Симметрии пространства состояний в квантовых интегрируемых моделях

Оглавление
1. Введение....................................................................... С
2. Алгебраическим анализ модели Зте-Согбоп....................................... 24
2.1 Каноническое квантование модели Бв в точке свободных фермионов .... 24
2.1.1 Свободные фермионы................................................ 27
2.1.2 Преобразование рассеяния.......................................... 28
2.1.3 Интегралы движения................................................ 31
2.1.4 Бозонизация и экранирующие токи................................... 33
2.1.5 Квантовые функции Йоста........................................... 37
2.2 Алгебра экранирующих токов............................................... 40
2.2.1 Я и 5 матрицы..................................................... 41
2.2.2 Я-матричная формулировка алгебры экранирующих токов............... 43
2.2.3 Бозонизация алгебры Ах/^з^) и £ -регуляризация.................... 40
2.2.4 Конечномерные представления алгебры Ах/^Ь)........................ 51
2.2.5 Сплетающие операторы.............................................. 52
2.2.6 Бозонизация сплетающих операторов................................. 56
2.2.7 Вырождение формул бозонизацнн в точке свободных фермионов ... 62
2.3 Угловое квантование в модели............................................................................................. 63
2.3.1 Угловое квантование на решетке ................................... 64
2.3.2 Угловое квантование в двумерной теории поля....................... 65
2.3.3 Свойства матрицы монодромии в модели Бв .......................... 68
2.3.4 Симметрии модели ................................................. 71
2.3.5 Симметрии модели Бв в точке свободных фермионов................... 75
2.4 Аксиомы форм-факторов в модели Эв..................... 76
2.4.1 Проверка аннигиляциониой аксиомы.................................. 80
Оглавление 3
2.4.2 Связанные состояния солитонов при угловом квантовали................. 87
2.4.3 Общая структура форм-факторов........................................ 89
3. Алгебраический анализ и SU(2) -шитриантноН модели Тирринга...................... 92
3.1 Алгебра динамических симметрий в SU(2) -инвариантной МТ................... 92
3.1.1 Алгебра Ло№)......................................................... 93
3.1.2 Бозоннзация алгебры А)№) ............................................ 97
3.1.3 Сплетающие операторы.................................................101
3.2 Обобщенные следы в SU(2) -инвариантной модели Тирринга....................104
3.2.1 Вычисление следов по пространству Фока И.............................104
3.2.2 Вакуумные средние....................................................108
3.2.3 Вычисления многоточечного следа для операторов Z*((3)................Ill
3.3 Вычисления форм-факторов локальных операторов.............................112
3.3.1 Естественный базис в пространстве форм-факторов......................115
3.3.2 Интегрирование по переменной и...................................... 117
3.3.3 Редукция в количестве интегралов в форм-факторе......................119
3.3.4 Тождества между рациональными функциями .............................120
3.3.5 Особенности форм-факторных интегралов................................126
УК
3.4 Весовые функции для алгебры Aoish)........................................129
3.4.1 Произведения элементов матрицы монодромии............................131
3.4.2 Проекции на подалгебры полутонов.....................................133
3.4.3 Перестановочность проекций и коумножения.............................136
4. Весовые функции и иерархический анзац Бете......................................140
4.1 Основные определения......................................................141
4.1.1 Алгебра Uq{$lz) в генераторах Шевалье................................141
4.1.2 Токовая реализация алгебры Uqislz)...................................142
4.1.3 Борелевские подалгебры Uq(slz).......................................143
4.1.4 Проекции Р± на пересечения борелевских подалгебр.....................144
4.1.5 Составные токи и струны..............................................146
4.2 Универсальная весовая функция.............................................147
4.2.1 Редукция к проекциям струн...........................................148
Огл аил en ne
4
4.2.2 Проекции струи......................................................150
4.2.3 Примеры вычислений проекций.........................................151
4.2.4 Универсальная весовая функция для Uq(sl2) ..........................151
4.2.5 Комбинаторное тождество для ядер Y(t;s) и Z(t\s)....................153
4.3 Аналитические свойства струн..............................................155
4.3.1 Свойства тока /«+*(*) ..............................................155
4.3.2 Экранирующие операторы и проекции тока fc+ß(z)......................157
4.3.3 Доказательство формулы для проекции струны..........................158
4.4 Токовое присоединенное действие и симметризация...........................160
4.4.1 Проекции и аналитическое продолжение................................160
