Глава 1
Введение.
Предметом настоящей работы является исследование свойств рядов теории возмущений для случая квантово-механических систем для которых коэффициенты ряда теории возмущений могут быть расчитаны вплоть до членов довольно высокого порядка (пескодько десятков). Типичной ■ будет следующая постановка вопроса. Рассматривается квантово-механическая система, Гамильтониан которой естественным образом может быть разбит на Гамильтониан нулевого приближения и возмущение. Предположим, что коэффициенты ряда теории возмущений, соответствующей этому разбиению Гамильтониана, (для определенности, мы будем рассматривать ряд теории возмущений Релея-Шредингера) могут быть расчитаны вплоть до членов высокого порядка. Нас будет интересовать следующий вопрос: какую информацию о точном решении квантово-механической задачи можпо извлечь из имеющегося набора коэффициентов ряда теории возмущений? Три известных примера квантово-механических систем, которые мы будем рассматривать ниже, где расчет коэффициентов ряда теории возмущений был проведен до членов высокого порядка, и где, поэтому, поставленный выше вопрос имеет право на существован-
1
2
Глава 1. Введение.
не, это ангармонический осциллятор, эффект Штарка в водороде и дв-ухэлектроиная система. Наиболее полные расчеты коэффициентов рядов теории возмущений для этих систем приведены в работах [1, 2) для ангармонического осциллятора, в работах |3, 4, 5| для задачи об эффекте Штарка в водороде и в работе [6| для основного состояния двухэлектронной системы. В качестве возмущения принимались в этих работах принимались квартетный энгармонизм для ангармонического осциллятора, оператор взаимодействия с элетрическим полем для задачи об эффекте Штарка в водороде, и кулоновское межэлектронное взаимодействие в случае двухэлектронной системы. Реальный практический интерес представляют, конечно, только две последних задачи, в особенности последняя- применение теории возмущений с водородоподобным нулевым проближением к атомной системе, так как этот метод является удобным и мощным средством расчетов спектральных характеристик много-зарядных ионов (так называемый 1/2-метод).
Первоочередной вопрос, возникающий при формальном применении рецептов построения теории возмущеий, это вопрос о характере полученпо-го ряда. Ряды теории возмущений могут быть, вообще говоря, как сходящимися (как в случае ряда теории возмущений для двухэлектронной системы [7, 8|), так и расходящимися асимптотическими, как в задачах об ангармоническом осцилляторе (9, 1, 2) или эф<)>екте Штарка в водороде [10, 11). В случае сходящегося ряда ситуация более-менее понятна, сходящийся в некоторой окрестности ряд представляет собой элемент аналитической функции, который, в принципе содержит полную информацию об этой аналитической фуикщш. Этот элемент можно, например, продолжить аналитически (мы дадим пример такой процедуры в Гл.2 при обсуждении задачи о двухэлектронной системе). Оказыва-
ется, что и расходящиеся асимптотические ряды в некоторых случаях обладают тем свойством, что набор коэффициентов такого ряда позволяет получить полную информации о точном рещении. Для этого достаточно, чтобы асимптотический ряд обладал так называемым свойством суммируемости по Борелю. Несколько упрощая, (точная формулировка дана в Главе 5), суммируемость асимптотического ряда по Борелю означает, что существует только одна функция, имеющая в качестве коэффициентов асимптотического разложения коэффициенты этого ряда. Ряды теории возмущений в задачах об ангармоническом осцилляторе и эффекте Штарка обладают этим свойством (подробнее в Гл.5), и, таким образом, как и в случае сходящегося ряда теории возмущений для двухэлектронной системы, набор коэффициентов ряда теории возмущений позволяет, в принципе, получить полную информацию о точном решении соответствующей квантово-мехапической системы. Вопрос заключается, таким образом, только в том, как эту информацию извлечь. Очевидно, методы, позволяющие решить эту задачу совершенно отличны от методов, годящихся для случая сходящихся рядов.
В настоящей работе мы рассмотрим оба эти случая. В Главе 2 мы рассмотрим задачу о двухзлектронном атоме. Наше изложение в этой Главе следует нашим работам (12, 13, 14].
