2
СОДЕРЖАНИЕ
стр.
Перечень условных обозначений 6
Введение 10
1. Обзор современного состояния вопроса 18
1.1 Особенности турбулентного течения и структуры 18
турбулентных потоков
1.2 Методы исследования структуры турбулентных потоков 28
1.3 Особенности структуры турбулентных потоков в 44
неизотермических условиях
1.4 Особенности структуры турбулентных потоков в 52
условиях тепловой нестационарности
1.5 Особенности структуры турбулентных потоков в 64
условиях гидродинамической нестационарности
1.6 Влияние гидродинамической нестационарности на 73
гидравлическое сопротивление
1.7 Влияние гидродинамической нестационарности на теплообмен
1.8 Выводы и постановка задачи исследования 89
2. Методика экспериментальных исследований и экспериментальная установка
2.1 Исходные данные для проведения экспериментальных исследований
2.2 Методика исследования структуры турбулентного газового потока
2.3 Методика частотного анализа структуры турбулентного газового потока
2.4 Экспериментальная установка
2.5 Система измерений
3. Результаты экспериментальных исследований структуры турбулентных течений
3.1 Исследование структуры турбулентного потока при стационарном изотермическом течении газа в канале
3.2 Исследование структуры турбулентного потока в случае гидродинамической нестационарности при изотермических условиях
3.3 Исследование структуры турбулентного потока в случае гидродинамической нестационарности в неизотермических условиях
4. Частотный ан&чиз турбулентных течений
4.1 Частотный анализ турбулентных течений в
4
изотермических условиях
4.2 Частотный анализ турбулентных течений в 170
неизотермических стационарных условиях
4.3 Частотный анализ турбулентных течений в 175
гидродинамически нестационарных изотермических условиях
4.4 Частотный анализ турбулентных течений в 192
гидродинамически нестационарных неизотермических условиях
4.5 Анализ частотного спектра и его изменений при 208 различных воздействиях на поток
4.6 Физическая модель гидродинамически нестацирнарного 211 турбулентного течения
5. Влияние гидродинамической нестационарности на теплообмен и 213
гидродинамику течения
5.1 Коэффициент турбулентной вязкости
5.2 Коэффициент теплоотдачи 221
5.3 Оценка погрешности определения коэффициента 228 теплоотдачи
5.4 Расчет коэффициента гидравлического сопротивления 230
5.5 Оценка погрешности расчета коэффициента 238 гидравлического сопротивления
5
5.6 Анализ влияния гидродинамической нестационарности на 238
процесс теплообмена и гидродинамику течения
6. Модели расчета теплообмена и гидродинамики в 241
нестационарных условиях
6.1 Модель расчета теплообмена в нестационарных условиях 242
6.2 Модель расчета коэффициента гидравлического 246 сопротивления в нестационарных условиях
Выводы 250
Список литературы 253
6
ПЕРЕЧЕНЬ УСЛОВНЫХ ОБОЗНАЧЕНИЙ
а - коэффициент температуропроводности;
А,ВуЛ ’,В’ - константы,
Л - амплитуда колебаний;
ср - теплоемкость при постоянном давлении;
Е - напряжение;
//о,/;,/2 - функции;
Е(иг) - спектральная плотность турбулентности;
Ео - критерий Фурье;
Є - массовый расход теплоносителя;
g - ускорение свободного падения;
К» 8у> & - проекции вектора ускорения свободного падения; к - ширина канала;
Но - критерий гомохронности;
к - коэффициент пропорциональности;
К - отношение нестационарного коэффициента теплоотдачи к квазистационарному;
Кгг, Кхг, Кт, Кх, КТо, Кт»>, Кт& Ктіі* ,
» н
ку&, к'т8 , К*т& - безразмерные критерии тепловой нестационарности;
Кст, , Клс, КСо, К*, Кс& Кс&}, Кс&2, - безразмерные критерии
гидродинамической нестационарности;
ЛК2 - критерий, учитывающий влияние турбулентной структуры потока на нестационарный теплообмен;
/ - расстояние;
М/ - критерий Нуссельта;
Ищ - квазистационарный критерий Нуссельта;
Идт - нормированное значение сигнала термоанемометра;
7
р - давление;
Р - осредненное давление;
Рд - доверительная вероятность измерений;
Ре - критерий Пекле;
Рг - критерий Прандтля;
qv - плотность внутренних источников тепловыделения; (3 - безразмерный тепловой поток;
г - радиальная координата;
Я, г0 - радиус канала;
Я - безразмерная радиальная координата;