4.4.2 Токовое присоединенное действие.....................................162
4.4.3 Доказательство основной формулы для проекции........................164
5. Бетевские вектора и токовые алгебры ...........................................166
5.1 .Квантовая аффинная алгебра Uq(glN).......................................167
5.1.1 L-операторное описание Uq(glN)......................................167
5.1.2 Токовая реализация алгебры Uq(glN)..................................168
5.1.3 Весовая функция ....................................................170
5.1.4 Модифицированная весовая функция....................................173
5.2 Весовые функции и токи....................................................175
5.2.1 Квантовая аффинная алгебра Uq(slдг).................................175
5.2.2 Вложение алгебры Uq(slN) в Uq(glN) .................................177
5.2.3 Свойства проекций ..................................................178
5.2.4 Построение весовой функции..........................................179
5.3 L -операторы и модифицированные весовые функции...........................180
5.3.1 Оператор монодромии в алгебре Uq(glN)...............................180
5.3.2 Построение весовой функции из операторов Вn(t) ...................183
5.4 Отождествление двух различных конструкций ................................183
5.4.1 Дополнительные сведения об изоморфизме Диига-Френкеля 184
5.4.2 Реккурентное соотношение для оператора B[Ar_jj(f)n..................188
5.4.3 Вычисления проекций.................................................190
Оглавление
5
6. Заключение...................................................................193
Приложение 195
A. Алгебра бозонных операторов..................................................190
B. Квантовые функции Поста в точке свободных фермпонои..........................198
C. Формулы коумноженпя в алгебре 200
О. Сводка основных формул для проекции Р~.......................................204
Е. Коммутационные соотношения с проекциями токов................................207
Р. Прямое доказательство проекции произведения токов............................209
1. ВВЕДЕНИЕ
Всякая квантовая интегрируемая система обладает набором коммутирующих интегралои движения. Главной задачей при исследовании гочно-решаемых моделей является описание пространства состояний или собственных векторов для этого набора коммутирующих операторов. Очень часто такое пространство состояний обладает высокой симметрией и является пространством представления некоторой алгебры. В настоящей диссертации предлагаются новые методы исследования пространств состояний в квантовых интегрируемых системах, применимые как для непрерывных, так и для дискретных квантовомеханических систем с бесконечным числом степеней свободы. Подобные системы исследовались в многочисленных работах на протяжении последних тридцати лет. Интерес к таким моделям возник, отчасти, вследствие прогресса в изучении классических интегрируемых моделей и основывался на развитии метода обратной задачи рассеяния [48, 11]. Будем называть методы исследования квантовой интегрируемой системы, использующие теорию представлений алгебры симметрий - алгебраическим анализом дайной точно-решаемой модели.
Основные свойства квантовых интегрируемых моделей теории поля, отмеченные еще в пионерских работах [1, 4] но первым вычислениям форм-факторов, показали, что этими свойствами являются:
• наличие бесконечного набора независимых интегралов движения;
• отсутствие множественного рождения частиц;
• рассеяние приводит только к перераспределению импульсов между частицами;
• факторизация многочастичной 5-матрицы.
1. Введение
7
Основополагающим и этом списке является свойство интегрируемости, или наличие бесконечного набора интегралов движения, из которого, в принципе, можно получить остальные свойства. Исторически связь между факторизацией матрицы рассеяния и наличием бесконечного набора квантовых интегралов движения наблюдалась на примере отдельных моделей. Так, например, эта связь для O(N)-инвариантной a-модели была замечена Л.М. Поляковым в работе [84]. Нашим основным примером будет другая модель для одного бозонного скалярного поля, задаваемая лагранжианом
H**»«*»-), м
Соответствующая классическая интегрируемая система описывается уравнением движения
О2Ф(я,£) д2Ф(x,t) т2 . , /-аъ/ »\\ г\ (л
+ Ш 5Ш(2^(1'4)) = 0 (12)
в двумерном просранстве-времсни. Эта классическая интегрируемая модель была исследована методом обратной задачи теории рассеяния в работах [17, 10, 20] и проквантована в квазиклассическом приближении в работах [12, 34]. В частности, в этих работах был получен спектр состояний в модели SG, а сами состояния были названы Призерами’, по названию соответствующего классического решения уравнения (1.2). Классическое уравнение (1.2) кроме бризерных решений имеет солитонные решения. При дальнейшем исследовании этой квантовой интегрируемой модели двумерной теории поля оказалось, что состояния, отвечающие классическим солитонным решениям, являются базовыми (элементарными) состояниями в этой модели. Эти ‘квантовые солитоны1 обладают фермн-онной статистикой и бризерные состояния могут быть интерпретированы как связанные состояния квантовых солитоиов.
