Поляризационные эффекты в оптике неоднородных прозрачных сред

Содержание
Введение..................................................................... 3
Глава 1. Оптический эффект Магнуса........................................ 35
7.7. Вывод уравнения траектории пучка лучей из укороченного
действия (принципа Ферма)............................................. 35
1.2. Вывод уравнения траектории пучка лучей с учетом циркулярной поляризации из укороченных векторных волновых уравнений........ 50
1.3. Учет временной дисперсии в оптическом эффекте Магнуса. 56
1.4. Математическое моделирование оптического эффекта Магнуса на основе метода мод.............................................. 62
1.5. Обсуждение результатов........................................... 69
Глава 2. Обобщенный закон Рытова.......................................... 72
2.1. Закон Рытова в геликоидальной системе координат. ............... 72
2.2. Обобщенный закон Рытова в произвольной криволинейной
системе координат...................................................... 79
2.3. Обобщенный закон Рытова в четырехмерном пространстве Минковского.................................................... 82
2.4. Геометрический смысл обобщенного закона Рытова.................... 84
2.5. Поворот поперечной структуры поля в геликоидально скрученном многомодовом световоде (метод мод)............................. 87
2.6. Поворот поперечной структуры луча в геликоидально скрученном многомодовом световоде (метод геометрической оптики)........... 90
2.7. Влияние кручения траектории пучка лучей на кривизну траектории (вывод из принципа Ферма и укороченных векторных волновых уравнений)............................................ 92
2.8. Влияние параметров поверхности фазового фронта на
траекторию пучка лучей................................................ 98
2.9. Обсуждение результатов.......................................... 100
Глава 3. Распространение излучения в поглощающей среде. 102
3.1. Движение поляризованного пучка лучей по геликоидальной траектории постоянной кривизны в поглощающей среде............ 102
3.2. Математическое моделирование в приближении геометрической оптики процесса распространения излучения в поглощающем
световоде............................................................ 108
3.3. Обсуждение результатов.......................*.................. 118
Глава 4. Поляризационные эффекты при наличии продольного магнитного поля............................................................ * ^
4.1. Теория поворота спекл-картины в маломодовом световоде при наличии продольного магнитного поля........................... 119
4.2. Результаты численных расчетов................................... 126
4.3. Обсуждение результатов.......................................... 142
Глава 5. Поляризационные эффекты в линзах.................................. 145
5.1. Расчет распределения интенсивности в пространстве изображений тонкой линзы по програ.мче “Линза”................ 145
5.2. Математическое моделирование эффекта поперечного сдвига фокальной перетяжки, обусловленного знаком циркулярной
поляризации.......................................................... 155
1
5.3. Анизотропия продольной компоненты излучения в фокальной перетяжке, обусловленная знаком циркулярной поляризации.............. 164
5.4. Поперечное отклонение пучка лучей внутри фокусирующей линзы. 167
5.5. Обсуждение результатов....................................................... 172
Глава 6. Поляризационные эффекты на основе уравнений Максвелла в форме Майорана............................................................... 174
6.1. Вывод из уравнений Максвелла в форме Майорана уравнения траектории пучка лучей, описывающего оптический эффект Магнуса. 175
6.1.1 Оптический эффект Магнуса......................*............ 178
6.1.2 Аналог оптического эффекта Магнуса для безмассовых частиц с полуцелым
спином...................................................................... 182
6.2. Вывод из уравнений Максвелла в форме Майорана уравнения траектории пучка лучей, описывающего обратный оптический эффект Магнуса.............................................................. 184
6.3. Уравнения Максвелла в форме Майорана в локально изотропной киральной среде...................................................... 187
6.4. Обсуждение результатов....................................................... 195
Глава 7. Поляризационные эффекты для спиновых частиц с ненулевой массой.......................................................................... ^7
7.1. Аналог оптического эффекта Магнуса для спиновых частиц с ненулевой массой.................................................................. 197
7.1.1. Влияние поляризации спиновой частицы на эйконал...................... 198
7.1.2. Уравнение траектории спиновой частицы................................ 202
7.1.3. Движение протона в кулоновском поле ядра............................. 204
7.1.4. Движение ультрахолодных нейтронов.................................... 207
7.1.5. Связь рассматриваемого эффекта с законом сохранения момента импульса. 208
7.1.6. Приложение........................................................... 208
7.2. Скручиваемость траектории спиновой частицы в поглощающей
среде............................................................................. 209
7.2.1. Вывод уравнения траектории нерелятивистской спиновой частицы. 210
7.2.2. Связь рассматриваемого эффекта с законом сохранения момента импульса. 214
7.2.3. Влияние рассматриваемого эффекта на движение ультрахолодных
нейтронов................................................................... 215
7.3. Обсуждение результатов....................................................... 218
Заключение............................................................................... 221
Авторский список литературы.............................................................. 226
Список литературы........................................................................ 229
1
2
Введение
В настоящее время в различных областях физики интенсивно исследуются эффекты, связанные с поляризацией частиц. Например, в ядерных взаимодействиях учет поляризации частиц позволяет рассмотреть эффект нарушения пространственной четности в радиационном захвате нейтронов [1-4], нарушение пространственной четности в упругом канале взаимодействия нейтронов с ядрами [5, 6], спиновые эффекты в физике высоких энергий [7, 8] и при делении ядер [9], поляризационные эффекты в оптике. В последнее время в оптике предсказан и экспериментально установлен ряд уникальных поляризационных эффектов, являющихся следствием влияния поляризации на параметры траектории пучка лучей и определяемых циркулярной поляризацией излучения. Естественно ожидать, что класс исследованных и экспериментально установленных эффектов не исчерпан, что в свою очередь делает актуальным задачу исследования поляризационных эффектов в оптике [10-60].