Я(т) - лагранжев коэффициент корреляции;
Яе - критерий Рейнольдса;
5 - частота Стокса;
Т - температура;
/ - безразмерное время;
Т„ - температура внутренней поверхности стенки канала;
Ть, 7}- среднемассовая температура потока;
Ту/Г; - температурный фактор;
/77* /
- темп нагрева стенки канала;
- коэффициент Стьюдента; и - скорость;
О - вектор скорости;
и - средняя скорость;
Цо - скорость на оси канала;
11х - осевая составляющая скорости;
иуу и2- поперечные составляющие скорости; иг - радиальная составляющая скорости;
и [и 2 - осредненная корреляция пульсаций; и# - динамическая скорость;
Z - эмпирический коэффициент; х - осевая координата;
х{ - измеряемый параметр;
>> - поперечная координата, расстояние от стенки канала,функция;
х - поперечная координата;
Д, - коэффициент объемного расширения, определяемый по температуре стенки канала Т„;
Л - абсолютная погрешность;
8 - относительная погрешность однократных измерений;
р - плотность;
г - время;
Я - коэффициент теплопроводности;
Ят - коэффициент турбулентной теплопроводности;
р - коэффициент динамической вязкости;
V - коэффициент кинематической вязкости; предел погрешности отсчитывания;
со - частота;
со - средняя частота;
а - турбулентные напряжения;
. турбулентные напряжения Рейнольдса;
Ят . плотность турбулентного теплового потока;
Єу> - коэффициент турбулентной вязкости;
Єд - коэффициент турбулентной температуропроводности;
ї - коэффициент гидравлического сопротивления;
- относительный коэффициент гидравлического сопротивления;
9
X - коэффициент пропорциональности;
<р - безразмерная скорость;
7] - безразмерное расстояние от стенки канала;
Индексы:
w - величина, определенная по температуре внутренней поверхности стенки канала;
b - величина, определенная по среднеквадратичной температуре потока 7*;
/ - величина, определенная по температуре потока 7/,
тах - максимальное значение;
min - минимальное значение;
0 - величина, определенная на оси канала;
1 - величина, определенная в начальный момент времени нестационарного
процесса;
2 - величина, определенная в конечный момент времени нестационарного процесса;
О - величина, определенная в характерный момент времени, стационарное
значение;
штрих' в обозначениях скорости - пульсационная составляющая скорости;
10
ВВЕДЕНИЕ
Расчеты нестационарных тепловых и гидродинамических процессов становятся в ряд определяющих при разработке новых образцов техники в различных областях - в авиации и космонавтике, энергетике, судостроении, криогенной технике, химической технологии и т. д. Это вызвано возрастанием энергонапряженности устройств, повышением требований к возможным режимам регулирования работы этих систем. Особое место занимают вопросы безопасности и надежности, а это означает необходимость расчета аварийных режимов, которые являются существенно нестационарными. Поэтому проблема исследования нестационарных процессов теплообмена и гидродинамики и разработка методики их расчета представляются чрезвычайно актуальной.
^ • В общем случае цель таких расчетов - определение нестационарных полей температур и скоростей в потоке теплоносителей и полей температур и термических напряжений в материале конструкции, окружающей поток. Эти поля могут быть определены из решения так называемых сопряженных задач, когда математическая модель для описания теплообмена и гидродинамики в теплоносителе дополняется уравнением энергии для материала конструкции и условиями сопряжения на границе между теплоносителем и стенкой, а граничные условия задаются на внешней границе стенок каналов. Однако при теоретическом решении трехмерных нестационарных задач для подавляющего большинства практически важных случаев встречаются непреодолимые трудности, например:
- в отличие от стационарных задач значительно усложняется математическая формулировка из-за введения дополнительной переменной - времени;
- из-за отсутствия экспериментальных данных о распределении турбулентных параметров по сечению потока в нестационарных условиях для турбулентных
нестационарных течений пока не получена замкнутая система уравнений даже при использовании полуэмпиричсской теории турбулентности.