На примере квантовой модели Sine-Gordon в работе [15] был развит квантовый метод обратной задачи рассеяния. Рассматривая эту модель в дискретном пространстве, были получены коммутационные соотношения для элементов матрицы монодромии в их современном виде
Л(А - /1,0 (Г(А) 0 7М) = (Т(/,)®Т(А)) Д(А - /1,0, (1.3)
I. Введение
8
где Я-матрица имеет вид
(sh ^
О
О
О
\
О sh
О
(1.4)
О
О
О
о
о
/
а параметр £ связан с константой связи SG модели /3 соотношением
В работе [15] квантование модели проводилось методом дискретизации непрерывного оператора Лакса, и в этом случае матрицей монодромии является упорядоченное по одномерной пространственной решетке произведение этих дискретных операторов Лакса. Из уравнения (1.3) следует, что
После соответствующего разложения квантовой трансфер матрицы trT(A) по спектральному параметру А можно получить бесконечный набор локальных интегралов движения, и последнее соотношение показывает, что они находятся в инволюции или коммутируют. Способ доказательства коммутативности коэффициентов трансфер матрицы, следующий из уравнения (1.3) и предложенный в работе [15], подобен методам развитым Р. Бакстером [2] для интегрируемых или точно решаемых моделей статистической физики на двумерных решетках. Авторам работы [15] пришлось посадить модель (1.1) на решетку и показать, что непрерывный предел не нарушает свойство сплетения (1.3).
В работе |1б] были построены также собственные вектора для этих квантовых интегралов движения, параметризованные решениями трансцендентных уравнений Бете [30]. Этот метод нахождения собственных векторов в квантовых интегрируемых системах получил современное название ‘Алгебраический анзац Бете’. В работе [16] была также получена матрица рассеяния элементарных возбуждений и отмечено ее совпадение с матрицей солитон-антисолитониого рассеяния, полученной А.Б. Замолодчиковым в работе [9] из совершенно других принципов. Эта матрица зависит от относительной быстроты 0 стал-
(ігТ(А),іг70і)] = 0.
1. Введение
9
кивающихся частиц и имеет вид
1 эЬ (
Б[0) =
эЬ
О — тгг
~Г~.
\
О — яг
“Г".
о
о
о
О
(т.
о
бЬ
та
7.
О
О
о
о
О - 7Г2
(1.6)
/
где г(0,{) - множитель, определяемый полубссконечным произведением отношений сдвинутых Г -функций (см. точную формулу (2.86)). Из сравнения явных формул для Я и 5 матриц видно, что хотя они достаточно похожи, но существенно отличаются периодами тригонометрических функций, которые входят в матричные элементы этих матриц: 2тгг(£ + 1) и 2лг£ соответственно. Л-матрица также имеет подобный г(0,£) множитель, который не фиксируется коммутационным соотношением (1.3), однако проявляется при коммутировании квантовых аналогов функций Йоста. Забегая вперед, скажем, что одной из мотиваций настоящего исследования была попытка объяснить появление двух разных структур, связанных с Л и 5 матрицами в модели ВС с единой алгебраической точки зрения. Результатом исследования этого вопроса было открытие новой алгебраической структуры, лежащей в основе интегрируемости квантовой модели Эв. Многие результаты, полученные в этой модели, удалось объяснить из теории представлений этой новой алгебраической структуры.
Вернемся к описанию метода, позволившего получить точные 5 матрицы в различных моделях теории поля в двумерном пространстве-времени. Очевидно, что для произвольной модели полная релятивистская 5-матрица является сложным объектом. Однако если в модели присутствует факторизованное рассеяние, то тогда структура этой матрицы существенным образом упрощается. Процесс многочастичного рассеяния в двумерном пространстве-времени можно представить как последовательность двухчастичных столкновений так, что между столкновениями частицы движутся как свободные. Миогочастич-ная 5-матрица является в этом случае упорядоченным произведением двухчастичных 5-матриц. Факторизация рассеяния является типичным для рассеяния солитонов в классических интегрируемых системах, поэтому следует ожидать повторения этого явления при квантовании таких систем. В работе [54| впервые был предложен метод, позволяющий из ряда предположений получать явные формулы для точных 5-матриц рассеяния
]. Введение
10
элементарных возбуждений в квантовых полевых моделях. Этими предположениями являются;
• наличие бесконечного набора квантовых интегралов движения;
• условия унитарности и кросс-симметричности рассеяния;
• условие ‘минимальности’, то есть отсутствие лишних полюсов у амплитуд рассеяния в области физических значений быстрот частиц;
• наличие скрытой симметрии и некоторые предположения о спектре элементарных возбуждений в модели.