При анализе волновых полей и поляризационных эффектов важную роль играет как метод геометрической оптики, так и волновые методы прикладной электродинамики. Последние основаны на методах функций Грина, волноводных мод и др. Метод геометрической оптики является простым и наглядным, обеспечивающим хорошее количественное описание широкого круга волновых явлений различной физической природы, когда длина волны мала по сравнению с характерными масштабами задачи. При этом геометрическая оптика в узком, “лучевом”, смысле изучает только способы построения изображений при помощи лучей. В таком понимании период геометрической оптики был завершен фундаментальными трудами У. Гамильтона. В более широком, “волновом”, понимании геометрическая оптика выступает как метод приближенного описания волновых полей. В этом случае лучи образуют только геометрический костяк, на который “нашивается” волновое поле. Современный волновой период геометрической
оптики ведет свое начало с работ П. Дебая. В такой интерпретации геометрической оптики в последнее время в научных публикациях используют понятие “взаимного влияния” поляризации и траектории.
Одним из поляризационных эффектов является оптический эффект Магнуса или оптический эффект пинг-понга [10-12]. Оптический эффект Магнуса сильно перекликается с законом параллельного переноса Рытова, приводящим к вращению плоскости поляризации поля относительно естественного трехгранника Френе ([13], стр.403 или [14], стр.221). Экспериментально это наблюдалось при прохождении линейно поляризованного света через спирально скрученное одномодовое волокно [15]. Фаза Рытова-Владимирского или закон параллельного переноса Рытова (рытовское вращение плоскости поляризации электрического и магнитного полей) является прототипом фаз Берри и Панчаторанама [16, 17] (с большим обзором работ в этой области можно ознакомиться в [18, 19]). Закон параллельного переноса Рытова можно рассматривать как результат влияния траектории пучка лучей на его поляризацию. Этот результат на основе поляризационной матрицы плотности применительно к излучению с различным типом поляризации, распространяющемуся по скрученной траектории, обобщен в [20] на многомодовый прямолинейный световод с параболическим профилем показателя преломления (ППП). В [20] показано, что степень линейной поляризации пучка при распространении луча по световоду, сопровождаемому рытовским поворотом поляризации, спадает при больших значениях продольной координаты 1 по степенному закону г'2, а степень циркулярной поляризации остается неизменным. В [21] результат влияния траектории пучка лучей на его поляризацию предсказан и экспериментально подтвержден в многомодовом прямолинейном световоде со ступенчатым ППП. В [21] результаты получены в рамках теории Рытова-Владимирского-Берри. В [22] в отличие от [21] результаты получены на основе метода мод [23]. В [22] также предсказана деформация спекл-картины при ее повороте. В [24] теоретически и экспериментально
4
рассмотрены влияние геометрической фазы Берри на деполяризацию света в многомодовом ступенчатом волокне. При прохождении циркулярно поляризованного излучения через скрученный многомодовый световод наблюдается не только поворот плоскости поляризации, но и наблюдается поворот поперечной структуры спекл-картины на выходе из волокна при изменении шага спирали [25-27], причем угол поворота поперечной структуры спекл-картины будет равен фазе Рытова-Владимирского. Этот эффект обуславливается интерференцией различных мод, постоянные распространения которых содержат пропорциональные кручению и магнитному квантовому числу слагаемые, и идентичен эффекту Зеемана в случае заряженной частицы, где роль магнитного поля выполняет кручение. Эффект вращения поперечной структуры в скрученном многомодовом световоде на величину фазы Рытова-Владимирского является по существу обобщением закона параллельного переноса Рытова плоскости поляризации на существующую двумерную зависимость амплитуды поля. Экспериментально этот эффект установлен в [28]. В [25] также предлагается математическая форма записи закона Рытова в геликоидальной системе координат, а в [29] формула обобщается на случай произвольной системы координат, а также на случай четырехмерного пространства Минковского. Результаты работы [29] используются в диссертации при решении задачи о влиянии расходимости волнового фронта на траекторию пучка лучей.