Пользуясь известными в литературе расчетами [б] коэффициентов теории возмущений высокого порядка (в цитируемой выше работе (6] проведен расчет первых 400 членов ряда теории возмущепий для оспов-ного состояния двухэлектронной системы) мы получим достаточно полную информацию о свойствах точной энергии Е(Я) основного состояния как функции заряда ядра 2. Говоря о свойствах £(2), мы имеем в в виду ее свойства в смысле теории функций комплексного переменного,
4
Глава I. Введение.
т.е. в Гл.2 мы займемся прежде всего изучением характера и расположения особых точек функции £(2) для основного состояния двухэлектронной системы. Подчеркнем, что эта информация может быть получена только в рамках используемого подхода, т.е., с помощью исследования набора коэффициентов ряда теории возмущений по\^у поскольку результатом, например, результатом высокоточного вариационного расчета энергии, будет число, мало что говорящее о глобальных свойствах энергии, рассматриваемой как функция заряда ядра Z. Такое глобальное исследование свойств £(£) приводит, как мы увидим в Главе 2 к довольно неожиданному результату о наличии в задаче о двухэлектроном атоме малого параметра, проявляющегося в том, что в выражение для точной энергии основного состояния этой системы, по-видимому, входит малый (порядка 10"3) параметр.
Мы продолжим исследованое энергии основного состояния как функции заряда ядра Z в Главе 3 с несколько других позиций. Изложение этой Главы следует нашим работам [15, 16]. Хорошо известпа роль, которую так называемые дисперсионные соотношения играют в физике. Достаточно упомянуть, например, теорию рассеяния. Эффективность дисперсионных соотношений объясняется их "глобалы1Ым"характером, их вывод, как правило, основывается па совершенно общих свойствах исследуемых величин (например, амплитуды рассеяния в теории рассеяния). В Главе 3 мы покажем, что основываясь па самых общих свойствах £(2) как функции Z (которые будут получены в Главе 2), можно получить дисперсионное соотношение для точной энергии основного состояния, рассматриваемой как функция заряда ядра Z. Пользуясь этим соотношением, мы сможем получить аналитическое выражение для асимптотики коэффициентов ряда теории возмущений, найденное ранее [6] с помощью
численного анализа коэффициентов ряда теории возмущений.
В Главе 4 мы рассмотрим некоторые возбужденные состояния двухэ-лектронной системы. Результаты, изложенные в этой Главе, получены в работах [17, 18). В этой Главе мы выйдем за рамки подхода использующего только теорию возмущений. Целью нашего исследования будет, как и для основного состояния, установление свойств тонных решений уравнения Шредипгера (в основном точных эпергий) для этих состояний. Как и в случае основного состояния, нас прежде всего будут интересовать такие свойства точных энергий Еп№) возбужденных состояний, как характер и расположение особых точек. Метод, основанный на анализе коэффициентов ряда теории возмущений, который мы применили для основного состояния в этом случае ие применим (в литературе просто нет достаточно точных расчетов коэффициентов 1/£-разложения до членов высокого порядка). Более того, в отличие от случая основного состояния, в литературе нет строгих результатов о свойствах £*(£)» аналогичных тем, на которых основывается изложение в Главах 2 и 3, посвященных основному состоянию. Изложение в Главе 4, поэтому, во-многом основывается на физических соображениях. Оказывается возможным, как мы увидим в этой Главе, предложить наглядную физическую модель, которая, как мы увидим, оказывается псожидапно удачной для описания этих состояний. Более точно, если рассмотреть двухэлектронную систему "близкую1^ иону Я”, т.е. систему в которой заряд ядра Z принимает значения близкие к единице, то используя методы теории квантового дефекта, можно получить выражепия для энергии двухэлектронной системы, которые, как показывает проведенный нами численный расчет, становятся тем более точными, чем ближе заряд ядра .2 к единице. Теория квантового дефекта является, по существу, феноменологическ-
6
Глава 1. Введение.