В работе [98| этот метод был применен для получения факторизованных 5-матриц в моделях Sine-Gordon, Gross-Neveu и O(N) -инвариантной а -модели. Основой метода является требование равенства амплитуд и фаз рассеяния при сравнении двух разных способов описать трехчастичное рассеяние, что приводит к нетривиальному кубическому уравнению на матричные элементы двухчастичной матрицы рассеяния. Эти уравнения, названные уравнениями факторизации, являются необходимым условием возникновения факторизованного рассеяния и для массивной модели Тирринга были получены в работе [53]. Ранее уравнения факторизации были рассмотрены в задачах, описывающих иереля-тнвистские частицы, взаимодействующие 6-образными потенциалами [76]. В настоящее время уравнения факторизации называют уравнением Янга-Бакстера, возникающим не только в задачах о факторизации рассеяния, но и во многих непрерывных и дискретных квантовых интегрируемых моделях. С математической точки зрения эти уравнения означают коассоциативность алгебры симметрий, стоящей за феноменом интегрируемости.
Нашим основным предметом исследования будет модель GS, описывающая взаимодействующее скалярное ноле. Эта модель на квантовом уровне эквивалентна массивной модели Тирринга (ММТ) [96], задаваемой лагранжианом
£Ть = адг'тЧад - дДфгУ Ф(ж) - тФ(а:)Ф(а;) - g (ф(х)уф(z))2 . (1.7)
Она описывает взаимодействующее массивное фермионнос ноле Дирака. Эквивалентность на квантовом уровне означает совпадение рядов теории возмущений при следующем отож-
1. Введение
11
дсствлении констант взаимодействии п нолей в этих моделях [33|:
тгО-О _ 1-/3-
2$ Д2 ’ (1-8)
4= e'-'U'HxV) = Ф(.т°!1,)7,‘Ч'(х0,г') ,
у/7Г
cos(2y/nj3$(x0,x1)) = Ф(а:°, х1)'Р(х0, а:1) , (1.9)
где £liU антисимметричный тензор в двумерин, нормализованный условием £01 = 1. Эквивалентность бозонной и фермионной моделей отмечалась ранее в работах Т. Скнрма [93], где упоминалось, что солитонные моды уравнения SG являются фермионами, и их взаимодействие описывается моделью Тиррипга. Точное утверждение было доказано С. Колс-маном, который показал, что ряды теории возмущений для ММТ совпадают почленно с рядами теории возмущений в модели SG при отождествлении (1.8) и (1.9). Отождествление этих двух квантовых моделей дает, по-видимому, первый пример дуальности, когда квази-классическнй предел модели SG Р2 —► 0 соответствует пределу большой константы связи для модели Тиррипга g —* со. Еще одно полезное свойство этой эквивалентности видно из формулы (1.8). При р2 = 1 константа взаимодействия в ММТ пропадает (д = 0), и теория становится свободной. Взаимодействие в модели SG при этом не исчезает, что позволяет нам использовать каноническое квантование модели массивных свободных фермионов для прояснения нетривиальной алгебраической структуры, стоящей за интегрируемостью в квантовой модели SG. Отметим также, что фермион-бозониое соответствие как вспомогательное средство использовалось также при исследовании классических интегрируемых систем в работах группы М. Сато [87].
Одной из основных задач при исследовании квантовых теорий поля является вычисление корреляционных функций локальных операторов в теории. В интегрируемой ситуации и в случае моделей, которые мы будем рассматривать, программа вычислений корреляционных функций делится на три нгага: 1) знание спектра элементарных возбуждений и уравнений факторизации рассеяния дает возможность построить точные 5-матрицы;
2) матричные элементы локальных операторов в пространстве состояний теории можно построить, используя форм-факторную программу, для которой точные формулы для 5 -матриц являются исходными данными; 3) корреляционные функции получаются суммированием произведений этих форм-факторов по всем промежуточным состояниям. В полном объеме эта программа, называемая иногда программой ‘bootstrap’ или 5-матричным под-
1. Введение
12
ходом, была реализована в настоящее время только для простых моделей, в которых отсутствуют взаимодействия (см., например, работу [28)). Отмстим, что классический подход к задаче вычисления корреляционных функций означает теорию возмущений. В последнее время группой исследователей из Berlin Freie Univcrsitat была осуществлена программа сравнения результатов программы ‘bootstrap’ в отдельных моделях с классическим подходом, использующим теорию возмущений, и было установлено полное согласие этих двух подходов [22).