Из результата влияния траектории пучка лучей на его поляризацию [55, 56] следует ожидать существование обратных эффектов -влияние поляризации на параметры траектории пучка лучей. Впервые эта идея была высказана Б .Я. Зельдовичем. Первый эффект получил название оптический эффект Магнуса или оптический эффект пинг-понга. Этот эффект на основе метода мод теоретически предсказан для распространяющегося в многомодовом волокне поляризованного излучения в [10], экспериментально подтвержден в [12], расчетно-теоретические результаты и результаты эксперимента в [11] обобщены. Эксперимент [12] по обнаружению оптического эффекта Магнуса был проведен на многомодовом световоде со
ступенчатым ППП радиуса р = 100 мкм, с разницей между показателями преломления сердцевины и оболочки Ал =0.006, длиной волны используемого излучения Я = 0.63 мкм. Длина световода составляла 96 см. На выходе из волокна величина угла поворота спекл-картины при смене знака циркулярной поляризации на противоположный составила А<р = 1.4° ± 0.5°. При математическом моделировании этого эффекта величина в [11] равнялась А(р = 1.5° ±0.5°.
Оптический эффект Магнуса в рамках волнового метода (метода мод) можно описать исходя из векторного волнового уравнения [10, 12]. Это уравнение отличается от скалярного волнового уравнения (уравнение Гельмгольца) тем, что в этом уравнении помимо характеризующих скалярное волновое уравнение слагаемых содержится поляризационное слагаемое grad divE. Вклад этого слагаемого в процесс распространения направляемых мод незначителен, но это слагаемое обуславливает оригинальный поляризационный эффект - это изменение угла вращения спекл-картины на выходе из многомодового световода при смене знака циркулярной поляризации на противоположенный (оптический эффект Магнуса). Учет поляризационного слагаемого в соответствии с теорией возмущения позволяет определить поправки к постоянным распространения направляемых мод. Величина поправки пропорциональна магнитному квантовому числу и определяется знаком циркулярной поляризации моды и в случае световода с параболическим профилем показателя преломления (ППП) не зависит от профиля собственной функции направляемой моды. Поскольку поле в области установившегося режима состоит из полей направляемых мод, то в световоде с параболическим ППП суммарное значение полей в зависимости от знака циркулярной поляризации на выходе из волокна будут развернуты относительно друг друга на некоторый угол. В случае световода с произвольным 111111 разворота рисунков в прямом смысле этого слова не будет. В этом случае поле каждой моды будет поворачиваться
6
на свой угол, т.е. величина поворота будет зависеть от модового состава распространяющегося излучения на входе в волокно.
С оптическим эффектом Магнуса как результат влияния поляризации на траекторию пучка лучей сильно перекликается процесс бокового смещения траектории пучка лучей при отражении (эффект Федорова) [30-39] (в [37-39] учитывается также преломление). В сильноградиентном не поглощающем волокне [11], на котором был поставлен эксперимент, оптический эффект Магнуса представляет собой по сути совокупный результат большого числа единичных актов эффекта Федорова, а в случае поглощения на эффект бокового смещения может влиять также эффект преломления [37-39].
После выхода работы [12] последовал большой поток других работ, посвященных оптическому эффекту Магнуса. Например, подробные численные расчеты эксперимента [11, 12] проведены в [40], в [41, 42] для описания оптического эффекта Магнуса в сильноградиентном (ступенчатом) световоде привлекалась матрица Джонса. В [42] расчеты многолучевой интерференции основываются как на учете различных оптических путей локальных волн, так и на учете поляризационных поправок. Теоретический анализ при рассмотрении оптического эффекта Магнуса в [10-12] был проведен в рамках метода мод. В работах [25, 43-48] на основе метода геометрической оптики было получено альтернативными методами уравнение траектории пучка лучей, позволяющее в многомодовом волокне описать оптический эффект Магнуса. В [49] оптический эффект Магнуса промоделирован в приближении геометрической оптики.