ой теорией, требующей для определения фигурирующих в ней параметров привлечения какой-либо сторонней информации (в качестве таковой могут выступать либо имеющиеся экспериментальные данные, либо результаты каких-либо ab initio расчетов. В нашей работе в качестве такой сторонней информации для определения двух констант, возникающих в нашем феноменологическом подходе, мы используем результаты численного расчета энергий низших уровней Ридберговских серий lsns и Isnp серий (то есть энергии уровней 1s25, 152р. Как мы увидим в главе 4, такой подход приводит к аналитическим выражениям для энергий Ридберговских серий, находящимся, для Z близких к единице, в исключительно хорошем согласии с результатами численного ab initio расчета. Степень, с которой результаты результаты аналитического и численного расчетов согласуются, наводят на мысль о том, что аналитический подход основанный на идеях теории квантового дефекта, по-видимому, является асимптотически точным (при Z —► 1). Это обстоятельство нам представляется довольно любопытным, так как в теории двухэлектр-оппого атома существует не так много аналитических результатов.
В Главе 5 мы переходим к рассмотрению другой хорошо известной физической системы для которой известно достаточно большое число коэффициентов разложения теории возмущений- атом водорода в электрическом поле. Изложение этой Главы следует, в основном, результатам полученным в работах (19, 20). Ряд теории возмущений в этом случае принципиально отличается от l/Z-разложсния для двухэлектронной системы. Рецепты построения ряда теории возмущений Рэлея-Шредингера по степеням напряженности электрического поля приводят дзя атома водорода к ряду, являющемуся лишь асимптотическим, т.е. расходящимся при любых значениях напряженности поля. Такие ряды, как изве-
стпо, пригодны для описания исследуемой функции с некоторой, вообще говоря ограниченной точностью, то есть при данном значении напряженности поля, частичные суммы ряда хорошо аппроксимируют энергию лишь пока в ряде удерживается некоторое конечное число членов. Если число удерживаемых членов ряда превышает некоторое критическое значение (зависящее конечно от напряженности поля), то частичные суммы такого ряда будут давать для энергии значения, вообще говоря, весьма сильно от точпого значения энергии. Кроме того, поскольку все коэффициенты ряда теории возмущений являются вещественными числами, ряд теории возмущений в этой задаче предоставляет информацию только о положении Штарковского резонанса (с оговорками сделанными выше о конечной достижимой точности), и не дает информации о ширине резонансного уровня. Как было отмечено в начале настоящей главы, имеется теоретическое положение (факт суммируемости ряда теории возмущений по Борелю), которое позволяет сделать вывод, что несмотря на расходимость ряда теории возмущений, его коэффициенты содержат, в принципе, всю информацию как о положениях, так и о ширинах уровней. Возникает, таким образом задача о том, как практически реализовать теоретическое положение о суммируемости ряда теории возмущепий в этой задаче по Борелю на практике. В литературе существует ряд методов практической реализации этого подхода, основанных, например, на технике аппроксимант Падс. В Главе 5 мы предлагаем несколько иную процедуру, которая позволяет, исходя из набора коэффициентов теории возмущений, получить некоторый сходящийся ряд, дающий как положения, так и ширины резонансов в атоме водорода в электрическом поле. В этой же Главе, в качестве дополнительной демонстрации эффективности предложенной процедуры, мы рассматриваем задачу об ангаг
8
Глава I. Введение.
рмоничсском осцилляторе, квантово-механическая система, являющаяся в некотором смысле пробным камнем для тестирования различных вычислительных процедур в квантовой механике. Все основные характеристики ряда теории возмущений в этой задаче (если ангармонический член в Гамильтониане рассматривать как возмущение) тс же самые, что и в задаче об атомном Штарк-эффекте, ряд теории возмущений является асимптотическим и обладает свойством суммируемости по Борелю.