Здесь следует упомянуть и программу конформного бутстрапа, предложенную Л. Поляковым в 1970 году. Основанием этой программы является гипотеза о конформной инвариантности критических явлений статистической физики, а именно, конформной инвариантности эффективной теории ноля, описывающей статистическую модель в окрестности точки фазового перехода. В работе [14] были получены ограничения на вид корреляционных функций, которые следуют из условий конформной инвариантности. В конформной теории поля основным объектом является операторная алгебра квантовых полей Ф*(ж)? зависящих от координаты точки х
где А*,. масштабные размерности поля Ф*(я). Эти масштабные размерности определяются правилом: х —* Ах, Ф*(я) Лд'сФ*:(Лх). В теориях с взаимодействием спектр размерностей {А*} является аномальным в отличие от размерностей свободной теории. Например, в простейшей модели безмассовых двумерных фермионов с четырехфермион-ным взаимодействием, спектр операторов зависит непрерывным образом от постоянной, характеризующей степень взаимодействия. Структурные коэффициенты операторной алгебры являются основной динамической характеристикой конкретной теории и программа конформного бутстрапа позволяет получить соотношения на эти коэффициенты.
Конформный бутстрап применим в исследованиях безмассовых двумерных теорий поля. В этом случае алгебра конформных преобразований двумерного пространства-времени (конформные преобразования сохраняют на плоскости углы) является бесконечномерной. Реализованная в пространстве операторов теории она совпадает с прямым произведением двух алгебр Вирасоро, возникших в дуальных моделях сильных взаимодействий. В работе [25) было показано, что локальные поля, образующие операторную алгебру, могут быть классифицированы но неприводимым представлениям алгебры Вирасоро, и что коррсля-
CL
<
1. Введение
13
ционные функции строятся из ‘конформных’ блоков, которые полностью определяются конформной инвариантностью.
В массивной интегрируемой двумерной теории поля могут реализовываться два режима. На малых расстояниях и при больших импульсах можно пренебречь массой и рассматривать теорию как конформную с некоторым спектром операторов и их аномальных размерностей. На больших расстояниях и малых импульсах можно воспользоваться 5-матричной формулировкой или форм-факториым бутстрапом, где теория будет описывать рассеяния массивных физических частиц. Асимптотика корреляционных функций на малых расстояниях будет предметом вычисления операторной алгебры в некоторой конформной теории ноля, а массивная 5-матричная теория будет описывать асимптотики этих функций па больших расстояниях или окрестности полюсов этих функций в их импульсном представлении. В силу этого замечания, не удивительным является факт, подмеченный еще в пионерской работе [72] о том, что техника, возникающая при анализе массивных теорий в импульсном пространстве, похожа на технику, применяемую в конформных теориях поля в координатном пространстве [40]. Если продолжить эту аналогию, то наше исследование, использующее для алгебраического анализа (в импульсном представлении1) модели Бв алгебру токов Аг/^вЬ), похоже на исследование модели Весса-Зумиио [56]. Но, конечно же, эта аналогия достаточно условная, так как алгебры токов, используемые в этих моделях, являются абсолютно различными. Их теории представлений существенно разнятся.
Вернемся к 5-матричной формулировке интегрируемых теорий ноля. Первый шаг по нахождению точных £-матриц был описан выше и проделан в многочисленных работах для большого числа интегрируемых моделей. Второй шаг, известный как форм-факторная программа, была заложена в работе [55] и окончательно развита в книге [90]. В основании этой программы лежит система аксиом, которым должны удовлетворять форм-факторы локальных операторов как функций быстрот, параметризующих состояния. Позже мы дадим точную математическую формулировку этих аксиом, а пока скажем, что в релятивистской квантовой теории ноля все они являются следствием того факта, что корреляционные функции локальных операторов должны исчезать на пространственно-подобных
1 Под этих! мы понимаем только то, что вершинные операторы, используемые при бозоннзации, зависят от быстрот (импульсов) частиц, а не от положения в двумерном пространстве-времени.
1. Введение
14
интерны! ах.