В [10] также была предложена феноменологическая формула траектории пучка лучей с учетом влияния циркулярной поляризации излучения. Эта формула по сути явилась первой попыткой описания оптического эффекта Магнуса (оптический эффект пинг-понга) в приближении геометрической оптики. В [50] на основе обобщения анализа бокового смещения при преломлении луча на границе раздела двух однородных изотропных сред с различными показателями преломления на
слабонеоднородную среду было феноменологически получено уравнение бокового смещения пучка лучей и на основе этого уравнения предложена функция Гамильтона, которая позволяет получить уравнения траектории луча на основе канонических уравнений Гамильтона. Гамильтониан зависит
только от показателя преломления п = у[ёр и не зависит от импеданса
р = ц, где е, р - соответственно диэлектрическая и магнитная проницаемости. Авторами этой работы на основе введенного гамильтониана также получено уравнение, описывающее закон параллельного переноса Рытова. Полученный гамильтониан применительно к многомодовому световоду записан в форме “спин-орбитального” взаимодействия ([51], стр. 152). Такая форма записи добавки к гамильтониана следует из того факта, что в случае метода мод обуславливающие оптический эффект Магнуса поляризационные слагаемые пропорциональны произведению магнитного квантового числа и знака циркулярной поляризации ст. В случае электромагнитных волн с круговой поляризацией говорят как “о совокупности фотонов с определенной спиральностью, где спиральность фотона а (знак циркулярной поляризации) есть собственное значение проекции спина фотона на его импульс” [19]. В такой интерпретации магнитное квантовое число т представляет собой проекцию орбитального момента на ось волокна. Поэтому в [50] оптический эффект Магнуса интерпретируется как спин-орбитальное взаимодействие. В [50] показано, что спин-орбитальное взаимодействие является универсальным и имеет место для всех поперечных волн. Применительно к многомодовому световоду с параболическим 111111 полученное на основе канонических уравнений Гамильтона уравнение траектории пучка лучей позволяет в приближении геометрической оптики описать оптический эффект Магнуса. В этом месте следует отметить, что терминологию спин-орбитальное взаимодействие не нужно путать с принятым в нерелятивистской квантовой механике, поскольку в квантовой механике под спин-орбитальным взаимодействием понимают как нерелятивистский предел разложение
8
уравнения Дирака по степеням ~(у/с)2, где V, с - соответственно скорость частицы и скорость света [51, 52]. Кроме того обобщение оптического эффекта Магнуса применительно к спиновым частицам с полуцелым спином и ненулевой массой [47] обуславливается не спин-орбитальным взаимодействием, а деформацией скалярной части волновой функции вдоль кривизны траектории частицы [47] (вклад спин орбитального взаимодействия в соответствии с [47] соизмерим с вкладом прецессии Томаса [53]). Теория деформации волновой функции моды в случае изогнутого волновода приведена в [23]. В [45] показано, что параметры, характеризующие деформацию собственной функции направляемой моды и наличие поперечной составляющей у постоянной распространения, удовлетворяет вариационному принципу (обеспечивает максимум постоянной распространения). Последнее, по-видимому, имеет место для любых спиновых частиц.
В [44, 45, 48] уравнение траектории пучка лучей было получено в приближении геометрической оптики из укороченного действия (принцип Ферма), где поперечная составляющая волнового числа в [44, 45] была получена из анализа векторного волнового уравнения в искривленной (тороидальной) системе координат, а в [48] -исходя из анализа уравнений Максвелла в форме Майорана в криволинейной ортогональной (тороидальной) системе координат. В [47] из укороченного действия было получено уравнение, обобщающее оптический эффект Магнуса (пинг-понга) на спиновые частицы с ненулевой массой. Вывод уравнения траектории пучка лучей из укороченного действия (принцип Ферма) является альтернативным к использованному в [50]. В [43, 46, 54] для вывода уравнения траектории пучка лучей был использован еще один альтернативный метод - вывод уравнения траектории исходя из укороченных векторных волновых уравнений, где роль неизвестной функции выполняет амплитуда вектора Пойнтинга. Оба эти метода применительно к световоду с параболическим ППП в соответствии с [43, 45, 46] дают в два раза меньший
9
результат, чем в эксперименте [11, 12] (а также в случае уравнения траектории луча, полученном из канонических уравнений Гамильтона в [50]). Такое отличие объясняется тем, что в полученном уравнении траектории пучка лучей слагаемое А, описывающее эффект дополнительного кручения траектории циркулярно поляризованного луча при* изменении кривизны траектории (в приближении геометрической оптики-оптический эффект Магнуса или оптический эффект пинг-понга), было записано в виде ~1хдА/&, где 5-натуральный параметр. Это, как нетрудно убедиться в случае световода с параболическим 111111, приводит к тому, что величина поворота угла спекл-картины в два раза меньше, чем в эксперименте [11, 12]. В тоже время величина теоретически вычисленного в соответствии с феноменологически предложенным в [50] гамильтонианом угла поворота спекл-картины в оптическом эффекте Магнуса оказывается в два раза больше экспериментального результата.
В [45] анализ распространения излучения в тороидальной системе координат показал, что параметр, характеризующий наличие поперечной компоненты у волнового вектора, удовлетворяет вариационному принципу ([23], стр. 289), в соответствии с которым если пробная функция является хорошим приближением решения волнового уравнения, то ее параметры будут соответствовать наибольшему значению /?. Полученные в [45] из анализа векторного волнового уравнения параметры пробной функции направляемой моды можно использовать для вывода уравнения, описывающего траекторию луча в неоднородной, но локально изотропной среде из предположения, что изменение показателя преломления достаточно мало в масштабе длины волны (приближение геометрической оптики), причем роль собственной функции будет выполнять амплитуда волны, которая также медленно меняется с расстоянием, оставаясь “почти плоской”. Исходя из такой модели с учетом поперечной составляющей у волнового числа (постоянной распространения) записывается укороченное действие (принцип Ферма). Получаемое таким образом уравнение траектории пучка
10
лучей применительно к градиентному многомодовому световоду позволяет в приближении геометрической оптики описать оптический эффект Магнуса.