Очевидно, что инженерные расчеты по теплообмену и гидродинамике могут быть выполнены при условии фундаментального изучения нестационарных процессов. Лишь органичное сочетание фундаментальных и прикладных исследований является наиболее эффективным путем получения практических результатов.
В настоящее время накоплен экспериментальный материал, позволяющий проводить практические расчеты нестационарных тепловых процессов в экспериментальных конструкциях - для однофазных течений в круглых трубах и плоских каналах, однофазных течений в каналах сложной формы, в различных элементах теплонапряженных конструкций и в теплообменных аппаратах. Эти расчеты выполняются при использовании одномерного подхода. В этом случае к уравнению теплопроводности для стенок канала добавляются одномерные уравнения движения, энергии, неразрывности для потока. Данная система будет замкнутой, если известны зависимости для коэффициента теплоотдачи а и коэффициента гидравлического сопротивления £ в нестационарных условиях. Ограниченные диапазоны изменения исследованных параметров процессов не позволяют использовать эмпирические зависимости для а и £.
Учитывая актуальность проблемы, изучению процессов нестационарного тепло- и массообмена в различных устройствах посвящены работы, проводившиеся в ДГУ, КАИ, КХТИ, МАИ, МЭИ, МГТУ, НИИКИЭТ, УАИ и в ряде других научных центров. В МАИ экспериментальные исследования нестационарного конвективного теплообмена при турбулентном режиме течения теплоносителя проводятся большим коллективом ученых с 1963 года. Результаты этих исследований позволили получить ряд обобщающих расчетных зависимостей для нахождения нестационарного коэффициента
12
теплоотдачи при различных законах изменениях температуры стенки канала, температуры теплоносителя на входе в канал, расхода теплоносителя. Выявлены зависимости отношения нестационарного коэффициента теплоотдачи к своему квазистационарному значению (рассчитанному по мгновенным параметрам с использованием стационарных зависимостей) от параметров нестационарности, чисел Рейнольдса, Прандтля, переменности теплофизических свойств газа и жидкости, и границы применимости квазистационарного подхода.
Исследования по влиянию нестационарных граничных условий на структуру турбулентных газовых потоков были начаты в МАИ в 1985 году под руководством профессора Г.А. Дрейцера.
Экспериментальные исследования показывают существенное отличие коэффициентов теплоотдачи и гидродинамического сопротивления в нестационарных условиях от данных квазистационарного расчета. Оно может достигать 3-х - 4-х кратного значения. И, что важно, проведенные исследования показали, что основным механизмом, определяющим это отличие, является специфическое изменение турбулентной структуры потока теплоносителя. Это изменение турбулентной структуры потока может быть вызвано нестационарными воздействиями теплового характера (изменение температуры потока, температуры стенки канала или плотности теплового потока на стенке канала), гидродинамического характера (изменение расхода теплоносителя) и их совместным влиянием. Проведенные в МАИ исследования структуры турбулентных потоков показали существенное влияние гидродинамической нестационарности на структуру потока. Эти исследования позволили сделать предположения о влиянии изменения расхода теплоносителя на теплообмен, а, именно, нестационарность потока может влиять на интенсивность теплообмена из-за тепловой инерции потока, изменения турбулентной структуры потока и радиальных перетечек газа, обусловленных перестройкой профиля скорости.
13
Проведенные ранее исследования оказались недостаточными для понимания влияния гидродинамической нестационарности на структуру турбулентных течений и коэффициенты теплоотдачи и гидравлического сопротивления. Потребовалась постановка новых экспериментальных исследований с использованием современных методов и средств, таких как,
автоматизированные термоанемометрические комплексы. Такие исследования проводились автором с 1993 года. В 1993-2002 годах - по программе поддержки Российского фонда фундаментальных исследований ведущих научных центров РФ (Гранты №96-15-98161, №00-15-59654, №00-15-95554). С 2003 года - по Президентской программе поддержки ведущих научных школ РФ (Грант № НШ 1350.2003.02). Результаты этих исследований представлены в настоящей работе.