Результатом выполнения этой программы являются явные интегральные формулы для обобщенных форм-факторов локальных операторов, в которых сам локальный оператор характеризуется подиитегралыюй функцией определенного типа (см. конец следующей главы). Этот результат не является неожиданным, так как комбинация двух первых аксиом эквивалентна разностному (квантовому) уравнению Книжиика-Замолодчикова (КЗ) на уровне ноль [56,47], общие решения которых представимы в интегральном виде [3]. Теория уравнений КЗ, возникших в теории модели Весса-Зумино |56], развивалась в неразрывной связи с теорией представлений токовых алгебр [97], поэтому естественно ожидать, что решение форм-факторной программы, так или иначе, связано с теорией представлений некоторых бесконечномерных алгебр. Эта связь была действительно обнаружена и тщательно исследована на примере XXZ модели Гейзенберга [51]. Так как наше исследование будет во многом параллельно этим результатам, мы кратко изложим основные положения итоговой книги |51|.
Существенным прогрессом в понимании структуры квантовых интегрируемых моделей в термодинамическом пределе стал метод Бакстера угловой трансфер матрицы (УТМ) [2].-, Было замечено, что УТМ для некоторых интегрируемых моделей на бесконечной решетке имеет ограниченный снизу эквидистантный спектр и следовательно может быть описана бесконечным набором осцилляторов. Это наблюдение позволило развить новый подход к квантовым интегрируемым моделям на решетке. Это было сделано группой из Киотского университета на примере модели XXZ в антиферромагнитиом режиме, когда параметр
л
анизотропии |Д| > 1 [51]. Используя бесконечномерные представления алгебры Uq{sl2) с вещественным параметром деформации -1 < q < 0, были получены замкнутые интегральные представления для корреляционных функций локальных операторов и их формфакторов в этой модели. Гильбертово пространство состояний модели XXZ на бесконечной решетке отождествляется с бесконечным произведением двумерных пространств
Hxxz « • • • С2 ® С2 <Э С2 ® С2 <g> С2 0 С2 • • • . (1.10)
Одной из основных идей конструкции [51] было разложение этого пространства состояний на два полубесконсчных произведения
Hxxz ~(* • • С2 0 С2 О С2)®(С2 0 С2 ® С2 • • •)« Н'сгм ® Нстм = End {Пет) * (1-11)
1. Введение
15
В каждом из пространств 'Нет 11 ^еггм УТМ действует естественным образом. Эти пространства могут быть отождествлены с интегрируемыми модулями над алгеброй Uq{sl2) с уровнями 1 и -1. Разложение (1.11) приводит к отождествлению состояний в гильбертовом пространстве Hxxz с операторами, действующими в Нсгм • Пространство End (Wctm) оснащается естественным скалярным произведением (Л, В) = TrПсгмАВ, вакуумный вектор в Нххг отождествляется с (-д)Яс™ , где йеггм есть гамильтониан угловой трансфер матрицы.
Теория представлений квантовой аффинной алгебры Uq(sl2) содержит операторы, которые сплетают ее действие в Wctm (сплетающие операторы типа I и типа II). Операторы типа II используются для построения базиса асимптотических состояний в End (Нстм), тогда как операторы типа I используются для построения трансфер матрицы и локальных операторов. Более того, присоединённое действие элементов квантовой аффинной алгебры на пространстве End (Нстм) описывает симметрию модели, которая совпадает с алгеброй Uq(sl2) на уровне 0. Еще одним следствием этого подхода является возможность представить форм-факторы локальных операторов и корреляционные функции их произведений в виде многократных интегралов, которые получаются из следов но пространству Нстм от некоторых произведений сплетающих операторов. Иными словами, теория представлений алгебры Uq(sl2) доставляет решение форм-факторной программы в XXZ модели Гейзенберга.
Вернемся к непрерывным интегрируемым моделям. То, что за интегрируемостью этих моделей стоят некоторые сложные алгебраические структуры, было понятно давно. Исследованию проявлений этой структуры были посвящены многочисленные работы, см., например, [86, 69, 70, 29]. Во всех этих работах исследуется какая-то часть симметрий непрерывных моделей, но нет ответа на вопрос об общей алгебраической структуре, стоящей за многими, на первый взгляд, не связанными явлениями. В частности, до начала исследования, результаты которого изложены в настоящей диссертации, не была известна бесконечномерная алгебра токов, теория представлений которой давала бы решения форм-факторной программы в случае непрерывных двумерных интегрируемых теорий ноля и в частном случае модели SG объясняла бы наличие двух квантово-групповых структур, связанных с R и S матрицами в этой модели. Как мы уже отмечали выше, в настоящей диссертации будет предъявлена и исследована такая алгебраическая структура.