В терминах геометрической оптики оптический эффект Магнуса сильно перекликается с законом параллельного переноса Рытова, приводящим к вращению плоскости поляризации поля относительно естественного трехгранника Френе ([13], стр.403 или [14], стр.221) на величину угла, равную фазе Рытова-Владимирского [55-57]. Эти два эффекта являются взаимно зависимы, что проявляется во взаимовлиянии этих эффектов [15-17, 19, 50]: влияние параметров траектории пучка лучей на его поляризацию в случае рытовского вращения и влияние поляризации на параметры траектории в случае оптического эффекта Магнуса. В соответствии с результатами работ [22, 50] это позволяет ввести единый гамильтониан -аналог спин-орбитального взаимодействия и описать оба эти процесса на основе этого гамильтониана. Взаимовлияние этих двух эффектов проявляется также в случае геометрической оптики: если в приближении геометрической оптики оптический эффект Магнуса (точнее оптический эффект пинг-понга) приводит к дополнительному кручению траектории пучка лучей за счет изменения кривизны траектории [22, 43, 44-46, 50, 58], то наличие кручения (кручение неразрывно связано с законом параллельного переноса Рытова, т.е. с фазой Берри) приводит к изменению кривизны траектории [25, 26, 59]. Аналогичное взаимовлияние в приближении геометрической оптики должно наблюдаться для спиновых частиц с ненулевой массой [47,60].
В работе [49] в приближении геометрической оптики промоделирован оптический эффект Магнуса в многомодовых световодах со степенными 111111. Расчетами подтверждена линейная зависимость угла поворота А(р от длины световода z. В случае винтовой траектории луча с постоянным радиусом для световода с треугольным и параболическим 111111 результаты расчетов сравниваются с полученным в работе аналитическим решением.
11
Для световода с параболическим ППП получено полное совпадение с результатами волнового метода (метод мод).
Другим уникальным поляризационным эффектом является фаза Рытова-Владимирского [55-57] или закон параллельного переноса Рытова, приводящий к вращению плоскости поляризации поля относительно естественного трехгранника Френе ([13], стр.403 или [14], стр.221).
Открытие закона параллельного переноса векторов электрического и магнитного полей, характеризующих поляризацию электромагнитной волны в среде с медленно меняющимся показателем преломления восходит к работе С.М. Рытова [55, 57]. С.М. Рытов показал, что для луча света, имеющего форму неплоской кривой, происходит поворот векторов электрического и магнитного полей относительно естественного трехгранника Френе [61], образованного векторами касательной, нормали и бинормали к искривленному лучу. При этом производная угла поворота по длине дуги равна кручению кривой. Эта формула известна как “закон Рытова” [19]. Как было отмечено в последующей работе В.В. Владимирского [56], что “хотя мгновенная угловая скорость трехгранника Френе направлена всегда перпендикулярно лучу и, следовательно, никакого вращения векторов поля вокруг луча не происходит, плоскость поляризации не будет в общем случае возвращаться к своему исходному положению всякий раз, когда касательная луча совпадает со своим исходным направлением, так как ось вращения бинормали все время изменяет свою ориентацию в пространстве, если луч обладает кручением”. В работе [56], которая практически оставалась неизвестной, впервые было предсказано, что хоть рассматриваемый эффект представляет локальный эффект, но при этом дает глобальный (топологический) эффект, когда излучение распространяется по геликоидальной траектории: угол поворота плоскости поляризации светового луча, путь которого в оптически неоднородной среде представляет собой неплоскую кривую, равен интегралу от гауссовой кривизны по области, ограниченной контуром, который прочерчивает касательный к траектории вектор на единичной сфере. Угол поворота плоскости поляризации равен
телесному углу, заключенному внутри конуса касательным к траектории вектором.
Поворот плоскости поляризации эквивалентен различному набегу фазы для двух круговых компонент поля, вращающихся навстречу друг другу [16, 25,]. Поэтому эту дополнительную фазу, приобретаемую циркулярно поляризованным светом при распространении вдоль неплоской кривой, называют фазой Рытова-Владимирского [19].
Величина рытовского вращения плоскости поляризации равняется величине угла, на которую проворачивается плоскость поляризации относительно естественного трехгранника Френе [61] в направлении, противоположном направлению кручения. В результате этого векторы электрического и магнитного полей на не большом отрезке сохраняют неизменным свое положение относительно неподвижной системы координат [16, 62, 63]. Величина рытовского вращения плоскости поляризации может быть получена из условия поперечности волны [14]. Величина рытовского вращения векторов поля может быть также получена, если воспользоваться криволинейной системой координат, в которой трехгранник Френе покоится (скрученная или геликоидальная система координат) [25, 26]. Если в одномодовом волокне векторную часть волновой функции направляемой моды выразить через базисные векторы такой системы координат и расписать в этой системе координат векторное волновое уравнение, то постоянная распространения будет содержать малую добавку, пропорциональную величине кручения и определяемую знаком циркулярной поляризации. Величина поправки к постоянной распространения будет равняться такой величине, в результате чего векторная часть волновой функции будет неизменной относительно абсолютно неподвижной системы координат в небольшой окрестности рассматриваемой точки, т.е. в этом случае автоматически реализуется закон рытовского вращения векторов поля.
