = фпР^ - -/ЬсфЮ,фьОРфс (1.43)
1
Є
и вычислить магнитное поле для решения (1.37-1.38) на большом расстоянии от центра монополя. С точностью до членов, убывающих как
е туГ оно равно
еН, = (1.44)
Г*
Это поле магнитного монополя с магнитным зарядом
47Г
9т = - (1.45)
с
Таким образом, выполняется условие квантования заряда подобное условию Дирака (1.34) . В унитарной калибровке ф1 = ф2 = О
(ыб>
то есть имеет вид (1.31) дираковского монополя с зарядом Неабе-левые компоненты Л1,2, заряженные по отношению к ненарушенной и( 1) убывают экспоненциально, и на больших расстояниях решение выглядит как монополь в абелевой теории. Рассмотренное решение является топологическим солитоном. Топологическое число п равно степени отображения, определяемому полем Хиггса на пространственной бесконечности, 5^ —> £^с, где 5^ - бесконечно удаленная сфера, £>1ас ' сФеРа в пространстве скалярных нолей, определенная соотношением фафа = д2. Поскольку 7гг(52) = Z) отображения —» 52ас характеризуются целым топологическим числом. В общем случае заряд монополя равен дт —
В евклидовой формулировке ви(2) калибровочной теории без полей материи также существует статическое монопольное решение класси-
23
ческих уравнений движения:
Аак(х) = еак£(1 -Дг)), (1.47)
АЦх) = хац(1 -Н(г)) (1.48)
с теми же функциями Я И Я, ЧТО В (1.41). В этом решении роль хигг-совского поля играет А\(х). Энергия решения равна
Б-* (..49)
В этом случае (х является свободным параметром, т.к действие теории масштабно инвариантно. Решение приведено в так называемой радиальной калибровке. Оно также удовлетворяет условию кулоновской калибровки. В этой калибровке неочевидно определение ненарушенной и( 1) группы. В унитарной калибровке решение выглядит следующим образом:
9Л'3(г) = (Ь50)
дЛЦх) = Я(/-Г) —, А\ = А* = 0, (1.51)
Г
дА[(х) = -ешЯтк(в,ф)—И, / = 1,2, (1.52)
где
ц = е-'ФЪеМ2е1ФЪ (153)
является матрицей калибровочного преобразования из радиальной калибровки в унитарную. Интересно, что это решение удовлетворяет также условию максимальной абелевой (далее - МА) калибровки, которое для калибровочной группы 811(2) имеет вид
[дц5к1 + ешА1{х))А1{х) = 0, к — 1,2, (1.54)
а также условию другой абелевой калибровки, определяемой диагона-лизацией оператора поляковской петли. В этом решении абелева компонента имеет вид дираковского монополя с зарядом —47г/<7, а неабе-левые компоненты Аь = преобразуются как заряженные
24