1. Впадение
16
Модель 8шс-Сог<1оп в двумерном пространстве-времени Мииковского описывается лагранжианом (1.1) и эквивалентна массивной модели Тирриига (1.7). Мы персскалировали константу взаимодействия в модели Бв > у/4кр по сравнению с общепринятой нор-мировкой так, чтобы при /?2 = 1 исчезало взаимодействие в ММТ, и она становилась свободной теорией массивных дираковских фермионов. Такое значение параметра Р2 мы будем называть точкой свободных фермионов (СФ).
Квантовая теория БС является наиболее фундаментальной интегрируемой квантовой теорией ноля в двумерном пространстве Мииковского, и поэтому является важным полигоном для развития новых методов исследований. Спектр элементарных возбуждений в модели зависит от параметра £ и при его значениях 1 < £ < оо содержит только возбуждения, отвечающие фермионным полям ММТ, которые будем называть солитонами и антисолитоннами. Значение £ = 1 соответствует точке СФ, а на интервале 0 < £ < 1 модель содержит бризеры: связанные состояния солитона и антисолитона. Если пренебречь скалярным множителем в выражении (1.6) для в -матрицы солитон-антисолитонного рассеяния, то при выборе мультипликативного спектрального параметра г = е~0'^, где в является относительной быстротой частиц, матрицу рассеяния можно записать в виде V- .
/ п \
s[o, О
N 1 ■—< 1 0 0 0
0 z-г-1 7 1 0
0 q-q~l Z - Z 1 0
0 0 0 zq - z~l
, g = охр (1.12)
Эта форма записи подчеркивает квантово-групповую симметрию гильбертова пространства состояний модели относительно конечномерной квантовой группы Uq(sl2) [8G, 68).
Л-матриц)' (1.4), участвующую в коммутационных соотношениях элементов матрицы монодромии, также можно переписать в виде (1.12), но с дуальным параметром деформации q' = exp * ^т0 110ДчеРК1!вает наличие в модели SG двух квантово-групповых
симметрий с дуальными параметрами деформации q и с/. Заметим также, что даже в точке СФ, где р2 = 1, Я-матрица, участвующая в коммутационных соотношениях (1.3) на матричные элементы монодромии, является нетривиальной. Это является следствием того факта, что матрица монодромии построена из полей ехр(гФ/2), которые нелокальны по фермионным полям при бозои-фермиоином соответствии (1.9).
Как мы видим, модель SG обладает двумя квантово-групповыми симметриями, для
1. Вкедашс
17
которых параметры деформаций связаны преобразованием дуальности (2.91). Попытка объяснении этого явления была предпринят в работе С. Лукянова [72]. Автор использовал технику бозонизации свободными полями массивной интегрируемой теории ноля, подобную той, что была построена в работе [40]. Впоследствии, эти идеи были обобщены для интегрируемых моделей на решетке, связанных с эллиптическими токовыми алгебрами [45]. Следуя этим идеям, в работе |61| была предложена алгебра экранирующих токов со специфическими коалгебраическими свойствами. Эти свойства позволили восстановить бозоннзацию, предложенную в работе [72], исходя из теории представлений алгебры экранирующих токов.
Метод Бакстера УТМ для непрерывных интегрируемых моделей был развит в работах [72, 31] и основывается на методе углового квантования. Полное гильбертово пространство состояний непрерывной интегрируемой модели в бесконечном объеме вкладывалось в тензорное произведение
Н^Нь^Нн, (1.13)
где Нь и (Нц) являются гильбертовыми пространствами состояний при квантовании в левом (правом) конусе. Правый конус в двумерном пространстве Мииковскогб совпадав! с областью
(х0)2 - (х1)2 <0, X1 > 0 , (1.14)
где х° время, а х1 пространственная координата. Соответственно левый конус есть область пространства
(х0)2 - (х1)2 <0, х1 < 0 . (1.15)
Выберем параметризацию прстраиствеино-врсменных координат в правом конусе
х0 = гзЬа, х^гсЬа, г > 0, абМ . (116)
Левый конус может быть формально получен вращением а —> а — т или применением оператора ё*к где К является генератором лоренцовского вращения К = -1да. Пространство Нь может быть отождествлено с дуальным к Ни пространством, и поэтому состояния полного гильбертового пространства состояний могут быть реализованы как операторы в 77/?.