Цели и задачи работы. Экспериментальное исследование структуры нестационарного турбулентного потока газового теплоносителя в
цилиндрических каналах. Разработка физической и математической моделей процесса.
Для достижения поставленных целей в работе решались следующие задачи:
- разработка методики исследований и создание экспериментальной установки;
- разработка методов и средств автоматизированных измерений; -экспериментальные исследования структуры турбулентных газовых потоков в
стационарных и нестационарных, изотермических и неизотермических условиях;
-частотный анализ пульсационных составляющих скорости в стационарных и нестационарных, изотермических и неизотермических условиях;
- разработка физической модели нестационарных процессов теплообмена и зрения в турбулентном газовом потоке;
14
- анализ результатов экспериментов и расчетных данных;
- разработка моделей расчета теплоотдачи и гидродинамики для практического применения.
Научная новизна работы. Научная новизна результатов, полученных в диссертационной работе, заключается в следующем:
- разработана методика автоматизированных измерений для исследования структуры турбулентных газовых потоков в нестационарных условиях;
- получены профили осредненной осевой скорости, пульсаций осевой и радиальной скоростей и их корреляций в неизотермических условиях при гидродинамической нестационарности;
экспериментально установлено влияние гидродинамической
нестационарности на турбулентную структуру газового потока в неизотермических условиях;
- выявлено существенное влияние гидродинамической нестационарности и неизотермичности на коэффициент теплоотдачи;
- установлены основные параметры, влияющие на теплообмен и гидродинамику
течения в гидродинамически нестационарных условиях;
- впервые проведен частотный анализ пульсационных составляющих скорости в
гидродинамических стационарных и нестационарных, изотермических и неизотермических условиях;
- впервые получена физическая модель гидродинамически нестационарных турбулентных течений
- впервые по предложенной методике получены обобщающие зависимости для
инженерных расчетов нестационарного коэффициента теплоотдачи при ускорении и замедлении газового потока в трубе;
- впервые по предложенной методике получены обобщающие зависимости для
инженерных расчетов нестационарного коэффициента гидравлического
15
сопротивления при ускорении и замедлении газового потока в трубе в изотермических и неизотермических условиях.
Практическая значимость работы состоит в разработке методов и средств исследования, полученных экспериментальных данных по структуре турбулентных потоков, на основании которых получены модели расчета коэффициентов теплоотдачи и гидравлического сопротивления в гидродинамически нестационарных условиях. Данные модели используются для инженерных расчетов практических задач при разработке различных систем, работающих в нестационарных условиях. На ФГУП «Красмашзавод» полученные модели используются при конструкторско-технологической отработке энергодвигателыюй установки с учетом анализа влияния гидродинамической нестационарности при неизотермическом течении газового потока. Результаты работы широко используются в учебном процессе при чтении курсов лекций «Теплопередача», «Теплообменные аппараты» и «Надежность энергоустановок».
Основные положения, выносимые на защиту.
1) Результаты экспериментальных исследований структуры
гидродинамически нестационарных изотермических течений в каналах, а именно, профили осредненной осевой скорости, осевых и радиальных пульсаций и их корреляций.
2) Результаты экспериментальных исследований структуры
гидродинамически нестационарных неизотермических течений.
3) Результаты частотного анализа изотермических и нсизотермических гидродинамически нестационарных течений.
4) Физическая модель гидродинамически нестационарных турбулентных течений.
16
5) Результаты расчета турбулентной вязкости в гидродинамически
нестационарных условиях.
6) Результаты расчета коэффициентов теплообмена в гидродинамически
нестационарных условиях.
7) Результаты расчета коэффициентов гидравлического сопротивления в
гидродинамически нестационарных изотермических и неизотермических условиях.
8) Модели для инженерных расчетов коэффициентов теплообмена и гидравлического сопротивления в условиях гидродинамической нестационарности.