В Главе б мы даем детальное описание используемого нами в Главе 3 метода комплексных вращепий. Этот метод является, па сегодняшний день, пожалуй самым удобным и мощным средством расчета характеристик (положений и ширин) резонансов в атомных системах. Речь может идти как о резонансах возникающих в электрическом поле, так, например, и об автоионизационных состояниях в атоме. Главное удобство метода заключается в том, что задача о расчете характеристик резонансных состояний сводится к задаче технически мало чем отличающейся от обычного вариационного расчета связанных атомных состояний. В качестве примера применения метода к кулоновским системам мы приводим результаты расчетов параметров (положений и ширин) дважды возбужденных состояний в системе Рэ~ (состоящей из позитрона и двух электронов). Эти результаты получены в работах (21, 22, 23, 24). Для этих состояний обнаружеп (рапее известпый для таких систем как Я е, Я“) факт применимости так пазываемой К, Т классификации, восходящей к работам (25, 26). Подробнее об этой классификации рассказано в тексте диссертации, здесь отметим тот любопытный (и до сих пор не имеющий последовательного квантово-механического толкования) факт, что квантовые числа Я, Г, имеющие чисто теоретико- групповое происхождение, оказываются столь успешными при группировке уров-
ней двыжды-возбужденных состояний в так называемые колебательно-вращательные серии.
Глава 1. Введение.
Литература
(1) C.Bender and T.T.Wu Phys.Rev.Lett., vol. 16, p. 461, 1971.
(2) C.Bender and T.T.Wu Phys.Rev.D., vol. 7, p. 1620, 1973.
(3) H.J.Silverstone, B.G. Adams, J.Cizek, and P.Otto Phys.Rev. Lett, vol. 43, p. 1498, 1979.
(4) V.Privman Phys.Rev. A, vol. 22, p. 1833, 1980.
(5) FLF.Stebbings Science, vol. 193, p. 537, 1976.
(6) J.D.Baker, D.E.Freund, R.N.Hill, and J.D.Morgan Phys. Rev. A, vol. 41, p. 1247, 1990.
(7) T.Kato J.Fac.Sei. Univ. Tokyo Sect., vol. I 6, p. 145, 1951.
(8) T.Kato, Perturbation Theory for Linear Operators. Springer, New York, 1976.
(9) B.Simon Ann. Phys. (N.Y.), vol. 58, p. 76, 1970.
|10) S.Graffi and V.Grecchi Commun.Math.Phys., vol. 62, p. 83, 1978.
(11) I.W.Herbst and B.Simon Phys.Rev.Lett, vol. 41, p. 67, 1978.
(12) I.A.Ivanov Phys.Rev A, vol. 51, p. 1080, 1995.
12 Литература
(13) I.A.Ivanov Phys.Rev A, vol. 52, p. 1942, 1995.
[14| I.A.Ivanov Phys.Rev A, vol. 54, p. 2792, 1996.
(15) I.A.Ivanov and J.Dubau Phys.Rev. A, 1998.
(16) J.Dubau and I.A.Ivanov J.Phys.B, vol. 31, p. 3335, 1998.
(17) I.A.Ivanov, M.W.J.Bromley, and J.Mitroy Phys.Rev A, vol. 66, p. 042507, 2002.
(18) I.A.Ivanov to be published in the European Physical Journal D.
(19) I.A.Ivanov Phys. Rev. A, vol. 54, p. 81, 1996.
(20) I.A.Ivanov Phys. Rev. A, vol. 56, p. 202, 1997.
(21) I.A.Ivanov and Y.K.Ho Phys.Rev A, vol. 61, p. 022510, 2000.
(22) Y.K.Ho and I.A.Ivanov Phys. Rev. A, vol. 63, p. 062503, 2001.
(23) I.A.Ivanov and Y.K.Ho Phys.Rev.A, vol. 61, p. 022510, 2000.
(24) Y.K.Ho and I.A.Ivanov Phys.Rev.A, vol. 63, p. 062503, 2001.
(25) D. R. Herrick Adv. Chem. Phys., vol. 52, p. 1, 1983.
(26) М. E. Kellman and D. R. Herrick Phys. Rev. A., vol. 28, p. 2523, 1983.
Глава 2
Основное состояние двухэлектронной системы.