В работе |72] было предположено, что пространство Лц и модели ЭС может быть реализовано как пространство Фока с действием операторов, удовлетворяющих комму-
1. Введение
18
тацноииым соотношениям алгебры Замол одни нова-Фаддее на. Впоследствии, в работе (611 эти операторы были отождествлены со сплетающими операторами в теории представлений
>■4
уровня 1 алгебры токов • Эта реализация совпала с бозонизацией, использован-
ной в работе [72]. Одним из главных аргументов в пользу этих математических конструкций было совпадение форм-факторов локальных операторов в теории со следовыми вычислениями в Лц.
Перейдем к краткому изложению содержания диссертации.
Во второй главе диссертации будет развит метод углового квантования в двух направлениях. Во-первых, мы проанализируем модель в правом конусе двумерного пространства Минковского в точке свободных фермионов, где каноническое квантование эквивалентной модели свободных массивных фермионов может быть сделано явно [62]. Мы увидим, что стандартные сохраняющиеся заряды в этой модели [69] расходятся, и единственный способ получить алгебру симметрий это использовать аналитическое продолжение сохраняющихся зарядов, или данные рассеяния. В этом случае бозонизация, использованная в работе [72], возникает естественным образом. В дальнейшем мы покажем, что для того чтобы алгебра симметрий замкнулась, необходимо рассмотреть дополнительные токи с дуальной монодромней. Полная алгебра симметрий (алгебра нелокальных сохраняющихся зарядов), которая может быть найдена в этом случае, совпадает со специализацией в точку свободных фермионов (£ = 1) алгебры токов Ащ{81г), предложенной в работе [61].
Во-вторых, мы исследуем пространство состояний непрерывной модели БС по аналогии с теоретико-групповым подходом к аналогичному пространству состояний в модели XXZ [51]. Будет показано, что, используя представления уровня один алгебры токов Ах/^э^), можно определить вакуум, асимптотические состояния и операторы, которые действуют на пространстве асимптотических состояний. В отличие от интегрируемой квантовой цепочки, эти операторы получаются из асимптотических разложений производящих функций локальных операторов. Будет определено присоединенное действие алгебры Ау^зЬ) на пространстве состояний и показано, что известные симметрии этого пространства, связанные с сохраняющимися нелокальными токами [29,75) и формулируемые в рамках квантовой аффинной алгебры на уровне 0, могут быть получены из этого присоединенного действия путем асимптотического разложения. В сжатом виде это описание выглядит следующим образом.
1. Введение
19
Гильбертово пространство Н раскладывается также как и в (1.13). Пространства Hr
и Hi являются модулями старшего веса с уровнями 1 и -1 над алгеброй токов
так, что состояния в Н могут быть отождествлены с некоторыми операторами в Hr . В частности, физический вакуум |vac)p], отождествляется с оператором
|vac)pu = е*к = e~i1,da, (1.17)
где ос является угловым временем в нравом конусе, а состояния |0Ь... ,Bn)iUMiCn с произведением
^>«. - - - (1.18)
где Z*(0) есть сплетающие операторы для алгебры токов Ai/ç{sl2), kotoiîlic также дей-ствуют в Hr. Присоединенное действие алгебры A\/z(sl2) не является стандартным, так как эта алгебра не является алгеброй Хопфа. Действительно, соотношения умножения и коумножения в алгебре -4i/^(^/2) и терминах L-операторов могут быть записаны в виде:
-tl2>( + c)Li(tti,0£2(U2>0 = -ti2,Ç) » (L19) ’
A°pL(h,Ç) = L(u - iirc^/4,Ç + CW) 0 L(u + гтгс^/4,£) , (1.20)
где Я-матрица 7Z(u,Ç) определена соотношением (2.85) и с есть центральный элемент в алгебре A\/ç(sl2) • Обратим внимание, что R-матрицы в левой и правой частях соотношения (1.19) отличаются на центральный элемент алгебры, что означает нарушение коассоциативностн. В настоящее время известно, что алгебра симметрий модели SG является квази-хопфовой алгеброй [42] и может быть получена скручиванием дубля Янгиаиа. Коалгсбраическая структура этой квази-хонфовой алгебры была использована в работе [G1] для построения сплетающих операторов модулей старшего веса при значении центрального элемента с = 1.
Присоединенное действие имеет различный вид для подпространств Tii € Ti, г = 0,1
с четным и нечетным числом частиц и включает в себя инволюцию алгебры .4i/{(s/2)
i(L(u)) = azL(u)az . (1-21)
Для состояния Xi€Hi, i = 0,1 присоединенное действие определено формулой
AdL{tl;<) ■ Xk = i (L~l(u + iirc/4-,0) Xk it+1 (L(u -in + гггс/Ч; £)) • (1-22)