Апробация работы. Результаты диссертационной работы докладывались на 1-ой, 2-ой и 3-ей Российских национальных конференциях по теплообмену в 1994, 1998 и 2002 годах (Москва); международных симпозиумах “Turbulence, Heat and Mass Transfer” в 1994 году (Португалия, Лиссабон) и в 1997 году (Нидерланды, Дельфт); на международном симпозиуме “Transient Convective Heat Transfer” в 1996 году (Турция, Чесма); на 6-ом международном симпозиуме “Flow Modelling and Turbulent Measurements” в 1996 году (США, Флорида), на 3-ем и 5-ом Минских международных форумах в 1996 и 2004 годах (Беларусь, Минск); на 11-ой международной конференции по теплообмену в 1998 году (Южная Корея); на Международных научно-практических конференциях САКС в 2001 и 2002 годах (Россия, Красноярск); на 16-ой международной конференции по тепло- и массообмену в 2002 году (Индия, Дели); на 1-ой международной конференции по теплообмену, механики жидкости и термодинамики в 2002 году (ЮАР, Крюгер Парк); на семинаре молодых ученых и специалистов п/р академика РАН А.И.Леонтьева в 2003 году (Россия, Рыбинск) и в 2005 (Россия, Калуга); на секции «Тепло- и массообмен» научного Совета РАН по комплексной проблеме «Теплофизика и
17
теплоэнергетика» в 2004 году (Москва); на Всероссийской научно-технической конференции молодых ученых и специалистов «Проблемы создания перспективных авиационных двигателей» в 2005 году (Россия, Москва).
Публикации. Основное содержание и результаты диссертационной работы изложены более чем в 50 печатных работах, в том числе в 2-х монографиях.
Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, 6 разделов, выводов. Она содержит 270 страниц машинописного текста, включающего 222 рисунка и списка литературы из 163 наименований.
18
1. ОБЗОР СОВРЕМЕННОГО СОСТОЯНИЯ ВОПРОСА
Исследованиям гидродинамики и теплообмена в каналах в настоящее время отводится очень важная роль в решении как инженерно-прикладных, так и фундаментальных задач. Важной стороной этих исследований является изучение структуры турбулентных потоков. Глава посвящена анализу турбулентных течений и влиянию нестационарных условий на структуру потоков, гидродинамику и теплообмен.
1.1. Особенности турбулентного течения и структуры турбулентных потоков.
Турбулентное движение является основной формой движения сплошной среды. Такие течения широко распространены в природе и технике. Обычно, определяя понятие турбулентного движения , говорят, что это такое движение, при котором в потоке существуют нерегулярные пульсации скорости и давления, перемешивающие поток и обуславливающие молярный механизм взаимодействия между элементами потока. В отличии от ламинарного режима течения, подчеркивается неупорядоченный, хаотичный, характер изменения параметров потока (скорость, давление, температура). Однако, если бы турбулентное течение было полностью неуиорядоченым, то оно не поддавалось бы математическому анализу. На самом деле неупорядоченность турбулентного движения относительна и связана с влиянием на поток некоторых неподдающихся точному учету факторов. Поэтому параметры турбулентного потока носят вероятностный характер. Более подробно основы турбулентных течений изложены в работах Г. Шлихтинга [16] и У. Фроста и Т. Молдуена [1].
Процесс передачи тепла будет однозначно определяться полями скорости V, давления р, температуры Т в зависимости от координат х, у, 2 и от времени
19
г. Для стационарного процесса V, р, Т зависят только от х, у, х. Для
определения пяти неизвестных (трех компонент вектора скорости 0, р, Т ) необходимо записать пять уравнений. Для однофазной химически однородной изотропной несжимаемой жидкости эти уравнения имеют следующий вид. Уравнение неразрывности
др
^-+<Ич(рО)= 0. дт
(Ы.1)
Уравнение движения в проекциях на оси х, у, г (уравнения Навье-Стокса):
дт дх ду дх ,
ф
дх
д + — ду
ш, Я у 1 + ------------
ду дх
д
+—
дх
д дх
дт дх ду дх
= Р8У-— +
ф
ду
д +—
2р
ди„
ф 3
V- і / (сиу сих) ±_ -} х. д 4 і і
] дх и { дх ф дх и
(1.1.2)
дт дх ф дх }
Ф
ЯДЬ“4 +
+—\2рЮ~-р&уи
ах дх з
д +— дх
Уравнение энергии
Р°р д
дГ
дт
дГ
\ дх дх )
дГ
д
+—
ду
дГ
/£і
1 ф
“т-+^х—+^у—=— Л—
+
дх
дт
дх
дх + <1
ду
дх) дх\ дх) ду
+—
і
+
, (1Л.З)
\ /
где их, иу, иг - проекции скорости на на оси х, у, х; <уу - плотность внутренних ИСТОЧНИКОВ тепловыделения; £* gz - проекции вектора ускорения свободного падения; р - плотность; Я - коэффициент теплопроводности; р
20
коэффициент динамической вязкости; ср -теплоемкость при постоянном давлении.