В настоящей главе мы займемся численным анализом коэффициентов ряда теории возмущений для энергии основного состояния двухэлектронного атома. Для сокращени формул под энергией подразумевается энергия основного состояни (выраженная в атомных единицах) деленная на 2?. Ряд теории возмущений дл этой величины имеет следующий вид:
Е( A) = f;^A", (2.1)
п=0
где введена переменная Л = 1 /Z, Еп- коэффициенты ряда теории возмущений по 1 fZ. Первые два коэффициента Еп могут быть легко вычислены, их знамени £ц = — 1 и Е\ = 0.625. Вычисление старших коэффициентов Еп более трудоемко, различными авторами (1, 2, 3, 4, 5, 6) были проведены расчеты Еп вплоть до членов довольно высокого порядка. В работе [6] были вычислены первые 400 членов ряда (2.1). Естественным образом возникает вопрос, какая информация (помимо конечно
14 Глава 2. Основное состояние двухэлектронной системы.
точного значения энергии) может быть извлечена из коэффициентов ряда (2.1)?
Как было отмечено во Введении, имеется строгое доказательство (данное Като в |7, 8J) того, что ряд (2.1) сходится в некоторой окрестности точки Л = 0, определяя таким образом аналитическую функцию. Этим же автором [8] с использованием методов теории неограниченных операторов была дана оцеика снизу радиуса сходимости ряда (2.1).
Эта оценка была впоследствии улучшена рядом авторов численно анализировавших набор коэффициентов Еп. В этих исследованиях использовались различпыс численные методы. Например, так называемый 'ratio-test’ анализ проведенный в (9) дал для радиуса сходимости ряда (2.1) оценку R\ « 1.1184. Заметим, что эта оценка подразумевает сходимость ряда (2.1) для физически важного случая отрицательного иона водорода Н”. Фактически, упомяпутый ’ratio-test’ представляет собой просто численный анализ последовательности построенной из частных двух последовательных коэффициентов Еп. Это отношение, как известно, входит в различные известные из анализа признаки сходимости рядов, поэтому численный анализ такой последовательности может дать информацию о радиусе сходимости исходпого ряда. В работе
(10] использовался так называемый Пад с-анализ коэффициентов ряда (2.1). Паде-апалнз и Паде-апроксимации это довольно мощный инструмент представления функций с использованием ограниченного пабора коэффициентов ряда Тейлора, который с успехом может быть в некоторых случаях использовал для представления функции даже вне круга сходимости. К сожалению, этот метод может быть использован далеко не для всех функций. По самому своему построению, он пригоден для функций имеющих своими особенностями только полюса. Особенность фу-
нкции £(А), определяюща радиус сходимости ряда (2.1), как мы увидим, значительно сложнее. Вероятно по этой причине Паде-анализ (10)) дал довольно неточный (как будет видно ниже) результат « 1.118. Более изощренный анализ был дан в (11,12), где был применен так называемый анзац Дарбу, который заключается в предположении, что особая точка (которая, как известно, всегда есть на границе круга сходимости) есть точка ветвления. В этом случае логарифмическая производная функции имеет полюс на границе круга сходимости, полюсная особенность может быть обнаружена и исследована с помощью упомянутого выше метода использующего аппроксимации Паде. Такое исследование дало следующие результаты ЯА« 1.119 (11) и 1.1056 (12). Как видно, эти методы дают несколько разпые результаты.
Причниа этого расхождения оставалась долгое время неясной. Она было объяспена в работе (6). В этой работе авторы провели высокоточный вариационный расчет первых 400 коэффициентов Еп ряда (2.1). Проведя численный анализ асимптотического (при п —* оо) поведения коэффициентов Еп авторы этой работы обнаружили, что ближайшая к А = 0 особенность функции Е{А) (которая и определяет радиус сходимости ряда теории возмущений для основного состояния двухэлектронного атома) не является ни точкой ветвления ни полюсом, а является существенно особой точкой функции Е(А). Авторы этой работы установили, что эта особая точка лежит на положительной действительной оси в точке А1 « 1.09766 (что дает, конечно, одновременно и радиус сходимости ряда (2.1)). Кроме того, в этой работе было решена одна проблема, которая долгое врем затрудняла попимание характера и природы особой точки Е{А) ближайшей к А = 0. Если взять вышеприведенные оценки радиуса сходимости ряда (2.1) полученные с помощью Паде- Дарбу- анализа,
- Київ+380960830922