В [26] (см. также [59]) на основе анализа векторного волнового уравнения в скрученной (геликоидальной) системе координат показано, что
векторная часть волновой функции может быть выражена через базисные векторы такой системы координат, а постоянная распространения (волновое число) содержит малую добавку, пропорциональную величине кручения и знаку циркулярной поляризации, в результате чего происходит различный набег фазы для двух циркулярных поляризаций. По аналогии с оптическим эффектом Магнуса [44, 45] записав действие в соответствии с принципом Ферма получим уравнение, описывающее дополнительное искривление траектории луча и определяемое знаком циркулярной поляризации [26] (см. также [25]). Формула, описывающая эффект дополнительного искривления при наличии кручения, может быть получена также из укороченных векторных волновых уравнений [26, 59], если в поляризационных слагаемых, входящих в укороченные векторные волновые уравнения, и в содержащих ковариантные производные слагаемых учесть в явном виде закон рытовского вращения векторов поля относительно естественного трехгранника Френе ([14], стр.221). Из уравнения траектории пучка лучей следует, что в случае скрученной траектории происходит дополнительное искривление траектории [26, 59], пропорциональное кручению траектории и определяемое знаком циркулярной поляризации. При выводе уравнения траектории пучка лучей в [59] использовался записанный в неинвариантной форме закон Рытова [19] только для поляризационных слагаемых в укороченных векторных волновых уравнениях. В результате величина дополнительного изгиба оказалась в два раза меньше, чем в [26]. В [25] на основе закона Рытова, записанного в инвариантном виде только для скрученной системы координат, с учетом остальных членов в укороченных векторных волновых уравнениях получено, что величина дополнительного изгиба совпадает с результатами [26]. Если использовать закон Рытова в произвольной системе координат [29], то в этом случае результаты также совпадут с результатами [26].
Как было сказано выше, в приближении геометрической оптики оптический эффект Магнуса представляет эффект дополнительного кручения траектории луча при наличии кривизны у траектории луча и в этом смысле влияние рытовского вращения плоскости поляризации на траекторию луча
является обратным по отношению к оптическому эффекту Магнуса: кручение траектории приводит к его дополнительному искривлению, определяемую знаком циркулярной поляризации.
Аналогом фазы Рытова-Владимирского является в квантовой механике фаза Берри (геометрическая фаза) [16]. За эти годы понятие геометрической фазы существенно расширилось и проникло в самые различные разделы физики (см. обзоры [18, 19, 64] и популярные статьи [65, 66]). С геометрической фазой связаны эффекты Саньяка, Ааронова-Бома, Яна-Теллера, Холла, некоторые особенности спектров молекул и ядер, вихри в сверхтекучем гелии, хиральные аномалии в калибровочных теориях поля. Недавно обнаружено проявление геометрической фазы в химических реакциях [67]. Известен аналог фазы Берри в механике - угол Ханни [68, 69]. Был предсказан и поставлен ряд специальных экспериментов, продемонстрировавших проявление геометрической фазы при интерференции нейтронов [70, 71]. Фаза Берри представляет собой удивительный пример рождения нового универсального физического понятия. В [72] было указано на соответствующее математическое понятие в современной геометрии - это голономии: поворот на некоторый угол касательного вектора при его параллельном переносе вдоль замкнутой кривой на изогнутой поверхности, например сфере. Эта поверхность вместе с множеством касающихся ее плоскостей является примером расслоения [73, 74]. Эти математические объекты лежат в основе важнейших направлений современной физики, таких как калибровочные поля Янга-Милса, электро-слабое взаимодействие, квантование гравитационного поля.
В исходной работе [16] рассматривалась недиссипативная квантовая система с медленно зависящим от времени циклическим гамильтонианом (адиабатическое возмущение ([75], стр. 176)). Учитывались только стационарные невырожденные состояния. В дальнейшем в [76] рассматривался случай вырожденных уровней; обобщение на не адиабатический случай было сделано в [77]. В [78], исходя из аналога фазы
15
Панчаротнама [17], введено определение геометрической фазы для неполных циклов, изображаемых незамкнутыми траекториями в базовом (проективном) пространстве расслоения. Геометрическая фаза в оптических системах с диссипацией энергии - поляроидах, описываемых не унитарными операторами эволюции, наблюдались в [79, 80], при многократном отражении света не плоской системой идеальных зеркал [81].