К этим уравнениям добавляется уравнение состояния р=/(р,1) (1.1.4)
и зависимости физических свойств теплоносителя от температуры и давления
ср=ср(р, Т); Л=Л (р, Т); Т). (1.1.5)
Для однофазных жидкостей ср) А, р практически не зависят от давления. Уравнения (1.1.1 - 1.1.3) получены для несжимаемой жидкости, однако они с достаточной точностью справедливы и для течений сжимаемых жидкостей (например, газов), если скорость течения меньше 0.7 звуковой.
Для решения уравнений (1.1.1 - 1.1.3) необходимо задать краевые условия, к которым относятся:
1) геометрические условия, характеризующие форму и размеры тела, омываемого теплоносителем;
2) граничные условия, характеризующие распределение скорости, давления, температуры на поверхности тела и во входном и выходном сечениях канала. При феноменологическом описании процессов теплообмена скорость на поверхности тела принимается равной нулю (считается, что жидкость ‘прилипает’ к поверхности), т.е.
й(ха,у(!,го) = 0. (1.1.6)
При течении жидкости в каналах граничные условия для температурного поля могут быть заданы в виде изменения температуры на поверхности Т=Т(х0, у0, го, т), (1.1.7)
или в виде изменения плотности теплового потока (граничные условия 2-го рода):
д=д(ха у о, 20, т), (1.1.8)
21
3) начальные условия, характеризующие распределение скорости, давления и температуры в начальный момент времени (т= 0):
Для стационарного процесса граничные условия по времени не изменяются, а начальные условия не нужны.
Для ламинарного течения система уравнений (1.1.1 -1.1.3) с учетом (1.1.4 - 1.1.9) является замкнутой. Для турбулентного течения рассматриваемая система уравнений незамкнута, так как для мгновенных значений параметров задача является нестационарной и имеющихся представлений о турбулентном течении недостаточно для задания начальных условий (1.1.9).
При изучении турбулентных течений обычно используют методы и понятия теории вероятности и рассматривают мгновенные значения характеристик среды (скорости, давления, температуры) как случайные величины, а их средние значения как математические ожидания [1]. Все параметры турбулентного потока - скорость, температура, давление - меняются во времени. Детальное изучение распределения в пространстве и времени мгновенных значений всех характеристик такого течения сложно. Применяемые при изучении турбулентных течений способы осреднения мгновенных значений величин обладают следующими свойствами. Истинное значение некоторой случайной величины и представляют в виде:
где и' - пульсационная составляющая, и- осредненная составляющая. На процесс осреднения накладывается следующие аксиоматические ограничения [6] и [1]:
U = U(x,yfz,0);р=р(х, у, z, 0); Т=Т(х, у, z, 0).
(1.1.9)
U=U+U\
(1.1.10)
ul+u2=ui+u2;
(кілі)
а = а;
aU = aU, если a=const,
(1.1.12)
(1.1.13)
22
ди ди
дЪ
дв
, Я - ЭТО X, у, 1 или г,
(1.1.14)
иг *£/2 = С/1 -£/2. (1.1.15)
Из соотношений (1.1.11-1.1.15) можно получить некоторые дополнительные сведения. Полагая, что в (1.1.15) и г* 1, имеем
£/>£/., (1.1.16)
т. е. повторное осреднение не меняет среднего значения. Воспользовавшись (1.1.11) и (1.1.10), получим также:
и' = и~и = и~и = 0. (1.1.17)
Таким образом, осредненное значение любой пульсационной составляющей величины равно нулю.
Рассмотрим, какие результаты дает осреднение уравнений (1Л.1)-(1.1.3). Осреднение уравнения неразрывности (1.1.1) с учетом правил осреднения приводит к следующему уравнению:
дР | фи, | Фи, [ фи, _ 0
дт дс ду дг.