Открытие фазы Берри в квантовой механике явилось толчком для повторного “открытия” фазы Рытова-Владимирского в поляризационной оптике. Основой здесь послужила аналогия между адиабатическим изменением волнового вектора в искривленном пучке света и адиабатическим изменением направления частицы в медленно меняющемся магнитном поле. На основе этой аналогии в работе [62] был предложен предельно простой эксперимент по проверке поворота плоскости поляризации при движении по скрученной траектории. В качестве среды, обеспечивающую геликоидальную траекторию, удобно взять световоды. В случае геликоидально скрученного одномодового световода на одном витке будет наблюдаться поворот векторов поляризации на угол, равный геометрической фазе Берри [16, 25, 26, 62, 63]. Эксперимент, предложенный в [62], был реализован в [82]. О наблюдении поворота плоскости поляризации сообщалось также в ряде других работ, например в [83, 84]. Появилось ряд публикаций [85-87], популяризующих эксперимент [82] и его связь с общими проблемами физики. Возникла дискуссия [88] о необходимости квантовой (фотонной) трактовки явления. В ряде работ [89-91] появились свои варианты классической теории опытов [82]. В частности в [89] было отмечено, что поворот плоскости поляризации имеет место для любой поперечной волны при условии, что ее направление распространения адиабатически меняется, например, для поперечных колебаний изогнутого металлического стержня. Обобщение фазы Берри на не адиабатические эволюции квантовых систем [77] стимулировало эксперименты, в которых неплоские траектории лучей формируются с помощью серии последовательных отражений [92, 93]. Количественные измерения
соответствующих дополнительных фаз были выполнены на неплоском итерферометре Маха-Цендера [92].
В случае геликоидально скрученного многомодового световода на одном витке будет наблюдаться при изменении знака кручения световода поворот спекл-картины на выходе из волокна на угол, также равный геометрической фазе Берри. Теоретически этот эффект на основе метода мод описан в [25, 26], в которых показано, что в геликоидально скрученной системе координат постоянные распространения направляемых мод содержат добавку 8/} ~ к(а + т). Поскольку каждая мода имеет угловую зависимость вида ~ехр(гпкр), то в скрученной системе координат мода будет функцией переменной (ф + кг), где к -кручение световода. Это означает, что первоначальное распределение интенсивности в световоде будет проворачиваться на единицу длины относительно трехгранника Френе на величину кручения световода (на величину фазы Берри), т.е. поперечная структура интенсивность излучения в многомодовом световоде в окресности рассматриваемой точки будет неподвижна. Это будет означать, что спекл-картина на выходе из многомодового световода будет развернута на величину поворота плоскости поляризации в одномодовом световоде. Теоретически эффект в приближении геометрической оптики описан в [27], где показано, что плоскость меридионального луча в скрученном многомодовом световоде поворачивается на угол, равный геометрической фазе Берри, причем направление вращения определяется знаком кручения многомодового световода. Экспериментально эффект поворота спекл-картины на выходе из многомодового световода подтвержден в [28]. Величина угла поворота в эксперименте равнялась телесному углу вырезаемого на единичной сфере в пространстве касательных к траектории световода векторов.
На основе идеи взаимного влияния поляризации и траектории предсказан еще один уникальный поляризационный эффект - влияние продольного магнитного поля на параметры излучения в волокне,
проявляющийся в повороте спекл-картины на выходе из маломодового волокна при смене направления магнитного поля [94, 95]. Кручение траектории в соответствии с законом Рытова приводит к вращению плоскости поляризации. Но вращение плоскости поляризации происходит также в магнитном поле-это фарадеевское вращение, являющийся результатом изменения под действием магнитного поля показателя преломления для света с левой и правой циркулярной поляризацией (эффект Фарадея тесно связан с эффектом Зеемана). Таким образом при распространении света через оптическое волокно воздействие магнитного поля и изменение спиральной формы волокна приводят к одному и тому же эффекту -повороту плоскости поляризации. Но кручение многомодового волокна приводит также к вращению поперечной структуры луча, причем эффект определяется зависимостью добавки к постоянной распространения направляемой моды от магнитного числа т. Это в свою очередь означает, что воздействие магнитного поля на излучение в многомодовом волокне как и в случае эффекта Зеемана должно определяться также магнитным квантовым числом. В случае маломодового световода эффект будет проявляться в повороте спекл-картины на выходе из волокна в зависимости от направления продольного магнитного поля. Экспериментально этот эффект был подтвержден в [95]. При постоянной длине волокна существует линейная зависимость величины угла поворота спекл-картины от величины продольного магнитного поля [96,97].
Если результат взаимного влияния поляризации и траектории (спин-орбитальное взаимодействие) в указанных выше эффектах рассмотрен в неоднородной локально изотропной среде, то в [98, 99] рассмотрено взаимное влияние поляризации и траектории в однородной изотропной среде. В [98] предсказано и экспериментально подтверждено в [99] поперечное отклонение продольной компоненты пучка лучей вдоль оси ОХ при формировании с помощью линзы асимметричного вдоль оси ОУ волнового фронта.
18
Метод, использующий вывод уравнения из укороченных векторных волновых уравнений, является довольно эффективным и помимо оптического эффекта Магнуса позволяет предсказать и описать ряд других поляризационных эффектов. Это в первую очередь скручиваемость траектории пучка лучей в поглощающей среде [43, 100, 101]. В работе [43] и в серии последующих работ предсказан эффект скручиваемости циркулярно поляризованного пучка лучей, а в [101] - скручиваемость спиновых частиц с ненулевой массой в поглощающей среде. В работе [100] в рамках геометрической оптики математически промоделирован процесс поворота спекл-картины при движении пучка лучей в поглощающем световоде. В работе уравнение траектории пучка лучей сведено к системе дифференциальных уравнений в цилиндрической системе координат. Полученная система уравнений для световодов со степенными 111111 имеет аналитическое решение для случая геликоидальной траектории постоянного радиуса. В случае геликоидальных траекторий система уравнений решалась аналитически с помощью теории возмущения. В качестве других описываемых поляризационных эффектов на основе укороченных векторных волновых уравнений можно назвать дополнительное искривление траектории луча при наличии кручения [25, 103], влияние длительности импульса на величину дополнительной скручиваемости траектории пучка * лучей в случае квазимонохроматического излучения, поперечное отклонение пучка лучей при наличии градиента интенсивности излучения в перпендикулярном к траектории пучка лучей направлении [103].
Метод, использующий вывод уравнения из укороченных векторных волновых уравнений, также позволяет с учетом временной дисперсии при наличии поглощения получить нелинейное уравнение относительно амплитуды вектора Пойнтинга [104-107]. Без учета третьей дисперсии полученное уравнение представляет собой уравнение Бюргерса [108], а без учета поглощения, но с учетом третьей дисперсии - уравнение Кортевега-де Фриза [109].
19
Упомянутые выше поляризационные эффекты обуславливаются знаком циркулярной поляризации, где “об электромагнитных волнах с круговой поляризацией можно говорить как о совокупности фотонов с определенной спиральностью (см. [19]), где спиральность является собственным значением проекции спина фотона на его импульс”. Такая интерпретация означает, что рассматриваемые поляризационные эффекты имеют квантовую природу. Соответственно требуется квантовый подход при описании эволюции такой замкнутой квантовой системы. В основе такого описания должны лежать уравнения Максвелла для вакуума, которые для спинового света должны играть ту же роль, что и уравнение Дирака [110] для свободного электрона, тем более, что уравнение Дирака можно рассматривать не только как уравнение движения отдельного электрона, но и как волновое уравнение, описывающее электронно-позитронное поле. В уравнениях Максвелла на первый взгляд кажется, что одночастичность отсутствует. В действительности уравнения Максвелла, как и уравнение Дирака (для свободной частицы), представляет собой дифференциальное уравнение первого порядка и, кроме того, уравнениям Максвелла в вакууме может быть придана форма уравнения Дирака для безмассовой частицы, т.е. уравнения Максвелла в вакууме могут иметь вид уравнений Вейля ([51], стр.138). Впервые в такой форме уравнения Максвелла были представлены Майорана ([52], стр.81). В уравнениях Максвелла в форме Майорана спиновая часть волновой функции содержит два спинора размерности три, а динамические переменные содержат спиновые матрицы размерности 3x3 (аналог матриц Паули в случае электронов). Спиновые матрицы с точностью до унитарных преобразований представляют собой матричные элементы трех компонент равного единице полного момента системы ([75], стр. 115) и удовлетворяют коммутационным соотношениям. С непосредственным обобщением уравнения Майорана в среде с постоянными диэлектрической и магнитной проницаемостями, оставаясь полностью в рамках классической электродинамики, можно ознакомиться в [19, 111]. Само уравнение нашло широкое применение при анализе физических процессов [102, 112, 113].
Предложенное в [19, 111] уравнение описывает распространение
электромагнитных волн в среде, поляризованных по кругу. Если среда неоднородна, эти уравнения следует дополнить не сохраняющими круговую поляризацию членами, содержащими градиенты диэлектрической и магнитной проницаемостей. В этом случае даже при малых значениях градиентов проницаемостей круговая поляризация (соответственно спиральность фотона) не сохраняется, что противоречит адиабатической инвариантности спиральности безмассовой частицы([19], стр.22).
В работе [48] уравнения Максвелла в форме Майорана обобщены на случай криволинейной ортогональной системы координат. Применительно к скрученной (тороидальной) системе координат из полученного уравнения следует, что волновой вектор имеет небольшую поперечную к траектории составляющую, что в свою очередь по аналогии с работами [44, 45] позволяет получить уравнение траектории луча, описывающее в приближении геометрической оптики оптический эффект Магнуса. В работе [48] использованный подход обобщен на случай безмассовой спиновой частицы со спином $ = 1/2. Применительно к скрученной (геликоидальной) системе координат из уравнения Майорана следует, что волновое число у имеет небольшую добавку, пропорциональную кручению траектории и определяемую знаком циркулярной поляризации [102], что по аналогии с работами [25] позволяет получить уравнение, описывающее в приближении геометрической оптики обратный оптический эффект Магнуса. В случае киральной среды можно показать, что в уравнении Майорана наличие киральной среды равносильна определенному преобразованию оператора 4-импульса, причем входящие в преобразование параметры определяются коэффициентами киральности [114] . Такой подход позволяет записать 4-вектор плотности тока в киральной среде.
В настоящее время в различных областях физики интенсивно исследуются эффекты, связанные с поляризацией частиц с ненулевой массой. Для спиновых частиц с ненулевой массой (см. главу 1) по аналогии с циркулярно поляризованным излучением существует в приближении