(1.1.18)
Пренебрегая массовой силой при осреднении уравнение движения (1.1.2) и выполняя все правила осреднения (1.1.11-1.1.17), находим
Д/ — сИх — дИх — сНх
—*- + их—-+и„—- + и, — х
дт х дс > су
&
дс
д +—
дс
( д/ ■"! д С д/, —■1 д{ Ш -1
м—±~ри'хи'х ^ дс +— 4> г-у-мг, С£\ СТ.
( ди, —ди, —ди, —ди, —-+их—^-+и,—-+и,—-
дт дс ду ск
= -^ +
ду
д +— дс
дОу д ( — \ Му д с — л Му
+— ду \ ^ +— дс р-+-ри;и’
(1.1.19)
Аналогичные преобразования дают уравнение энергии
[дТ —дТ —дТ —дТ
1_
дл
' ^ ;
Х~рсрЩГ
дх
д +—
ду
' зт
д л— &
' ^ ;
лЦ-.рсЩГ
(Л
(1.1.20)
+ ?у
Впервые подход, связанный с изучением осредненных параметров течения, применил О. Рейнольдс, и полученные уравнения (1.1.18-1.1.20) называются уравнениями Рейнольдса.
Система (1.1.18-1.1.20) записана для общего случая трехмерного течения жидкости в декартовых координатах: х - продольная; у, 2 - поперечные координаты. Она может быть существенно упрощена в случае двумерных течений, когда осредненная скорость потока вдоль одной из координат (в нашем случае г) равна нулю.
Ц] = 0. (1.1.21)
И все осредненные параметры потока не меняются вдоль этой координаты
24
Зг.
(1.1.26)
_£
&
д_
ск
д_
а
д_
&
81].
а
рШ
8и, ----
ц-±-ри\и\
дП.
^---рт
к а
р^-(Щ \ &
= 0
= 0
=0
= 0
(1.1.27)
(1.1.28)
(1.1.29)
(1.1.30)
Слагаемые, учитывающие изменение напряжений и плотности теплового потока в продольном (ось д;) направлении намного меньше по сравнению с прозводными в поперечном (ось_у) направлении:
д_
Зс
д
Зс
д_
а
&
Зс
-т
рЧг-ри'ли'г
Зс
д (К.
ду
д
ду
д_ Ж_
ду
-т
(1.1.31)
(1.1.32)
!'Л
(1.1.33)
и ими можно пренебречь. Также предположим, что плотность газа не меняется со временем (ф'(Й-=0) и отсутствуют внутренние источники тепла (#у-0).
Система уравнений (1.1.18-1.1.20) примет вид: уравнение неразрывности
3Рих 3Риу
= 0*
Зс ду
уравнения движения
(1.1.34)
л?,
уравнение энергии ' дТ —дТ --гдТ
*+и-&*и’1ь
д_
ду
Л—~рсри'уТ'
ду
(1.1.36)
Перейдем от декартовых (х, у) координат к цилиндрическим: х - осевая координата, г - радиальная координата. Тогда турбулентное течение несжимаемой жидкости в цилиндрическом канале при симметричных относительно оси полях скорости и температуры будет описываться следующей системой уравнений.
Уравнение неразрывности:
Я/. 1 д ( .-г
ах г &
Уравнения движения:
^+их^+иг^
от х дх ' дг
*Ь.+иа*Ь.+11*Ь.
дт дх сУ
(1.1.37)
= _яР \_д_ дс г сУ
_сГ_ \_д_ дг г дг
^-рихи\, (1.1.38)
V
/ / г Ч ^
аи, »*
дг
(1.1.39)
Уравнение энергии: рсР
'дТ гг дТ гТ сТ4
—+и,—+и
\_д_ г дг
' ' дг
А — -рсри'гГ дг
(1.1.40)
с дт дх дг ,
Сопоставляя эту систему уравнений для осредненных величин с исходной системой уравнений (1.1.1-1.1.3), видим, что в осредненных уравнениях движения и энергии появились дополнительные слагаемые. Слагаемое - ри'хи'г в правой части уравнений движения можно интерпритировать как некоторое
- Київ+380960830922